Phép nội suy

Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
MỞ ĐẦU
Thông thường trong một số lĩnh vực, đo đạc khí tượng chẳng hạn, các đại lượng khảo sát
thường không được cho dưới dạng hàm liên tục, mà là bảng các giá trị rời rạc. Các phương
pháp giải tích toán học thường tính toán với các hàm cho bởi các công thức, do đó không thể
áp dụng trực tiếp để nghiên cứu các hàm cho dưới dạng rời rạc như thế này. Cũng có khi ta
biết rằng đại lượng y là một hàm của đại lượng x, tức là y = f(x), nhưng ta không biết biểu
thức hàm f(x) mà chỉ biết một số giá trị y
i
tương ứng với các giá trị x tại các điểm x
i
.
Thông thường thì
0 1
...
n
x x x< < <
và các điểm này có thể phân bố cách đều hoặc không.
Mặc dù ta chỉ biết các giá trị của y tại các điểm mốc x
i
, nhưng trong nhiều trường hợp ta cần
tính toán với các giá trị y tại các vị trí khác của x. Một câu hỏi đặt ra là: cho một điểm x không
thuộc các điểm x
i
cho ở trên, làm thế nào chúng ta có thể tính được giá trị y tương ứng với nó,
sao cho chúng ta có thể tận dụng tối đa các thông tin đã có?
Bài toán nội suy là bài toán tìm giá trị gần đúng của y tại các điểm nằm giữa các giá trị x
không có trong các x
i
trên. Nếu cần tìm các giá trị gần đúng của y tại các điểm x nằm ngoài
khoảng

0
[ ; ]
n
x x
thì bài toán được gọi là bài toán ngoại suy. Trong phần trình bày dưới đây,
chúng ta chỉ quan tâm đến bài toán nội suy.
Vì bài toán của chúng ta không chỉ giải quyết với một giá trị x cụ thể, mà là cả một miền
giá trị nào đó của x. Do đó câu hỏi trên cũng tương đương với vấn đề sau: hãy tìm một hàm
F(x) sao cho miền xác định của nó có chứa các điểm (x
0
,x
1
,…,x
n
) và hàm này xấp xỉ tốt nhất
tập số liệu đã có là các cặp (x
0
,y
0
), (x
1
,y
1
), …, (x
n
,y
n
). Chúng ta thấy rằng, tập số liệu là hữu
hạn, còn các tập giá trị cần ước lượng là vô hạn, nên sẽ có vô số hàm F(x) nếu chúng ta không
đưa ra một số ràng buộc nào đó về F(x). Điều đầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng

hàm F(x) như thế nào.
Một cách tự nhiên, ta có thể đặt điều kiện về hàm F(x) như sau:
• F(x
i
) = f(x
i
) = y
i
với i = 0,1,…, n.
• F(x) là duy nhất theo một số điều kiện nào đó.
• Hàm F(x) liên tục, không có điểm gấp khúc và ít thay đổi trong từng đoạn
1
[ ; ]
i
i
x x
+
.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu về cách xây dựng hàm F(x) trên.
1
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1) Tỷ sai phân và sai phân
a. Tỷ sai phân
• Định nghĩa
Xét hàm
( )y f x=
trên đoạn
[ ; ]a b

Từ bảng số
( ) ( 0, )
i i
y f x i n= =
Các mốc nội suy
0 1 2
...
n
a x x x x b≡ < < < < ≡
.
Ta gọi
1
1
1
( ) ( )
[ , ] ( 1, )
i
i
i
i
i
i
f x f x
f x x i n
x x
−
−
−
−
= =

−
là tỷ sai phân cấp một của hàm
f
.
Tỷ sai phân cấp hai: là tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp một, ký hiệu là:
1 1
1 1
1 1
( 1, 1)
[ , ] [ , ]
[ , , ]
i i
i i
i
i i
i i
i n
f x x f x x
f x x x
x x
+ −
+ −
+ −
= −
−
=
−
.
Tỷ sai phân cấp n ký hiệu là:

1 0
0
1 1 1
1 1
0
,..., ,
,
[ , ] [ ,..., ]
[ , ,..., ]
n
n n
n
n
n
x x
x
f x x f x x
f x x x
x x
− −
−
−
=
−
Ta thấy, tỷ sai phân cấp một cần hai mốc nội suy, cấp hai cần ba mốc,…, cấp n cần n+1
mốc.
Ví dụ
sin sin 2
sin[ , ] cos sin
2 2

a b a b a b
a b
a b a b
− + −
= =
− −
Có thể tính tỷ sai phân thông qua cách dựng bảng như sau:
x
y
[. , .]f

[. , . , .]f

[. , . , . , .]f

[. , . , . , . , .]f

0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
0
y
1

y
2
y
3
y
4
y
1 0
[ , ]f x x

2 1 0
,[ , ]f x x x
2 1
[ , ]f x x

3 2 1 0
, ,[ , ]f x x x x

3 2 1
,[ , ]f x x x

4 3 2 1 0
, , ,[ , ]f x x x x x

3 2
[ , ]f x x

4 3 2 1
, ,[ , ]f x x x x

4 3 2
,[ , ]f x x x
4 3
[ , ]f x x

2
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
• Các tính chất của tỷ sai phân
Tính chất 1
Tỷ sai phân cấp k của một tổng bằng tổng các tỷ sai phân cùng cấp:
0 0 0
1 1 1
( )[ , ,..., ] [ , ,..., ] [ , ,..., ]
k k k k k k
f g x x x f x x x g x x x
− − −
+ = +
Hằng số nhân được đưa ra ngoài tỷ sai phân:
0 0
1 1
( )[ , ,..., ] . [ , ,..., ]
k k k k
cf x x x c f x x x
− −
=
Tính chất này được chứng minh bằng cách truy hồi (cho k = 1, k = 2,…)
Tính chất 2
Tỷ sai phân có tính chất đối xứng:
1 1 1 1
0 1 1 1 0

1 1
1,
, , , , 1, 1
, ,..., , ,..., ,
[ , ] [ , ] ( )
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ]
i i i i i i
n n n
i i
i i
n
n
f x x f x x i
f x x x f x x x i
f x x x f x x x x
− + + −
−
− −
−
= =
= =
=
Tính chất này được suy ra từ định nghĩa.
Tính chất 3
Tỷ sai phân của hằng số bằng không.
Tỷ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
Nếu m = n thì tỷ sai phân cấp m là hằng số.
Nếu m > n thì tỷ sai phân cấp > n là bằng không.
Chứng minh

Giả sử
( ) - f x C const x= ∀
Khi đó:
1
-1
-1 -1
,
( ) - ( )
-
0
- -
[ ]
i i
i
i
i i
i i
f x f x
C C
x x x x
f x x
−
= ==
(Đúng)
Xét
( )
k
f x x=
(k: nguyên dương)
Ta có

1
1 2 2 1
1
1 1 1
1
, ...[ ]
i i
k k
k k k k
i
i
i i i
i i i
i
i
x x
x x x x x x
x x
f x x
−
− − − −
−
− − −
−
−
= + + + +
−
=
là đa thức cấp k–1 . Áp dụng
tính chất 1 và tính tỷ sai phân lần nữa ta được đa thức bậc k – 2, và cứ thế ta thu được tỷ sai

phân cấp k của
k
x
là đa thức bâc không, nghĩa là hằng số.
Vậy tỷ sai phân cấp k của
k
x
là hằng số, còn tỷ sai phân cấp k+1 trở đi của
k
x
thì bằng
không.
Bây giờ, ta xét đa thức bậc n
( )
n
xP
:

1
1 1 0
( 0)( ) ...
n
n
n n
n
n
ax x a x a x aaP
−
−
≠= + + + +

Áp dụng tính chất 1 và kết quả vừa chứng minh ta suy ra đpcm.
3
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
b. Sai phân
• Định nghĩa
Như đã biết, khi các mốc nội suy cách đều nhau 1 khoảng h , ta có khái niệm sai phân bước
nhảy h của
f
tại x như sau:
( )( ) ( ) ( )
h
f x f x h f x= + −V
Sai phân cấp 2 với bước nhảy h của
f
là
2
( )( ) ( )( )
h h h
ff x x=V V V
……………….
Tương tự ta có sai phân cấp n với bước nhảy h của
f
là
1
( )( ) ( )( )
n n
h h h
ff x x
−
=V V V

Quy ước:
0
( ) ( )
h
f fx x=V
• Tính chất
Ta có các tính chất đã được học như:
1.
( ) ( ) ( )( )
h h h
f g f x g xx ++ =V V V
2.
( ) ( )( )
h h
f f xx
α α
=V V
3.
( ( ).. ) ( ) ( ). ( )( )
h h h
g x h gf g f x f x xx + +=V V V
4.
(
( ). ( ) ( ). ( )
)
( ). ( )
( )
h
h h
f

g
g x f x f x g x
g x h g x
x
−
+
=
V V
V
5.
1
( ) ( ) ( )
h
b
x a
f x f b f a
−
=
= −
∑
V

6. Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số.
Nếu m > n thì sai phân cấp > n là bằng không.
7. Giả sử
[ ; ]
n
f a bC∈
và

( ; ) [ ; ]x x nh a b+ ⊂
Khi đó
( )
( )
( ), (0;1)
n
h
n
n
f x
f x nh
h
θ θ
= + ∈
V
Chứng minh
Ta chứng minh bằng quy nạp.
4
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
Với n=1 ta có công thức số gia hữu hạn
( ) ( )
'( )
f x h f x
f x h
h
θ
+ −
= +
Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi
k n≤

, ta chứng minh mệnh đề cũng
đúng với
1k n= +
. Thật vậy:
1
( )
( ) ( ) ( ' )[ ] [ ]
n n
h h h h
n
n
f x f x h f x nh
θ
+
= +=V V V V
Trong đó
' (0;1)
θ
∈
. Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho
( )
( ' )
n
f x nh
θ
+
ta được:
1
( )
( ) ( )

( 1)
1
( ) ( ' )
[ ( ' ) ( ' )]
( ' '' )
n
h h
n
n
n n
n
n
n
f x h f x nh
h f x nh h f x nh
h f x nh h
θ
θ θ
θ θ
+
+
+
= +
= + + − +
= + +
V V
Trong đó
', '' (0;1)
θ θ
∈

. Đặt
' ''
(0;1)
1
n
n
θ θ
θ
+
∈
+
=
, ta được:
1
( 1)
1
( ) ( ( 1) )
n
h
n
n
f x h f x n h
θ
+
+
+
= + +V
Suy ra mệnh đề trên đúng với mọi n.
8. Nếu
[ ; ]

n
f a bC∈
thì khi h đủ nhỏ
( )
( )
( )
n
h
n
n
f x
f x
h
;
V
Nghĩa là
( )
0
lim
( )
( )
n
h
n
n
h
f x
f x
h
→

=
V
(Tính chất này là hệ quả của tính chất 7)
c. Liên hệ giữa tỷ sai phân và sai phân
Nếu các mốc nội suy cách đều nhau, ta có mối liên hệ như sau:
1
1
1 1
( 0, 1)
( )
( ) ( )
( ) ( )
[ , ]
i
i
i
i
i i i h
i i
i i
i n
f x
f x f x
f x h f x
x x x x h
f x x
+
+
+ +
= −

−
+ −
= =
− −
=
V
1 1
1 1
1 1
2
1
, ] , ]
,
( 1, 1)
[ [
( )
2!
[ , ]
i
i i
i i
i i
i i
i
h
i n
f x x f x x
x x
f x
h

f x x x
+ −
+ −
+ −
−
= −
−
−
=
=
V
…………………
1 0
1
0
,..., ,
( )
[ , ] 1,2,...
!
k k
k
h
f x
f x x x x k n
k h
−
==
V
2) Định lý Rolle
Cho

:[ ; ]f a b → ¡
Nếu
f
liên tục trên
[ ; ]a b
, khả vi trên
( ; )a b
và thoả
( ) ( )f a f b=
thì
tồn tại điểm
( ; )c a b∈
sao cho
'( ) 0f c =
.
Chứng minh: (Giải tích 1)
5
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
3) Đa thức Chebyshev
Xét hàm số
( ) cos( .arccos )
n
x n xT =
với
| | 1x ≤
Đặt
arccos x
α
=

( cos )x
α
⇒ =
Do
cos( 1) cos .cos sin .sinn n n
α α α α α
± = m
Nên
cos( 1) cos( 1) 2cos .cos 2 cosn n n x n
α α α α α
+ + − = =
Hay:

1
1 1
( ) cos(( 1).arccos ) cos( 1)
cos( 1)
( ) 2 ( ) ( )
2 cos
n
n
n n
x n x n
n
x x x x
x n
T
T T T
α
α α

+
+ −
= + = +
− −
= −
=
Ngoài ra
0 1
( ) cos0 1; ( ) cos(arccos )x x x xT T= = = =
Nên
2
2 1 0
1( ) 2 ( ) ( ) 2x x x x xT T T −= − =
Dễ dàng nhận thấy
( )
n
x
T
là một đa thức đại số có bậc n và hệ số của
n
x
là
1
2
n−
.
Đa thức
( )
n
x

T
đó được gọi là đa thức Chebyshev.
Bây giờ ta xét phương trình
( ) cos( .arccos ) 0
n
x n xT = =
Suy ra
0, 1
2 1
arccos
2
k
n
k
x k
n
π
−
+
= =
Hay
0, 1
2 1
cos
2
k
n
k
x k
n

π
−
+
= =
Xét phương trình:
2

( ) sin( .arccos ) 0
1
cos ( 1, 1)
'
i
n
n
x n x
x
i
x i n
n
T
π
⇒ =
= − =
−
= −
Ta có bảng biến thiên của hàm
( )
n
x
T

như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy được, hàm đa thức Chebysev đạt cực trị trên đoạn [-1;1]
tại các điểm:
6
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
cos ( 0, )
i
i
x i n
n
π
= =
Khi đó,
| | 1
max | ( )| 1
n
x
T x
≤
=
.
4) Các dạng đa thức
- Dạng chính tắc:
0
( )
n
n
i
i
i

x a xP
=
=
∑
- Dạng chuẩn tắc:
0
( ) ( ) ( )
n
n
i
i
i
ax b x aP
=
∈= −
∑
¡

- Dạng chính tắc suy rộng:
[ ]
0
( )
n
n
i
i
i
x c xP
=
=

∑
- Dạng chuẩn tắc suy rộng:
[ , ]
0
( ) ( , ) ( )
n
n
i h
i
i
a hx d x aP
=
∈= −
∑
¡
Trong đó
1
0
[ , ]
1
0
( ) 0
1 0
1
0
( )
k
i
k h
k

i
x ih k
k
k
x kh ih
x
−
=
− −
=













− >
= =
<
− −
∏
∏
Thuật toán chuyển đổi giữa các dạng đa thức:

d. Chuyển từ chính tắc sang chuẩn tắc
INPUT :
0 1
, ,..., ;;
n
n a a a a
{Đa thức chính tắc có dạng
0
( )
n
n
i
i
i
x a xP
=
=
∑
}
OUTPUT:
0 1
, ,...,
n
a a a
{Đa thức chuẩn tắc có dạng
0
( )( )
n
n
i

i
i
x a x aP
=
= −
∑
}
Giải thuật:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n→ −
, thực hiện B2.
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k→ −
, thực hiện:
Gán
1
: *
n i n i
n i
a a a a
− −
− +
= +
B3: Dừng và xuất các
( 0, )
j
j na =
.
e. Chuyển từ chuẩn tắc sang chính tắc
7

Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
INPUT :
0 1
, ,..., ;;
n
n a a a a
{Đa thức chuẩn tắc có dạng
0
( )( )
n
n
i
i
i
x a x aP
=
= −
∑
}
OUTPUT:
0 1
, ,...,
n
a a a
{Đa thức chính tắc có dạng
0
( )
n
n
i

i
i
x a xP
=
=
∑
}
Giải thuật:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n→ −
, thực hiện B2.
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k→ −
, thực hiện:
Gán
1
: *( )
n i n i
n i
a a a a
− −
− +
= − +
B3: Dừng và xuất các
( 0, )
j
j na =
.
f. Chuyển từ chính tắc sang chuẩn tắc suy rộng
INPUT :

0 1
, ,..., ; ; ;
n
n a a a a h
{Đa thức chính tắc có dạng
0
( )
n
n
i
i
i
x a xP
=
=
∑
}
OUTPUT:
0 1
, ,...,
n
a a a

{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng
[ , ]
0
( )( )
n
n
i h

i
i
x a x aP
=
= −
∑
}
Giải thuật:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n→ −
, thực hiện B2.
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k→ −
, thực hiện:
Gán
1
: *( * )
n i n i
n i
a a a k h a
− −
− +
= + +
B3: Dừng và xuất các
( 0, )
j
j na =
.
b. Chuyển từ chuẩn tắc suy rông sang chính tắc
Ta có 2 cách:

INPUT :
0 1
, ,..., ; ; ;
n
n a a a a h
{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng
[ , ]
0
( )( )
n
n
i h
i
i
x a x aP
=
= −
∑
}
OUTPUT:
0 1
, ,...,
n
a a a
{Đa thức chính tắc có dạng
0
( )
n
n
i

i
i
x a xP
=
=
∑
}
Giải thuật 1:
B1: Gán k:=0.
B2: Gán
: 1
k
k
S =

0
1
:S a= −
Chuyển qua B3.
8
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
B3: Với mỗi i lấy giá trị từ
1k n+ →
thực hiện:
Gán
1
: 0
i
S
−

=

1
1 1
( * )*
:
k k k
i
i i
a k h
S S S
−
− −
− +
=
Nếu
1k n< −
thì gán
: 1k k= +
và quay lại B2
Ngược lại thì chuyển qua B4:
B4: Gán
: 1
n
n
S =
.
Chuyển qua B5:
B5: Với mỗi m lấy giá trị từ
0 n→

thực hiện B5:
B6:Gán
: 0
m
a =
Với mỗi j lấy giá trị từ
m n→
thực hiện:
Gán

*:
m
m m
j j
d Sa a +=
B6: Dừng và xuất các
m
a
.
Giải thuật 2:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n→ −
thực hiện B2:
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k→ −
thực hiện:
Gán
1
( ( )* )*:
n i n i

n i
n i k ha aa a
− −
− +
− + − −=
B3: Dừng và xuất các
( 0, )
j
j na =
.
c. Đa thức từng đoạn
Cho
g
là hàm xác định trên
[ ; ]a b

Ta nói
g
là hàm đa thức từng đoạn trên
[ ; ]a b
nếu có
0 1
, ,...,
k
α α α
sao cho
-
0 1
...
k

a b
α α α
< <
<= =
-
1
[ ; ]
i
i
g
α α
+
là đa thức trên
1
[ ; ] 0,1,... -1
i
i
i k
α α
+
=

Nghĩa là

1
2
0 1
1 2
1
0

0
0
........................
, [ ; ]
, [ ; ]
, [ ; ]
( )
k
i
i
i
k k
m
i
i
m
i
i
m
i
i
a x x
b x x
c x x
g x
α α
α α
α α
−
=

=
=













∈
∈
∈
∑
∑
=
∑
d. Tính giá trị đa thức dựa vào sơ đồ Hoorner
* Cho
n
P
là đa thức bậc n, ghi ở dạng chính tắc
0
( )
n

n
i
i
i
x a xP
=
=
∑
và
α
∈¡
9
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
Ta có
1 2 1 0
) ) )( ) (...(( ...
n n n
n
a a a a aP
α α α α α
− −
= + + + + +
Quy trình trên có thể viết lại:
0
1 1
2 1 2
3 2 3
1 0
:
....................

:
:
: ( )
n
n n
n n n
n n n
n
b a a
b b a
b b a
b b a P
α
α
α
α α
− −
− − −
− − −
= +
= +
= +
= + =
Dựa vào sơ đồ trên, ta có thuật toán tính giá trị đa thức như sau:
INPUT :
0 1
, ,..., ;;
n
n a a a
α

OUTPUT :
( )
n
P
α
Giải thuật
B1: Gán
( ):
n n
aP
α
=
B2: Với mỗi i chạy từ
1 n→
gán:
:( ) ( )*
n n
n i
P P a
α α α
−
= +
B3: Dừng và xuất
( )
n
P
α
* Cho
n
P

là đa thức bậc n, ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng

[ , ]
0
( ) ( , ) ( )
n
n
i h
i
i
a hx a x aP
=
∈= −
∑
¡
Ta có:
1 1 0
( ) (...( ( ( 1) ) )( ( 2) ) ... )( )
n
n
n
a a n h a a n h a a aP
α α α α
−
= − − − + − − − + + − +
Quy trình trên có thể viết lại:
1 1
2 1 2
3 2 3
0 1 0

: (
(
(
....................
(
( 1) )
: ( 2) )
: ( 3) )
: ) ( )
n
n n
n n n
n n n
n
b a a n h a
b b a n h a
b b a n h a
b b a a P
α
α
α
α α
− −
− − −
− − −
= − − − +
= − − − +
= − − − +
= − + =
Dựa vào sơ đồ trên, ta có thuật toán tính giá trị đa thức như sau:

INPUT :
0 1
, ,..., ; ; ; ;
n
n a a a a h
α
OUTPUT :
( )
n
P
α
Giải thuật:
B1: Gán
( ):
n
n
aP
α
=
B2: Với mỗi i chạy từ
1 n→
gán:
10