Chương 5 phương trình vi phân lê hoài nhân

VI TÍCH PHÂN A2

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CBGD. Lê Hoài Nhân

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

1 / 28


Mục lục

1

Phương trình tách biến

2

Phương trình thuần nhất

3

Phương trình vi phân tồn phần

4

Phương trình tuyến tính cấp một

5

Phương trình Bernoulli

6

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

2 / 28


Phương trình tách biến
Phương trình vi phân tách biến là phương trình có dạng
M(x).dx + N(y ).dy = 0
trong đó M và N là các hàm số một biến.
Lấy tích phân hai vế trong phương trình trên ta được tích phân tổng
quát sau:
M(x).dx +

N(y ).dy = C

Ví dụ 1.1
Giải các phương trình tách biến sau
1

2

x(1 + y 2 )dx + y (1 + x 2 )dy = 0.
dy
= x 2 .y 3 với y (1) = 3.
dx
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

3
4
5

y = xy (y + 2).
y = cos(x − y − 1).

y = e 9y −x với y (0) = 0.

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

3 / 28


Phương trình tách biến
Ví dụ 1.2

Giải các phương trình sau:
1
dy
1
= 6y 2 x với y (1) = .
dx
25
3x 3 + 4x − 4
2 y =
với y (1) = 3.
2y − 4
xy 3
3 y = √
với y (0) = −1
1 + x2
4 y = e −y (2x − 4) với y (5) = 0.
dr
r2
5
=
với r (1) = 2.
dθ
θ
dy
1 + t2
6
= e y −t
với y (0) = 0.
dt
cos y

7 y − (4x − y + 1)2 = 0 với y (0) = 2.
CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

4 / 28


Phương trình thuần nhất

Định nghĩa 2.1
Hàm số hai biến f (x, y ) thỏa điều kiện
f (k.x; k.y ) = f (x, y ), ∀k = 0.
Mỗi hàm số thuần nhất đều biểu diễn được dưới dạng
y
y
f (x, y ) = f (1, ) = g ( ) = g (u), ∀x = 0
x
x

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

5 / 28

Phương trình thuần nhất
Định nghĩa 2.2
Phương trình vi phân thuần nhất là phương trình có dạng
y = f (x, y )
trong đó f (x, y ) là hàm thuần nhất.

Cách giải 2.1
Đổi biến u =

y
hay y = ux. Suy ra:
x
y =

dy
du
= u + x.
dx
dx

Thay y và y vào phương trình ban đầu ta thu được phương trình
tách biến với ẩn hàm u.
CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

6 / 28

Phương trình thuần nhất

Ví dụ 2.1
Kiểm tra các phương trình sau là phương trình thuần nhất và giải
chúng
x 2 − xy + y 2
1 y =
.
xy
y + x2 − y2
dy
=
với x > 0.
dx
x
xyy + 4x 2 + y 2 = 0 với y (2) = 7 và x > 0.

2
3

a

xy = y (ln x − ln y ) với y (1) = 4 và x > 0.

4
a

Nguồn />

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

7 / 28


Phương trình vi phân tồn phần

Định nghĩa 3.1
Phương trình vi phân tồn phần là phương trình có dạng
P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0
trong đó P và Q là các hàm số hai biến x, y thỏa điều kiện

∂Q
∂P
=
.
∂y
∂x

Cách giải 3.1
−
→
−
→
−
→

Tìm hàm φ(x, y ) là thế vị của trường vector F = P i + Q j
Tích phân tổng qt của phương trình trên có dạng φ(x, y ) = C

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

8 / 28


Phương trình vi phân tồn phần

Ví dụ 3.1
Kiểm tra cá phương trình sau là phương trình vi phân tồn phần. Giải
các phương trình đó.
1
2
3
4
5
6

(3y 2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x 2 + 3)dy = 0.
(x + y − 1)dx + (e y + x)dy = 0.
dy
= 0 với y (0) = −3.
2xy − 9x 2 + (2y + x 2 + 1)
dx

4xy 2 + 4 = 2(3 − x 2 y )y = 0 với y (−1) = 8.
2ty
− 2t − (2 − ln(t 2 + 1))y = 0 với y (5) = 0
2
t +1
3y 3 e 3xy − 1 + (2ye 3xy + 3xy 2 e 3xy )y = 0 với y (0) = 1.

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

9 / 28


Thừa số tích phân

Bài tốn 3.1
Giả sử phương trình M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 không phải là phương
trình vi phân tồn phần. Hãy tìm một hàm số µ = µ(x, y ) sao cho phương
trình
µ(x, y ).M(x, y )dx + µ(x, y ).N(x, y )dy = 0
là phương trình vi phân tồn phần.

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

10 / 28


Thừa số tích phân

Bài tốn 3.1
Giả sử phương trình M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 không phải là phương
trình vi phân tồn phần. Hãy tìm một hàm số µ = µ(x, y ) sao cho phương
trình
µ(x, y ).M(x, y )dx + µ(x, y ).N(x, y )dy = 0
là phương trình vi phân tồn phần.

Định nghĩa 3.2
Hàm số µ(x, y ) trong bài toán trên được gọi là thừa số tích phân của
phương trình đã cho.

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

10 / 28


Thừa số tích phân
Ví dụ 3.2
Xét phương trình ydx + dy = 0. Khi đó, hàm số µ(x) = e x làm cho
phương trình

e x ydx + e x dy = 0
là phương trình vi phân tồn phần. Do đó, µ(x) = e x là một hàm số cần
tìm.

Cơng thức 3.1
1

2

My − Nx
= f (x) - hàm một biến x thì phương trình có thừa số
N
tích phân dạng µ = µ(x) và µ(x) = e f (x)dx .
Nx − My
= f (y ) - hàm một biến y thì phương trình có thừa số
Nếu
M
tích phân dạng µ = µ(y ) và µ(y ) = e f (y )dy .
Nếu

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

11 / 28


Thừa số tích phân

Ví dụ 3.3
Bằng cách tìm thừa số tích phân hãy giải các phương trình vi phân sau
y3
1 (2xy + x 2 y +
)dx + (x 2 + y 2 )dy = 0
3
2 y (1 + xy )dx − xdy = 0
3
4

5

6
7

(x + y 2 )dx + xydy = 0

(x 2 + 2y )dx − xdy = 0

x2
+ x ln y + x sin y
y
2y 2 (x + y 2 )dx + xy (x + 6y 2 )dy = 0
(xe x + x ln y + y )dx +

dy = 0

ydx − (2x + y 3 e y )dy = 0

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

12 / 28


Phương trình tuyến tính cấp một

Phương trình tuyến tính cấp một là phương trình có dạng
y + P(x).y = Q(x)
Cơng thức nghiệm: y = e −

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

P(x)dx

Q(x)e

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

P(x)dx

dx + C

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

13 / 28

Phương trình tuyến tính cấp một

Phương trình tuyến tính cấp một là phương trình có dạng
y + P(x).y = Q(x)
Cơng thức nghiệm: y = e −

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

P(x)dx

Q(x)e

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

P(x)dx

dx + C

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

13 / 28


Phương trình tuyến tính cấp một

Ví dụ 4.1
Xác định các hệ số P, Q trong các phương trình tuyến tính cấp một
sau và giải các phương trình đó.
1

2
3
4

y − y sin x = 2xe − cos x với y (0) = 1.
y − y tan x = sin x

ty + 2y = t 2 − t + 1 với y (1) =
2y − y = 4 sin 3t.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

1
.
2

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

14 / 28


Phương trình Bernoulli
Định nghĩa 5.1
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng
y + P(x).y = Q(x).y α
với Q(x) khơng đồng nhất 0 và α là hằng số khác 0 và khác 1.

Cách giải 5.1

Xem xét y = 0 có là nghiệm của phương trình hay khơng.
Giả sử y = 0. Chia hai vế của phương trình cho y α và đặt z = y 1−α
Chuyển phương trình về dạng tuyến tính cấp một với ẩn hàm z.
Giải phương trình này và suy ra nghiệm y .

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

15 / 28


Phương trình Bernoulli
Ví dụ 5.1
Xác định giá trị α trong các phương trình Bernoulli sau và giải chúng
1
1 y +
y = xy 2 .
x
dy
dy 3
2
.x sin y + 2y = x
dx
dx
4
3 y +
y = x 3 y 2 với y (2) = −1 và x > 0

x
4 y = 5y + e −2x y −2 với y (0) = 2
5
6

6y − 2y = xy 4 với y (0) = −2
√
y
y + = x với y (1) = 0
x

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

16 / 28


Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Định nghĩa 6.1
Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng là phương trình có dạng
y + py + qy = f (x)

(1)

với p, q là các hằng số.
Nếu f (x) ≡ 0 thì ta có phương trình thuần nhất.

Nếu f (x) khơng đồng nhất 0 thì ta có phương trình khơng thuần
nhất.

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

17 / 28


Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Định nghĩa 6.1
Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng là phương trình có dạng
y + py + qy = f (x)

(1)

với p, q là các hằng số.
Nếu f (x) ≡ 0 thì ta có phương trình thuần nhất.
Nếu f (x) khơng đồng nhất 0 thì ta có phương trình khơng thuần
nhất.

Phương trình bậc hai (ẩn k): k 2 + pk + q = 0 (2) được gọi là
phương trình đặc trưng của phương trình (1).

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

17 / 28


Phương trình thuần nhất y + py + qy = 0

Nghiệm k1 , k2 của phương trình
k 2 + pk + q = 0 là

Nghiệm tổng quát
của phương trình thuần nhất

nghiệm thực, phân biệt

y = C1 e k1 x + C2 e k2 x

nghiệm thực, kép

y = e k0 x (C1 + C2 x)

nghiệm phức dạng a ± ib

y = e ax (C1 . cos bx + C2 sin bx)

trong đó C1 , C2 là các hằng số.

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

18 / 28


Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Ví dụ 6.1
Xác định phương trình đặc trưng, sau đó viết nghiệm tổng quát của
các phương trình thuần nhất sau:
1
2
3

y + 5y − 6y = 0.
y − 4y = 0.

y + 2y = 0.

4

y + 2y + y = 0.

5

y + 2y + 2y = 0.

6

y + 9y = 0.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

19 / 28


Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng khơng thuần
nhất

Ta giải phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất
y + py + qy = f (x) theo các bước sau đây:
1
2

3

Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất (1).
Tìm nghiệm riêng Y của phương trình khơng thuần nhất (2) bằng
cách dựa vào dạng của vế phải f (x).
Tổng hợp nghiệm.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

20 / 28


Vế phải có dạng f (x) = e αx .Pn (x)

Nếu . . .
của phương trình đặc trưng

thì Y có dạng . . .

α không là nghiệm

Y = e αx Qn (x)

α là nghiệm đơn

Y = e αx xQn (x)

α là nghiệm kép

Y = e αx x 2 Qn (x)

trong đó Qn (x) là đa thức bậc n mà các hệ số của nó cần được xác định.

CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

21 / 28


Vế phải có dạng f (x) = e αx .Pn (x)
Nếu . . .

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT
và nếu . . .
của p.trình đặc trưng thì Y có dạng . . .

f (x) = a.e αx

α không là nghiệm
α là nghiệm đơn
α là nghiệm kép

Y = Ae αx
Y = Ae αx x
Y = Ae αx x 2

f (x) = ax + b

0 không là nghiệm
0 là nghiệm đơn
0 là nghiệm kép

Y = Ax + B
Y = x(Ax + B)
Y = x 2 (Ax + B)

f (x) = ax 2 + bx + c

0 không là nghiệm
0 là nghiệm đơn
0 là nghiệm kép

Y = Ax 2 + Bx + C
Y = x(Ax 2 + Bx + C )
Y = x 2 (Ax 2 + Bx + C )

trong đó A, B, C là các hệ số cần được xác định.
CBGD. Lê Hồi Nhân ()

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngày 10 tháng 11 năm 2014

22 / 28