Phép nội suy fractal

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN & TRUYỀN THƠNG

LÝ THỊ THU HÀ

PHÉP NỘI SUY FRACTAL

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Ngun - 2013


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN & TRUYỀN THƠNG

LÝ THỊ THU HÀ

PHÉP NỘI SUY FRACTAL
Chun ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Thái Ngun – 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Chúng ta đều biết rằng hình học Euclide cho phép vẽ và đo đạc các hình có
dạng là các đường thẳng và các đường cơnic. Tuy nhiên trong thực tế khơng phải
lúc nào chúng ta cũng chỉ đo đạc với các đường này. Một minh chứng là, để đo
đoạn bờ biển từ một địa điểm A đến địa điểm B nào đó, ta có thể sử dụng compa
với độ mở 1 mét và tiến hành đo sát mép nước. Đây là cách làm mà chúng ta
thường hay nghĩ tới. Tuy nhiên khi đo như vậy, ta đã bỏ qua các lồi lõm nhỏ hơn 1
mét. Thu hẹp độ mở của compa còn 100cm ta tính thêm được một số chỗ lồi lõm,
và thu được giá trị lớn hơn và chính xác hơn chút nữa. Cứ tiếp tục làm như vậy ta
tiến dần tới giới hạn thực của địa điểm A và địa điểm B. Việc làm trên đây thực
chất là ta thay đổi một đường cong thực q gồ ghề khúc khủy bằng các phép đo
liên tiếp theo độ mở giảm dần của compa. Vì chiều dài bờ biển khơng thể vơ tận
nên các phép đo này phải hội tụ. Đối với hình học Euclide thì là đúng. Chẳng hạn
đối với một đường tròn, phương pháp tổng các dây cung ngày một ngắn và hội tụ
đến chu vi hình tròn. Nhưng đó là các hình Euclide mà ta quen thuộc từ hàng ngàn
năm nay như tam giác, tứ giác....
Ta thấy được rằng, khi thu nhỏ độ mở của compa ta ln ln phát hiện
những ―eo biển‖ nhỏ hơn, do vậy giá trị độ dài thực của bờ biển tăng lên mãi đến
vơ cùng. Nói một cách sâu xa hơn, phép đo Euclide thơng thường khơng phản ánh
được các hình dáng gồ ghề, phức tạp của các hình thể tồn tại trong thực tế. Những

đường gồ ghề ấy được gọi là các hình Fractal.
Ra đời muộn trong các phân mơn của hình học, Fractal - hình học phân dạng
là cái tên xuất hiện lần đầu vào năm 1975 bởi nhà tốn học Benoit Mandelbrot
mang hai quốc tịch Pháp - Mỹ. Thuật ngữ Fractal và những ảnh hình dựa trên "sự
tự đồng dạng" đã gây ấn tượng rõ rệt đối với nhiều người, trong đó có cả những
người khơng hề có một chút kiến thức khoa học nào. Nó làm cho họ bị sốc nhưng
thú vị. Còn đối với riêng Mandelbrot, nó làm cho ơng thích thú, vì tốn học vốn là
một khoa học nổi tiếng khơ khan và kỳ qi đã trở thành một cái gì đó rất thiết thực
và gần gũi.

1


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
Hiện nay, vẫn còn rất nhiều vấn đề về lý thuyết Fractal vẫn đang được tiếp tục
nghiên cứu. Một trong các vấn đề được quan tâm đó là hàm nội suy Fractal. Trước
đây, các bài tốn nội suy đã được đề cập. Vậy bài tốn về nội suy Fractal có gì khác
biệt với những bài tốn nội suy trước đó? Đây cũng chính là lý do em chọn làm đề tài
nghiên cứu khoa học của mình: ‖Phép nội suy Fractal‖ với mục tiêu nắm bắt những
kiến thức cơ bản về Hình học Fractal, hàm Ftactal và tìm hiểu về nội suy Fractal có gì
khác biệt với các bài tốn nội suy trước đó.
2.
- Đối tượng nghiên cứu: phép nội suy fractal.
trúc về Fractal, các phép nội suy thơng thường và đi sâu nghiên cứu về hàm nội
suy Fractal.
3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài
- Tìm hiểu tổng quan về Fractal
- Tìm hiểu các phép nội suy thơng thường

- Tìm hiểu về phép nội suy Fractal
- Lập trình tính các giá trị nội suy theo phương pháp nội suy Fractal
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu và viết tổng quan, phương pháp phân tích và thiết kế đối
tượng và phương pháp thử nghiệm
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài
- Bản thân hiểu sâu về hình học Fractal.

- Xây dựng được chương trình nội suy Fractal từ đó rút ra sự khác biệt với các bài
tốn nội suy thơng thường.

2


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ FRACTAL
1.1. Các khái niệm cơ bản về khơng gian của Fractal
Tại sao hình học thường bị ví như ―lạnh‖ và ―khơ‖ ? Một lí do nằm trong sự
thiếu khả năng của nó trong mơ tả hình đám mây, núi, bờ biển hay cây cối. Mây
khơng phải là hình cầu, núi khơng phải là hình nón, bờ biển khơng phải là đường
tròn, và vỏ cây thì khơng phải là trơn phẳng, tia sét cũng khơng đi theo một đường
thẳng.
Sự ra đời của lý thuyết hình học Fractal là kết quả của nhiều thập kỷ nỗ lực
giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là vật
lý và tốn học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học Fractal được xây dựng dựa trên
2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế kỷ 20. Các vấn đề đó bao
gồm:
+ Tính hỗn độn của các q trình phát triển có quy luật trong tự nhiên.

+ Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Euclide
cổ điển.
Năm 1979, nhà tốn học Benoit Mandelbrot áp dụng tập Mandelbrot đầy kì
ảo lên máy tính. Ơng đã khám phá ra một lãnh vực hình học mới đầy thú vị cho
phép phản ánh thế giới thực một cách tự nhiên hơn so với hình học Euclide. Tất cả
những hình ảnh mà ta thường gặp trong tự nhiên như : núi, mây, sơng, nước… nay
máy tính đã có khả năng mơ tả được bằng phương pháp Fractal. Để thấy rõ hơn sức
mạnh của Fractal trong mơ tả tự nhiên bạn có thể xem thêm bộ sưu tập ảnh Fractal
kèm theo.

Hình 1.1. Ảnh Fractal

3


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
.
Trong giai đoạn này B. Mandelbrot và các nhà tốn hoc khác như
A.Douady và J.Hubbard đã đặt nền móng và phát triển lí thuyết cho hình học
Fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu trúc
Fractal cơ sở như tập Maldenbrot và tập Julia. Ngồi ra các ngiên cứu khác cũng cố
gắng tìm kiếm mối quan hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối quan hệ giữa
Maldenbrot và Julia. Dựa trên các cơng trình của Maldenbrot (trong những năm
1976,

1979,

1982)

và Hutchinson(1981), vào các năm 1986,1988 Michael

F.Barnsley và M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa
trên cơ sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS.
Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine cho
phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh của các đối tượng trong tự nhiên.
Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực trong việc biểu diển các
đối tượng nhân tạo như một tòa nhà, một cổ máy nhưng lại hồn tồn khơng thích
hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng q
lớn các đặc tả cần có. Nếu như trong hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường
thẳng, đường tròn, hình vng,… thì lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với
các yếu tố cơ sở mới là vơ số thuật tốn để vẽ nên các Fractal của tự nhiên.
Chúng ta nghiên cứu phương pháp Fractal được tạo ra bởi ứng dụng của biến
đổi đơn giản trong các khơng gian đơn giản. Chúng ta giải thích hệ hàm lặp (IFS) là
gì? và nó có thể định nghĩa Fractal như thế nào? Hệ hàm lặp cung cấp một khung
tiện ích cho việc mơ tả, phân loại, và liên kết của Fractal. Hai thuật tốn, thuật tốn
lặp ngẫu nhiên và thuật tốn xác định, cho việc tính tốn ảnh Fractal được trình bày.
Đáng chú ý là vấn đề nghịch đảo: đưa đến một tập compact của R2 và làm cách nào
để tìm được xấp xỉ Fractal cho nó? Một phần của câu trả lời được cung cấp bởi
Định lý Collage.
1.1.1. Các khơng gian cơ bản và tính chất của chúng
Trong hình học Fractal chúng ta quan tâm đến cấu trúc của các tập con của
các khơng gian ―hình học‖ đơn giản khác nhau. Như một khơng gian được ký hiệu
là X. Nó là khơng gian mà trên đó chúng ta sẽ vẽ các Fractal; Hình học Fractal được

4


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
xây dựng trên cơ sở lý thuyết giải tích hàm, sử dụng các kiến thức về khơng gian
Metric, khơng gian Hausdorff (còn được gọi là khơng gian Fractal). Từ nay, với
chúng ta, nó chỉ là một tập con của một khơng gian. Bởi vì khơng gian đơn giản, tập
con Fractal có thể là hình học phức tạp.
a. Khơng gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Một khơng gian X là một tập hợp.Các điểm của khơng
gian là các phần tử của tập hợp.
Ví dụ.
+ X = R. Mỗi điểm x X là một số thực, hoặc một đấu chấm trên một dòng.

Hình 1.2. Một điểm X

R

+ X = C[0,1], tập hợp các hàm liên tục những hàm trong khoảng [0,1]= {x ∈ R :
0≤ x ≤1} trong R. Một hàm f ∈ X là một hàm f: [0,1]→R. f có thể biểu thị bởi đồ
thị của nó.

Hình 1.3. Một điểm f trong khơng gian các hàm liên trục trên đoạn [0, 1].
Định nghĩa 1.1.2. Một khơng gian metric (X, d) là một khơng gian X cùng
với hàm giá trị thực d: X x X

R, d là hàm lấy khoảng cách giữa cặp điểm x và y

trong X. Chúng ta u cầu d tn theo những điều kiện sau:

a. d(x, y) = d(y, x)
b. 0< d(x, y) <

x, y
x, y

X
X, x

5

y


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

c. d(x, x) = 0

/>
x X

d. d(x, y) < d(x, z) + d(z,y)

x, y, z

X

Hàm d được gọi là một metric.
Ví dụ 1.: Trong khơng gian X = R2, một điểm x

R2 là:

+ d(x,y) =

(Metric Euclid)

+ d(x,y) = |x1-y1|+|x2-y2|
Ví dụ 2. Khơng gian mã X định nghĩa:
d(x, y)=d(x1x2x3…y1y2y3…) = ∑ i

xi
1

yi

( N 1) i

(∑, d) là một khơng gian metric.
Một khơng gian metric là một tập hợp của các điểm song song với một hàm
mang theo hai yếu tố của tập hợp và đưa ra khoảng cách giữa chúng. Tập hợp có thể
là một tập hợp của các điểm hay là một tập hợp của ảnh. Một trong những khơng
gian metric của chúng ta sẽ là tập hợp

của tất cả các tập hợp con ( đóng và bị

chặn ) của khơng gian. Tập hợp này có thể tưởng tượng là tập hợp của tất cả các bức
tranh đen trắng, trong đó một tập hợp con của khơng gian được biểu diễn bởi một
bức tranh đen tại các điểm của tập hợp con và ở một nơi nào khác màu trắng.
Khơng gian

rất lớn, bao hàm, ví dụ, bức vẽ một đường kẻ của bạn, đề địa chỉ

United Nations ( cũng như nhiều bức tranh khác ).
Định nghĩa 1.1.3. Hai metric d1 và d2 của khơng gian X là tương đương nếu
tồn tại hằng số 0< c1 < c2 <

thỏa mãn:

c1d1(x, y) < d2(x, y) < c2d1(x, y),

(x,y)

X x X.

Định nghĩa 1.1.4. Hai khơng gian (X1, d1) và (X2, d2) là tương đương nếu có
một hàm h: X1

~

X2 là ánh xạ 1-1 và ánh xạ lên (nó có nghịch đảo), metric d 1
~

trên X1 định nghĩa bởi: d 1 (x, y) = d2(h(x), h(y)),

x, y

X là tương đương với d1.

Ví dụ.
+ X1 = [1, 2], X2 = [0, 1] với d1: Euclide trong X1, d2(x, y) = 2.|x - y| trong
X2. Ta có (X1, d1) và (X2, d2) là hai khơng gian metric tương đương.
+ X = (0, 1] = {x R: 0< x

1} và d1(x, y) = |x - y| và d2(x, y)= |1/x – 1/y|.

Ta có (X, d1) và (X, d2) là hai khơng gian metric khơng tương đương.

6


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
Định nghĩa 1.1.5. Một hàm f: X1

X2 từ khơng gian metric (X1, d1) tới

khơng gian metric (X2, d2) là liên tục nếu với mỗi

> 0 và x

X1, có một

>0

thỏa mãn:
d1(x, y) <

=> d2(f(x), f(y)) <

Nếu f là một ánh xạ 1-1 và ánh xạ lên, và do đó có nghịch đảo, và nếu
nghịch đảo f-1 của f là liên tục, thì chúng ta nói f là một phép biến đổi topo giữa X1

và X2. Trong trường hợp đó, chúng ta nói rằng X1 và X2 là homeomorphic.
* Metric Haudoff
Mục tiêu đầu tiên của chúng ta là định nghĩa metric Hausdorff trên khơng
gian này. Metric này sẽ cho chúng ta ―khoảng cách‖ giữa 2 bức tranh bất kì. Metric
Hausdorff chính thức được định nghĩa bên dưới. Để tìm thấy khoảng cách
Hausdorff h(A,B) giữa hai tập hợp con của khơng gian, A và B, chúng ta thực hiện
thủ tục sau. Với mỗi điểm x

A, tìm điểm kết thúc y nằm trong B. Đo các khoảng

cách tối thiểu này ( bắt đầu từ A và kết thúc từ B ) và chọn cái lớn nhất. Đây là
khoảng cách Hausdorff. Hình 1.4 biểu diễn ba ví dụ của các tập hợp A và B và
khoảng cách Hausdorff (dựa trên khoảng cách Euclidean) giữa chúng, đánh dấu
bằng một dòng. Metric Hausdorff khơng nhạy để thỏa mãn, nó khơng thể lựa chọn
khoảng cách giữa hai bức tranh của người là nhỏ hơn khoảng cách giữa một bức
tranh người và một bức tranh cây dương xỉ.

Hình 1.4: Các tập hợp A và B và khoảng cách Hausdorff giữa chúng, biểu
thị bằng một đường kẻ.
Trong các ví dụ trên, khoảng cách tối thiểu lớn nhất được đo từ B đến A;
trong hai cái khác, nó được đo từ A đến B.
b. Chuỗi Cauchy, điểm giới hạn, tập đóng, tập hồn hảo và khơng gian metric
đầy đủ.

7


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Hình học Fractal có liên quan tới mơ tả, phân loại, phân tích và quan sát của
tập con của khơng gian metric (X, d). Các khơng gian metric thường là các hình
học đơn giản nhưng khơng phải ln là như vậy; các tập con thường là những hình
học phức tạp. Có một số các tính chất chung của các tập con của khơng gian metric,
nó xảy ra lặp đi lặp lại. Nó là cơ sở, là một phần của từ vựng để mơ tả các tập
Fractal và các tập con khác của khơng gian metric. Một số tính chất đóng, mở, tính
chất topo. Để nói rằng, chúng bất biến dưới phép biến đổi topo.
Định nghĩa 1.1.6. Một chuỗi {xn} n 1 các điểm trong khơng gian metric (X, d)
được gọi là chuỗi Cauchy nếu với một số bất kỳ

> 0, có một số ngun N > 0 sao

cho:
với

d(xn, xm) <

n, m > N.

Định nghĩa 1.1.7. Một chuỗi {xn} n 1 các điểm trong khơng gian metric (X,
d) được gọi là hội tụ đến điểm x X nếu với một số bất kỳ

> 0, tồn tại một số

ngun N > 0 thỏa mãn:
d(xn, x) <

với

n > N.

Trong trường hợp này điểm x X, điểm mà chuỗi hội tụ đến, được gọi là giới hạn
của chuỗi và chúng ta sử dụng ký hiệu:
x= limn

xn.

Giới hạn x của một chuỗi hội tụ {xn} n 1 có tính chất này:
cho B(x,

) = {y X: d(x, y)

ký hiệu một hình cầu đóng bán kính

> 0 tâm x.

Định lý 1.1.1. Nếu một chuỗi các điểm {xn} n
d) hội tụ đến điểm x

}

1

trong khơng gian metric (X,

X, thì {xn} n 1 là một chuỗi Cauchy.

Định nghĩa 1.1.8. Một khơng gian metric (X, d) là đầy đủ nếu

mọi chuỗi

Cauchy {xn} n 1 trong X đều có một giới hạn là x X.
Một cách khác có thể nói rằng, trong khơng gian tồn tại một điểm x mà các
chuỗi Cauchy đang hội tụ tới. Đương nhiên điểm x này chính là giới hạn của chuỗi.
Nếu {xn} n 1 là một chuỗi Cauchy các điểm trong X và nếu X là đầy đủ, thì có một

8


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

điểm x X như vậy, với mỗi

/>
> 0, B(x,

) chứa xn với những số ngun vơ hạn

n. Đơi khi, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu {xn} thay cho {xn} n 1 và lim thay cho
limn

.

Ví dụ:
+ (R2, metric Euclide) là một khơng gian metric đầy đủ.
+ (C[0, 1], D) là một khơng gian metric đầy đủ. Với D được định nghĩa bởi:
D(f, g) = max{|f(s) - g(s)|: s [0, 1]}.
Định nghĩa 1.1.9. Cho S X là một tập con của một khơng gian metric (X,
d). Một điểm x
{xn} n 1 các điểm xn

X được gọi là một điểm giới hạn của S nếu có một chuỗi
S \{x} sao cho limn

xn=x.

Ví dụ:
+ 0 là một giới hạn của chuỗi {xn} n 1 trong khơng gian metric ([0, 1], Euclide).
Định nghĩa 1.1.10. Cho S X là một tập con của một khơng gian metric (X,
d). Tập bao đóng của S ký hiệu là S , được định nghĩa là S = S

{Các điểm giới

hạn của S}. S là tập đóng nếu nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó, nghĩa là S =
S. S là tập hồn hảo nếu nó bằng tập của tất cả các điểm giới hạn của nó.
Ví dụ.
+ Tập con S = {x =

1
, n = 1, 2, 3, ...} là tập đóng trong khơng gian metric
n

((0, 1], Euclide).
+ S = [0, 1] là tập con hồn hảo trong khơng gian metric (R, Euclide).
c. Tập compact, tập bị chặn, tập mở và biên.
Chúng ta tiếp tục mơ tả các tính chất cơ bản được sử dụng để mơ tả các tập
hợp và tập con của các khơng gian metric. Vậy Fractals ở đâu? Chúng là gì? Chúng
ở khắp mọi nơi và bạn sẽ có thể nhìn thấy chúng sớm thơi. Khơng hẳn là những
hình ảnh, nó là những hình chiếu của Fractals.
Định nghĩa 1.1.11. Cho S X là một tập con của một khơng gian metric (X,

d). S là tập compact nếu mọi chuỗi vơ hạn {xn} n 1 trong S chứa một chuỗi con có
giới hạn trong S.

9


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
Định nghĩa 1.1.12. Cho S X là một tập con của khơng gian metric (X,d). S
bị chặn nếu tồn tại một điểm a

X và một số R > 0 sao cho:

d(a, x) < R

x

X.

Định nghĩa 1.1.13. Lấy S X là một tập con của khơng gian metric (X, d).
S bị chặn hồn tồn nếu với mỗi

> 0, tồn tại một tập hữu hạn các điểm

{y1, y2, ., yn} S sao cho với mỗi điểm x X ta có d(xi, yi) <
yn}. Tập các điểm {y1, y2, ..., yn} được gọi là một

với yi {y1, y2, ...,

- net.

Định lý 1.1.2. Cho (X, d) là một khơng gian metric đầy đủ. Cho S X. S là
một tập compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn hồn tồn.
Định nghĩa 1.1.14. Cho S

X là một tập con của một khơng gian metric (X,

d).S là tập mở nếu với mỗi x S tồn tại

>0 sao cho B(x,

) = {y X: d(x, y)

} S.
Ví dụ.
+ Nếu (X, d) là một khơng gian metric thì X là tập mở.
+ Nếu (X, d) là một khơng gian metric, thì ―S X là tập mở‖ tương đương
―X\S là tập đóng‖.
Định nghĩa 1.1.15. Cho S X là một tập con của khơng gian metric(X, d).
Một điểm x X là điểm biên của S nếu với mọi số

> 0, B(x,

) chứa một điểm

trong X\S và một điểm trong S. Tập hợp tất cả những điểm biên của S được gọi là
biên của S và ký hiệu là

S.

Định nghĩa 1.1.16. Cho S X là một tập con của khơng gian metric(X, d).
Một điểm x X được gọi là một điểm trong của S nếu có một số
B(x,

)

> 0 sao cho

S. Tập hợp các điểm trong của S được gọi là tập trong cùa S và ký hiệu

là S0.
Ví dụ.
+ Cho S là tập con của một khơng gian metric. Ta có

S S

+ Cho S là một tập con mở trong khơng gian metric. Ta có

S S=

+ Cho S là một tập con của khơng gian metric compact. Ta có
compact.

10

.
S là tập

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
1.1.2. Khơng gian của Fractal
Chúng ta xét đến khơng gian lý tưởng để nghiên cứu hình học Fractal. Để
bắt đầu, ln ở mức thấp nhất, chúng ta làm việc trong một số khơng gian metric
đầy đủ như (R2, Euclide) hoặc ( Cˆ , hình cầu), chúng ta ký hiệu bằng (X, d). Nhưng
sau đó, khi chúng ta muốn thảo luận về những hình ảnh, tranh, những tập con ―đentrắng‖ của khơng gian, khơng gian được giới thiệu là H.
Định nghĩa 1.1.17. Cho (X, d) là khơng gian metric đầy đủ. Ký hiệu H(X) là
khơng gian mà các điểm của nó là các tập con compact khác rỗng của X.
Định nghĩa 1.1.18. Cho (X, d) là một khơng gian metric đầy đủ, x

X và B

H(X). Ta định nghĩa:
d(x, B)=min{d(x, y): y B}
d(x, B) được gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập B.
Làm thế nào chúng ta biết tập hợp các số thực {d(x, y): y B} chứa một giá
trị nhỏ nhất, như định nghĩa trên? Điều này dẫn tới những tập compact và tập khác
rỗng của tập B H(X). Xét hàm f: B

R định nghĩa như sau:

f(y)=d(x, y)

y

B.

Từ định nghĩa của tập metric ta có f là hàm liên tục, hiển thị như một hàm từ khơng

gian metric (B, d) đến khơng gian (R, Euclide). Cho P = inf {f(y): y
0

B}. Vì f(y)

y B => P là hữu hạn. Chúng ta giả sử có một điểm yˆ B mà d(x, yˆ ) = P.

Chúng ta có thể tìm được một chuỗi vơ hạn các điểm {yn: n=1, 2, 3, ..}

B mà

f(yn) - P < 1/n với mỗi số ngun dương n. Sử dụng những tập compact của B,
chúng ta tìm được {yn: n=1,2,3,.} có một giới hạn yˆ

B. Sử dụng tính liên tục của

f chúng ta thu được f( yˆ ) = P. Đây là điều mà chúng ta cần chỉ ra.
Định nghĩa 1.1.19. Cho (X, d) là một khơng gian metric, A, B H(X). Định
nghĩa:
d(A, B) = max{d(x, B): x A}.
d(A, B) được gọi là khoảng cách từ tập A H(X) đến tập B H(X).
Định nghĩa 1.1.20. Cho (X, d) là một khơng gian metric đầy đủ. Khoảng
cách Hausdorff giữa hai điểm A và B trong H(X) được định nghĩa như sau:

11


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

h(A, B)=d(A, B)

d(B, A).

Ta có h là một metric trên H(X).
Tính đầy đủ của khơng gian của Fractal
Chúng ta ta coi (H(X), h) là một khơng gian của Fractals. Còn q sớm để
định nghĩa chính xác của một ―Fractal‖. Ở giai đoạn hiện nay của sự phát triền khoa
học và tốn học, quan niệm về Fractals rất hữu ích như một khái niệm rộng.
Fractals khơng được định nghĩa bởi một câu đúng đắn ngắn gọn, nhưng bằng nhiều
hình ảnh và bối cảnh giới thiệu về chúng. Coi tập con của (H(X), h) là một Fractal.
Mục tiêu chính của chúng ta là đi xây dựng khơng gian của Fractals (H(X),
h) là một khơng gian metric đầy đủ. Ngồi ra, mơ tả những chuỗi hội tụ trong H(X).
Để đạt được những mục đích này thì việc chỉ sử dụng những cơng cụ đã giới thiệu
từ trước đến giờ thì q khó khăn. Thật vậy, vào thời điểm này, chúng ta cần giới
thiệu một khái niệm khác; cụ thể là, một ý tưởng về việc mở rộng những chuỗi con
Cauchy.
Định nghĩa 1.1.21. Cho S X và
Đơi khi, S +

0. S+ = {y X: d(x, y)

được gọi là sự giãn nở của S bởi một hình tròn bán kính

với x S}.
trong lý

thuyết tập hợp hình thái học.
Bổ đề 1.1.1. Cho A và B thuộc vào H(X) với (X, d) là một khơng gian
metric. Cho

> 0. Khi đó:

h(A, B) <

A

B+

và B A +

Bổ đề 1.1.2. (Bổ đề mở rộng) Cho (X, d) là một khơng gian metric, {An:
n=1, 2, ...,

} là một chuỗi Cauchy các điểm trong (H(X), h), {nj} j 1 là một chuỗi

vơ hạn các số ngun:
0< n1 < n2 < ...
Giả sử rằng chúng ta có một chuỗi Cauchy {xn

j

An j : j=1, 2, 3, ...} trong

An: n= 1, 2, ...} sao cho ~x n j =

(X, d). Thì có một chuỗi Cauchy { ~
xn
j=1, 2, 3, ...

xn j ,

Định lý 1.1.3.(Tính đầy đủ của khơng gian của Fractals) Cho (X, d) là một
khơng gian metric đầy đủ. Thì (H(X), h) là một khơng gian metric đầy đủ. Hơn nữa,

12


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
nếu {An H(X)} n 1 là một chuỗi Cauchy, thì:
A = limn

An

H(X)

có thể được mơ tả như sau:
X: có một chuỗi Cauchy {xn

A = {x

Định lý 1.1.4. Hàm f: R

An} hội tụ đến x}.

H cho bởi f(x) = {x} là một hàm liên tục.

Định lý 1.1.5. Hàm fx: [0, 1]

H cho bởi fx(a) = [x, x+a], 0

a 1 là hàm

liên tục, qua đó cho thấy có một đường trong H từ một khoảng đến một trong các
điểm cuối của nó.
Định lý 1.1.6. Nếu A là một tập con compact của R thì hàm fA: [0, b]
cho bởi fA(a) =

H

[x, x+a] với x A là hàm liên tục.

Định lý 1.1.7. Nếu A là một tập con compact của R thì tập

[x, x+b] với

x A là một khoảng với b đủ lớn.
Định lý 1.1.8. Nếu A và B là các tập con compact của R thì có một đường
trong H liên kết chúng với nhau.
1.1.3. Những định lý mở rộng về khơng gian Metric
Định lý 1.1.9. Cho (X, d) là một khơng gian metric, {xn} là một chuỗi
Cauchy hội tụ tới x X (hoặc tương đương cho {xn} là một chuỗi và x là một điểm
sao cho limn

X là liên tục. Thì:

d ( x , xn) =0). Cho f: X
limn

f ( x n) = f(x).

Định lý 1.1.10. Cho (X1, d1) và (X2, d2) là các khơng gian metric. Cho f:
X1
với

X2 là hàm liên tục, E X1 là compact. Thì f: E
> 0, tồn tại một số

X2 là liên tục đều: nghĩa là,

> 0 sao cho:
d2(f(x), f(y)) <

bất cứ khi nào d1(x, y) <

với

x, y E.

Định lý 1.1.11. Cho (Xi,di) là các khơng gian metric với i = 1, 2, 3. Cho f: X1
x X2

X3 có tính chất sau: với mỗi e > 0 tồn tại ơ > 0 sao cho:
a. d1(x1, y1) <

=> d3(f(x1, x2), f(y1, y2) <

,

x 1 , y1

b. d2(x2, y2) <

=> d3(f(y1, x2), f(y1, y2) <

,

y1 X1,

thì f là hàm liên tục trên khơng gian metric (X = X1xX2, d), với
d((x1, x2), (y1, y2)) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)}

13

X1 ,

x 2 , y2

x2 , y2

X2

X2..


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Định lý 1.1.12. Cho (Xi, di) là các khơng gian metric, với i = 1, 2 và cho
khơng gian metric (X, d) được định nghĩa như trong Định lý 1.1.11. Nếu K1 X1 và
K2

X2 là compact thì K1 x K2

X là compact.

Định lý 1.1.13. Cho (Xi, di) là các khơng gian metric compact với i = 1, 2.
Cho f: X1

X2 là liên tục, một - một, và lên. Vậy f là một phép biến đổi topo.

1.2. Cấu trúc của Fractal
1.2.1 Các phép biến đổi trên khơng gian Metric
a. Những biến đổi trên đƣờng thẳng thực.
Hình học Fractal nghiên cứu các tập con ―phức‖ của các khơng gian hình
học ―đơn giản‖ như R2, C, R và Cˆ . Trong hình học Fractal tập trung vào các tập
con này của một khơng gian được tạo ra, hoặc có tính chất bất biến, các phép biến
đổi hình học cơ bản của khơng gian vào chính nó. Một phép biến đổi hình học cơ
bản dễ dàng để truyền đạt hoặc giải thích cho bất kỳ ai. Thơng thường, nó có thể
được quy định bởi một tập hợp nhỏ các thơng số. Ví dụ như, các phép biến đổi
affine trong R2, được miêu tả bằng cách sử dụng các ma trận 2 x 2 và 2 vector, và
các phép biến đổi hữu tỷ trên hình cầu Riemann.
Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, d) là một khơng gian metric. Một phép biến đổi
trên X là một hàm f: X
điểm x

X, nó xác định chính xác một điểm f(x) X với mỗi

X. Nếu S X thì f(S) = {f(x): x S}. f là một - một (đơn ánh) nếu x, y X

với f(x) = f(y) thì x=y. f là ánh xạ lên nếu f(X) = X. f được gọi là có nghịch đảo nếu
nó là một - một và lên: trong trường hợp này nó có thể xác định một phép biến đổi
f1 : X

X, được gọi là nghịch đảo của f, với f-1(y) = x với x

X là điểm duy nhất

thỏa mãn y = f(x).
Định nghĩa 1.2.2. Cho f: X

X là một phép biến đổi trên một khơng gian

metric. Lặp trước của f là các phép biến đổi f°n: X

X định nghĩa bởi f°°(x) = x,

fo1(x) = f(x), fo(n+1)(x) = f o f°n(x) = f(fn(x)) với n = O, 1, 2, .... Nếu f là khả nghịch
thì lặp sau của f là các phép biến đổi f°(-m)(x): X
1

X định nghĩa bởi f°(-1)(x) = f

(x), f°(-m)(x) =( f m)-1(x) với m = 1, 2, 3, ..
Các phép biến đổi affine trong R là các phép biến đổi có dạng f(x) = a.x + b,

trong đó a và b là các hằng số. Một khoảng I = [0, 1], nếu f(I) là một khoảng mới

14


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
có độ dài |a| và f thay đổi tỷ lệ bởi a. Điểm đầu mút bên trái 0 của khoảng được
dịch chuyển tới b, và f(I) nằm bên trái hoặc bên phải của b tương ứng với a dương
hoặc âm.
Định nghĩa 1.2.3. Một phép biến đổi f: R

R

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + .+ anxn,
Với các hệ số ai (i = 0, 1, 2, ..., N) là các số thực, an 0, và N là một số ngun
khơng âm, được gọi là một phép biến đổi đa thức. N được gọi là bậc của phép biến
đổi.
Định nghĩa 1.2.4. Một phép biến đổi f:
sau: f(x) =

ax b
với a, b, c, d
cx d

Rˆ được

Rˆ

định nghĩa như

R, ad bc được gọi là một phép biến đổi phân

đoạn tuyến tính hay một phép biến đổi Mobius. Nếu c 0 thì f(-d/c) =
f( ) = a/c. Nếu c = 0 thì f( ) =

và

.

b.Các phép biến đổi affine trong mặt phẳng Euclide.
Định nghĩa 1.2.5. Một phép biến đổi

: R2

R2 cho bởi:

(x1, x2) = (ax1 + bx2 + e, cx1 + dx2 + f),
ở đây a, b, c, d, e và f là các số thực, được gọi là một (2 chiều) phép biến đổi affine.
Chúng ta sẽ thường xun sử dụng các kí hiệu tương đương sau đây:
(x)=

x1
x2

=

a b

x1

c d

x2

2x2 và t là vector cột

e
f

e
+

f

= Ax+ t . ở đây A =

a b
c d

là ma trận thực

, mà chúng ta khơng phân biệt từ cặp tọa độ (e, f) R2.

Như các phép biến đổi có tính chất hình học và đại số quan trọng.
Ma trận A có thể được viết dưới dạng:

a b
c d
ở đây (r1,

1)

=

r1 sin

1

r1 sin

1

r2 sin
r2 sin

2
2

là tọa độ cực của điểm (a, c) và (r2,

điểm(b, d). Phép biến đổi tuyến tính:

15

2

+

/2) là tọa độ cực của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

x1
x2

=A

/>
x1
x2

trong R2 ánh xạ một hình bình hành bất kỳ có một đỉnh tại gốc tọa độ tới một hình
bình hành khác có một đỉnh tại gốc tọa độ như minh họa trong H ì n h 1 . 5 . Chú ý
rằng hình bình hành có thể ―lật ngược lại‖ bởi ánh xạ như trong H ì n h 1 . 6 .

Hình 1.5. Một phép biến đổi affine đưa các hình bình hành vào các hình bình hành.

Hình 1.6. Một phép biến đổi tuyến tính có thể lật ngược các hình ảnh.
Định nghĩa 1.2.6. Một phép biến đổi w: R 2

R 2 được gọi là một

p h é p b i ế n đ ổ i đ ồ n g d ạ n g nếu nó là một phép biến đổi affine có một trong
những dạng đặc biệt sau:
x1
x2
x1
x2

=
=

r cos

r sin

x1

r sin

r cos

x2

r cos

r sin

r sin

r cos

x1
x2

e

+
+

với sự dịch chuyển (e, f) R2, số thực r 0, và góc

f

e
f

:0

góc quay trong khi r được gọi là hệ số tỷ lệ hoặc thước tỷ lệ.
Phép biến đổi tuyến tính:

16

2 .

được gọi là


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

R

x1
x2

=

/>

r cos

r sin

x1

r sin

r cos

x2

là một phép quay. Phép biến đổi tuyến tính:
R1

x1
x2

=

1
0

0
1

x1
x2

là một phép đối xứng.

c. Các phép biến đổi Mobius trên hình cầu Riemanm.

( az b)
~
Định nghĩa 1.2.7. Một phép biến đổi f: C—> C định ngĩa bởi:f(z)=
, với a,
(cz d )
b, c và d

C, ad - bc 0

được gọi là một phép biến đổi Mqobius trên Cˆ . Nếu c 0 thì f(-d/c) =

.

Lập đồ thị tồn bộ mặt phẳng C, cùng với điểm vơ hạn, trên hình cầu Cˆ .
Một chuỗi các tác động được áp dụng cho hình cầu. Mỗi tác động là sơ bộ và có
tính chất lấy một hình tròn tới một hình tròn. Tác động có thể là quay quanh một
trục, và dịch chuyển (tồn bộ hình cầu được đưa lên và di chuyển tới một vị trí mới
trên hình cầu, khơng phải quay). Cuối cùng, hình cầu ánh xạ lên mặt phẳng theo
cách thơng thường. Vì ánh xạ trở lại và ra từ mặt phẳng tới hình cầu lấy những
đường thẳng và những hình tròn trong mặt phẳng tới những hình tròn trên hình cầu,
chúng ta thấy rằng một phép biến đổi Mobius dịch chuyển tập những đường thẳng
và những hình tròn trong mặt phẳng lên chính nó. Ngồi ra, chúng ta thấy rằng một
phép biến đổi Mobius là khả nghịch.
d. Hàm giải tích.
Hàm f: Cˆ

Cˆ định nghĩa bởi f(z) = 3z + 1 là một ví dụ về hàm giải tích. Nó

ánh xạ các hình tròn tới các hình tròn phóng đại với tỷ lệ 3. Một đĩa với tâm ở z 0
được đưa vào một đĩa với tâm f(z0) = 3z0 + 1. Phép biến đổi là liên tục và nó ánh xạ
các tập mở tới các tập mở.
Hàm f: Cˆ

Cˆ định nghĩa bởi f(z) = (3 + 3i)z + (1- 2i) được miêu tả

tương

tự. Những hình tròn và những chiếc đĩa bây giờ được quay 45o trong sự phóng đại
và dịch chuyển.

17


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định nghĩa 1.2.8. Cho f: Cˆ

/>
Cˆ là một hàm giải tích, f( Cˆ ) = Cˆ . Thì

n g h ị c h đ ả o t ậ p h ợ p - g i á t r ị của f là ánh xạ f1: H( Cˆ )
Cˆ : f( ) A} với

bởi: f-1(A) = {

H( Cˆ ) định nghĩa

A H(X).

Hình sau mơ tả tác động của hàm f-1 trên khơng gian của Fractals, trong trường hợp
hàm bậc 2: f(z) = z2.

Hình 1.7. .Tập giá trị nghịch đảo, f1 của hàm bậc hai f(z) = z2 ánh xạ lên tam giác
~ ~ 1
P O Q . f ánh xạ khơng gian của Fractals vào chính nó.

AOB vào BOQ

Có thể có cơng thức rõ ràng cho f -1 (z) khi f là một hàm bậc 2. Ví dụ:
f(z) = z 2 , f -1 (0) = 0, f -1 ( ) =
Ở đây,

1

và f -1 (z) = {

1

(z),

2

(z) với z Cˆ \{0, }.

(x 1 + ix 2 ) = a(x 1 , x 2 ) + ib(x 1 , x 2 ) và

ib(x 1 , x 2 ), với:
a(x1, x2)=

a(x1, x2)=-

b(x1, x2)=
Hai hàm

1

(z) và

2

x12

x 22

x1

2

x12

x 22

x1

2

x12

x 22

khi x2 0,

khi x2<0,

x1

2

(z) phân giải chính nó trên C\{0, }

18

2

(x 1 + ix 2 ) = -a(x 1 , x 2 ) -


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
Định nghĩa 1.2.9. Cho (C, d) là mặt phẳng phức với metric Euclide. Một phép biến
đổi f: C

C được gọi là giải tích nếu với mỗi zo C, tồn tại một phép biến đổi đồng

dạng có dạng:
(z) = az + b với mỗi cặp số a, b
sao cho d(f(z),

(z))/d(z, zo)

0 khi z

C,

zo. Các số a và b phụ thuộc vào zo. Nếu

tương ứng với một điểm nào đó zo = c, chúng ta có a =0, thì c được gọi là một điểm
giới hạn của phép biến đổi, và f(c) được gọi là giá trị giới hạn.
Nếu hàm giải tích f(z) là một hàm hữu tỷ, điều đó có nghĩa là nó có thể miêu tả như
một tỷ lệ của hai đa thức trong z, như:
a. f(z) = 1 + 2i + 27z2 - 9z3
b. f(z)=
c. f(z)=

1 z
1 z

1 z
1 z

z2
z2

thì các số a và b trong phép biến đổi đồng dạng

(z) trong Định nghĩa 1.2.9 được

cho bởi cơng thức: a = f (zo) và b = f(z0) – az0.
Đạo hàm f(z) của hàm hữu tỷ f(z) có thể được tính tốn bởi việc xem z như
nó là một biến thực x và áp dụng những ngun tắc phân biệt chuẩn của việc tính
tốn. Điểm giới hạn c C là nghiệm của phương trình f ’(c) = 0.
Ví dụ: Đủ gần tới điểm z0 C bất kỳ để f’(z0) 0, khối hàm (1) được miêu
tả bởi:
(z) = (54z0 - 27z02).z + (1 + 2i - 27z02 + l8z03).
Những điểm giới hạn hữu hạn liên quan đến (1) có thể tìm bằng cách giải:
54c - 27c2 = 0.
và theo đó, c = 0+ i0 và c = 2 + i0. Bằng việc thay đổi các tạo độ z’ = l/z, ngồi ra
có thể phân tích tác động gần điểm vơ cùng. Nó chỉ ra rằng c =

ln ln là điểm

giới hạn cho một hàm đa thức f(z) trên Cˆ . Khơng gian được ―gói‖ một số ngun
lần về hình ảnh của điểm giới hạn. Ví dụ, khối hàm (1) gói khơng gian 2 lần về
mỗi điểm f(0 + i0) = 1 + 2i và f(2 + i0) = 37 +2i, và nó gói nó3 lần về f( )= .

19


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
1.2.2. Ánh xạ co trên khơng gian của Fractal
a. Định lý về ánh xạ co
Định nghĩa 1.2.10. Một phép biến đổi f: X

X trên một khơng gian metric

(X, d) được gọi là co hay một ánh xạ co nếu tồn tại hằng số s: 0
d(f(x), f(y)) s.d(x, y) với

s <1 sao cho:

x, y X.

Một số s như vậy được gọi là hệ số co của f.
Định nghĩa 1.2.11. Cho S là một tập hợp các số thực. Vậy infimum của tập S
bằng —

nếu S chứa những số âm có độ lớn lớn tùy ý. Nếu khơng infimum của S

= max{x R: x s với

s S}. Infimum của S ln tồn tại vì bản chất của hệ các số

thực, và nó được ký hiệu là: inf S. Supremum của S được định nghĩa tương tự. Nó
bằng +

nếu S chứa những số lớn tùy ý; nếu khơng thì nó bằng số nhỏ nhất của tập

những số mà những số đó lớn hơn hoặc bằng tất cả các số trong S. Supremum của S
ln tồn tại và nó được ký hiệu là: supS.
Định lý 1.2.2. (Định lý ánh xạ co) Cho f: X

X là một ánh xạ co trên khơng

gian metric đầy đủ (X, d). Vậy f có chính xác một điểm cố định xf

X và hơn nữa

với điểm x X bất kỳ, chuỗi (fon(x): n = 0, 1, 2, ...} hội tụ tới xf Điều đó có nghĩa là:
limn

f o n ( x ) = x f với mỗi x X.

Hình 1.8(a):Một phép biến đổi co trên một khơng gian metric.

Hình 1.8 (b) Một ánh xạ co vẽ tất cả của một khơng gian metric compact X
hướng tới điểm cố định.

20


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
b. Ánh xạ co trên khơng gian của Fractal
Cho (X, d) là một khơng gian metric và (H(X), h(d)) ký hiệu khơng gian
tương ứng của các tập con compact khơng rỗng, với metric Hausdorff h(d).
Bổ đề 1.2.1 : Giả sử w: X

X là một ánh xạ co liên tục trên khơng gian metric (X,

d). Khi đó w liên tục.
Chứng minh: Cho s > 0. Gọi s là hệ số co của w. Khi đó:
d(w(x), w(y))

s.d(x,y) <

Khi và chỉ khi:
D(x,y) <

= /s

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.2.2:
Giả sử w: X

X là một ánh xạ liên tục trên khơng gian metric(X,d). Khi đó

w ánh xạ khơng gian H(X) lên chính nó.Chứng minh:
Giả sử S là một tập con compact khác rỗng của X. Khi đó ta có: w(S) = [w(x) : x
S] là một tập khác rỗng. Ta chứng minh w(S) compact. Xét [ yn = w(xn) ] là một dãy
vơ hạn điểm của w(S). Khi đó [xn] cũng là một dãy vơ hạn điểm trong S. Vì S
compact nên tồn tại một dãy con [xn ] hội tụ về một điểm x’

S, nhưng do tính liên

tục của w suy ra được [ yNn = f (xNn ) ] là một dãy con của [ yn ] hội tụ về y’

w(S).

Vậy w(S) compact.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3 sau đây chỉ ra cách tạo một ánh xạ co trên khơng gian metric (H(X), h) dựa
trên một ánh xạ co trên (X,d).
Bổ đề 1.2.3:Giả sử w: X

X là một ánh xạ có khơng gian metric (X,d) với hệ số

co s. Khi đó ánh xạ w: H(X)
W(B) = [w(x): x

H(X) được xác định bởi:

B], với B thuộc H(X) cũng là một ánh xạ co trên (H(X),

h(d)) với hệ số co s.

21


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chứng minh:Từ bổ đề 1 suy ra w: X

/>
X liên tục. Do đó theo bổ đề 2, ánh xạ H(X)

lên chính nó. Bây giờ xét B, C thuộc H(X). Ta có:

d( w(B), w(C)) = max [ min [ d(w(x), w(y)): y
:y

C ]: x

C]:x

B ] max [ min [ s.d(x,y)

B ] = s.d(B, C)

Một cách tương tự:d( w(C), w(B))

s.d(C, B)

Do đó:
H(w(B), w(C)) = max [d(w(B), w(C), w(C), w(B)) ]
s.max [ d(B, C), d(C, B) ]
= s.h(B, C)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 4 sau đây cung cấp một cách thức cơ bản để nối kết các ánh xạ co trên (H(X),
h) thành các ánh xạ co mới trên (H(X), h):
Bổ đề 1.2.4: Ký hiệu [wn ] là các ánh xạ co trên (H(X), h) với các hệ số co tương
ứng sn, n = 1, 2,…,N. Xác định W : H(X)
W(B) =
với B

H(X) bởi:

wn (B)

H(X). Khi đó W là ánh xạ co với hệ số co s = max sn.(1 n N

Chứng minh:
Kết quả trên được chứng minh bằng qui nạp.Với N = 2: Xét B, C

H(X).Ta có:

h(W(B) , W(C)) h(w1(B) w 2 (B) , w1(C) w 2 (C))
max { h(w1(B) , w1(C)) , h(w2 (B) , w 2 (C))}
max { s1.h(B,C) , s2 .h(B,C)}

s.h(B,C)

Vậy W là ánh xạ co với N = 2.Giả sử khẳng định đúng với N = k. Ta chứng minh
khẳng định đúng với N = k + 1. Thật vậy, ta có:

22