Bài giảng đại số tuyến tính chương 2 ths nguyễn phương

Chương 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013

1


1

Hệ phương trình tuyến tính
Các khái niệm
Định lý Croneker - Capelli

2

Hệ Cramer
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp định thức

3

Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát
Phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss-Jordan

4

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

2


Hệ phương trình tuyến tính

Các khái niệm

Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1




a

21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2

(1)

..




.


 a x + a x + ··· + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m






 a11 · · · a1n 
 x1 
 b1 
 a

 21 · · · a2n 
 . 
 . 
Ma trận A =  .
..  , X =  ..  , B =  ..  được gọi là ma
..
 ..
.





. 

xn
bm
am1 · · · amn
trận hệ số, ma trận biến số và ma trận hệ số tự do của (1).
Khi đó: (1) ⇔ AX = B.
(2)
A = (A|B) được gọi là ma trận hệ số mở rộng của (1).


Hệ phương trình tuyến tính

Các khái niệm



 a1j 
 . 
Ma trận Aj =  ..  , j ∈ {1, . . . , n} được gọi là ma trận cột thứ j của A.


amj
Khi đó: (1) ⇔ A1 x1 + · · · + An xn = B.
(3)
T
- α = (α1 , α2 , . . . , αn ) được gọi là nghiệm của (2) nếu Aα = B.
Các cách viết nghiệm của (1): (α1 , α2 , . . . , αn ) hoặc

x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn .
- Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm.


Hệ phương trình tuyến tính

Các khái niệm

Định nghĩa
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
1

P1: Hoán vị 2 dòng.

2

P2: Nhân một dòng với một số λ

3

P3: Nhân một dòng với một số λ rồi cộng vào một dòng khác.

0.

Định lý
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận các hệ số A tương ứng
biến hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương với nó.
Ví dụ:



x + 2y + z + t = 2



−x
+ y − 2z − t = −3
Xét hệ phương trình: 


 2x + 6y + 3z + 2t = 8



1
1
2 
 1 2
 1
 −1 1 −2 −1 −3  d2 →d2 +d1  0
A = 
 −−−−−−−−−→ 

 d3 →d3 −2d1 
2 6
3
2
8
0
5

2
3
2

1 1
−1 0
1 0

2
−1
4








Hệ phương trình tuyến tính

Định lý Croneker - Capelli

Định lý (Croneker - Capelli)
1

Hệ (1) vô nghiệm ⇔ rankA < rank(A)

2

Hệ (1) có nghiệm ⇔ rankA = rank(A)
Hệ (1) có nghiệm duy nhất ⇔ rankA = rank(A) = n
Hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ rankA = rank(A) < n


Hệ phương trình tuyến tính

Định lý Croneker - Capelli

Ví dụ:
Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình sau:


x + 2y + z = 2



−x
+ y − 2z = 1



 2x + y + 3z = m
Ta có ma trận các hệ số của hệ phương
trình:

1
2
1

2
 d →d +d

 2 2 1
A = (A|B) =  −1 1 −2 1  −−−−−−−−−→

 d3 →d3 −2d1
2 1 3 m



1
2 
 1 2 1
 1 2
d3 →d3 −d2 

 0 3 −1
 −−−−−−−−→  0 3 −1
3



0 −3 1 m − 4
0 0 0

2
3
m−1







Nếu m = 1 : rank(A) = 2 = rank(A) < 3 ⇒ Hpttt có vô số nghiệm.
Nếu m

1 : rank(A) = 2 < rank(A) = 3 ⇒ Hpttt vô nghiệm.


Hệ Cramer

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Định nghĩa
Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa 2 điều kiện:
Số phương trình bằng số ẩn.
Ma trận hệ số A có định thức khác không.
Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất.
Hpttt (1) ⇔ AX=B.
Vì |A| 0 nên A khả nghịch.
Do đó, X = A−1 B

8


Hệ Cramer

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Ví dụ:


2x + y − z = 1



y + 3z = 3
Giải hệ phương trình: 


 2x + y + z = −1
2 1 −1
Ta có |A| = 0 1 3 = 4 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer.
2 1 1


 −2 −2 4 
1

4 −6 .
Ta tìm được A−1 =  6

4  −2 0
2





 −2 −2 4   1 
 −12
1
1

4 −6   3  =  24
Từ đó ta được X = A−1 B =  6


4  −2 0
4  −4
2
−1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (−3, 6, −1).

9

 

  −3 
  6 
 = 

 

−1


Hệ Cramer

Phương pháp định thức

Gọi D = |A| và Dj là định thức của ma trận có được bằng cách thay cột j của
A bằng B.
Dj
Khi đó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất với xj =
, j = 1, n.
D
Ví dụ:


2x + y − z = 1



y + 3z = 3
Giải hệ phương trình 


 2x + y + z = −1
2 1 −1
Ta có D = |A| = 0 1 3 = 4 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer.
2 1 1
1 1 −1
2 1 −1
3 1 3 = − 12
3 = 24
D2 = 0 3
D1 =

−1 1 1
2 −1 1
2 1 1
D3 = 0 1 3 = − 4
2 1 −1
D1 D2 D3
,
) = (−3; 6; −1).
Vậy: Hpttt có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( ,
D D D


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận các hệ số A về dạng bậc
thang theo dòng.
Trong quá trình biến đổi, lưu ý:
Nếu có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì bỏ đi 1 dòng.
Bỏ đi tất cả các dòng không (nếu có).
Nếu có một dòng có dạng (0 · · · 0|a) với a

11

0 thì hpttt vô nghiệm.


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss



x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4



2x
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5


 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2




 1 6 2 −5 −2 −4 
 1 6 2 −5 −2 −4 




Ta có A =  2 12 6 −18 −5 −5  −→  0 0 2 −8 −1 3  −→




0 0 2 −8 0 10

3 18 8 −23 −6 −2


 1 6 2 −5 −2 −4 
 0 0 2 −8 −1 3 




0 0 0 0
1
7
Ta
 có được hệ phương trình tương đương



 x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4
 x5 = 7




2x
−
8x
−
x
=
3

x3 = 4x4 + 5
⇔


3
4
5





 x1 = −6x2 − 3x4
x5 = 7
Vậy tập nghiệm của hệ là {(−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R}.

12


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp Gauss-Jordan

Sau khi đã đưa ma trận các hệ số về dạng bậc thang theo dòng theo phương
pháp Gauss, ta tiếp tục biến đổi sao cho
Phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng là phần tử khác không duy
nhất trên cột tương ứng.
Các phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng phải bằng 1.

13


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

Ví dụ:


x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4



2x
+ 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5
Giải hệ phương trình 
1


 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2
Sau
khi dùng phương pháp Gauss


 biến đổi ta được
1
6
2

−5
−2
−4


 1 6 2 −5 0 10 
 0 0 2 −8 −1 3 

 −→  0 0 2 −8 0 10  −→




0 0 0 0 1 7
0 0 0 0
1
7




 1 6 0 3 0 0 
 1 6 0 3 0 0 
 0 0 2 −8 0 10  −→  0 0 1 −4 0 5 




0 0 0 0 1 7
0 0 0 0 1 7

Ta
 có được hệ phương trình
 tương đương


x
+
6x
+
3x
=
0


1
2
4

 x1 = −6x2 − 3x4


x
−
4x
=
5
⇔


3

4

 x3 = 4x4 + 5



 x5 = 7
x5 = 7
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R.

14


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

Ví dụ:


mx + y + z = 1



x + my + z = 1
Giải và biện luận hệ phương trình: 


 x + y + mz = 1
Cách 1: Gauss/Gauss-Jordan





 m 1 1 1 
 1 1 m 1 
 1 m 1 1 
A = 
 −→  1 m 1 1  −→




m 1 1 1
1 1 m 1



1
m
1
1
m
1 
 1
 1

 0 m − 1
 0 m − 1 1 − m
1

−
m
0
0
 −→ 




0 1 − m 1 − m2 1 − m
0
0
2 − m − m2 1 − m


 1 1 −2 1 


Nếu m = −2 : A −→  0 −3 3 0  ⇒ Hệ vô nghiệm.


0 0
0 3
Nếu m = 1 : A −→ 1 1 1 1 ⇒
Hệ tương đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z
Nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R.
15









Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan


 1

1 ∧ m −2 : A −→  0

0


1
1

m
1 



−1
0  −→  0 1

 0 0
2+m 1



2
 1 0

0


m + 2 

1


 −→  0 1
0

m + 2 


1
 0 0

1
m+2

1
m
1
m−1
1−m

0
Nếu m
0
2 − m − m2 1 − m


m
1

 1 1

 0 1
−1
0
 −→


1


0 0
1
m
+
2


1
 1 1
0



m + 2 

1



 0 1
0


m
+
2


1


0 0
1
m+2
1
1
1
,
,
).
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (

m+2 m+2 m+2




 −→


Vậy:
m=-2: Hệ vô nghiệm.
m=1: Hệ có vô số nghiệm dạng tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R.
m

1∧m

1
1
1
−2: Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( m+2
, m+2
, m+2
).
16


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan

m 1 1
Ta có D = |A| = 1 m 1 = m3 − 3m + 2 = (m − 1)2 (m + 2)
1 1 m
|A| = 0 ⇔ m = −2 ∨ m = 1




1 1 
 −2 1
 1 1 −2 1 




Nếu m = −2 : A =  1 −2 1 1  −→  0 −3 3 0  ⇒ Hệ




1
1 −2 1
0 0
0 3
vô nghiệm.


 1 1 1 1 



Nếu m = 1 : A =  1 1 1 1  −→ 1 1 1 1 ⇒ Hệ tương


1 1 1 1
đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z
suy ra hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R.

17


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

1 ∧ m −2 :
1 1 1
D1 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2
1 1 m
Tương tự ta tính được
m 1 1
D2 = 1 1 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 ,
1 1 m
m 1 1
D3 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2
1 1 1
1
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = m+2
.
Nếu m

18


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa
Hpttt có ma trận hệ số tự do bằng không được gọi là hpttt thuần nhất.


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0


 a x + a x + ··· + a x = 0


22 2
2n n
 21 1

..



.


 a x + a x + ··· + a x = 0
m1 1
m2 2
mn n

19


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hpttt thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0). Do ta
luôn có rankA = rank(A) nên theo Croneker-Capelli
Nếu rankA=n thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường.
Nếu rankA < n thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm.
Trong trường hợp hpttt thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn
Nếu |A|

0 thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường.

Nếu |A| = 0 thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm.
Lưu ý
Khi giải hpttt thuần nhất bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan chỉ
cần biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số ẩn A (do B=0).


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Ví dụ:
Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường


mx − 3y + z = 0




2x + y + z = 0



 3x + 2y − 2z = 0
m −3 1
2
1
1 =0
3
2 −2
⇔ − 2m − 9 + 4 − 3 − 12 − 2m = 0 ⇔ − 4m − 20 = 0 ⇔ m = −5
Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔

21


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Ví dụ:
Biện
luận theo m số nghiệm của hệ sau


x − 2y − z = 0





−x + y − z = 0



3x − 5y − z = 0



 2x − 3y + mz = 0



−1
 1 −2 −1 
 1 −2
 0 −1
 −1 1 −1 
−2

 −→ 
Ta có A = 

 0 1
2
 3 −5 −1 

2 −3 m
0 1 m+2





−1 
 1 −2
 1 −2 −1 
 0 1


2
2 

 −→  0 1




0 1 m+2
0 0
m
Vậy:





 −→



Nếu m = 0: rank(A)=2 < 3 ⇒ Hệ có vô số nghiệm.

Nếu m

0: rank(A)=3 ⇒ Hệ chỉ có nghiệm tầm thường.


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Ví dụ:
Giải
hpttt thuần nhất sau


x
−y+z−t=0



x + 2z − t = 0



 x + y + 3z − t = 0




 1 −1 1 −1 
 1 −1 1 −1 
 0 1 1 0 
 1 0 2 −1 

Ta có A = 
 −→
 −→ 




0 2 2 0
1 1 3 −1
1 −1 1 −1
1 0 2 −1
−→
0 1 1 0
0 1 1 0
x = −2z + t
x + 2z − t = 0
Hpttt ⇔
y = −z
y+z=0
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−2a + b, −a, a, b), a, b ∈ R

23