Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 ths nguyễn phương

Chương 4:
DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013

1


1

Giá trị riêng - vectơ riêng
Các định nghĩa
Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

2

Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao
Định nghĩa chéo hóa
Các bước chéo hóa ma trận vuông
Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

3

Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc
Dạng toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange
Phương pháp Jacobi

4

Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester
Dạng toàn phương xác định dấu
Định lý Sylvester


Giá trị riêng - vectơ riêng

Các định nghĩa

Định nghĩa
- Cho ma trận A ∈ Mn (R). Số thực λ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại
vector 0 x ∈ Rn nếu A[x] = λ[x].
- Vector x 0 thỏa A[x] = λ[x] được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với
trị riêng λ.
Ví dụ 1:Với A =

4
1

A[x] =

−2
1

, x = (2; 1), ta được

4 −2
1 1

2
1

=

6
3

=3

2
1

= 3[x]

Vậy x = (2; 1) là vector riêng của A ứng với trị riêng λ = 3.
Tính chất
Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λ thì kx, k
riêng ứng với trị riêng λ.

0 cũng là vectơ

Nếu A có trị riêng λ thì λm là trị riêng của Am .
Nếu A có trị riêng λ và |A|

0 thì λ−m là trị riêng của A−m .
3


Giá trị riêng - vectơ riêng

Các định nghĩa

Định nghĩa
Cho ma trận vuông A = (aij ) cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I.
- Ma trận đặc trưng của A là

 a11 − λ
 a
21

A − λI = 
..

.

an1

a12
a22 − λ
..
.
an2

...

...
..
.
...

a1n
a2n
..
.

ann − λ










- Đa thức đặc trưng của A là định thức của ma trận đặc trưng (là một đa
thức λ), det(A − λI).
- Phương trình đặc trưng của ma trận A là det(A − λI) = 0.
Ví dụ 2: Cho A =

1
3

2

, ta có đa thức đặc trưng
4

det(A − λI) =

1−λ
2
3
4−λ
4

= λ2 − 5λ − 2


Giá trị riêng - vectơ riêng

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A − λI) = 0.
Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm.
- Bước 2: Giả sử λ0 là giá trị riêng. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (A − λ0 I)X = 0.
Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm.
4 −2
. Tìm giá trị riêng và vector riêng của A.
1 1
Giải. Phương trình đặc trưng là

Ví dụ 3: Cho A =

det(A − λI) = 0 ⇔

4−λ
−2
1
1−λ

= 0 ⇔ λ2 − 5λ + 6 = 0

Suy ra λ1 = 2 và λ2 = 3 là hai trị riêng của A.
+ Ứng với λ1 = 2:
+ Ứng với λ2 = 3:


Giá trị riêng - vectơ riêng


 0

Ví dụ 4: Cho A =  0

1
Giải. Phương trình đặc


0 1 
1 0 . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A.

0 0

trưng:

−λ
0
1
0 1−λ 0
1
0
−λ
⇒ λ1 = −1, λ2 = 1 là hai
+ Với λ1 = −1, ta có:

 1 0

A − λ1 I =  0 2

1 0
⇒ x = α(1; 0; −1) (α

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

= 0 ⇔ (1 − λ)(λ2 − 1) = 0

trị riêng của A.

1
0
1





 1


 −→  0


0

0
1
0

1
0
0




 ⇒


0) là vetor riêng của A.

x1 +

x3
x2

=0
=0


Giá trị riêng - vectơ riêng

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

+ Với λ2 = 1, ta có:

 −1 0 1

A − λ2 I =  0 0 0

1 0 −1




 −1 0 1 

 0 0 0 

 ⇒ x1 − x3 = 0
 −→ 



0 0 0

⇒ x = (α; β; α) là vetor riêng của A.
Không gian riêng
Giả sử λ là giá trị riêng của ma trận A. Gọi tập hợp các vector riêng ứng với
λ và vector không là E(λ). E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ.
Ví dụ 4: E(−1) = (1; 0; −1) ; dimE(−1) = 1
E(1) = (1; 0; 1), (0; 1; 0) ; dimE(1) = 2

7


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Định nghĩa chéo hóa

Định nghĩa
- Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma
trận khả nghịch P thỏa B = P−1 AP.
- Ma trận vuông cấp n được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma
trận đường chéo D, tức là, tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho P−1 AP = D.
Khi đó, ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A.
Ví dụ: Hai ma trận A =
0
1

1 0
6 −1

và B =

1
3

−1 0
0 1

đồng dạng nhau vì có

khả nghịch thỏa B = P−1 AP.


 0 0 0 
 0 1 0 
Ví dụ: Ma trận A = 
 chéo hóa được, vì có ma trận


1 0 1




 0 0 0 
 1 0 0 

 0 1 0 

P = 
 thỏa P−1 AP =  0 1 0 





0 0 1
−1 0 1
ma trận P =

8


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Các bước chéo hóa ma trận vuông

Các bước chéo hóa ma trận vuông
- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A − λI) = 0 để tìm trị riêng thực
của A.
+ Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được.
+ Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2.
+ Trường hợp A có k trị riêng thực λi (i = 1, . . . , k) với λi là nghiệm bội ni của
phương trình đặc trưng.
i) dim E(λi ) = ni , ∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2.
ii) tồn tại dim E(λi ) < ni , ta kết luận A không chéo hóa được.
- Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian riêng E(λi ).
- Bước 3: Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λi ).
Khi đó, P−1 AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo
chính lần lượt là λi (mỗi λi xuất hiện liên tiếp ni lần).


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Các bước chéo hóa ma trận vuông



 1 −1 0 
 2 −1 0 
Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A = 



1 2 3
1−λ
−1
0
2
−1
−
λ
0
= (3 − λ)(1 + λ2 )
Giải. det(A − λI) =
1
2
3−λ
Phương trình det(A − λI) = 0 không đủ 3 nghiệm thực nên A không chéo hóa
được trên R.
−3 2
Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A =
−2 1

Giải. Phương trình đặc trưng
det(A − λI) = 0 ⇔ (λ + 3)(λ − 1) + 4 = 0 ⇔ (λ + 1)2 = 0 ⇔ λ = −1 (bội 2)
(A − λI)X = 0 ⇔

−2
−2

2
2

x1
x2

=

0
0

⇔

⇒ dim E(−1) = 1 < 2 ⇒ A không chéo hóa được.

−2x1 + 2x2 = 0
⇔ x1 = x2
−2x1 + 2x2 = 0


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

1

6

Ví dụ: Chéo hóa ma trận A =
Giải. Phương trình đặc trưng
1−λ
0
det(A − λI) =
6
−1 − λ

λ = 1 : (A − λI) =
suy ra P =

0
1

Vậy P−1 AP =

1
và D =
3
−1 0
0 1

0
.
−1

=0⇔

λ = −1 : (A − λI) =

Các bước chéo hóa ma trận vuông

2
6

0
0

0 0
6 −2
−1 0
0 1

λ = −1
⇒ A chéo hóa được.
λ=1
→

→

1
0
−3
0

0
0
1

0

⇒ x = (0; 1)

⇒ x = (1; 3)


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Các bước chéo hóa ma trận vuông


2
 4

Ví dụ: Chéo hóa ma trận A =  −6 −4

−6 −6
Giải. Phương trình đặc trưng
det(A − λI) =

4−λ
2
−1
−6
−4 − λ
3
−6
−6
5−λ

−1
3
5







= 0 ⇔ (λ − 1)(λ − 2)2 = 0 ⇔

+ Với λ = 1 (nghiệm đơn), ta có:

 3

A − λI =  −6

−6

2
−5
−6

−1
3
4






 3 0 1 



 →  0 1 −1  ⇒



0 0 0

3x1
+ x3 = 0
x2 − x3 = 0

⇒ x = α(1; −3; −3) ⇒ dim E(1) = 1

12

λ=1
λ=2


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Các bước chéo hóa ma trận vuông

+ Với λ = 1 (nghiệm bội 2), ta có:


 2

A − λI =  −6

−6

2
−6
−6

−1
3
3





 2 2 −1 



 →  0 0 0  ⇒ 2x1 + 2x2 − x3 = 0



0 0 0

⇒ x = α(1; 0; 2) + β(0; 1; 2) ⇒ dim E(2) = 2





 1 0 0 
 1 1 0 
 0 2 0 
 −3 0 1 
−1
Vậy A chéo hóa được và P AP = 
 với P = 
.




0 0 2
−3 2 2

13


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

Định nghĩa
Ma trận thực A vuống cấp n được gọi là trực giao nếu AT A = I, tức là
A−1 = AT .


1 
 − √1
√ 


2 
Ví dụ:  1 2
1  là ma trận trực giao.

√ 
 √
2
2
Định lý
Nếu A là ma trận đối xứng thì các vector riêng thuộc các không gian riêng
khác nhau là trực giao.
Định nghĩa
Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho P−1 AP là ma trận chéo thì A là ma
trận chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo hóa trực giao A.

14


Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao

Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

Các bước chéo hóa ma trận đối xứng
-

Bước
Bước
Bước
Bước

1:Tìm các trị riêng.
2: Tìm các vector cơ sở của các không gian
3: Chuẩn hóa các vector cơ sở này.
4: Lập ma trận chéo hóa trực giao của A.

 9 2 2

Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng A =  2 0 2

2 2 0

15

riêng.




.



Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Dạng toàn phương

Định nghĩa
- Dạng toàn phương của n biến x1 , x2 , . . . , xn (hay là dạng toàn phương trong
Kn ) là hàm Q từ Kn đến K cho bởi biểu thức
n

n

Q(x) =

aij xi xj với aij = aji
i=1 j=1



 a11 a12 . . . a1n 

 a
 21 a22 . . . a2n 

- Nếu ta đặt A = aij
=  .
..
..  ∈ Mn (K) và
..
n×n
 ..
.
.
. 


an1 an2 . . . ann
X = (x1 , x2 , . . . , xn )thì dạng toàn phương được viết ở dạng ma trận
Q(X) = [x]T A[x]
A được gọi là ma trận của dạng toàn phương, A là một ma trận đối xứng.

16


Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Dạng toàn phương

Ví dụ: Tìm dạng toàn phương q(x), biết ma trận của q là A =

1
−1

−1
.
2

Giải. Ta có
q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 )

−1
2

1
−1

x1
x2

= x21 + 2x22 − 2x1 x2

Ví dụ: Tìm ma trận của dạng toàn phương q : R3 → R sau
q(x) = 2x21 + 3x22 − x23 − 4x1 x2 + 6x2 x3
Giải.
−2 0
3
3
3 −1


 2

A =  −2

0

17







Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Dạng toàn phương

Định nghĩa
Trong Rn , dạng toàn phương
n

aii x2i

Q(X) = a11 x21 + a22 x22 + · · · + an x2n =
i=1

được gọi là dạng toàn phương chính tắc hay gọi tắt là dạng chính tắc.
Ma trận của dạng chính tắc là A = diag a11 a22 . . . ann .
Ví dụ: Trong R2 , cho dạng chính tắc có ma trận A =

1
0

0
.
−2

Khi đó, biểu thức của q là
1
0

q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 )

18

0
−2

x1
x2

= x21 − 2x22


Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực tiếp lần lượt theo
từng biến xi dưới dạng tổng bình phương. Sau đó, ta dựa vào các tổng bình
phương để đổi biến.
Trường hợp 1: (Q(x) có hệ số aii 0)
• Bước 1: Giả sử a11 0, ta tách tất cả các số hạng chứa x1 trong Q(x) và
thêm hoặc bớt để có dạng
Q(x) = a11 (x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn )2 + Q1 (x2 ; . . . ; xn )
Đổi biến y1 = x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn , yi = xi (i = 2, . . . , n)
, tức là x1 = y1 − α12 x2 − · · · − α1n xn , xi = yi (i = 2, . . . , n)
Khi đó, Q(x) trở thành Q(x) = a11 (y1 )2 + Q1 (y2 ; . . . ; yn )
• Bước 2: Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1 (y2 ; . . . ; yn ). Sau vài bước thì dạng
toàn phương Q(x) sẽ có dạng chính tắc.
Trường hợp 2: (Q(x) có tất cả các hệ số aii = 0)
Giả sử a12 0, ta thực hiện đổi biến:
x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , xi = yi (i = 2, . . . , n)

Khi đó, dạng toàn phương Q(x) = 2a12 y12 − 2a12 y22 + · · · có hệ số của y12
Ta thực hiện theo trường hợp 1.
19

0.


Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:
Q(x) = −x22 + 4x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3
Bước 1. Biến đổi
Q(x) = −(x21 − 2x1 x2 + x22 ) + x21 + 4x23 + 4x1 x3 = −(x1 − x2 )2 + x21 + 4x23 + 4x1 x3




y1 = x1
x1 = y1






y
=
x

−x
x2 = y1 −y2
Đổi biến 
⇔

2
1
2




 y3 =
 x3 =
x3
y3
Khi đó, Q(x) = −y22 + y12 + 4y32 + 4y1 y3 với Q1 (y) = y12 + 4y32 + 4y1 y3 .
2
2
Bước 2. Biến
4y1 y3 = (y1 + 2y3 )2
 đổi Q1 (y) = y1 + 4y3 + 


z1 = y1
+2y3
y1 = z1
−2z3







z
=
y
y
=
z
Đổi biến 
⇔

2
2
2
2




 z3 =
 y3 =
y3
z3


−2z3
 x1 = z1



Vậy Q(x) = z21 − z22 với 
 x2 = z1 −z2 −2z3

 x3 =
z3
20


Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Phương pháp Jacobi:
- Phương pháp Jacobi áp dụng cho dạng toàn phương có ma trận A thỏa điều
kiện
a11 a12
0, . . . , Dn = det(A) 0.
D1 = a11 0, D2 =
a21 a22
Khi đó, biến đổi theo công thức


x1 = y1 +b21 y2




y2


 x2 =






 x =
n

+b31 y3
+b32 y3
..
.

+···
+···

+bn1 yn
+bn2 yn
yn

D

với bij = (−1)i+j Di−1,j
(j < i); Di−1,j là định thức được tạo thành từ i − 1 dòng
i−1
đầu và i − 1 cột đầu (sau khi đã bỏ cột thứ j)của ma trận A. Khi đó, ma trận



 1 b21 . . . bn1 
 0 1 . . . b 
n2 


đổi biến là P =  .
.. 
..
..
 ..
.

.
.


0 0 ... 1
D2 2 D3 2
Dn 2
và dạng chính tắc là : Q = D1 y12 +
y +
y + ··· +
y .
D1 2 D2 3
Dn−1 n
21


Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Q(x) = 2x21 + 3x1 x2 + 4x1 x3 + x22 + x23
Giải:

 2

Ma trận của Q: A =  32

2
2
Ta có: D1 = 2; D2 = 3
2

3
2

2
0
1

1
0
3
2

1








= − 14 ; D3 = det(A) = − 17
4

Ta tính:

b21

3
2

− 32

D1,1
D2,1
3
= (−1)2+1
=
= − ; b31 = (−1)3+1
=
D1
2
4
D2
2
b32

D2,2
= (−1)3+2
=
D2



x = y1 − 34 y2 + 8y3


 1
x2 = y2 − 12y3
Vậy đổi biến 


 x3 = y3

3
2

− 14

2
0

1

2
0

− 41

= −12

ta được Q = 2y12 − 81 y22 + 17y32
22

=8


Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester

Dạng toàn phương xác định dấu

Định lý (Luật quán tính)
Số hệ số dương và hệ số âm trong dạng chính tắc là những đại lượng bất biến,
không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn
phương về dạng chính tắc.
Định nghĩa
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là:
- Xác định dương nếu Q(x) > 0, ∀x ∈ Rn và x 0.
- Xác định âm nếu Q(x) < 0, ∀x ∈ Rn và x 0.
- Không xác định dấu nếu nó nhận cả giá trị âm và giá trị dương.


Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester

Dạng toàn phương xác định dấu

Định lý
Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi tất cả n hệ số
trong dạng chính tắc của nó đều dương.
Hệ quả
Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định âm khi và chỉ khi tất cả n hệ số
trong dạng chính tắc của nó đều âm.
Định lý
Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó
có tất cả các giá trị riêng đều dương.
Hệ quả
- Q(x) xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị đều âm.
- Q(x) không xác định dấu khi và chỉ khi ma trận của nó giá trị riêng dương
và giá trị riêng âm.
24


Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester

Định lý Sylvester

Định lý (Định lý Sylvester)
- Dạng toàn phương Q(x) xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức
con chính của ma trận của nó đều dương, tức là D1 > 0, D2 > 0, . . . , Dn > 0.
- Dạng toàn phương Q(x) xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính
cấp chẵn dương, cấp lẻ âm, tức là (−1)k Dk > 0, ∀k.
Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3 :
Q(x) = −2x21 − 4x22 − 3x23 + 4x1 x2 .

 −2


Giải. Ma trận của Q là A =  2

0
Ta có các định thức con chính:
D1 = −2 < 0, D2 =
Vậy Q xác định âm.

2
0
−4 0
0 −3

−2 2
2 −4







= 4 > 0, D3 = |A| = −12 < 0