Toán rời rạc bài tập phần nguyên lý chuồng bồ câu

Toán rời rạc
Bài tập phần nguyên lý chuồng bồ câu
1. Một cờ thủ có 11 tuần để chuẩn bị đấu giải. Anh ta quyết tâm chơi mỗi ngày một trận, nhưng để
giữ sức anh ta quyết không chơi quá 12 trận một tuần. Chứng minh rằng có một giai đoạn (gồm
những ngày liên tiếp) anh ta chơi đúng 21 trận.
2. Với giả thiết như trong bài tập 1, hãy chứng minh rằng có một giai đoạn (gồm những ngày liên
tiếp) anh ta chơi đúng k trận, với k = 1, 2, . . . , 21. Liệu có thể kết luận rằng có giai đoạn anh
này chơi 22 trận liên tiếp được không?
3. * Chứng minh rằng nếu chọn 100 số nguyên từ tập 1, 2, . . . , 200, và một trong các số được chọn
nhỏ hơn 16, vậy có hai trong các số được chọn mà số này chia hết cho số kia.
4. Tổng quát hoá ví dụ trước để cho phép chọn (bao nhiêu?) số từ tập
{1, 2, . . . , 2n}.
5. Chứng minh rằng nếu chọn n + 1 số nguyên từ tập {1, 2, . . . , 2n}, vậy ít nhất có hai số chỉ hơn
kém nhau một.
6. Chứng minh rằng nếu chọn n + 1 số nguyên từ tập {1, 2, . . . , 3n}, vậy ít nhất có hai số chỉ hơn
kém nhau hai.
7. Tổng quát hoá bài tập 5 và 6.
8. * Chứng minh rằng cho trước 52 số nguyên luôn tồn tại hai số trong đó tổng, hoặc hiệu của
chúng chia hết cho 100.
9. Dùng nguyên lý chuồng bồ câu để chứng minh rằng khai triển thập phân của một số hữu tử m/n
phải lặp lại. Ví dụ
34, 478
= 0.34512512512512512512 · · · .
99, 900
10. Trong phòng có 10 người, không ai trong số họ lớn hơn 60 hoặc ít hơn một tuổi. Chứng minh
rằng chúng ta luôn tìm thấy hai nhóm phân biệt có tổng số tuổi bằng nhau. Liệu 10 có phải số
nhỏ nhất không?
11. Một đứa bé xem TV ít nhất một giờ mỗi ngày trong bảy tuần nhưng không xem quá 11 giờ mỗi
tuần (vì cha mẹ cấm). Chứng minh rằng có một giai đoạn gồm những ngày liên tiếp mà đứa bé
này xem TV đúng 20 giờ. (Giả sử số giờ xem TV luôn là số nguyên.)
12. Một sinh viên có 37 ngày để chuẩn bị kiểm tra. Kinh nghiệm cho thấy rằng cô không cần học

nhiều hơn 60 giờ. Cô ấy cũng muốn học mỗi ngày ít nhất một giờ. Chứng minh rằng dù cô ấy
xếp lịch học thế nào thì luôn có một giai đoạn gồm những ngày liên tiếp cô ấy học đúng 13 giờ.
13. Chứng minh bằng phản chứng rằng Định lý phần dư Trung hoa không đúng khi m và n nguyên
tố cùng nhau.
1


14. * Xét S là một tập gồm 6 điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta
tô màu đỏ hoặc màu xanh mỗi đoạn thẳng trong 15 đoạn thẳng nối các điểm này. Chứng minh
rằng có ít nhất hai tam giác mỗi cái được tô màu đỏ hoặc xanh (có thể cả hai đều đỏ, hoặc cả hai
đều xanh, hoặc một màu xanh và một màu đỏ).
15. Một giỏ chứa 100 quả táo, 100 quả chuối, 100 quả cam, và 100 quả đào. Nếu mỗi phút ta lấy
một quả ra khỏi giỏ thì hỏi sau bao lâu ta sẽ chắc chắn lấy được 10 quả cùng loại?
16. Chứng minh rằng, trong n + 1 số nguyên a1 , a2 , . . . , an+1 luôn có hai số nguyên ai và aj với
i ̸= j thoả mãn ai − aj chia hết cho n.
17. Chứng minh rằng trong một nhóm n > 1 người luôn có hai người có cùng số người quen trong
nhóm (giả sử rằng một người không quen chính anh ta).
18. Có 100 người trong bữa tiệc. Mỗi người có một số chẵn (có thể bằng 0) người quen. Chứng
minh rằng luôn có hai người có cùng số người quen.
19. Chứng minh rằng
√ trong năm điểm nằm trong hình vuông cạnh độ dài 2, luôn có hai điểm cách
nhau xa nhất 2.
20.

(a) Chứng minh rằng chọn
√ năm điểm trong một tam giác cân cạnh độ dài 1, luôn có hai điểm
cách nhau xa nhất là 12.
(b) Chứng minh rằng chọn
√ 10 điểm trong một tam giác cân cạnh độ dài 1, luôn có hai điểm
cách nhau xa nhất là 13.

(c) Xác định số nguyên mn sao cho nếu chọn
√ mn điểm trong một tam giác cân cạnh độ dài 1,
luôn có hai điểm cách nhau xa nhất là 1n.

21. Chứng minh rằng r(3, 3, 3) ≤ 17.
22. * Chứng minh rằng r(3, 3, 3) ≥ 17 bằng cách tô ba màu đỏ, xanh, vàng cho các đoạn thẳng nối
16 điểm sao cho không có 3 điểm mà các đoạn thẳng nối chúng có cùng màu.
23. Chứng minh rằng
r(3, 3, . . . , 3) ≤ (k + 1)(r(3, 3, . . . , 3) − 1) + 2.
k+1

k

Dùng kết quả này để tìm cận trên cho
r(3, 3, . . . , 3).
n

24. Các đoạn thẳng nối 10 điểm bất kỳ được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng luôn tồn tại
ba điểm sao cho ba đoạn thẳng nối chúng đều màu đỏ, hoặc bốn đoán thẳng nối chúng đều màu
xanh (có nghĩa rằng, r(3, 4) ≤ 10).
25. Một họ các tập con của tập {1, 2, . . . , n} có tính chất rằng mọi hai tập con của họ có ít nhất một
phần tử chung. Chứng minh rằng họ này có nhiều nhất 2n−1 phần tử.

2