Bài giảng phương pháp tính chương 4 TS nguyễn quốc lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------

PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CHƯƠNG 4
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN
•

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2006)


NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN 2 ĐIỂM TIẾN – LÙI, 3
ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM
2 - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO
B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
1- HỆ SỐ NEWTON-COTES
2- CÔNG THỨC HÌNH THANG & SIMPSON
3- GIẢM SAI SỐ


MINH HOẠ Ý TƯỞNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm y = f(x), hoặc xác định qua bảng giá trị, hoặc biểu thức
phức tạp (không dễ tìm f’ hay ∫) → Thay bằng bảng
Moác xk

0.3

0.4

0.6

Giaù Trò yk = f(xk)

0.355

0.36

0.4
0.6

Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’ tại mốc x1: f’(0.4)

b/

∫ f ( x ) dx

0.3

Xây dựng đa thức nội suy L(x) từ bảng {( xk, f(xk) )}, k = 0 … 2
 L( x ) = ax 2 + bx + c

 L( 0.3) = 0.355, L( 0.4 ) = 0.36 


MINH HOẠ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 2 ĐIỂM

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Moác

2 điểm (x0, f(x0)) , (x0+h, f(x0+h))

x0

Giaù trò f(x0)

x0 + h
f(x0 + h)

f ( x0 + h) − f ( x0 )
M 2h
f ' ( x0 ) ≈
,∆=
, M 2 = max f ' '
[ x0 , x0 + h ]
h
2
Công thức xấp xỉ

Sai số
h

x0 – h

VD: Xấp xỉ f’(1.8) với f(x) =
lnx & h = 0.1 , 0.01 , 0.001

h
x0

x0 + h
h
0.1
0.01
0.001

Xaáp xæ

C/xaùc f’(x0)
0.5555556


TỔNG KẾT XẤP XỈ ĐẠO HÀM
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

− 3 f ( x0 ) + 4 f ( x0 + h) − f ( x0 + 2h)
M 3h 2
,∆=
3 điểm: f ' ( x0 ) ≈
2h
3
Xấp

xỉ

đạo hàm

f ( x0 + h) − f ( x0 )
M2 ⋅h
,∆=
2 điểm: f ' ( x0 ) ≈
h
2

cấp 1
f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
M 3 ⋅ h2
,∆=
Hướng tâm: f ' ( x0 ) ≈
2h
6
f ( x0 + h ) − 2 f ( x0 ) + f ( x0 − h )
M 4h2
,∆=
Xấp xỉ f’’(x0): f ' ' ( x0 ) ≈
2
h
12


CÔNG THỨC XẤP XỈ TÍCH PHÂN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n −1
h

Hình thang, n đoạn chia: I ≈  f ( x0 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( xn ) 
2


k =1
2
Sai số: ∆ = ( b − a ) M 2 h 12

Xấp

xỉ

tích phân

b−a
M 2 h3
[ f (a) + f (b)], ∆ =
Hình thang: I ≈
2
12

b

I = ∫ f ( x ) dx
a

h=

b−a
n

b−a


b + a
f
(
a
)
+
4
f
+
f
(
b
)
Simpson: I ≈



6 
2


5
Sai số: ∆ = M 4 h 90
C/t Simpson, n: chẵn

h
(
b − a) M 4h4
I ≈ [ f ( x0 ) + 4∑ f ( x2 k +1 ) + 2∑ f ( x2 k ) + f ( xn ) ], ∆ =
3

180


CÔNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN CHIA
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giảm h: Chia [a, b]→ n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b– a)/n
(n+1) điểm chia: x0 = a < x1 = a + h < x2 = a + 2h < … < xn = b

h
a

x1

xn −1 b

x2
b

Công thức hình thang:

∫
a

M 2 ( b − a) h2
Sai số:
12

n −1
h


f ( x)dx ≈  f ( x0 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( xn ) 
2

k =1

2 điểm đầu, cuối: hệ số 1; Các điểm còn
lại: Hệ số 2


CÔNG THỨC SIMPSON VỚI n ĐOẠN CHIA CÁCH ĐỀU
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Công thức Simpson với n (số chẵn) đoạn chia bằng nhau)

a
b

∫ f ( x)dx =

a

h

x1

x2

xn −1 b

h
[ f ( x0 ) + 4∑ f ( x2k +1 ) + 2∑ f ( x2k ) + f ( xn ) ]
3

M 4 ( b − a) h4
Sai số: ∆ ≤
180

Trung điểm (chỉ số lẻ): hệ số 4; 2
đầu: hệ số 1; Còn lại: Hệ số 2


VÍ DỤ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

sin x , x ≠ 0

I = ∫ f ( x)dx a/ CT hình
Tính
tích
phân
Xét f ( x) =  x
0

x = 0 thang, h = 0.2 b/ Simpson, h = 0.25
1,


TÌM SỐ ĐOẠN CHIA
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm số đoạn chia n để xấp xỉ với sai số 10-6 tích phân sau bằng
2
dx
I =∫
a/ Công thức hình thang b/ Công thức Simpson
x
+
4
0