Giáo trình học xác suất thống kê

Chu’ ong
’ 1

˜’
’ VE
´ NIE
ˆ. M CO’ BAN
ˆ` XAC
´ SUAT
ˆ´
NHUNG
KHAI
’ TUC
’ HO’ P
’ T´ICH TO
ˆ
´ VE
ˆ` GIAI
ˆ
BO
.

1.
1.1

˘´c nhˆ
Qui ta
an

Gia’ su’’ mˆo.t cˆong viˆe.c n`ao d¯o´ d¯u’o.’c chia th`anh k giai d¯oa.n. C´o n1 c´ach thu.’c hiˆe.n giai
d¯oa.n thu´’ nhˆa´t, n2 c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ hai,...,nk c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’

k. Khi d¯o´ ta c´o
n = n1 .n2 . . . nk
c´ach thu.’c hiˆe.n cˆong viˆe.c.
`’ kh´ac
’ d¯i qua d¯iˆe’m B. C´o 3 d¯u’ong
• V´ı du. 1 Gia’ su’’ d¯ˆe’ d¯i tu`’ A d¯ˆe´n C ta ba˘´t buˆo.c phai
’
’
`’ kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu`’ B d¯ˆe´n C. Vˆa.y c´o n = 3.2 c´
nhau d¯ˆe d¯i tu`’ A d¯ˆe´n B v`a c´o 2 d¯u’ong
ach
’
´
`
kh´
ac nhau d¯ˆe d¯i tu’ A d¯ˆen C.
A

1.2

B

C

’
Chinh
ho.’p

’ ho.’p chˆa.p k cua
’ n phˆ

✷ ¯Di.nh nghi˜a 1 Chinh
a`n tu’’ (k ≤ n) l`
a mˆo.t nh´om (bˆo.) c´o thu´’ tu.’
gˆ
o`m k phˆa`n tu’’ kh´ac nhau cho.n tu`’ n phˆ
a`n tu’’ d¯a˜ cho.
’ ho.’p chˆ
’ n phˆ
Sˆ
o´ chinh
a.p k cua
a`n tu’’ k´ı hiˆe.u l`
a Akn .
´’ t´ınh:
Cˆ
ong thuc

Akn =

n!
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(n − k)!

`’ tham du.’. Hoi
’ c´o mˆ
• V´ı du. 2 Mˆo.t buoˆ’i ho.p gˆo`m 12 ngu’oi
a´y c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a
v`
a mˆo.t thu’ k´y?
’

Giai
`’ 12 ngu’oi
`’ tham du.’ buˆo’i ho.p l`a mˆo.t
Mˆo˜i c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a v`a mˆo.t thu’ k´
y tu
’’
’ ho.’p chˆa.p k cua
’ 12 phˆa`n tu.
chinh
1


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

2

Do d¯´o sˆo´ c´ach cho.n l`a A212 = 12.11 = 132.
´’ c´ac chu˜’ sˆo´ 0,1,2,3,4,5 c´o thˆe’ lˆa.p d¯u’o.’c bao nhiˆeu sˆ
• V´ı du. 3 Voi
o´ kh´ac nhau gˆ
o`m 4

chu˜’ sˆ
o´.
’
Giai
’ l`a sˆo´ gˆo`m 4 chu˜’ sˆo´.
C´ac sˆo´ ba˘´t d¯ˆa`u ba˘`ng chu˜’ sˆo´ 0 (0123, 0234,...) khˆong phai
’ cho.n trong c´ac chu˜’ sˆo´ 1,2,3,4,5. Do d¯o´ c´o 5 c´ach cho.n chu˜’ sˆo´
Chu˜’ sˆo´ d¯ˆa`u tiˆen phai
d¯ˆa`u tiˆen.
Ba chu˜’ sˆo´ kˆe´ tiˆe´p c´o thˆe’ cho.n t`
uy y
´ trong 5 chu˜’ sˆo´ c`on la.i. C´o A35 c´ach cho.n.
Vˆa.y sˆo´ c´ach cho.n l`a 5.A35 = 5.(5.4.3) = 300

1.3

’
Chinh
ho.’p l˘
a.p

’ ho.’p l˘
’ n phˆ
✷ ¯Di.nh nghi˜a 2 Chinh
a.p chˆa.p k cua
a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆ
o`m k
’
o mˆ
o˜i phˆ

a`n tu’’ c´o thˆe c´o m˘
a.t 1,2,...,k lˆ
a`n trong
phˆ
a`n tu’’ cho.n tu`’ n phˆa`n tu’’ d¯a˜ cho, trong d¯´
nh´
om.
’ ho.’p l˘
’ n phˆ
Sˆ
o´ chinh
a.p ch˘
a.p k cua
a`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u Bnk .
´’ t´ınh
Cˆ
ong thuc
Bnk = nk
’ c´
• V´ı du. 4 Xˆe´p 5 cuˆo´n s´ach v`ao 3 ng˘
an. Hoi
o bao nhiˆeu c´ach xˆe´p ?
’
Giai
’ ho.’p l˘
’ 3 (Mˆo˜i lˆa`n
Mˆo˜i c´ach xˆe´p 5 cuˆo´n s´ach v`ao 3 ng˘
an l`a mˆo.t chinh
a.p chˆa.p 5 cua
xˆe´p 1 cuˆo´n s´ach v`ao 1 ng˘

an xem nhu’ cho.n 1 ng˘
an trong 3 ng˘
an. Do c´o 5 cuˆo´n s´ach nˆen
´
`
viˆe.c cho.n ng˘
an d¯u’o.’c tiˆen h`anh 5 lˆan).
Vˆa.y sˆo´ c´ach xˆe´p l`a B35 = 35 = 243.

1.4

Ho´
an vi.

’ m phˆ
✷ ¯Di.nh nghi˜a 3 Ho´an vi. cua
a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆ
o`m d¯u’ m˘
a.t m phˆ
a`n
’
tu’ d¯a˜ cho.
’ m phˆa`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u l`
Sˆ
o´ ho´an vi. cua
a Pm .
´’ t´ınh
Cˆ
ong thuc
Pm = m!

’ c´
• V´ı du. 5 Mˆo.t b`an c´o 4 ho.c sinh. Hoi
o mˆ
a´y c´ach xˆe´p chˆ
o˜ ngˆ
o`i ?
’
Giai
’’ Do d¯´o sˆo´
’ 4 ho.c sinh o’’ mˆo.t b`an l`a mˆo.t ho´an vi. cua
’ 4 phˆa`n tu.
Mˆo˜i c´ach xˆe´p chˆo˜ cua
c´ach xˆe´p l`a P4 = 4! = 24.


’ t´ıch tˆ
1. Bˆ
o’ t´
uc vˆ
e` giai
o’ hop
.’

1.5

3

Tˆ
o’ ho.’p

’ n phˆ
✷ ¯Di.nh nghi˜a 4 Tˆo’ ho.’p chˆa.p k cua
a`n tu’’ (k ≤ n) l`
a mˆo.t nh´om khˆong phˆan biˆe.t
´
’
’
`
`
`
`
thu’ tu.’, gˆom k phˆan tu’ kh´ac nhau cho.n tu’ n phˆ
an tu’ d¯a˜ cho.
’
´
’
`
’ n phˆan tu’ k´ı hiˆe.u l`a Cnk .
Sˆ
o tˆo ho.’p chˆa.p k cua
´’ t´ınh
Cˆ
ong thuc
Cnk =

n!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
k!(n − k)!
k!

Ch´
uy
´
´’ 0! = 1.
i) Qui u’oc
k
ii) Cn = Cnn−k .
k−1
k
iii) Cnk = Cn−1
+ Cn−1
.
´’ Hoi
’ lˆ
’ cho tru’oc.
’ c´o thˆe’ lˆa.p
• V´ı du. 6 Mˆo˜i d¯ˆe` thi gˆo`m 3 cˆau hoi
a´y trong 25 cˆau hoi
nˆen bao nhiˆeu d¯ˆe` thi kh´ac nhau ?

3
Sˆo´ d¯ˆe`thi c´o thˆe’ lˆa.p nˆen l`a C25

’
Giai
25!
25.24.23
=
=

= 2.300.
3!.(22)!
1.2.3

`’ d¯iˆe’m bˆ
• V´ı du. 7 Mˆo.t m´ay t´ınh c´o 16 cˆ
o’ng. Gia’ su’’ ta.i mˆ
o˜i thoi
a´t k`y mˆ
o˜i cˆ
o’ng ho˘
a.c
trong su’’ du.ng ho˘
a.c khˆong trong su’’ du.ng nhung
o.ng ho˘
a.c khˆong thˆe’ hoa.t
’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆ
’
´
’ c´o bao nhiˆeu cˆau h`ınh (c´ach cho.n) trong d¯´
d¯ˆ
o.ng. Hoi
o 10 cˆ
ong trong su’’ du.ng, 4 khˆong
trong su’’ du.ng nhung
o.ng v`
a 2 khˆ
ong hoa.t d¯ˆ
o.ng?
’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆ

’
Giai
’
´’
¯Dˆe x´ac d¯.inh sˆo´ c´ach cho.n ta qua 3 bu’oc:
10
´’ 1: Cho.n 10 cˆo’ng su’’ du.ng: c´o C16
Bu’ oc
= 8008 c´ach.
´’ 2: Cho.n 4 cˆo’ng khˆong trong su’’ du.ng nhung
Bu’ oc
’ c´o thˆe’ hoa.t d¯oˆ. ng trong 6 cˆo’ng c`on
la.i: c´o C64 = 15 c´ach.
´’ 3: Cho.n 2 cˆo’ng khˆong thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng: c´o C22 = 1 c´ach.
Bu’ oc
10
.C64 .C22 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach.
Theo qui ta˘´c nhˆan, ta c´o C16

1.6

´’ Newton
Nhi. thuc
´’ d¯´ang nho´’
O’’ phˆo’ thˆong ta d¯a˜ biˆe´t c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc
a + b = a 1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3

´’ trˆen c´o thˆe’ x´ac d¯.inh tu

`’ tam gi´ac Pascal
C´ac hˆe. sˆo´ trong c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

4

1
1
1
1

1
2
3
4

1
3
6

1
4

1

Cn0

Cn1

Cn2

Cn3

Cn4

...

Cnn−1

Cnn

´’ minh d¯u’o.’c cˆong thuc
´’ tˆo’ng qu´at sau (Nhi. thuc
´’ Newton):
Newton d¯a˜ chung
n

Cnk an−k bk

(a + b)n =
k=o

= Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn
(a,b l`a c´ac sˆo´ thu.’c; n l`a sˆo´ tu.’ nhiˆen)

ˆ´ CO
ˆ´ VA
` QUAN HE
ˆ. GIUA
´ BIEN
ˆ´ CO
ˆ´
˜’ CAC
BIEN

2.
2.1

’’ v`
Ph´
ep thu
a biˆ
e´n cˆ
o´

’ d¯ˆe’ quan s´at mˆo.t hiˆe.n tu’o.’ng n`ao d¯o´
Viˆe.c thu.’c hiˆe.n mˆo.t nh´om c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n co’ ban
’’ C´ac kˆe´t qua’ c´o thˆe’ xay
’ ra cua

’ ph´ep thu’’ d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ (su.’
d¯u’o.’c go.i mˆo.t ph´ep thu.
kiˆe.n).
• V´ı du. 8

’’ ¯Dˆ
’’ l`a mˆo.t
i) Tung d¯ˆo`ng tiˆe`n lˆen l`a mˆo.t ph´ep thu.
o`ng tiˆe`n lˆa.t m˘
a.t n`ao d¯´
o (xˆ
a´p, ngua)
biˆe´n cˆ
o´.
’’ Viˆe.c viˆen d¯a.n tr´
ii) Ba˘´n mˆo.t ph´at s´
ung v`ao mˆo.t c´ai bia l`a mˆo.t ph´ep thu.
ung (trˆa.t)
´
´
bia l`
a mˆ
o.t biˆen cˆo.

2.2

˜’ c´
C´
ac biˆ
e´n cˆ

o´ v`
a quan hˆ
e. giua
ac biˆ
e´n cˆ
o´

i) Quan hˆ
e. k´
eo theo
’ ra th`ı B xay
’
Biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a k´eo theo biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A ⊂ B, nˆe´u A xay
ra.
ii) Quan hˆ
e. tu’ ong
d
¯u’ ong
’
’
´’ nhau nˆe´u A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe.u
Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a tu’ong
’ d¯u’ong
’ voi
A = B.
iii) Biˆ
e´n cˆ
o´ so’ cˆ
a´p
˜’ d¯u’o.’c nua.

Biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p l`a biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ phˆan t´ıch d¯u’o.’c nua
’
˘´c cha
˘´n
iv) Biˆ
e´n cˆ
o´ cha
’’ K´ı hiˆe.u Ω.
’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´ep thu.
L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh s˜
e xay


˜’ c´
2. Biˆ
e´n cˆ
o´ v`
a quan hˆ
e. giua
ac biˆ
e´n cˆ
o´

5

• V´ı du. 9 Tung mˆo.t con x´
uc xa˘´c. Biˆe´n cˆ
o´ m˘
a.t con x´
uc xa˘´c c´o sˆ

o´ chˆ
a´m b´e hon
’ 7 l`a
´
´
´
´
biˆen coˆ cha˘c cha˘n.
v) Biˆ
e´n cˆ
o´ khˆ
ong thˆ
e’
’’ K´ı hiˆe.u ∅.
’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´ep thu.
L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh khˆong xay
⊕ Nhˆ
a.n x´
et Biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ ∅ khˆong bao h`am mˆo.t biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao, nghi˜a l`a
khˆong c´o biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo´ khˆong thˆe’.
vi) Biˆ
e´n cˆ
o´ ngˆ
a˜u nhiˆ
en
’’ Ph´ep thu’’ m`a
’ ra ho˘
’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´ep thu.
L`a biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay
a.c khˆong xay

’ n´o l`a c´ac biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a ph´ep thu’’ ngˆa˜u nhiˆen.
c´ac kˆe´t qua’ cua
vii) Biˆ
e´n cˆ
o´ tˆ
o’ng
’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u C = A + B, nˆe´u C xay
’
Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a tˆo’ng cua
’ ra.
ra khi v`a chi’ khi ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong hai biˆe´n cˆo´ A v`a B xay
`’ tho.’ s˘
`’
• V´ı du. 10 Hai ngu’oi
an c`
ung ba˘´n v`ao mˆo.t con th´
u. Nˆe´u go.i A l`a biˆe´n cˆ
o´ ngu’oi
´
´
´
´
´
´
´
`’ thu’ hai ba˘n tr´
ung con th´
u th`ı C = A+B
ung con th´
u v`a B l`a biˆen cˆ

o ngu’oi
thu’ nhaˆt ba˘n tr´
´
´
´
˘
l`
a biˆen cˆo con th´
u bi. ban tr´
ung.
Ch´
uy
´
´’ da.ng tˆo’ng cua
’ mˆo.t sˆo´ biˆe´n cˆo´
i) Mo.i biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen A d¯ˆe`u biˆe’u diˆe˜n d¯u’o.’c du’oi
so’ cˆa´p n`ao d¯o´. C´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p trong tˆo’ng n`ay d¯u’o.’c go.i l`a c´
ac biˆe´n cˆ
o´ thuˆa.n lo.’i cho
biˆe´n cˆo´ A.
’ mo.i biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p c´o thˆe’, nghi˜a l`a mo.i biˆe´n cˆo´
ii) Biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n Ω l`a tˆo’ng cua
so’ cˆa´p d¯ˆe`u thuˆa.n lo.’i cho Ω. Do d¯o´ Ω c`on d¯u’o.’c go.i l`a khˆ
ong gian c´
ac biˆe´n cˆ
o´ so’ cˆa´p.
• V´ı du. 11 Tung mˆo.t con x´
uc xa˘´c. Ta c´o 6 biˆe´n cˆ
o´ so’ cˆ
a´p A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong

´
´
´
a.t j chˆ
am j = 1, 2, . . . , 6.
d¯´
o Aj l`a biˆen cˆo xu´at hiˆe.n m˘
´’ sˆ
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t voi
o´ chˆ
a´m cha˘˜n th`ı A c´o 3 biˆe´n cˆ
o´ thuˆa.n lo.’i l`a
A2 , A 4 , A 6 .
Ta c´o A = A2 + A4 + A6
´’ sˆ
Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t voi
o´ chˆ
a´m chia hˆe´t cho 3 th`ı B c´o 2 biˆe´n cˆ
o´ thuˆa.n
lo.’i l`
a A3 , A6 .
Ta c´o B = A3 + A6
viii) Biˆ
e´n cˆ
o´ t´ıch
’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u AB, nˆe´u C xay
’ ra khi v`a
Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a t´ıch cua

’ ra.
chi’ khi ca’ A lˆa˜n B c`
ung xay


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

6

`’ c`
• V´ı du. 12 Hai ngu’oi
ung ba˘´n v`ao mˆ
o.t con th´
u.
`’ thu´’ hai ba˘´n tru’o.’t th`ı
`’ thu´’ nhˆa´t ba˘´n tru’o.’t, B l`a biˆe´n cˆ
o´ ngu’oi
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi
C = AB l`
a biˆe´n cˆo´ con th´
u khˆong bi. ba˘´n tr´

ung.
ix) Biˆ
e´n cˆ
o´ hiˆ
e.u
’ biˆe´n cˆo´ A v`a biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A \ B l`a biˆe´n cˆo´ xay
’ ra khi v`a chi’ khi A
Hiˆe.u cua
’ ra nhung
’ ra.
xay
’ B khˆong xay
˘´c
x) Biˆ
e´n cˆ
o´ xung kha
`’
Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c nˆe´u ch´
ung khˆong d¯ˆo`ng thoi
’
’ ra trong mˆo.t ph´ep thu.
xay
’
• V´ı du. 13 Tung mˆo.t d¯ˆo`ng tiˆe`n.
’’ th`ı AB = ∅.
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t xˆa´p, B l`
a biˆe´n cˆ
o´ xuˆ
a´t hiˆe.n m˘

a.t ngua
xi) Biˆ
e´n cˆ
o´ d
¯ˆ
o´i lˆ
a.p
´’ biˆe´n cˆo´ A. K´ı hiˆe.u A.
’ ra biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ d¯ˆo´i lˆa.p voi
Biˆe´n cˆo´ khˆong xay
Ta c´o
A + A = Ω,

AA = ∅

⊕ Nhˆ
a.n x´
et
´’
´’ voi
Qua c´ac kh´ai niˆe.m trˆen ta thˆa´y c´ac biˆe´n cˆo´ tˆo’ng, t´ıch, hiˆe.u, d¯ˆo´i lˆa.p tu’ong
’ ung
’ l´
tˆa.p ho.’p, giao, hiˆe.u, phˆa`n b`
u cua
y thuyˆe´t tˆa.p ho.’p. Do d¯´o ta c´o thˆe’ su’’ du.ng c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆa.p ho.’p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆe´n cˆo´.
Ta c´o thˆe’ d`
ung biˆe’u d¯ˆo` Venn d¯ˆe’ miˆeu ta’ c´ac biˆe´n cˆo´.
Ω

Ω

Bc cha˘´c cha˘´n
Ω

Ω

Ω

Ω
A

B

A=⇒B

AB

A+B

A

B

A,B xung kha˘´c

A

A

¯Dˆo´i lˆa.p A


3. X´
ac suˆ
a´t

7

´ SUAT
ˆ´
XAC

3.
3.1

ac suˆ
a´t theo lˆ
o´i cˆ
o’ d
¯iˆ
e’n
¯Di.nh nghi˜a x´

’ ra, trong d¯´
✷ ¯Di.nh nghi˜a 5 Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
o`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay

o
’
´
´
´
´
´
´
´
`
’ m biˆen cˆ
c´
o m biˆen cˆo d¯ˆong kha’ n˘
ang thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆ
o A (A l`a tˆ
ong cua
o so’ cˆ
ap
´’ sau:
’ biˆe´n cˆ
n`
ay). Khi d¯´o x´ac suˆa´t cua
o´ A, k´ı hiˆe.u P (A) d¯u’o.’c d¯.inh nghi˜a ba˘`ng cˆong thuc
P (A) =

`’ ho.’p thuˆ
m
Sˆ
o´ tru’ong
a.n lo.’i cho A

=
n
`’ ho.’p c´
’ ra
Sˆ
o´ tru’ong
o thˆe’ xay

• V´ı du. 14 Gieo mˆo.t con x´
uc xa˘´c cˆan d¯ˆ
o´i, d¯ˆ
o`ng chˆ
a´t. T´ınh x´ac suˆ
a´t xuˆ
a´t hiˆe.n m˘
a.t
cha˘˜n.
’
Giai
Go.i Ai l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t i chˆa´m v`a A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t cha˘˜n th`ı
A = A2 + A4 + A6
’ ra trong d¯´o c´o 3
Ta thˆa´y ph´ep thu’’ c´o 6 biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A.
3
1
P (A) = =

6
2
`’ go.i d¯iˆe.n thoa.i nhung
’ sˆ
• V´ı du. 15 Mˆo.t ngu’oi
o´ cuˆ
o´i cua
o´ d¯iˆe.n thoa.i cˆ
a`n
’ la.i quˆen 2 sˆ
’
`’ d¯´
go.i m`a chi’ nho´’ l`a 2 sˆo´ d¯´o kh´ac nhau. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe ngu’oi
o quay ngˆ
a˜u nhiˆen mˆo.t
´
`
`
lˆ
an tr´
ung sˆo cˆan go.i.
’
Giai
`’ d¯´o quay ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t lˆa`n tr´
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi
ung sˆo´ cˆa`n go.i.
’ ra (sˆo´ c´ach go.i 2 sˆo´ cuˆo´i) l`a n = A210 = 90.
Sˆo´ biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay

Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a m = 1.
Vˆa.y P (A) =

1
.
90

• V´ı du. 16 Trong hˆo.p c´o 6 bi tra˘´ng, 4 bi d¯en. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe’ lˆ
a´y tu`’ hˆ
o.p ra d¯u’o.’c
i) 1 viˆen bi d¯en.
ii) 2 viˆen bi tra˘´ng.
’
Giai
`’ hˆo.p ra d¯u’o.’c 1 viˆen bi d¯en v`a B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu
`’ hˆo.p ra 2
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu
´
viˆen bi tra˘ng.
Ta c´o


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban

e` x´
ac suˆ
a´t

8

i) P (A) =

C41
2
=
1
C10
5

C62
1
ii) P (B) = 2 =
C10
3
• V´ı du. 17 R´
ut ngˆa˜u nhiˆen tu`’ mˆo.t cˆ
o˜ b`ai t´
u lo’ kho’ 52 l´a ra 5 l´a. T`ım x´ac suˆ
a´t sao
cho trong 5 l´a r´
ut ra c´o
a) 3 l´a d¯o’ v`a 2 l´a d¯en.
b) 2 con co,
’ 1 con rˆo, 2 con chuˆo`n.

’
Giai
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ r´
ut ra d¯u’o.’c 3 l´a d¯o’ v`a 2 l´a d¯en.
´
´
B l`a biˆen cˆo r´
ut ra d¯u’o.’c 2 con co,’ 1 con rˆo, 2 con chuˆo`n.
5
’ ra khi r´
Sˆo´ biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay
ut 5 l´a b`ai l`a C52
.
3
2
a) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a C26
.C26
.

P (A) =

3
2
845000
C26
.C26
=
= 0, 3251
5
C52

2598960

2
1
2
b) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho B l`a C13
.C13
.C13

P (B) =

2
1
2
79092
C13
.C13
.C13
=
= 0, 30432
5
C52
2598960

`’ T`ım x´ac suˆ
• V´ı du. 18 (B`
ai to´
an ng`
ay sinh) Mˆ
o.t nh´om gˆ

o`n n ngu’oi.
a´t d¯ˆe’ c´o ´ıt
`’ c´o c`
nhˆ
a´t hai ngu’oi
ung ng`
ay sinh (c`
ung ng`
ay v`
a c`
ung th´
ang).
’
Giai
`’ v`a E l`a biˆe´n cˆo´ c´o ´ıt
’ n ngu’oi
Go.i S l`a tˆa.p ho.’p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o thˆe’ cua
`’ trong nh´om c´o c`
nhˆa´t hai ngu’oi
ung ng`ay sinh trong n˘
am.
`’ bˆa´t k`
Ta c´o E l`a biˆe´n cˆo´ khˆong c´o hai ngu’oi
y trong nh´om c´o c`
ung ng`ay sinh.
`’ ho.’p cua
’ S l`a
Sˆo´ c´ac tru’ong
n(S) = 365.365 . . . 365 = 365n
n

`’ ho.’p thuˆa.n lo.’i cho E l`a
Sˆo´ tru’ong
n(E)

=
=
=

365.364.363. . . . [365 − (n − 1)]
[365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)!
(365 − n)!
365!
(365−n)!


3. X´
ac suˆ
a´t

9

V`ı c´ac biˆen cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang nˆen
365!

n(E)
365!
(365−n)!
P (E) =

=
=
n
n
n(S)
365
365 .(365 − n)!

`’ c´o c`
Do d¯´o x´ac suˆa´t d¯ˆe’ ´ıt nhˆa´t c´o hai ngu’oi
ung ng`ay sinh l`a
P (E) = 1 − P (E) = 1 −
`’ trong nh´
Sˆ
o´ ngu’oi
om
n
5
10
15
20
23
30
40
50
60
70

365!
(365−n)!

365n

=

365!
365n .(365 − n)!

`’ c´
X´
ac suˆ
a´t c´
o ´ıt nhˆ
a´t 2 ngu’oi
o c`
ung ng`
ay sinh
P (E)
0,027
0,117
0,253
0,411
0,507
0,706
0,891
0,970
0,994
0,999

’ b`
Bang

ai to´
an ng`
ay sinh
Ch´
uy
´ ¯Di.nh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i cˆo’ d¯iˆe’n c´o mˆo.t sˆo´ ha.n chˆe´:
˜’ ha.n c´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p.
i) N´o chi’ x´et cho hˆe. huu
’ l´
’ ra.
ii) Khˆong phai
uc n`ao viˆe.c ”¯
dˆo`ng kha’ n˘
ang” c˜
ung xay

3.2

ac suˆ
a´t theo lˆ
o´i thˆ
o´ng kˆ
e
¯Di.nh nghi˜a x´

✷ ¯Di.nh nghi˜a 6 Thu.’c hiˆe.n ph´ep thu’’ n lˆ
a`n. Gia’ su’’ biˆe´n cˆ
o´ A xuˆ
a´t hiˆe.n m lˆ
a`n. Khi

m
’ biˆe´n cˆ
d¯´
o m d¯u’o.’c go.i l`a tˆa`n sˆo´ cua
o´ A v`a ty’ sˆ
o´ n d¯u’o.’c go.i l`a tˆ
a`n suˆ
a´t xuˆ
a´t hiˆe.n biˆe´n
’’
cˆ
o´ A trong loa.t ph´ep thu.
Cho sˆo´ ph´ep thu’’ t˘
ang lˆen vˆo ha.n, tˆ
a`n suˆ
a´t xuˆ
a´t hiˆe.n biˆe´n cˆ
o´ A dˆ
a`n vˆe` mˆo.t sˆ
o´ x´ac
’ biˆe´n cˆ
d¯.inh go.i l`a x´ac suˆa´t cua
o´ A.
P (A) = n→∞
lim

m
n

• V´ı du. 19 Mˆo.t xa. thu’ ba˘´n 1000 viˆen d¯a.n v`ao bia. C´o xˆ

a´p xi’ 50 viˆen tr´
ung bia. Khi
50
’
´
´
’
d¯´
o x´ac suˆat d¯ˆe xa. thu ba˘n tr´
ung bia l`a 1000 = 5%.
´’ kha’ n˘
`’
• V´ı du. 20 ¯Dˆe’ nghiˆen cuu
ang xuˆ
a´t hiˆe.n m˘
a.t sˆ
a´p khi tung mˆo.t d¯ˆ
o`ng tiˆe`n, ngu’oi
´’ d¯ˆ
’ du’oi
ta tiˆe´n h`anh tung d¯ˆo`ng tiˆe`n nhiˆe`u lˆ
a`n v`a thu d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho o’’ bang
ay:


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´

ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

10

`’ l`am Sˆo´ lˆa`n Sˆo´ lˆa`n d¯u’o.’c Tˆa`n suˆa´t
Ngu’oi
th´ı nghiˆe.m tung
m˘
a.t sˆa´p
f (A)
Buyffon
4040
2.048
0,5069
Pearson
12.000
6.019
0,5016
Pearson
24.000
12.012
0,5005

3.3

ac suˆ

a´t theo quan d
¯iˆ
e’m h`ınh ho.c
¯Di.nh nghi˜a x´

✷ ¯Di.nh nghi˜a 7 X´et mˆo.t ph´ep thu’’ c´o khˆong gian c´ac biˆe´n cˆ
o´ so’ cˆ
a´p Ω d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n
’’ miˆe`n h`ınh ho.c Ω c´o d¯ˆo. d¯o (¯
˜’ ha.n kh´ac 0, biˆe´n cˆ
boi
dˆo. d`ai, diˆe.n t´ıch, thˆe’ t´ıch) huu
o´ A
’’ miˆe`n h`ınh ho.c A. Khi d¯o´ x´
’’
’ biˆe´n cˆ
d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n boi
ac suˆa´t cua
o´ A d¯u’o.’c x´
ac d¯.inh boi:
’ miˆe`n A
Dˆo d¯o cua
P (A) = ¯ .
’ miˆe`n Ω
¯Dˆo. d¯o cua

• V´ı du. 21 Trˆen d¯oa.n tha˘’ ng OA ta gieo ngˆ
a˜u nhiˆen hai d¯iˆe’m B v`
a C c´
o to.a d¯ˆ

o. tu’ong
’
´
´
’
ung
at sao cho d¯ˆ
o. d`
ai cua d¯oa.n BC b´e hon
o.
’ d¯ˆ
’ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`ım x´ac suˆ
’ d¯oa.n OB.
d`
ai cua
’
Giai
’
Gia’ su’’ OA = l. C´ac to.a d¯ˆo. x v`a y phai
’ m˜
thoa
an c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n:
0 ≤ x ≤ l,

0 ≤ y ≤ l,

y≥x

y
I

Q

(*)

Biˆe’u diˆe˜n x v`a y lˆen hˆe. tru.c to.a d¯oˆ. vuˆong
’ m˜
g´oc. C´ac d¯iˆe’m c´o to.a d¯oˆ. thoa
an (*) thuˆo.c
’
tam gi´ac OM Q (c´o thˆe xem nhu’ biˆe´n cˆo´ cha˘´c
cha˘´n).

M

y=2x

O

x

˜’ d¯iˆe’m
’ c´o y − x < x hay y < 2x (**). Nhung
M˘
a.t kh´ac, theo yˆeu cˆa`u b`ai to´an ta phai
´
´
’ m˜
c´o to.a d¯oˆ. thoa
an (*) v`a (**) thuˆo.c miˆe`n c´o ga.ch. Miˆe`n thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo cˆa`n t`ım

l`a tam gi´ac OM I. Vˆa.y x´ac suˆa´t cˆa`n t´ınh
p=

1
diˆe.n t´ıch OM I
=
diˆe.n t´ıch OM Q
2

`’ g˘
• V´ı du. 22 (B`
ai to´
an hai ngu’oi
a
.p nhau)
`’ he.n g˘
`’
’ tu`’ 19 gio`’ d¯ˆe´n 20 gio.
Hai ngu’oi
a.p nhau o’’ mˆo.t d¯.ia d¯ıˆe’m x´ac d¯.inh v`ao khoang
`’ d¯ˆe´n (cha˘´c cha˘´n s˜
`’ gian trˆen mˆo.t c´ach d¯ˆ
’ thoi
Mˆ
o˜i ngu’oi
e d¯ˆe´n) d¯iˆe’m he.n trong khoang
o.c
´
´
´

´
`’ kia d¯ˆen s˜
lˆ
a.p voi
ut, nˆeu khˆong thˆ
ay ngu’oi
e bo’ d¯i. T`ım x´ac suˆ
a´t
’ nhau, cho`’ trong 20 ph´
`’ g˘
d¯ˆe’ hai ngu’oi
a.p nhau.


3. X´
ac suˆ
a´t

11

’
Giai
`’ gian d¯ˆe´n d¯iˆe’m he.n cua
`’
’ mˆo˜i ngu’oi
Go.i x, y l`a thoi
´
´
`’ g˘
v`a A l`a biˆen cˆo hai ngu’oi

a.p nhau. R˜
o r`ang x, y
’
˜
’
l`a mˆo.t d¯iˆem ngˆau nhiˆen trong khoang [19, 20], ta
c´o 19 ≤ x ≤ 20;
19 ≤ y ≤ 20.
’
`’ g˘
a.p nhau th`ı
¯Dˆe hai ngu’oi
`’
|x − y| ≤ 20 ph´
ut = 31 gio.

y
20
D

A

19

Do d¯´o
Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20}
1
A = {(x, y) : |x − y| ≤ }
3
’ miˆe`n Ω ba˘`ng 1.

Diˆe.n t´ıch cua
’ miˆe`n A ba˘`ng 1 − 2. 21 . 23 . 23 =
Diˆe.n t´ıch cua

o

19

20

x

5
9

diˆen t´ıch A
5/9
Vˆa.y P (A) = .
=
= 0, 555.
diˆe.n t´ıch Ω
1

3.4
sau:

ac suˆ
a´t theo tiˆ
en d
¯ˆ

e`
¯Di.nh nghi˜a x´
’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n
’ Ω thoa
Gia’ su’’ Ω l`a biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n. Go.i A l`a ho. c´ac tˆa.p con cua

´’ Ω.
i) A chua
ii) Nˆe´u A, B ∈ A th`ı A, A + B, AB thuˆo.c A.
’ c´ac tiˆen d¯ˆe` i) v`a ii) th`ı A d¯u’o.’c go.i l`
Ho. A thoa
a d¯a.i sˆ
o´.
’ A th`ı tˆo’ng v`a t´ıch vˆo ha.n A1 + A2 +
iii) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An , . . . l`a c´ac phˆa`n tu’’ cua
. . . + An v`a A1 A2 . . . An . . . c˜
ung thuˆo.c A.
’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n i), ii), iii) th`ı A d¯u’o.’c go.i l`a σ d¯a.i sˆo´.
Nˆe´u A thoa
✷ ¯Di.nh nghi˜a 8 Ta go.i x´ac suˆ
a´t trˆen (Ω, A) l`
a mˆo.t h`am P sˆ
o´ x´ac d¯.inh trˆen A c´
o gi´a
`
’ m˜
tri. trong [0,1] v`a thoa
an 3 tiˆen d¯ˆe sau:
i) P (Ω) = 1.
´’ A, B xung kha˘´c).

ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi
iii) Nˆe´u d˜
ay {An } c´o t´ınh chˆ
a´t A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v`
a A1 A2 . . . An . . . = ∅ th`ı
lim P (An ) = 0.
n→∞


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

12

3.5

’ a x´
C´
ac t´ınh chˆ
a´t cu
ac suˆ
a´t

´’ mo.i biˆe´n cˆo´ A
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi
ii) P (Ω) = 1
iii) P (∅) = 0
iv) Nˆe´u A ⊂ B th`ı P (A) ≤ P (B).
v) P (A) + P (A) = 1.
vi) P (A) = P (AB) + P (AB).

ˆ. T SO
ˆ´ CONG
ˆ
´ SUAT
ˆ´
´’ T´INH XAC
MO
THUC

4.
4.1

´’ cˆ
Cˆ
ong thuc
o.ng x´
ac suˆ
a´t

´’ 1
Cˆ

ong thuc
Gia’ su’’ A v`a B l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c (AB = ∅). Ta c´o
P (A + B) = P (A) + P (B)
´’ minh
Chung
’ ra, trong d¯o´ c´o mA biˆe´n cˆo´
Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A v`a mB biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ B. Khi d¯o´ sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n
lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A + B l`a m = mA + mB .
Do d¯´o
P (A + B) =

mA + mB
mA mB
=
+
= P (A) + P (B)
n
n
n

✷ ¯Di.nh nghi˜a 9
`’
i) C´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , . . . , An d¯u’o.’c go.i l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
a`y d¯u’ xung kha˘´c tung
’
`’ d¯ˆoi v`a tˆ
’ ch´

d¯o
ˆi nˆe´u ch´
ung xung kha˘´c tung
ong cua
ung l`
a biˆe´n cˆ
o´ cha˘´c cha˘´n. Ta c´o
A1 + A2 + . . . + An = Ω,

Ai Aj = ∅

ii) Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
o.c lˆa.p nˆe´u su.’ tˆ
o`n ta.i hay khˆong tˆ
o`n
´
´
´
´
´
’
`
`
’ biˆen cˆo n`ay khˆong anh
’ hu’ong
’ biˆen cˆ
ta.i cua
on ta.i hay khˆong tˆ
on ta.i cua

o kia.
’ d¯ˆen su.’ tˆ
iii) C´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , . . . , An d¯u’o.’c go.i d¯ˆ
o.c lˆa.p to`an phˆ
a`n nˆe´u mˆ
o˜i biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
o.c lˆa.p
’
´’ t´ıch cua
’ mˆo.t tˆo ho.’p bˆa´t k`y trong c´
voi
ac biˆe´n cˆ
o´ c`on la.i.
Hˆ
e. qua’ 1
`’ d¯ˆ
i) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An l`a biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c tung
oi th`ı
P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )


´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t

13

`’ d¯ˆ
ii) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
a`y d¯u’ xung kha˘´c tung
oi th`ı
n

P (Ai ) = 1
i=1

iii) P (A) = 1 − P (A).
´’ 2
Cˆ
ong thuc
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
´’ minh
Chung
’ ra, trong d¯o´ c´o mA biˆe´n cˆo´
Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A, mB biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ B v`a k biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho
biˆe´n cˆo´ AB. Khi d¯´o sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A + B l`a mA + mB − k.
Do d¯´o
P (A + B) =

mA mB
k
mA + mB − k

=
+
− = P (A) + P (B) − P (AB).
n
n
n
n

Hˆ
e. qua’ 2
n

i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) =
i=1

P (Ai ) −

P (Ai Aj ) +
i
P (Ai Aj Ak ) + . . . +
i
(−1)n−1 P (A1 A2 . . . An ).
ii) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An l`a c´ac biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
o.c lˆ
a.p to`
an phˆ
a`n th`ı

P (A1 + A2 + . . . + An ) = 1 − P (A1 ).P (A2 ) . . . P (An ).

’ phˆ
• V´ı du. 23 Mˆo.t lˆo h`ang gˆo`m 10 san
a’m, trong d¯´
o c´o 2 phˆe´ phˆ
a’m. Lˆ
a´y ngˆ
a˜u nhiˆen
’ phˆ
khˆ
ong ho`an la.i tu`’ lˆo h`ang ra 6 san
a’m. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe’ c´o khˆong qu´a 1 phˆe´ phˆ
a’m
’
’ phˆam d¯u’o.’c lˆa´y ra.
trong 6 san
’
Giai
Go.i

’ phˆa’m lˆa´y ra.
A l`a biˆe´n cˆo´ khˆong c´o phˆe´ phˆa’m trong 6 san
B l`a biˆe´n cˆo´ c´o d¯u
´ng 1 phˆe´ phˆa’m.
´
´
C l`a biˆen cˆo c´o khˆong qu´a mˆo.t phˆe´ phˆa’m

th`ı A v`a B l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c v`a C = A + B.
Ta c´o
P (A) =

C86
2
28
=
=
6
C10
210
15


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

14

P (B) =

C21 .C85
112
8
=
=
6
C10
210
15

Do d¯´o
P (C) = P (A) + P (B) =

2
8
2
+
=
15 15
3

´’ c´o 100 sinh viˆen, trong d¯´
’ ngoa.i ngu,
˜’ 30 sinh
• V´ı du. 24 Mˆo.t lop
o c´o 40 sinh viˆen gioi
˜
’ tin ho.c, 20 sinh viˆen gioi
’ ca’ ngoa.i ngu˜’ lˆ
’ ´ıt nhˆ

viˆen gioi
an tin ho.c. Sinh viˆen n`ao gioi
a´t
’ ho.c k`y. Cho.n ngˆ
mˆ
o.t trong hai mˆon s˜
e d¯u’o.’c thˆem d¯iˆe’m trong kˆe´t qua’ ho.c tˆa.p cua
a˜u
´’ T`ım x´
ac suˆ
a´t d¯ˆe’ sinh viˆen d¯´
o d¯u’o.’c t˘
ang d¯iˆe’m.
nhiˆen mˆ
o.t sinh viˆen trong lop.
’
Giai
Go.i

A l`a biˆe´n cˆo´ go.i d¯u’o.’c sinh viˆen d¯u’o.’c t˘
ang d¯iˆe’m.
’ ngoa.i ngu.
˜’
N l`a biˆe´n cˆo´ go.i d¯u’o.’c sinh viˆen gioi
´
´
’ tin ho.c
T l`a biˆen cˆo go.i d¯u’o.’c sinh viˆen gioi

th`ı A = T + N .

Ta c´o
P (A) = P (T ) + P (N ) − P (T N ) =

4.2

30
40
20
50
+
−
=
= 0, 5
100 100 100
100

´’ nhˆ
an x´
ac suˆ
a´t
X´
ac suˆ
a´t c´
od
¯iˆ
e`u kiˆ
e.n v`
a cˆ
ong thuc

a) X´
ac suˆ
a´t c´
od
¯iˆ
e`u kiˆ
e.n
´’ d¯iˆe`u kiˆe.n biˆe´n cˆ
’ biˆe´n cˆ
’ ra d¯u’o.’c go.i l`a
✷ ¯Di.nh nghi˜a 10 X´ac suˆa´t cua
o´ A voi
o´ B xay
’ biˆe´n cˆo´ A. K´ı hiˆe.u P (A/B).
x´
ac c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua
• V´ı du. 25 Trong hˆo.p c´o 5 viˆen bi tra˘´ng, 3 viˆen bi d¯en. Lˆ
a´y lˆ
a`n lu’o.’t ra 2 viˆen bi
’
´
a´t
(khˆ
ong ho`an la.i). T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe lˆ
a`n thu´’ hai lˆ
a´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘ng biˆe´t lˆ
a`n thu´’ nhˆ
´
´
d¯a˜ lˆ

ay d¯u’o.’c viˆen bi tra˘ng.
’
Giai
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ lˆa`n thu´’ hai lˆa´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng
B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa`n thu´’ nhˆa´t lˆa´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng.
Ta t`ım P (A/B).
’ ra) nˆen trong ho.’p c`on 7 viˆen
Ta thˆa´y lˆa`n thu´’ nhˆa´t lˆa´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng (B d¯a˜ xay
´
˘
bi trong d¯ ´o c´o 4 viˆen bi trang. Do d¯´o
P (A/B) =

C41
4
=
1
C7
7


´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t

15

´’
Cˆ
ong thuc
P (A/B) =

P (AB)
P (B)

´’ minh
Chung
’ ra trong d¯o´ c´o mA biˆe´n c´o
Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
´
´
´
´
´
´
thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo A, mB biˆen cˆo thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo B v`a k biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho
biˆe´n cˆo´ AB.
Theo d¯.inh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i cˆo’ d¯iˆe’n ta c´o
P (AB) =

k
,
n

P (B) =

mB
n

’ ra nˆen biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
’ A l`a mB ,
Ta t`ım P (A/B). V`ı biˆe´n cˆo´ B d¯a˜ xay
ang cua
´
´
biˆen cˆo thuˆa.n lo.’i cho A l`a k. Do d¯´o
P (A/B) =

k
=
mB

k
n
mB
n

=

P (AB)
.
P (B)

• V´ı du. 26 Mˆo.t bˆo. b`ai c´o 52 l´a. R´
ut ngˆ

a˜u nhiˆen 1 l´a b`ai. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe’ r´
ut d¯u’o.’c
`
´
con ”´
at” biˆet ra˘ng l´a b`ai r´
ut ra l`a l´a b`ai m`au d¯en.
’
Giai
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ r´
ut d¯u’o.’c con ”´at”
B l`a biˆe´n cˆo´ r´
ut d¯u’o.’c l´a b`ai m`au d¯en.
Ta thˆa´y trong bˆo. b`ai c´o
26 l´a b`ai d¯en nˆen P (B) =

Do d¯´o P (A/B) =

A
♠

♣

26
52

2 con ”´at” d¯en nˆen P (AB) =

A

♣

2
.
52

P (AB)
2/52
1
=
=
P (B)
26/52
13

♠
A
♣

A
♠

´’ nhˆ
b) Cˆ
ong thuc
an x´
ac suˆ
a´t
´’ x´ac suˆa´t c´o d¯iˆe`u kiˆe.n ta c´o
`’ cˆong thuc

Tu
i) P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B).
ii) Nˆe´u A, B l`a hai biˆe´n cˆo´ d¯oˆ. c lˆa.p th`ı P (AB) = P (A).P (B).
iii) P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB)
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) . . . P (An /A1 A2 . . . An−1 ).
• V´ı du. 27 Hˆo.p thu´’ nhˆa´t c´o 2 bi tra˘´ng v`a 10 bi d¯en. Hˆo.p thu´’ hai c´o 8 bi tra˘´ng v`a 4
bi d¯en. Tu`’ mˆo˜i hˆo.p lˆa´y ra 1 viˆen bi. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe’


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

16

a) Ca’ 2 viˆen bi d¯ˆe`u tra˘´ng,
b) 1 bi tra˘´ng, 1 bi d¯en.
’
Giai
Go.i T l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y ra d¯u’o.’c ca’ 2 bi tra˘´ng
`’ hˆo.p thu´’ nhˆa´t
T1 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi tra˘´ng tu

´
´
´
´
`’ hˆo.p thu´’ hai
T2 l`a biˆen cˆo lˆay d¯u’o.’c bi tra˘ng tu
th`ı T1 , T2 l`a 2 biˆe´n cˆo´ d¯oˆ. c lˆa.p v`a T = T1 T2 . Ta c´o
1
P (T1 ) = ,
6

P (T2 ) =

2
3

Do d¯´o P (T ) = P (T1 T2 ) = P (T1 ).P (T2 ) = 16 . 32 = 19 .
b) Go.i T1 , T2 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi tra˘´ng o’’ hˆo.p thu´’ nhˆa´t, thu´’ hai
D1 , D2 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi d¯en o’’ hˆo.p thu´’ nhˆa´t, thu´’ hai
T1 D2 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi tra˘´ng o’’ hˆo.p thu´’ nhˆa´t v`a bi d¯en o’’ hˆo.p thu´’ hai
T2 D1 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi tra˘´ng o’’ hˆo.p thu´’ hai v`a bi d¯e n o’’ hˆo.p thu´’ nhˆa´t
th`ı A = T1 D2 + T2 D1 .
Ta c´o

1
2
P (T1 ) = , P (T2 ) =
6
3
5

1
P (D1 ) = 1 − P (T1 ) =
P (D2 ) = 1 − P (T2 ) =
6
3

Suy ra
P (A) = P (T1 D2 ) + P (T2 D1 ) = P (T1 ).P (D2 ) + P (T2 ).P (T1 )
1 1 2 5
11
= . + . =
6 3 3 6
8
’’ n th`anh phˆ
• V´ı du. 28 Mˆo.t hˆe. thˆo´ng d¯u’o.’c cˆa´u th`anh boi
a`n riˆeng le’ d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t hˆe.
thˆ
o´ng song song nˆe´u n´o hoa.t d¯ˆo.ng khi ´ıt nhˆ
a´t mˆo.t th`anh phˆ
a`n hoa.t d¯ˆ
o.ng. Th`anh phˆ
a`n
’
´’ c´ac th`anh phˆa`n kh´ac) hoa.t d¯ˆ
´’ x´ac suˆ
thu´’ i (¯
doˆ. c lˆa.p voi
o.ng voi
a´t pi . T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe hˆe.

´
thˆ
ong song song hoa.t d¯ˆo.ng.
1

A

2
3
n

’
Giai
Go.i
A l`a biˆe´n cˆo´ hˆe. thˆo´ng hoa.t d¯ˆo.ng.

B


´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t

17

Ai l`a biˆe´n cˆo´ th`anh phˆa`n thu´’ i hoa.t d¯ˆo.ng.

Ta c´o
P(A) = 1 − P (A)
= 1 − P (A1 .A2 . . . An )
n

=

1−

=

1−

P (Ai )
i=1
n

(1 − pi )

i=1

• V´ı du. 29 (H^
e x´
ıch) X´et mˆo.t hˆe. thˆ
o´ng gˆ
o`m hai th`anh phˆ
a`n. Hˆe. thˆ
o´ng hoa.t d¯ˆ
o.ng
.

´
khi v`
a chi’ khi ca’ hai th`anh phˆa`n hoa.t d¯ˆ
o.ng (c´
ac th`
anh phˆ
a`n d¯u’o.’c nˆ
oi theo x´ıch).
A

B

’ mˆo.t th`anh phˆa`n cua
’ hˆe. thˆo´ng l`a x´ac suˆa´t m`a th`anh phˆa`n c´o
o. tin cˆa.y R(t) cua
¯Dˆ
’
`’ gian t.
’ thoi
thˆe hoa.t d¯oˆ. ng ´ıt nhˆa´t khoang
’’ T > t th`ı
`’ gian” boi
Nˆe´u k´ı hiˆe.u biˆe´n cˆo´ ”th`anh phˆa`n hoa.t d¯oˆ. ng ´ıt nhˆa´t t d¯on
’ vi. thoi
R(t) = P (T > t)
’ th`anh phˆa`n A v`a B, nghi˜a l`a
Go.i PA v`a PB l`a d¯oˆ. tin cˆa.y cua
`’ gian),
PA = P (A hoa.t d¯ˆo.ng ´ıt nhˆa´t t d¯on
’ vi. thoi

`’ gian).
PB = P (B hoa.t d¯ˆo.ng ´ıt nhˆa´t t d¯on
’ vi. thoi
’ hˆe. thˆo´ng l`a R = pA .pB .
Nˆe´u c´ac th`anh phˆa`n hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p th`ı d¯ˆo. tin cˆa.y cua
• V´ı du. 30
’’
’ hˆe. thˆo´ng cho boi
X´et d¯ˆo. tin cˆa.y cua
h`ınh bˆen. Th`anh phaˆ`n nˆo´i A v`a B trˆen
’’ th`anh phˆ
’ c´o thˆe’ thay boi
d¯inh
a`n d¯on
’
´
`
voi
o. tin cˆa.y pA .pB . Th`anh phˆan song
’ d¯ˆ
’’
’ nga˘´t C v`a D c´o thˆe’ thay boi
song cua
´
´
nga˘t d¯on
’ voi
’ d¯ˆo. tin cˆa.y 1−(1−pC ).(1−
pD ).

A

’ hˆe. thˆo´ng song song n`ay l`a
o. tin cˆa.y cua
¯Dˆ
1 − (1 − pA .pB )[1 − (1 − (1 − pC ).(1 − pD ))]

B

C
D


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

18

4.3

´’ x´
´’ Bayes

’ v`
Cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t d
¯ˆ
a`y d
¯u
a cˆ
ong thuc

´’ x´
’
a) Cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t d
¯ˆ
a`y d
¯u
´’
Cˆ
ong thuc
`’ d¯ˆoi v`a B l`a biˆe´n
Gia’ su’’ A1 , A2 , . . . , An l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆo´ d¯ˆa`y d¯u’ xung kha˘´c tung
’
´
´
’
’ ra trong ph´ep thu.

cˆo bˆat k`
y c´o thˆe xay
’ Khi d¯´o ta c´o
n

P (B) =

P (Ai ).P (B/Ai )
i=1

´’ minh
Chung
V`ı A1 + A2 + . . . + An = Ω nˆen
B = B(A1 + A2 + . . . + An ) = BA1 + B2 + . . . + BAn
`’ d¯ˆoi nˆen c´ac biˆe´n cˆo´ t´ıch BA1 , BA2 , . . .,
Do c´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , . . . , An xung kha˘´c tung
´
`’ d¯ˆoi.
BAn c˜
ung xung kha˘c tung
n

Theo d¯.inh l´
y cˆo.ng x´ac suˆa´t ta c´o P (B) =

P (BAi ).
i=1

´’ nhˆan x´ac suˆat th`ı P (BAi ) = P (Ai ).P (B/Ai ).
M˘

a.t kh´ac theo cˆong thuc
n

Do d¯´o P (B) =

P (Ai ).P (B/Ai ).
i=1

´’ trˆen c`on d¯u
’’
´ng nˆe´u ta thay d¯iˆe`u kiˆe.n A1 + A2 + . . . + An = Ω boi
Ch´
uy
´ Cˆong thuc
B ⊂ A1 + A2 + . . . + An .
’ phˆa’m trong d¯´
’ phˆ
’ xuˆ
• V´ı du. 31 X´et mˆo.t lˆo san
o sˆ
o´ san
a’m do nh`a m´ay I san
a´t chiˆe´m
´
´
´
´
’ xuˆat chiˆem 30%, nh`a m´ay III san
’ xuˆ
20%, nh`a m´ay II san

at chiˆem 50%. X´ac suˆ
a´t phˆe´
’ nh`a m´ay I l`a 0,001; nh`a m´ay II l`
phˆ
a’m cua
a 0,005; nh`a m´ay III l`a 0,006. T`ım x´ac suˆ
a´t
d¯ˆe’ lˆ
a´y ngˆ
a˜u nhiˆen d¯u’o.’c d¯u
´ng 1 phˆe´ phˆ
a’m.
’
Giai
’ phˆa’m lˆa´y ra l`a phˆe´ phˆa’m
Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ san
’ phˆa’m cua
’ nh`a m´ay I, II, III
A1 , A2 , A3 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c san
`’ d¯ˆoi. Ta c´o
th`ı A1 , A2 , A3 l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c tung
P (A1 ) = 0, 2;
P (B/A1 ) = 0, 001;

P (A2 ) = 0, 3;
P (B/A2 ) = 0, 005;

P (A3 ) = 0, 5
P (B/A3 ) = 0, 006

Do d¯´o
P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) + P (A3 ).P (B/A3 )
= 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006
= 0, 0065


´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t

19

´’ 4 bi tra˘´ng, 3 bi v`ang v`a 1 bi xanh. Lˆ
• V´ı du. 32 Mˆo.t hˆo.p chua
a´y lˆ
a`n lu’o.’t (khˆong ho`an
’
´
a´y d¯u’o.’c 1 bi tra˘ng v`
la.i) tu`’ hˆo.p ra 2 bi. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe lˆ
a 1 bi v`ang.
’
Giai
Go.i T l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi tra˘´ng, V l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c bi v`ang.
Ta c´o

4
1
3
= ;
P (V ) = ;
8
2
8
3
4
P (V /T ) = ;
P (T /V ) =
7
7
X´ac xuˆa´t d¯ˆe’ lˆa´y d¯u’o.’c 1 bi tra˘´ng v`a 1 bi v`ang l`a
P (T ) =

1 3 3 4
3
P (T V ) = P (T ).P (V /T ) + P (V ).P (T /V ) = . + . = .
2 7 8 7
7
✷ Cˆ
ay x´
ac suˆ
a´t
´’ mˆo.t d˜
ay nhiˆe`u biˆe´n cˆo´. Cˆ
ay x´ac suˆ
a´t cung

Trong thu.’c tˆe´ c´o nhiˆe`u ph´ep thu’’ chua
cˆa´p cho ta mˆo.t cˆong cu. thuˆa.n lo.’i cho viˆe.c x´ac d¯.inh cˆa´u tr´
uc c´ac quan hˆe. bˆen trong c´ac
´
’
ph´ep thu’ khi t´ınh x´ac suˆat.
’ cˆay x´ac suˆa´t d¯u’o.’c x´ac d¯.inh nhu’ sau:
Cˆa´u tr´
uc cua
´’ c´ac kˆe´t qua’ cua
´’ voi
’’
’ d˜
ay ph´ep thu.
i) V˜
e biˆe’u d¯ˆo` cˆay x´ac suˆa´t tu’ong
’ ung
´’ mˆo˜i nh´anh.
ii) G´an mˆo˜i x´ac suˆa´t voi
Cˆay x´ac suˆa´t sau minh ho.a cho v´ı du. 32.
3/7

T
1/2
3/8

4/7

V

T
V
X
T
V
X

1 3
.
2 7
3 4
.
8 7

T

X

V
´’ Bayes
b) Cˆ
ong thuc
´’
Cˆ
ong thuc
`’ d¯oˆi v`a B l`a biˆe´n
Gia’ su’’ A1 , A2 , . . . , An l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆo´ d¯ˆa`y d¯u’ xung kha˘´c tung
’
´
´

’
’ ra trong ph´ep thu.
cˆo bˆat k`
y c´o thˆe xay
’ Khi d¯´o ta c´o
P (Ai /B) =

P (Ai ).P (B/Ai )
P (Ai ).P (B/Ai )

n
i=1

i = 1, 2, . . . , n


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

20

´’ minh

Chung
´’ x´ac suˆa´t c´o d¯iˆe`u kiˆe.n ta c´o
Theo cˆong thuc
P (Ai /B) =

(Ai B)
P (Ai ).P (B/Ai )
=
P (B)
P (B)
n

´’ x´ac suˆat d¯ˆa`y d¯u’ th`ı P (B) =
M˘
a.t kh´ac theo cˆong thuc

P (Ai ).P (B/Ai ).
i=1

Do d¯´o P (Ai /B) =

P (Ai ).P (B/Ai )
.
P (Ai ).P (B/Ai )

n
i=1

• V´ı du. 33 Gia’ su’’ c´o 4 hˆo.p nhu’ nhau d¯u.’ng c`
ung mˆo.t chi tiˆe´t m´ay, trong d¯´

o c´o mˆo.t
´
´
´
´
´
˜
’
hˆ
o.p 3 chi tiˆet xˆau, 5 chi tiˆet tˆot do m´ay I san suˆ
at; c`on ba hˆo.p c`on la.i mˆ
oi hˆo.p d¯u.’ng 4
’ suˆ
chi tiˆe´t xaˆ´u, 6 chi tiˆe´t tˆo´t do m´ay II san
a´t. Lˆ
a´y ngˆ
a˜u nhiˆen mˆo.t hˆo.p rˆ
o`i tu`’ hˆo.p d¯´
o
´
´
lˆ
ay ra mˆ
o.t chi tiˆet m´ay.
a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ chi tiˆe´t m´ay lˆ
a´y ra l`
a tˆ
o´t.
´’ chi tiˆe´t tˆo´t o’’ cˆau a, t`ım x´ac suˆ
’ m´

b) Voi
a´t d¯ˆe’ n´o d¯u’o.’c lˆ
a´y ra tu`’ hˆ
o.p cua
ay I.
’
Giai
Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c chi tiˆe´t tˆo´t
’ m´ay I, II
A1 , A2 l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y d¯u’o.’c hˆo.p d¯u.’ng chi tiˆe´t m´ay cua
´
´
´
`
th`ı A1 , A2 l`a nh´om c´ac biˆen cˆo xung kha˘c tung
’ d¯ˆoi.
a)
P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 )
5
P (B/A1 ) = ;
8

1
P (A1 ) = ;
4
Do d¯´o

b) P (A1 /B) =

3

P (A2 ) = ;
4

1 5 3 6
97
P (B) = . + . =
4 8 4 10
160
1 5
.
P (A1 ).P (B/A1 )
26
= 4978 =
P (B)
97
160

’’
’ cˆau a) cho boi
* Cˆay x´ac suˆa´t cua
5
8
1
4

1 5
.
4 8

I

X
6
10

3
4

T

T

II
X

3 6
.
4 10

P (B/A2 ) =

6
10


´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ

a´t

21

´’ 2 san
’ phˆ
’ phˆ
• V´ı du. 34 Mˆo.t hˆo.p c´o 4 san
a’m tˆ
o´t d¯u’o.’c trˆo.n lˆ
a˜n voi
a’m xˆ
a´u. Lˆ
a´y ngˆ
a˜u
’
’
’
’ phˆ
’ phˆ
’ phˆ
am. Biˆe´t san
am lˆ
a´y ra o’’ lˆ
a`n hai l`a san
am tˆ
o´t.
nhiˆen lˆa`n lu’o.’t tu`’ hˆo.p ra 2 san
’
’

’
´
´
´
´
´
’ phˆam lˆay ra o’’ lˆ
’ phˆ
T`ım x´ac suˆat d¯ˆe san
a`n thu’ nhˆ
at c˜
ung l`a san
am tˆ
ot.
’
Giai
’ phˆa’m lˆa´y ra lˆa`n thu´’ nhˆa´t l`a san
’ phˆa’m tˆo´t.
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ san
’ phˆa’m lˆa´y ra lˆa`n thu´’ hai l`a san
’ phˆa’m tˆo´t.
B l`a biˆe´n cˆo´ san
Ta c´o

3
2
4
P (A) = , P (B|A) = , P (A) = ,
6
5

6
Theo d¯.inh l´
y Bayes th`ı x´ac suˆa´t cˆa`n t`ım l`a
P (A|B) =

P (B|A) =

4
5

4 3
.
P (A).P (B|A)
3
= 4 36 52 4 = .
5
. + 6.5
P (A).P (B|A) + P (A).P (B|A)
6 5

Ch´
uy
´ Ta c´o thˆe’ nh`ın d¯.inh l´
y Bayes theo c´ach h`ınh ho.c thˆong qua viˆe.c viˆe.c minh
ho.a v´ı du. trˆen nhu’ sau:
V˜
e mˆo.t h`ınh vuˆong ca.nh
1
1. Chia tru.c ho`anh theo c´ac
ti’ sˆo´

P (B|A) = 4/5
P (A) = 64 , P (A) = 26 .
Tru.c tung chi’ c´ac x´ac suˆa´t
P (A|B) = 3/5
c´o d¯iˆe`u kiˆe.n
P (B|A) = 35 , P (B|A) = 45 .
V`
ung sˆa.m nhiˆe`u trˆen
P (A) chi’ P (A).P (B|A).
V`
ung sˆa.m to`an bˆo. chi’
P (B) = 46 . 35 + 26 . 45 = 23 .
X´ac suˆa´t P (A|B) =
bˆo..

4 3
.
6 5
4 3
2 4
.
+
.
6 5
6 5

0

=

3
5

1
P (A) = 4/6

P (A) = 2/6

˜’ v`
l`a ti’ sˆo´ giua
ung sˆa.m nhiˆe`u v`a v`
ung sˆa.m to`an

`’ b´
• V´ı du. 35 (Theo thoi
ao New York ng`
ay 5/9/1987)

’ virus HIV (human immunodeficiency virus)
Mˆ
o.t ”test” kiˆe’m tra su.’ hiˆe.n diˆe.n cua
´
´
cho kˆet qua’ du’ong
ung c´o
’ t´ınh nˆeu bˆe.nh nhˆan thu.’c su.’ nhiˆe˜m virus. Tuy nhiˆen, test n`ay c˜
´
´
´
˜

`
’
’
sai s´ot. ¯Dˆoi khi cho kˆet qua du’ong
oi voi
’ t´ınh d¯ˆ
’ ngu’oi
’ khˆong bi. nhiˆem virus, ty lˆe. sai s´ot
’
’
˜
`’ th`ı c´o 1 ngu’oi
`’ nhiˆe˜m virus. T`ım
’
l`
a 1/20000. Gia su’ kiˆem tra ngˆau nhiˆen 10.000 ngu’oi
`’ c´o kˆe´t qua’ du’ong
ty’ lˆe. ngu’oi
’ t´ınh thu.’c su.’ nhiˆe˜m virus.
’
Giai
`’ bˆe.nh bi. nhiˆe˜m virus v`a
Go.i A l`a biˆe´n c´o ngu’oi
T + l`a biˆe´n c´o test cho kˆe´t qua’ du’ong
’ t´ınh


22

˜’

’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

th`ı P (A) = 0, 0001;

P (T + /A) = 1;

P (T + /A) =

1
20000

Theo d¯.inh l´
y Bayes ta c´o
P (A).P (T + /A)
P (A).P (T + /A) + P (A).P (T + /A)
(0, 0001).1
=
1
(0, 0001).1 + (0, 9999). 20000
20000
=
29999

P (A/T + ) =

5.

´ THU’’ BERNOULLI
˜ PHEP
DAY

✷ ¯Di.nh nghi˜a 11 Tiˆe´n h`anh n ph´ep thu’’ d¯ˆ
o.c lˆa.p. Gia’ su’’ trong mˆ
o˜i ph´ep thu’’ chi’ c´o
`’ ho.’p: ho˘
’ ra mˆo.t trong hai tru’ong
’ ra ho˘
’
thˆe’ xay
a.c biˆe´n cˆ
o´ A xay
a.c biˆe´n cˆ
o´ A khˆong xay
’
`
´
’
’
˜
`
’
’ ra trong mˆoi ph´ep thu’ d¯ˆeu ba˘ng p. D˜

ra. X´ac suaˆt d¯ˆe A xay
ay ph´ep thu’ thoa m˜
an c´ac
d¯iˆe`u kiˆe.n trˆen d¯u’o.’c go.i l`a d˜
ay ph´ep thu’’ Bernoulli.
´’ Bernoulli
Cˆ
ong thuc
’ d˜
X´ac suˆa´t d¯ˆe’ biˆe´n cˆo´ A xuˆa´t hiˆe.n k lˆa`n trong n ph´ep thu’’ cua
ay ph´ep thu’’ Bernoulli
’’
cho boi
Pn (k) = Cnk pk q n−k
(q = 1 − p; k = 0, 1, 2, . . . , n)
´’
’ mˆo.t d˜
minh. X´ac suˆa´t cua
ay n ph´ep thu’’ d¯oˆ. c lˆa.p bˆa´t k`
y trong d¯´o biˆe´n cˆo´ A
Chung
’ ra k lˆa`n (biˆe´n cˆo´ A khˆong xay
’ ra n − k lˆa`n) ba˘`ng pk q n−k . V`ı c´o Cnk d˜
xay
ay nhu’
k k n−k
’
´
´
´

’
`
’
vˆa.y nˆen x´ac suˆat d¯ˆe biˆen cˆo A xay ra k lˆan trong n ph´ep thu’ l`a Pn (k) = Cn p q
(q = 1 − p; k = 0, 1, 2, . . . , n)
✷
˜’ khoi
’ bˆe.nh l`a 0,8. C´o ngu’oi
`’ n´oi ra˘`ng cu´’ 10
• V´ı du. 36 Mˆo.t b´ac si˜ c´o x´ac suˆa´t chua
`’ d¯ˆe´n chua
˜’ th`ı cha˘´c cha˘´n c´o 8 ngu’oi
`’ khoi
’ bˆe.nh. ¯Diˆe`u kha˘’ ng d¯.inh d¯´
ngu’oi
o c´o d¯u
´ng khˆong?
’
Giai
’
˜’ bˆe.nh cho 10 ngu’oi
`’ l`a mˆo.t d˜
’
ay cua
¯Diˆe`u kha˘ng d¯.inh trˆen l`a sai. Ta c´o xem viˆe.c chua
˜’ khoi
’ bˆe.nh cho mˆo.t ngu’oi
`’ th`ı P (A) = 0, 8.
10 ph´ep thu’’ d¯ˆo.c lˆa.p. Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ chua
`’ d¯ˆe´n chua

˜’ c´o 8 ngu’oi
`’ khoi
’ bˆe.nh l`a
Do d¯´o x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong 10 ngu’oi
8
.(0, 8)8 .(0, 2)2 ≈ 0, 3108
P10 (8) = C10

´’ nhau v`ao c`
• V´ı du. 37 Ba˘´n 5 viˆen d¯a.n d¯ˆo.c lˆa.p voi
ung mˆo.t bia, x´ac suˆ
a´t tr´
ung d¯´ıch
´
`
´
´
´
`
’ bia phai
’ c´o ´ıt nhˆ
c´
ac lˆ
an ba˘n nhu’ nhau v`a ba˘ng 0,2. Muˆ
on ba˘n hong
at 3 viˆen d¯a.n ba˘´n
’
tr´
ung d¯´ıch. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ bia bi. hong.
’

Giai
’ l`a
Go.i k l`a sˆo´ d¯a.n ba˘´n tr´
ung bia th`ı x´ac suˆa´t d¯ˆe’ bia bi. hong


6. B`
ai tˆ
a. p

23

P (k ≥ 3) = P5 (3) + P5 (4) + P5 (5)
= C53 p3 q 2 + C54 p4 q + C55 p5
= 0,0512+0,0064+0,0003
= 0,0579

6.

` TA
ˆ. P
BAI
`’ hai con x´
1. Gieo d¯ˆo`ng thoi
uc sa˘´c. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
(a) Tˆo’ng
(b) Tˆo’ng

sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n trˆen hai con l`a 7.
sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n trˆen hai con l`a 8.

(c) Sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n hai con hon
’ k´em nhau 2.

2. C´o 12 h`anh kh´ach lˆen mˆo.t t`au d¯iˆe.n c´o 4 toa mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen. T`ım x´ac suˆa´t
d¯ˆe’:
(a) Mˆo˜i toa c´o 3 h`anh kh´ach;
(b) Mˆo.t toa c´o 6 h`anh kh´ach, mˆo.t toa c´o 4 h`anh kh´ach, hai toa c`on la.i mˆo˜i toa
c´o 1 h`anh kh´ach.
`’ 0 d¯ˆe´n 9. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen hai tˆa´m the’ xˆe´p th`anh
3. C´o 10 tˆa´m the’ d¯u’o.’c d¯´anh sˆo´ tu
mˆo.t sˆo´ gˆo`m 2 chu˜’ sˆo´. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sˆo´ d¯o´ chia hˆe´t cho 18.
`’ hˆo.p ra 2 bi. T`ım x´ac suˆa´t
4. Trong hˆo.p c´o 6 bi d¯en v`a 4 bi tra˘´ng. R´
ut ngˆa˜u nhiˆen tu
d¯ˆe’ d¯u’o.’c:
(a) 2 bi d¯en,
(b) ´ıt nhˆa´t 1 bi d¯en,
(c) bi thu´’ hai m`au d¯en.
5. Cho ba biˆe´n cˆo´ A, B, C c´o c´ac x´ac suˆa´t
P (A) = 0, 525,
P (AB) = 0, 052,

P (B) = 0, 302,
P (BC) = 0, 076,

P (C) = 0, 480,
P (CA) = 0, 147,

P (ABC) = 0, 030.

´’ minh ra˘`ng c´ac sˆo´ liˆe.u d¯a˜ cho khˆong ch´ınh x´ac.
Chung
6. Trong tu’ c´o 8 d¯oˆi gi`ay. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra 4 chiˆe´c gi`ay. T`ım x´ac suˆa´t sao cho trong
c´ac chiˆe´c gi`ay lˆa´y ra
’
(a) khˆong lˆa.p th`anh mˆo.t d¯ˆoi n`ao ca.
(b) c´o d¯u
´ng 1 d¯oˆi gi`ay.
`’ bo’ ngˆa˜u nhiˆen 3 l´a thu’ v`ao 3 chiˆe´c phong b`ı d¯a˜ ghi d¯.ia chi.’ T´ınh x´ac
7. Mˆo.t ngu’oi
’ n´o.
suˆa´t d¯ˆe’ ´ıt nhˆa´t c´o mˆo.t l´a thu’ bo’ d¯u
´ng phong b`ı cua


˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

24

´’ x´ac suˆa´t cˆa`n cˆa´p cuu
´’ trong mˆo.t ca tru.’c l`a

8. Mˆo.t ph`ong d¯iˆe`u tri. c´o 3 bˆe.nh nhˆan voi
´
0,7; 0,8 v`a 0,9. T`ım x´ac suˆat sao cho trong mˆo.t ca tru.’c:
´’
(a) C´o 2 bˆe.nh nhˆan cˆa`n cˆa´p cuu.
´’
(b) C´o ´ıt nhˆa´t 1 bˆe.nh khˆong cˆa`n cˆa´p cuu.
9. Biˆe´t x´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t ho.c sinh d¯a.t yˆeu cˆa`u o’’ lˆa`n thi thu´’ i l`a pi (i = 1, 2). T`ım x´ac
suˆa´t d¯ˆe’ ho.c sinh d¯o´ d¯a.t yˆeu cˆa`u trong k`
y thi biˆe´t ra˘`ng mˆo˜i ho.c sinh d¯u’o.’c ph´ep thi
´
tˆoi d¯a 2 lˆa`n.
10. Cho 2 ma.ch d¯iˆe.n nhu’ h`ınh v˜
e
1

2

A

1
5

3

4

(a)

B

A

4

B

3
5

2

(b)

`’ A
Gia’ su’’ x´ac suˆa´t d¯ˆe’ d`ong d¯iˆe.n qua nga˘´t i l`a pi . T`ım x´ac suˆa´t c´o d`ong d¯iˆe.n d¯i tu
´
d¯ˆen B.
`’ hai con x´
11. Gieo d¯ˆo`ng thoi
uc xa˘´c cˆan d¯ˆo´i d¯ˆo`ng chˆa´t 20 lˆa`n liˆen tiˆe´p. T`ım x´ac suˆa´t
’
´
´
d¯ˆe xuˆat hiˆe.n ´ıt nhˆat mˆo.t lˆa`n 2 m˘
a.t trˆen c`
ung c´o 6 nˆo´t.
´’ d¯u’o.’c phˆan loa.i theo c´ach sau. Cho.n ngˆa˜u nhiˆen 20 qua’ cam
12. Mˆo.t so.t cam rˆa´t lon
˜

’ n`ao th`ı so.t cam d¯u’o.’c xˆe´p
l`am mˆau d¯a.i diˆe.n. Nˆe´u mˆa˜u khˆong c´o qua’ cam hong
’ th`ı so.t cam d¯u’o.’c ees p loa.i 2. Trong
loa.i 1. Nˆe´u mˆa˜u c´o mˆo.t ho˘
a.c hai qua’ hong
`’ 3 qua’ hong
’ tro’’ lˆen) th`ı so.t cam d¯u’o.’c xˆe´p loa.i 3.
`’ ho.’p c`on la.i (c´o tu
tru’ong
’ cua
’ so.t cam l`a 3%. H˜
Gia’ su’’ ti’ lˆe. cam hong
ay t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
(a) So.t cam d¯u’o.’c
(b) So.t cam d¯u’o.’c
(c) So.t cam d¯u’o.’c

xˆe´p loa.i 1.
xˆe´p loa.i 2.
xˆe´p loa.i 3.

’ xuˆa´t tivi c´o90% san
’ phˆa’m d¯a.t tiˆeu chuˆa’n k˜
13. Mˆo.t nh`a m´ay san
y thuˆa.t. Trong qu´a
’
’
’ phˆa’m d¯a.t tiˆeu chuˆa’n k˜
tr`ınh kiˆem nghiˆe.m, x´ac suˆa´t d¯ˆe chˆa´p nhˆa.n mˆo.t san
y thuˆa.t

’
’
´
´
’ phˆam khˆong d¯a.t k˜
l`a 0,95 v`a x´ac suˆat d¯ˆe chˆap nhˆa.n mˆo.t san
y thuˆa.t l`a 0,08. T`ım
’ phˆa’m d¯a.t tiˆeu chuˆa’n k˜
x´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t san
y thuˆa.t qua kiˆe’m nghiˆe.m d¯u’o.’c chˆa´p
nhˆa.n.
´’ A ho.’p d¯ˆo`ng san
´’ cˆong ty B v`a 60 %
’ xuˆa´t bo ma.ch, 40% d¯ˆo´i voi
14. Mˆo.t cˆong ty lon
´
´
`
`’ cˆong
d¯ˆoi voi’ cˆong ty C. Cˆong ty B la.i ho.’p d¯ˆong 70% bo ma.ch n´o nhˆa.n d¯u’o.’c tu
´’ cˆong ty D v`a 30% d¯ˆo´i voi
´’ cˆong ty E. Khi bo ma.ch d¯u’o.’c ho`an th`anh tu
`’
ty A voi
c´ac cˆong ty C, D v`a E, ch´
ung d¯u’o.’c d¯ua
’ d¯ˆe´n cˆong ty A d¯ˆe’ ga˘´n v`ao c´ac model kh´ac


25

6. B`
ai tˆ
a. p

´’ cua
`’ ta nhˆa.n thˆa´y 1,5%, 1% v`a 5% tu’ong
’ m´ay t´ınh. Ngu’oi
’ c´ac bo
nhau cua
’ ung
’ cˆong ty D, C v`a E hu’ trong v`ong 90 ng`ay bao
’ h`anh sau khi b´an. T`ım
ma.ch cua
`’ gian 90 ng`ay d¯ u’o.’c bao
’ m´ay t´ınh bi. hu’ trong khoang
’ thoi
’
x´ac suˆa´t bo ma.ch cua
h`anh.
`’ c´o nh´om m´au AB c´o thˆe’ nha.n m´au cua
’ bˆa´t k`
15. Biˆe´t ra˘`ng mˆo.t ngu’oi
y nh´om m´au
´
`’ d¯´o c´o nh´om m´au c`on la.i (A, B ho˘
n`ao. Nˆeu ngu’oi
a.c O) th`ı chi’ c´o thˆe’ nhˆa.n m´au
´’ m`ınh ho˘
`’ c´o c`

’ ngu’oi
cua
ung nh´om m´au voi
a.c nh´om m´au O.
´’ l`a 33,7%; 37,5%;
`’ c´o nh´om m´au O, A, B v`a AB tu’ong
Cho biˆe´t ty’ lˆe. ngu’oi
’ ung
20,9% v`a 7,9%.
`’ cˆa`n tiˆe´p m´au v`a mˆo.t ngu’oi
`’ cho m´au. T´ınh x´ac
(a) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu’oi
suˆa´t d¯ˆe’ su.’ truyˆe`n m´au d¯u’o.’c thu.’c hiˆe.n.
`’ cˆa`n tiˆe´p m´au v`a hai ngu’oi
`’ cho m´au. T´ınh x´ac
(b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu’oi
suˆa´t d¯ˆe’ su.’ truyˆe`n m´au d¯u’o.’c thu.’c hiˆe.n.
16. Lˆo h`ang thu´’ I c´o 5 ch´ınh phˆa’m v`a 3 phˆe´ phˆa’m. Lˆo h`ang thu´’ II c´o 3 ch´ınh phˆa’m
v`a 2 phˆe´ phˆa’m.
`’ mˆo˜i lˆo h`ang ra 1 san
’ phˆa’m.
(a) Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen tu
i) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ lˆa´y d¯u’o.’c 2 ch´ınh phˆa’m.
ii) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ lˆa´y d¯u’o.’c 1 ch´ınh phˆa’m v`a 1 phˆe´ phˆa’m.
iii) Gia’ su’’ lˆa´y d¯u’o.’c 1 ch´ınh phˆa’m v`a 1 phˆe´ phˆa’m. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ phˆe´ phˆa’m
’ lˆo h`ang thu´’ I.
l`a cua
`’ d¯´o lˆa´y ra 2 san
’ phˆa’m. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’
(b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t lˆo h`ang rˆo`i tu

lˆa´y d¯u’o.’c 2 ch´ınh phˆa’m.
`’ BAI
` TA
ˆ. P
• TRA’ LOI
✷
1. (a)

1
6

, (b)

4. (a)

1
3

, (b) 35 , (c) 35 .

5
36

, (c) 92 .

8. (a) 0,398; (b) 0,496.

12!
6!4!412

3. 18 .

6. (a) 0,6154 ; (b) 0,3692.

7. 32 .

2. (a)

12!
(3!)4 .412

, (b)

9. p1 + (1 − p1 )p2 .

35 20
10. 1 − ( 36
) .

12. (a) p = (0, 97)20 = 0, 5438,
(b) p = 20(0, 03)(0, 97)19 + 190(0, 03)2 .(0, 97)18 = 0, 4352,
(c) 1 − 0, 54338 − 0, 4352 = 0, 021
13. 0,99
14. p = 0, 4.0, 7.0, 015 + 0, 4.0, 3.0, 01 + 0, 6.0, 005 = 0, 0084.