Bài tập xử lý tín hiệu số, chương 1 1

Xử lý số tín hiệu
Chương 1: Lấy mẫu và khôi phục
tín hiệu


Nội dung
1.
2.
3.

4.
5.
6.
7.
8.

Giới thiệu
Các khái niệm cơ bản về tín hiệu tương tự
Quá trình biến đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu
số (Analog to Digital conversion)
Lấy mẫu tín hiệu sine
Phổ của tín hiệu lấy mẫu
Định lý lấy mẫu
Khôi phục tín hiệu tương tự
Các thành phần cơ bản của hệ thống DSP


1. Giới thiệu




Xử lý số tín hiệu = Xử lý tín hiệu bằng phương
pháp số.
Quá trình xử lý số của 1 tín hiệu tương tự

Tín hiệu tương tự

Tín hiệu số (Digital Signal)

Analog Signal

Bộ biến đổi
A/D
Lấy mẫu, lượng tử
& mã hóa

Digital
Signal
Processor

Bộ biến đổi
D/A
Tín hiệu tương tự
Analog Signal


2. Các khái niệm cơ bản về tín
hiệu tương tự


Biến đổi Fourier của tín hiệu tương tự x(t)

X  



 x(t )e

 jt

dt



X() gọi là phổ tần số của tín hiệu x(t)
  là tần số góc (rad/s)
  = 2f với f (Hz) là tần số vật lý
Biến đổi Fourier ngược




x t  



jt


X


e
d





2. Các khái niệm cơ bản về tín
hiệu tương tự


Biến đổi Laplace của tín hiệu x(t)

Xs  



 x(t )e

 st

dt





Tổng quát X(), X(s) là các số phức

X    X   e




j . arg( X   )

Với X  là biên độ & arg(X()) là pha của X()
Đồ thị của X  theo  gọi là phổ biên độ
Đồ thị của arg(X()) theo  gọi là phổ pha


2. Các khái niệm cơ bản về tín
hiệu tương tự


Đáp ứng của hệ thống tuyến tính


Xét trong miền thời gian
x(t)
Input




Hệ thống tuyến tính
h(t)

y(t)

Output

Đáp ứng xung h(t) đặc trưng cho hệ thống
y(t) là tích chập của h(t) và x(t)


y (t )  h(t ) * x(t )   h(t   ) x( )d



2. Các khái niệm cơ bản về tín
hiệu tương tự


Đáp ứng của hệ thống tuyến tính


Xét trong miền tần số
X()
Input



Hệ thống tuyến tính
H()

H() là biến đổi Fourier của h(t), gọi là đáp ứng tần số của hệ thống


H     h(t )e





Y()
Output

 jt

dt

Y() là tích của H() và X(): Y() = H()X()


2. Các khái niệm cơ bản về tín
hiệu tương tự


Đáp ứng của hệ thống tuyến tính


Tín hiệu vào là tín hiệu hình sine (đơn tần)
Hệ thống tuyến tính
H()

x(t)
Input



y(t)
Output

j 0 t

Với x(t )  e
(biểu diễn dạng số phức)
Khi đó: (Chứng minh?)

y (t )  H ( 0 )e

j 0 t

 H ( 0 ) e

j 0t  j arg( H (  0 ))


2. Các khái niệm cơ bản về tín
hiệu tương tự


Đáp ứng của hệ thống tuyến tính


Tín hiệu gồm nhiều tín hiệu sine



x (t )  A1e j1t  A2 e j 2t

Sử dụng tính chất tuyến tính:

X()
Y()

y (t )  A1 H (1 )e j1t  A2 H  2 e j 2t
A1

Các tần số
không thay đổi

A2
A2 H  2 

A1 H 1 

H()


1

2


3. Quá trình biến đổi t/h tương
tự sang t/h số




Lấy mẫu
Lượng tử
Mã hóa


4. Lấy mẫu các tín hiệu sine
1

1

0.8

fs = 8f

0.5

fs = 4f

0.6
0.4
0.2

0

0
-0 . 2
-0 . 4

-0.5

-0 . 6
-0 . 8

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2
-3

x 10

1

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2
x 10

1

-3

0.8
0.6

0.5

0.4
0.2

0

0
-0 . 2
-0 . 4

-0.5

-0 . 6
-0 . 8

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2
-3

x 10

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8
x 10

-3


4. Lấy mẫu các tín hiệu sine
1

•Số mẫu lấy được trong 1
chu kỳ tín hiệu

fs = 2f

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
-0 . 8

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 .4

1 .6

1 .8

2
x 10

-3

•Nhận xét: fs ≥ 2f (lấy tối
thiểu 2 mẫu/ chu kỳ

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
-0 . 8
-1

fs
T

Ts
f

0

0.5

1

1 .5
x 10

-3

5. Phổ của các tín hiệu sau khi
lấy mẫu
xˆ ( t )

x( nT ) ( t  nT )

x ( nT ) p( t  nT )

xflat (t)



0

T

2T ….

nT

t

0

T

2T

Lấy mẫu lý tưởng và thực tế.

….

nT

t


5. Phổ của các tín hiệu sau khi
lấy mẫu
• Biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT)
Phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu:

Xˆ ( f ) 



 j 2ft
ˆ
(
)
x
t
e
dt








 j 2fnT


x
nT
e


n  

Đây là công thức biến đổi DTFT


5. Phổ của các tín hiệu sau khi
lấy mẫu
• Biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT)
Nhận xét:
-Phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu tuần hoàn với chu kỳ fs:

Xˆ ( f  f s )  Xˆ ( f )

-Công thức trên là khai triển Fourier của hàm tuần hoàn Xˆ ( f

)

-Biến đổi ngược

1

X ( nT ) 
f



fs / 2

 fs / 2

Xˆ ( f )e

2jfTn



df  



eïn d
ˆ
X ( )e
2

-Có thể dùng biến đổi Fourier rời rạc để tính phổ của tín hiệu tương tự


5. Phổ của các tín hiệu sau khi
lấy mẫu
• Sự lặp phổ

xˆ (t )  x(t ).s (t )
với



1  j 2f s mt
s (t )    (t  nT )   e
T m  
n  

Suy ra:

1
Xˆ ( f )   X ( f  mf s )
T m  


5. Phổ của các tín hiệu sau khi
lấy mẫu
Continuous spectrum

(a)

(a) Band-limited signal:
frequencies in [-B, B] (fMAX = B).

-B

0

(b)

B

f

Discrete spectrum
No aliasing

(b) Time sampling

frequency

repetition.
fS > 2 B
-B

0

B fS/2

f

Discrete spectrum
Aliasing & corruption

(c)

0

fS/2

no aliasing.

(c) fS
f

2B

aliasing !

Aliasing: signal ambiguity
in frequency domain


6. Định lý lấy mẫu
Để biểu diễn chính xác tín hiệu x(t) bằng các
mẫu x(nT)
- Tín hiệu x(t) có băng thông giới hạn
- Tần số lấy mẫu fs ≥ 2fmax
Các đại lượng:
+ 2fmax: tốc độ Nyquist
+ fs/2 : tần số Nyquist hay tần số gấp (folding
frequency)
+ [-fs/2;fs/2]: Khoảng tần số Nyquist


7. Bộ tiền lọc chống chồng lấn
phổ (Anti-Aliasing Prefilter)

x(t)
Analog
siganal

Analog lowpass
filter

Bandlimited
signal

x(nT)

Sampler and
quantizer

x(t)

Digital
siganal

Prefiltered spectrum

Input spectrum
prefilter
f

0

-fs/2

fs/2
Replicated
spectrum

-fs

0

To DSP

fs

f

f


7. Bộ tiền lọc chống chồng lấn
phổ (Anti-Aliasing Prefilter)
Signal of interest
Out of band
noise

Out of band
noise

-B

0

B

-B

0

B fS/2

f

f

Antialiasing
filter

Passband
frequency

-B

0

B

f


7. Bộ tiền lọc chống chồng lấn
phổ (Anti-Aliasing Prefilter)
|H(f)|

bộ lọc lý tưởng

vùng
chuyển tiếp
Astop

-fstop
băng chắn

fstop = fs - fpass

fs/2
-fpass

0
băng thông

fpass

fs/2

fstop

f

băng chắn


7. Bộ tiền lọc chống chồng lấn

phổ (Anti-Aliasing Prefilter)
Suy hao của bộ lọc:

H( f )
AX ( f )  20 log10
H ( f0 )

(dB)

Cạnh xuống của đáp ứng biên độ thường có dạng 1/fN
với f lớn
A(f) = α10log10(f) với f lớn. α10 = 20N (dB/decade)
A(f) = α2log2(f) với f lớn.

α2 = 6N(dB/decade)


8. Khụi phc tớn hiu tng t
1. B khụi phc lý tng
TY ( f )

boọ khoõi phuùc lyự tửụỷng

Y(f+2fs)

-2fs

Y(f+fs)

-fs

Y(f)

-fmax 0 fmax

Y(f-fs)

fs

Y(f-2fs)

2fs

f


8. Khơi phục tín hiệu tương tự
1. Bộ khơi phục lý tưởng
h(t)
bộ khôi phục
lý tưởng

-3T

-2T

bộ khôi phục
bậc thang

-T

0

T

2T

3T

t


8. Khơi phục tín hiệu tương tự
2. Bộ khơi phục bậc thang
(t)

(t)

t

Bộ khôi phục
bậc thang
A/D

ya(t)

ya(t)

tín hiệu lấy mẫu

tín hiệu khôi phục

|H(f)|

bộ khôi phục
lý tưởng

-2fs

-fs

T
4 dB

-fs/2

0

fs/2

fs

2fs

f