Hình động học rô bốt

Website: Email : Tel : 0918.775.368
lời nói đầu
Sự ra đời của rô bốt song song đánh dấu một bớc phát triển mạnh mẽ của nền công
nghiệp rô bốt. Các nớc phát triển đã thấy đợc những lợi ích vợt trội mà rô bốt song
song mang lại và nhanh chóng tiến hành nghiên cứu phát triển ngày càng mạnh mẽ và
đa vào ứng dụng rộng rãi trong đời sống.
Việc thiết kế và chế tạo các rô bốt song song với chất lợng kỹ thuật cũng nh yêu cầu
thơng mại cao ở các nớc phát triển đợc thực hiện theo quy trình đòi hỏi vốn đầu t lớn
và tốn nhiều công sức. Công đoạn khiến nhiều nhà sản xuất đổ nhiều công sức và chi
phí nhất là thiết kế và chế tạo thử nghiệm trên nhiều mô hình để đạt đợc kết quả tối u.
Giải pháp mà một số nhà chế tạo đa ra để khắc phục tình trạng này là áp dụng thành
công của quá trình thiết kế và chế tạo với sự trợ giúp của các phần mềm máy tính nh :
Phần mềm hỗ trợ thiết kế CAD (Computer Aided Design) và phần mềm hỗ trợ chế tạo
sản xuất CAM (Computer Aided Manufacturing). Giải pháp này có u điểm nổi bật là
tiết kiệm đợc chi phí sản xuất và thời gian thử nghiêm trên các mô hình. Đây cũng là
giải pháp tốt nhất để áp dụng vào nền công nghiệp Việt Nam tiếp cận với một kiểu mô
hình Rô bốt kỹ thuật cao: Rô bốt song song.
Xuất phát từ ý tởng tính toán và mô phỏng động học Rô bốt song song nhờ sự hỗ trợ
của máy tính em đã xây dựng một chơng trình tính toán động học ngợc và mô phỏng
Rô bốt song song sáu bậc tự do bằng phần mềm ứng dụng OpenGL có sự hỗ trợ của
CAD 3D.
Chơng trình hỗ trợ ngời dùng tiếp cận với rô bốt song song 6 bậc tự do nói riêng và rô
bốt song song nói chung từ đó nhanh chóng đa rô bốt song song vào đời sống. Ưu
điểm của việc đa OpenGL vào mô phỏng trong bài toán này là hiện nay OpenGL đang
đợc sử dụng rộng dãi trong kĩ thuật không chỉ ở Việt Nam mà còn trên toàn thế giới.
Chơng trình đợc xây dựng thành các mô đun nhờ đó ngời dùng có thể sử dụng các mô
đun ấy phát triển chơng trình theo những hớng khác nhau.
Do thiếu kinh nghiệm thực tế, chơng trình không tránh khỏi còn những hạn chế. Rất
mong đợc sự chỉ bảo tận tình của các thầy trong bộ môn Cơ Sở Thiết Kế Máy Và Rô
bốt đặc biệt là thầy giáo Phạm Minh Hải ngời trực tiếp hớng dẫn em trong đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn !

phần I
1
Website: Email : Tel : 0918.775.368
phân tích cấu trúc cơ học của rô bốt.
Chơng i
lịch sử phát triển rô bốt
Thuật ngữ "robot" lần đầu tiên xuất hiện năm 1922 trong tác phẩm " Russum's
Universal Robot " của Karel Capek. Theo tiếng Séc thì robot là ngời làm tạp dịch.
Trong tác phẩm này, nhân vật Rossum và con trai đã tạo ra những chiếc máy gần giống
ngời để hầu hạ con ngời. Ước mơ viễn tởng đó của Karel Capek đã dần trở thành hiện
thực. Nền công nghiệp Robot đã ra đời và không ngừng phát triển. Sự phát triển của
Robot có thể tạm chia thành các thời kì sau:
I. Thời kì đầu tiên (1947-1961):
Năm 1947, Raymond Goetz đa ra ý tởng sản xuất thế hệ đầu tiên robot chép hình.
Đến năm 1948, thế hệ M1 ra đời và không ngừng đợc cải thiện để hoàn chỉnh hơn. Đến
năm 1954, thế hệ M4 ra đời dựa trên cơ sở song song cải tiến về mặt cơ học và phơng
thức truyền động giữa phần điều khiển và tay máy.
Năm 1954, ngời Mĩ đầu t vào dự án lớn về hàng không, thúc đẩy sử dụng năng lợng
hạt nhân. Nhóm General Electric đã tạo ra những hệ thống điều khiển từ xa có hiệu quả
rất cao, với bản mẫu là Handyman (1958).
Trong giai đoạn này sự ra đời và phát triển của máy tính điện tử đã tạo tiền quan
trọng thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ của rô bốt. Những cơ sở đầu tiên của lĩnh vực
điều khiển từ xa cũng bắt đầu xuất hiện trong giai đoạn này.
II. Thời kì phát triển của Robot(1962-1975):
Năm 1961, sản phẩm robot công nghiệp đầu tiên đợc xuất hiện có tên Vowtan của
công ty AMF-Mỹ. Cùng trong năm này, sản phẩm mang tên Unimate lần đầu tiên đợc
đa vào sử dụng trong nhà máy General Motors. Trong năm tiếp theo, ngời máy
Daimber Benz xuất hiện ở Đức.
Trong những năm tiếp theo, các nớc khác cũng bắt đầu sản xuất và ứng dụng robot
trong sản xuất với quy mô ngày càng mở rộng: Anh từ năm 1967, Thuỵ Điển từ năm

1968, Pháp từ năm 1972, Italia từ năm 1973.
2
Website: Email : Tel : 0918.775.368
III. Thời kì từ năm 1975:
Từ năm 1975, xu hớng chính của phát triển robot là nâng cao tính năng sử dụng bởi
việc điều khiển bằng máy tính điện tử và gắn thêm các cảm biến để nhận biết và xử lí
môi trờng làm việc.
Các nhà khoa học tại truờng đại học Stanford đã chế tạo thành công robot lắp ráp các
loại máy bơm nớc đièu khiển bằng máy vi tính PDP-10 trên cơ sở xử lí thông tin từ các
cảm biến lực và hình ảnh. Cùng thời gian này, IBM chế tạo thành công robot có cảm
biến xúc giác và cảm biến lực điều khiển bằng máy vi tính dùng để lắp ráp các máy có
trên 20 cụm chi tiết.
Vào giai đoạn này, ở nhiều nớc cũng tiến hành các công trình ngiên cứu chế tạo các
loại rô bốt tổ hợp: các tay máy đợc điều khiển bằng máy vi tính có gắn các thiết bị
cảm biến và các thiết bị giao tiếp ngời - máy.
Đến những năm 80 của thế kỉ 20, sự phát triển của tin học và vi điều khiển đã thúc
đẩy nền công nghiệp robot phát triển mạnh mẽ cả về chất luợng và só lợng.
Cho đến nay, trên thế giới có rất nhiều phòng thí nghiệm, nhiều công ty sản xuất
robot với trang thiết bị hiện đại. Rô bốt ngày càng trở nên thông minh hơn và gần gũi
với con ngời hơn. Ngày nay, rô bốt không chỉ phục vụ trong công nghiệp mà ngày càng
đi sâu vào đời sống hàng ngày của con ngời.
IV. Lịch sử phát triển rô bốt song song:
Năm 1962 các nhà khoa học đã bắt tay vào nghiên cứu một loại rô bốt khác hẳn với
cấu trúc các rô bốt truyền thống đó là rô bốt chuỗi động kín đợc gọi là rô bốt song
song.
Các công trình ngiên cứu của:
- Grough, của Stewart công bố năm 1965-1966.
- Hunt công bố năm 1983.
- Kolhi công bố năm 1988.
- Behi công bố năm 1989.

- Clavel công bố năm 1994.v.v.
Và rất nhiều công trình nghiên cứu khác đã mang lại những thành công rực rỡ trong
việc ứng dụng rô bốt phục vụ con ngời.
Hexapod là một đại diện điển hình của rô bốt song song.
3
Website: Email : Tel : 0918.775.368
chơng II
một số khái niệm cơ bản về hệ nhiều vật
I. Khâu :
Máy gồm nhiều bộ phận chuyển động tơng đối với nhau, mỗi bộ phận có chuyển
đông riêng biệt gọi là khâu. Khâu có thể là một vật rắn không biến dạng hoặc có biến
dạng. Trừ những trờng hợp cụ thể thì khâu thờng đợc xem là vật rắn không biến dạng.
Khâu có thể là một chi tiết máy hay một số chi tiết máy ghép cứng lại với nhau.
II. Khớp động học :
Khớp là chỗ nối động giữa hai khâu. Tuỳ theo cấu trúc mỗi khớp hạn chế một số
chuyển động giữa hai khâu. Bề mặt tiếp xúc của mỗi khâu tại mỗi khớp gọi là thành
phần khớp. Hai thành phần của khớp tạo thành một khớp động.
Có nhiều cách để phân loại khớp động học, dựa trên tính chất tiếp xúc của các loại
khớp ta chia khớp động học làm hai loại: Khớp thấp và khớp cao.
1./ Khớp thấp :
Các khớp động học tiếp xúc theo bề mặt gọi là khớp thấp. Các loại khớp thấp cơ bản :
- Khớp quay (Revolute Joint - R): Là khớp để lại chuyển động quay của khâu
này với khâu khác quanh một trục quay.Khớp quay hạn chế năm khả năng chuyển
động tơng đối giữa hai thành phần khớp, khớp quay còn đợc gọi là khớp bản lề.
- Khớp trợt (Prismatic Joint - P): Là khớp cho phép hai khâu trợt trên nhau
theo một trục. Do đó khớp trợt cũng hạn chế năm khả năng chuyển động tơng đối giữa
hai khâu.
- Khớp trụ (Cylindrical Joint - C): Là khớp cho phép hai chuyển động độc lập
gồm một chuyển động tịch tiến và một chuyển động quay. Do đó khớp trụ hạn chế bốn
chuyển động tơng đối giữa hai khâu.

- Khớp ren (Helical Joint - H): Là khớp cho phép chuyển động quay quanh
trục đồng thời tịch tiến theo trục quay. Tuy nhiên chuyển động tịch tiến phụ thuộc vào
bớc của ren vít. Do đó khớp ren hạn chế năm khả năng chuyển động.
- Khớp cầu (Spherical Joint - S): Là khớp cho phép thực hiện chuyển động
quay giữa hai khâu quanh tâm cầu theo tất cả các hớng, khớp cầu không có chuyển
động tịch tiến nào. Vậy khớp cầu hạn chế ba chuyển động tơng đối.
4
Website: Email : Tel : 0918.775.368
- Khớp phẳng (Plane Joint - E): Là khớp cho phép thực hiện hai khả năng
chuyển động tịch tiến theo hai trục trong mặt tiếp xúc và một chuyển động quay quanh
trục vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc.Khớp phẳng hạn chế ba chuyển động.
Khớp cầu Khớp quay.

Khớp phẳng Khớp trụ
2./ Khớp cao :
Các khớp động học tiếp xúc theo đờng điểm đợc gọi là khớp cao. Các loại khớp cao
cơ bản nh :
5
Website: Email : Tel : 0918.775.368
+) Khớp bánh răng (spur gear).
+) Khớp bánh răng thanh răng (jack and pinion).
+) Khớp cam (cam pair ). ..
III. Cơ cấu :
Khớp bánh răng
Cơ cấu là tập hợp các vật rắn lập thành cơ hệ nhằm tạo ra một chuyển động xác
định. Cơ cấu chỉ gồm các vật rắn chuyển động song phẳng với một mặt phẳng xác định
gọi là cơ cấu phẳng
Cơ cấu có các vật rắn chuyển động trong không gian gọi là cơ cấu không gian
III. Chuỗi động học của cơ cấu :
Các khâu trong cơ hệ nối với nhau bởi các khớp tạo thành một chuỗi động học. Một

chuỗi động học có thể là chuỗi kín hoặc chuỗi hở.
Chuỗi động hở là chuỗi một khâu chỉ đợc nối với một khâu khác.
Chuỗi động học kín là chuỗi mà trong đó mỗi khâu ít nhất đợc nối với hai
khâu khác.
Thông thờng trong giải các bài toán động học thuận và bài toán động học ng-
ợc đối với các cơ cấu có cấu trúc chuỗi động hở việc giải bài toán thuận là dễ
dàng hơn việc giải bài toán ngợc và ngợc lại đối với các cơ cấu dạng chuỗi
động kín giải bài toán động học ngợc lại dễ hơn bài toán động học thuận.
Với cùng kích thớc chuỗi động kín có thể chịu tải trọng cao hơn chuỗi động
hở do tải trọng không phải dồn hết vào một khâu đầu tiên. Vì vậy tuỳ từng tr-
ờng hợp công việc cụ thể ngời ta quyết định dùng cấu trúc chuỗi động kín hay
hở để thiết kế cơ cấu, chi tiết.
6
Website: Email : Tel : 0918.775.368


Ch¬ng 3
Giíi thiÖu chung vÒ r« bèt
7
Chuçi ®éng hë
Chuçi ®éng kÝn
Website: Email : Tel : 0918.775.368
I. Hệ thống sản xuất FMS:
FMS viết tắt của thuật ngữ:Flexible Manufactoring System tạm dịch là hệ thống
sản xuất linh hoạt.Từ những năm 60 do sự xuất hiện của vi tính rô bốt đã có những
thành tựu mới. Trong thời đại ngày nay, kinh tế thị trờng thúc đẩy cạnh tranh do đó các
nhà sản xuất phải liên tục cải thiện chất lợng sản phẩm, cũng nh mẫu mã các sản phẩm.
Nếu nh thay đổi cả dây truyền sản xuất là vô cùng tốn kém và không khả thi. Do đó
một kiểu hệ thống sản xuất mới ra đời. Đó chính là phần mềm hoá quy trình sản xuất.
Do đó khi cải tiến hay thayđổi mẫu mã, chất lợng sản phẩm, các nhà sản xuất chỉ việc

thay đổi phần mềm một cách linh hoạt. Đó chính là hệ thống sản xuât FMS.
Phát triển nền công nghiệp rô bốt chính là giải pháp mà các nớc phát triển chọn lựa
và đã đạt đợc những thành công rực rỡ. Ngời ta chia rô bốt ra hai nhóm chính: rô bốt
chuỗi hở và rô bốt song song.
II. Rô bốt song song và rô bốt chuỗi hở :
1./ Rô bốt chuỗi hở :
Là rô bốt có cấu trúc động học hở, một khâu chỉ nối tối đa với 1 khâu khác. Các rô
bốt chuỗi hở thờng ở dạng tay máy. Rô bốt chuỗi hở đợc nghiên cứu sớm và nhanh
chóng đa vào ứng dụng. Do tải trọng tác động lớn lên khâu cuối cùng nên muốn rô bốt
chuỗi hở làm việc trong điều kiện tải trọng lớn thì đòi hỏi cấu trúc rô bốt cũng phải lớn
theo. Tuy nhiên do cấu trúc dạng chuỗi hở, rô bốt loại này có làm việc trong những
ngóc ngách, đòi hỏi cần xử lí một cách tinh tế. Một số ứng dụng của rô bốt chuỗi hở :
Trong gia công cơ khí: Thờng ứng dụng trong các máy hàn tự động, máy khoan,
trong các dây chuyền lắp ráp v.v..
Trong dây truyền sản xuất: Tham gia vào một số khâu trong dây truyền sản
xuất nh: phun sơn, khâu bao bì, làm nguội v.v..
Trong vận tải thờng dùng để bốc xếp hàng hoá.
8
Website: Email : Tel : 0918.775.368

Rô bốt Hipo1
2./ Rô bốt song song:
Là rô bốt có kiểu cấu trúc động học kín. Mỗi khâu đợc nối với ít nhất 2 khâu khác.
Rô bốt song song thờng có cấu truc song song đối xứng gồm: một giá cố định một bàn
động và các chân sắp xếp một cách đối xứng. Do cấu trúc nh vậy tải trọng đợc chia nhỏ
ra san sẻ cho các chân do đó mỗi chân chịu tải trọng nhỏ hơn so với rô bốt chuỗi hở khi
làm việc với cùng tải trọng. Độ cứng vững của rô bốt song song cũng cao hơn rô bốt
chuỗi hở.
Một số hình ví dụ của rô bốt song song:
9

Rô bốt Puma560
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Việc điều khiển rô bốt song song cũng gần nh khác hoàn toàn điềukhiển rô bốt
chuỗi hở. Ta phải thống nhất điều khiển phối hợp giữa các chân để đạt đợc chuyển
động của giá động nh ý muốn. Việc điều khiển này cần đợc tính toán điều khiển song
song giữa các chân.
Việc ứng dụng rô bốt song song ngày càng rông rãi trong mọi lĩnh vực của cuộc
sống:
Trong gia công các sản phẩm cơ khí: ứng dụng làm bàn gá dao, bàn gá phôi,
ứng dụng rộng rãi trong các máy gia công CNC.
10
Hexapod
Tripod
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Trong ngành vận tải: do có độ cứng vững cao nên khi đem ứng dụng trong vận
tải rô bốt song song phát huy tính ổn định của nó. Đợc ứng dụng khi chuyên
chở, bốc dỡ, làm việc nơi các bến cảng...
Trong quân sự: Làm bệ phóng tên lửa, giá đỡ ra đa...
Trong y học: ứng dụng trong phẫu thuật, trong những ca khó đòi hỏi sự chính
xác cao, làm giá đỡ đèn chùm. Đặc biệt các nhà khoa học đã đa ra phơng án tao
loại rô bốt n bậc tự do bằng cách ghép nối tiếp các khớp cơ sinh. Bản thân các
khớp cơ sinh này là các mô đun rô bốt song song. Loại rô bốt nhiều bậc tự do
này linh hoạt nh con rắn. Ngoài ứng dụng trong y học nó còn đợc ứng dụng khi
thao tác trong các đờng hầmm trong cống ngầm v.v..
Trong nghiên cứu sinh học: Mô phỏng hoạt động của các động vật nhiều chân
đối xứng v.v..
Trong công nghiệp lắp ráp: Rô bốt song song có thể đợc bố trí ở nhiều vị trí
khác nhau, thậm trí ngay cả trên tờng, trên trần xởng, lắp ráp linh hoạt.
III. Bậc tự do của rô bốt:
1./ Tính theo công thức Gruebler :

Công thức tính :
F =

(n - j - 1) +

=
j
i
i
f
1
- f
b.

:Bậc tự do không gian mà cơ cấu hoạt động.
n :Số khâu trong cơ cấu (Kể cả khâu cố định ).
f
i
:Bậc tự do của khớp thứ i.
j :Số khớp của cơ cấu.
f
b
: Số bậc tự do thừa.
2./ Tính theo công thức phơng Tây :
Gọi h
i
là số khâu hạng i (khâu có i khớp) trong cơ cấu thì tổng số khâu trong cơ
cấu:
n =

=
r
i
i
h
1
(1)
(i= 1
ữ
r, có r hạng), nh vậy bậc tự do của tất cả các khâu còn lại so với giá cố định
W = 6(

=
r
i
i
h
1
-1) (2)
11
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Vậy số khớp trong cơ cấu: j =
2
1

=
r
i
i
ih

1
(3)
Nếu gọi k
i
, a
i
lần lợt là ràng buộc và bậc tự do tơng đối của khớp thứ i nối giữa 2
khâu
k
i
+ a
i
= 6 (4)
Tổng ràng buộc của các khâu động còn lại trong cơ cấu so với giá cố định
R=

=
j
i
i
k
1
=
)6(
1

=

j
i

i
a
=6j -

=
j
i
i
a
1
(5)

Khi đó bậc tự do của cơ cấu:
F = W-R = 6(

=
r
i
i
h
1
-
2
1
)1
1

=

r

i
i
ih
+

=
j
i
i
a
1
(6)
Có thể viết lại (6) nh sau
F =

=

r
i
i
hi
1
)2(3
+

=
j
i
i
a

1
-6 (7)
Nếu gọi
u
là số khớp có bậc tự do tơng đối là u của các khớp nối giữa 2 khâu khi
đó:

=
j
i
i
a
1
=

=
3
1u
u

u
(8)
(Vì các khớp trong không gian có bậc tự do tơng đối lớn nhất là 3) thay (8) vào (7)
ta có
F=

=

r
i

i
hi
1
)2(3
+

3
u
u

u
6 (9)
Đây chính là công thức tính bậc tự do của cơ cấu không gian đối xứng
Tuy nhiên do cấu trúc các chân có thể có các bậc tự do thừa. Ví dụ nh ở cấu trúc
hình dới đây (mỗi chân sẽ có 1 bậc tự do thừa là bậc tự do thụ động tự quay quanh
trục của mỗi chân). Do bậc tự do thừa không có tác dụng truyền lực và mô men, vì
vậy ta phải trừ khỏi cơ cấu. Nếu gọi các bậc tự do này là
t
thì công thức (9) đợc
viết :
F=

=

r
i
i
hi
1
)2(3

+

=
3
1u
u

u
-
t
6 (10)
Thay vào rô bốt của ta :
12
Website: Email : Tel : 0918.775.368

t
= 6, h
6
= 2,
1
= 6,
3
=12 thay vào công thức (10) ta có :
F = 3(2 - 6)2 + 1.6 + 12.3 6 6 = 6 kết quả này tơng đơng các phơng pháp
khác. Nếu tính theo công thức Grubler tài liệu ta cũng có:
F=6(n-j-1) +

i
f
-

t
= 6(14-18-1) +6+36-6 = 6
13
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Chơng IV
hình động học rô bốt
I. Cấu trúc hình học :
Rô bốt Hexapod gồm một giá di động có thểchuyển động tự do trong không gian
nối với giá cố định bởi 6 chân. Các chân này có độ dài thayđổi gắn với giá động cũng
nh giá cố định bởi cáckhớp cầu. Trong thực tế đã có các mô hình rô bốt tơng tự nh các
hình a,b,c,d dùng động cơ thuỷ lực gắn với các chân thay đổi độ dài các chân, hình e
dùng các động cơ bớc gắn với các chân thay đổi độ dài các chân:
14
Hình a Hình b
Website: Email : Tel : 0918.775.368

15
H×nh c H×nh d
H×nh e
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Trong đề tài của ta ta nghiên cứu rô bốt hexapod HexaPSS sơ đồ hình vẽ nh sau:
Các khớp cầu thuộc giá động và giá cố định phân bố trên các đỉnh của các hình lục
giác đều trên các giá. Các chân nối giá động với giá cố định ở hai đầu là các khớp cầu.
Độ dài của các chân có thể thay đổi đợc. Sơ đồ các giá nh sau:
16
Yd
Xd
Y
X
Giá cố định

Giá động
Website: Email : Tel : 0918.775.368
II. Hình học robot công nghiệp
1./ Hệ toạ độ Descartes
Hệ toạ độ Descartes là một hệ toạ độ trực chuẩn thuận, đợc xác định bởi một điểm
gốc và một cơ sở trực chuẩn thuận
)e,e,e,O(
zyx
.
Một điểm đợc xác định trong hệ toạ độ Descartes bởi các toạ độ (x, y, z).
zyx
ezeyexOM
++=
222
zyxROM
++==
Trong đó,
zyx
e,e,e
là các véc tơ đơn vị của các trục.
1.1 Hệ toạ độ trụ
* Xác định vị trí của một điểm:
Cho hệ toạ độ Descartes
)e,e,e,O(
zyx
. H là hình chiểu của M lên mặt phẳng
(Oxy). Toạ độ trụ (r,

, z) của điểm M đợc xác định bởi:
R: khoảng các OH (R 0).

: góc, chiều dơng của đợc xác định bởi.
z: toạ độ Descartes thứ ba.
Các toạ độ (R,

, z) xác định điểm M.
17
Website: Email : Tel : 0918.775.368

* Một kiểu hệ quy chiếu động gắn với điểm di chuyển
Có các véc tơ chỉ phơng
)e,e,e(
zyx
gắn với điểm M đợc xác định bởi:

r
e
sao cho
r
e.ROH
=
.

rz
eee
=

Toạ độ của véc tơ xác định điểm M đợc biểu diễn qua hệ quy chiếu này:
zr
ezeROM
+=

* Công thức hệ chuyển toạ độ:
Từ hệ toạ độ trụ về hệ toạ độ Descartes và
Cho hệ toạ độ Descartes
)e,e,e,O(
zyx
. Một điểm M và H là hình chiếu của M lên
mặt phẳng Oxy.
* Một kiểu hệ quy chiếu động gắn với điều khiển trên mặt cầu:
Các véc tơ cơ sở thuận
)e,e,e(
zyx
đợc gắn với điểm M đợc xác định bởi:
18
M
x
e

e
R
e
x
H
y
z
O

Website: Email : Tel : 0918.775.368

r
erOM

=
với r 0 M

OH
OHe
e
z

=


r
eee
=

Các toạ độ của một điểm:
Các toạ độ cầu của M đợc định nghĩa:
r = OM (r > 0).
: góc
)e,e(
rz
đợc định hớng bởi

e
.
: góc
)OH,e(
x
đợc định hớng bởi

e
.
Công thức chuyển hệ toạ độ:
Từ hệ toạ độ cầu về hệ toạ độ Descartes và ngợc lại:









=
+
=
++=






=
=
=
x
y
arctan
z

yx
arctan
zyxr

cosrz
sincosry
cossinrx
22
222





(1.3)
2./ Ma trận cosin chỉ phơng:
Xét một hệ trục toạ độ cố định Oxyz có các véc tơ chỉ phơng
i
e
(i = 1, 2, 3) và một
điểm Q trên hệ trục toạ đó, ta có:
19


e
R
e

e
x

y
O
z

X
Z
Y
Q
O
v3
v2
v1
Y
O=O'
Z
X
Z'
Y'
X'
Website: Email : Tel : 0918.775.368

=
==
3
1i
ii
evOQV
(1.4)
Trong đó v
i

(i = 1, 2, 3) là các toạ độ của trong hệ cơ sở.
Giả sử có một vật rắn B đợc gắn với hệ cơ sở
i
e
(i = 1, 2, 3) tại gốc toạ độ O. Trên
vật B có gắn một hệ quy chiếu động Oxyz có hệ cơ sở
j
e
(j = 1, 2, 3). Tơng tự nh
(1.4) các véc tơ cơ sở của hệ Oxyz đợc biểu diễn trên hệ quy chiếu động Oxyz:
Với a
1j
, a
2j
, a
3j
(j = 1, 2, 3) lần lợt là các toạ độ của các
véc tơ dơn vị
j
e
(i = 1, 2, 3) trên hệ quy chiếu động
Oxyz. Viết ngắn gọn hệ dới dạng ma trận, ta có:
e = A e
Quy ớc : chữ thờng có gạch chân là véc tơ. Ví dụ: e.
chữ cái có gạch chân là ma trận. Ví dụ: A.
A là ma trận 3x3 với các phần tử
)e,ecos(a
jiij
=
với (i, j = 1, 2, 3).

Chú ý:
1) Từ phơng trình (1.5) cho ta thấy ma trận cosin chỉ phơng cho phép biến đổi từ
hệ quy chiếu động về hệ quy chiếu cố định. Do vậy, ma trận cosin chỉ phơng
còn gọi là ma trận quay.
20
(1.5)
3) 2, 1,(j
3) 2, 1,(j
3) 2, 1,(j
3
1
33
3
1
22
3
1
21











==

==
==



=
=
=
j
jj
j
jj
j
jj
eae
eae
eae
X'=X
O=O'
Z'
Z
Y'
Y
Website: Email : Tel : 0918.775.368
2)



+
=

thuận sang nghịch hoặc nghịch hệ sang thuận hệ từ Chuyển 1-
nghịch sang nghịch hoặc thuận hệ sang thuận hệ từ Chuyển 1
1A
3) Tổng bình phơng các phần tử trong một hàng hay cột bằng 1.
4) Tính trực giao: Tổng các tích tơng ứng trong hai hàng hay hai cột bằng 0.
3./ Các ma trận quan hệ toạ độ giữa các hệ trục toạ độ cơ bản
3.1 Quay quanh trục x một góc
Ta có:










=
333231
2322
1312
a a a
a a
a a
21
11
a
a
A

Ta có:
(1.8)
cos sin
sin- cos 0
0 0 1










==


0
)(],[
x
AxRot
21
12 1 2
13 1 3
21 2 1
22 2 2
23 2 3
31 3 1
32 3 2

cos( , ' ) cos90 0
cos( , ' ) cos 90 0
cos( , ' ) cos90 0
cos( , ' ) cos
cos( , ' ) cos sin
2
cos( , ) 0
cos ( , ' ) cos
a e e
a e e
a e e
a e e
a e e
a e e
a e e




= = =
= = =
= = =
= =

= = + =
ữ

= =
= =
ur uur

ur uur
uur uur
uur uur
uur uur
ur ur
ur uur
33 3 3
sin
2
cos( , ' ) 0a e e



=
ữ

= =
ur uur
X
Y'=Y
O=O'
Z'
Z
X'
X
Y
O=O'
Z
X'
Y'

Website: Email : Tel : 0918.775.368
3.2 Quay quanh trôc y mét gãc ϕ:
T¬ng tù trªn, ta cã:
(1.9)
cos 0
0 1 0
sin 0 cos










−
==
ϕϕ
ϕϕ
ϕψ
sin
)(],[
y
AyRot
3.3 Quay quanh trôc z mét gãc ϕ:
(1.10)
1 0
0 cos sin

0 sin- cos










==
0
),(],[
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
zAzRot
y
22
H
O
Y
Y'
M
X'
Z'
Z
b
a

c
r
X
Website: Email : Tel : 0918.775.368
3.4 Phép tịnh tiến:
Xét hệ trục toạ độ cố định Oxyz.
Biểu diễn véc tơ
3211
ecebea'OO
++=
với a, b, c lần lợt là toạ độ của O trên hệ toạ
độ Oxyz với các véc tơ chỉ phơng
3) 2, 1,(i e'e
ii
==
:
Tại O đạt một hệ trục Oxyz với các véc tơ chỉ phơng
3) 2, 1,(i 'e
i
=
trên đó biểu
diễn véc tơ:
3s2s1s
'e'z'e'y'e'xS
++=
Mặt khác:
332211
332211321
e)Sc(e)Sb(e)Sa(
'eS'eS'eSecebeaS'OOr

+++++=
+++++=+=
(vì hai hệ trục cùng cơ sở)
Xét r trong hệ toạ độ Oxyz:
3s2s1s
'e'z'e'y'e'xr
++=
Đồng nhất (1.10) và (1.11), ta có:





+++=+=
+++=+=
+++=+=
c'z'oy'ox'zcz
b'oz'y'ox'yby
a'oz'oy'x'xax
sssss
sssss
sssss
Viết dới dạng ma trận, ta có:
23
Website: Email : Tel : 0918.775.368

ì












=

1
1 0 0 0
c 1 0 0
b 0 1 0
a 0 0 1
s
s
s
s
s
s
z
y
x
z
y
x
'
'
'
1
Ta ký hiệu ma trận:

==
1 0 0 0
c 1 0 0
b 0 1 0
a 0 0 1
BcbaTMT ),,/(
Thì ma trận B đợc gọi là ma trận tịnh tiến. Từ đó cho phép ta định nghĩa ma trận
chuyển đổi.
Định nghĩa: Ma trận chuyển đổi là ma trân 4x4. Nó là ánh xạ của phép biến đổi
đồng nhất véc tơ vị trí từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác có dạng:
24
Website: Email : Tel : 0918.775.368






=
k

i
hA

T
Trong đó:
A: là ma trận 3x3 xác định hớng của hệ quy chiếu này so với hệ quy chiếu kia. Nó
có thể là các ma trận quay đã đợc định nghĩa ở trên.
h: là véc tơ dẫn xác định gốc của hệ quy chiếu mới so với hệ quy chiếu cũ.
i: là véc tơ [0 0 0] không xác định.
k = 1.
Khi đó ma trận tịnh tiến theo các trục Ox, Oy, Oz lần lợt là:












=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a 0 0 1
),( aTMT

=
1 0 0 0
0 1 0 0
b 0 1 0
0 0 0 1
),( bTMT
25