Giáo trình toán kinh tế phần 1 bùi minh trí

BÙI M IN H TRÍ

TOÁN
KINH TÊ
(Tái bản lần thứ hai)

N HÀ XUẤT BAN B Á C H KHOA - H À NỘI


Bản quyền thưộc về Nhà xuất bản Bách Khoa - Hà Nội.
Mọi hình thức xuất bản, sao chép mà không có sự cho phép bằng
văn bản của nhà xuất bản là vi phạm pháp luật.

M ã số: ỉ 38 - 201J/CXBỈ]()5 - 56/BKHN

Biên m ụ c trên xuất bản p h ẩ m của T hư viện Q uốc gia V iệt Nam

Bùi Minh Trí
Toán kinh tế / Bùi M inh Trí. - Tái bàn lần 2. - H. : Bách khoa Hà
Nội, 2011. - 272tr. ; hình vẽ, bảng ; 24cin
Thư mục: tr. 269-271

1. Toán kinh tế 2. Giáo trình
330.01 - d c l 4
BKE0007p-CIP


MỤC LỤC
•

*

LỜI NÓI Đ Ấ U ............................................................................................... 9

PHẦN I. TỐI ƯU HÓA
LỜI NÓI Đ Ầ U ..............................................................................................11
Chương I. BÀI TOÁN TỐI ưu HÓA TổNG QUÁT
VÀ CÁC VẤN ĐỂ Cơ SỞ.........................................................13
§ 1 . Bài toán tối ưu hóa tổng quát vàphàn loại các bài t o á n .......13
1. ỉ . Bài toán lối ưu hóa tổim quát......................................................... 13
1.2. Phân loại các bài t o á n ..................................................................... 14
§2. Vấn để mỏ hình hóa toán học........................................................... 15
2.1. Xây dựiiíí mô hình toán học cho rn(M vàn đề thực t ế .............. 15
2.2. Một số mô hình thực t ế .................................................................. 17
§3. Một sô khái niệm và két quá lù đại s ó ........................................... 23
3.1. Ma t r ậ n ............................................................................................... 23
3.2. Định Ih ứ c ........................................................................................... 24
3.3. Ma irận nuhịch đáo, han;: ru;i |;KItiậĩi..........................................26
3.4. Hệ phươnu trình đại số tiivcn lúih ................................................27
3.5. Khône sian E u clid .......................................................................... 29

Chương II. QUY HOẠCH TUYẾN TỈNH........... ...................................... 32
M ở đ ầ u ......................................................... ....................................................32
§1. Bài toán quv hoạch tuyến tín h ....................................................... 32
1.1. Bài toán tổn^ q u á t............................................................................ 32
1.2. Dạnii chuẩn và dạng chính lăc......................................................33
3


1.3. Đưa Q H T T vé dạiiii chuẩn hoặc dạiiíỉ chính t ã c .....................34
1.4. Giai hài toán QMTI' hai biến bằng phưo'ny Ịiháp hình học .. 35

§2. M ột sỏ tính chất c h u n g ...................................................................... 38
§3. Phưotig p h áp đon hình giải Q H T T ...............................................42
3.1. Đ ư ờ n a lối chuníi \'à cơ sớ cua thuật t o á n .................................. 42
3.2. Cơ sở của thuật l o á n ........................................................................ 42
3.3. T huật toán đơn hình......................................................................... 47
3.4. C òng thức đổi cơ sở. Bang đưn h l n h .......................................... 48
§4. V ấn đề p h ư o n g án cực biên và cơ sỏ xuất phát giai đoạn 1 52
§5. Q u y h oạch đối n g ẫ u ............................................................................ 67
5.1. Q H T T dưới dạng chuẩn. Q p bài toán tuyến lính
đối ng ẫu đối x ứ n g .............................................................................
5.2. Q H T T dưới dạng chính tắc. Cặp bài toán tuyên lính
đối n a ầ u không đối x ứ n g ................................................................ /3
5.3. Ý n e h ĩa cặp bài toán đối n g ẫ u ...................................................... 74
5.4. Tiêu c h u ẩ n lối ưu và thuậl toán đơn hình dối n g ẫ u ................ 76
5.5. V í d ụ ......................................................................................................80
Bài tập ch ư ơ n g I I ............ ......... .................................................................. X6

Chương III. BÀI TOÁN VẬN TẢI................................................................ 89
§1. P h át biểu bài toán - Sự tồn tại nghiệm tối ư u ..........................89
1.1. Phát bicu bài t o á n .............................................................................
1.2. Sự tồn tại nghiệm tối ư u .................................................................. 91
§2. T iêu ch u ẩ n nhận biết phương lin cực b i ê n ................................92
§3. C ác phương pháp tìm phương án xuất p h á t............................. 95
3.1. Phư ơng pháp góc tây b ắ c .................................................................. 95
3.2. Phương pháp cước phí tối thiểu irong toàn h á n g ....................... 96
3.3. Phư ơng pháp cực ticu cước phí theo h à n g ..................................97
3.4. Phươníỉ pháp cực tiểu cước phí theo c ộ t..................................... 97


§ 4 . Tiêu chuaii tối ưu - thuật t(»án.......................................................... 97

4.1. Tièu chuẩn tôi ư u ................................................................................ 97
4.2. Thuật lo á n ............................................................................................. 99
4.3. Các ví d ụ ........................................................................................... 101
§5. Trường hợp khòng cán băng tha p h át........................................... 108
Bài tập chương I I I ...................................................................................... 109
i. Giai các bài toán vận l á i .................................................................. 109
II.

Giai BTVT có phuxTne án llioai hd-i.......................................... 1 10

ill. Giai BTVT khỏim căn bàng llìu |'iiát......................................... 1 10
IV. Các càu hỏi p h ụ .............................................................................. 1 1 1

Chương IV. QUY HOẠCH Đ Ộ N G ........................................................ 112
M ử đ ầ u .........................................................................................................1 1 2
§1. Phương pháịỉ phưong trình truy toán và các n gu yên tác
cơ bản của Q H Đ ...................................................................................113
1. ỉ , Bài toán phân phối niól chicu Nà pliươna trình truy toán ... 113
1.2 Các Iiizu\ én tãc co' ban cua qu\ luạch độno ( Q H Đ ) ............ 1 15
§2. Q uá trình nhiều giai đoạii và phiioiig trình h à m .....................116
2 . 1. Quá Irình nhiổu uiai (loan........................................................... 116
2.2. Xây dựng phưoìm liình h a m ....................................................... 117
§3. Sơ đổ tính vù ví dụ áp íiụri"............................................................. 118
3.1. S(ídó tính............................................ .............................................. 118
3.2. Các ví d ụ ........................................................................................... 119
§4. Bài toán thực tế: Xác định che độ khoan giếng tối ư u ........125
4.1. Thié't lập bài t o á n ............................................................................ 125
4.2. Phưívim pháp e i ủ i ............................................................................ 126
4.3. Chu'o'im trìnli và kết qu:l................................................................ 127
Bài tập chương IV ....................................................................................... 128

Chương V. QUY HOẠCH PHI TU Y Ê N .................................................130
M ở đ ầ u ............................................................................................................. 130
§1. M ột sô khái niệm cơ bản trong giải tích lồ i...............................130
1.1. Tập hợp lồi......................................................................................... I 31
1.2. H àm l ồ i ............................................................................................... 133
§2, Lý thuyết quv hoạch l ồ i ..................................................................... 141
2.1 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát và điều kiện tối ưu........... 141
2.2. Phươns pháp siải quy hoạch lồi................................................. 146
§3. Một sô phương pháp giải Q H P T có ràng b u ộ c .........................160
3.1. Phươnc pháp g r a d i e n ..................................................................... 160
3.2. Phươns pháp Lagran>:e................................................................. 162
3.3. Một số ví d ụ : ..................................................................................... 164
§4. Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ưu của n ó .... 170
4 . 1. Phát biểu bài t o á n ........................................................................... 170
4.2. N ghiêm
• tối ư u ................................................................................... 172
CT

4.3. Phân loại các phưưng pháp tỉiai Q H P r .................................... 173
4.4. Quy hoạch phi tuvến tổna quát và đicu khiển tói ư u ......... 174
Bài tập chương V I I ...................................................................................... 178

TÀI LIỆU THAM K H Ả O ............................................................................ 181

PHẦN II. MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
MỞ Đ Ầ U .................................................................................................... 185
Chương

I. MÔ HÌNH KINH TỂ VÀ MÔ HÌNH TOÁN KINH T Ể ..........187
§ 1 . M ỏ hình kinh t ê .................................................................................... 187
1.1. Mô hình kinh tế lớn (m acro)....................................................... 187
1.2. M ô hình kinh tế nhỏ ( m i c r o ) ..................................................... 195

6


1.3. Mỏ hình kinh tố phái triciì........................................................... 196
§2. M ô hình toán kinh té ............ .

.....................................................202

2.1. Khái n i ệ m ........................................................................................... 202
2.2. Các bước xày dựim mô liìiih
học cho một vân đề
thực i c ..................................................................................................203
§3. H àm sàn xiiá t................ ........................................................................204
3.1. Mô hình ch una và các khái n ic m ................................................. 204
3.2. Hàm đána c ấ p ....................................................................................204
3.3. Hàm san xuất với độ co ” iãn liia v thế hằng số ( C E S ) .........205
3.4. Hàin san XLiàì Cobb - D('Ui:lav

.......................................... 207

3.5. Hàm Walras - Leontieí (1\\| )........................................................ 209
Càu hỏi ôn tập chươiig I........................................................................... 210

Chương II. PHƯƠNG PHÁP CÂN ĐỐI LiÊN NGÀNH........................... 211
§1. Cân đòi lién níỊÙnh t ĩ n h ............... .....................................................211

1.1 Bản« cán đối liên nsàiih dạiii! hii-Mi v ạ i ................................... 212
1.2. Bànư cân đối licii ngành daii” giá i r ị .......................................219
§2. Cán đối liên ngành đ ộ n g ............... ...................................................225
§3. B ảng cân đối liên ngành của Việt n a in ........................................227
Câu hỏi ôn tập chươiig I I .........................................................................232

Chương III. PHƯƠNG PHÁP s ơ Đ ổ MẠNG Lllơ l (PERT)................. 234
Mư đ ầ u ....................................................... ................ ................................... 234

§1. Các khái niệm cơ bản................................................................ 235
1.1. Một số khái niệm vc (16 tliỊ............................................................235
1.2. Các khái niệm của SO' đồ maiiíi \ươì............................................ 236
§ 2 . Các nguyên tắc thành lập mot so đổ m ạng lư ói.......................236
§3. Khái niệm về đường găiiịỉ va các đ;ic trưng lién q u a n ........239


3.1. Đườnu e ã n e ........................................................................................239
3.2. Các dặc iruìm liên CỊLiaii đèn điròng g ã n c ...................................241
Câu hỏi ôn tập chương III........................................................................ 244

Chương IV. MÔ HÌNH PHỤC v ụ ĐÁM Đ Ô N G ....................................246
§ ỉ . Các đặc trưng co ban của hệ thòng phục vụ đám đ ỏ n g .... 247
1.1. Sơ đổ chuntỉ của hộ thỏns: phục vụ đám đôiiii.......................247
[.2, Phán loai các dònu \ à o ................................................................. 248
1.3. Kcnh phục \-ụ................................................................................... 249
] ,4, Pháiì loai các hệ thốim phục \ ự.................................................. 230
1.5, Tiạn>z thái cua hc ihốiiỊ:............................................................

250

1.6. Các tiêu chuán chất lươne cua hệ Ihốnia
phục vụ đám đ ô n u ............................................................................ 254
§2. Hệ thống phục vụ đám đởii” có tù chối cổ điển
(hệ thống E r la n g ơ )...............................................................................255
2 . 1. Mỏ tci hô thỏnt:..................................................................

25S

2.2. Quií t r ì n h i h a ) đ ổi í r a n e Ihái \ à SO' d ổ I r ạ n e llìái

2.3. Hệ phương trình trạns Ihái

và

các

2SS
xác

suâì

trạne t h á i 2 56
.

của hc ih ốnii...................................................

2.4. Các chi liêu đánh giá hoạt độnsi cua hệ l l i ỏ n g ......................... 257
§3. Hệ thòng chừ vói độ dài hàiig chò và thòi gian chò
hạn c h ế ...................................................................................................... 260
3.1. Mô la hè thõìi” ....................................................................................260

3.2. Quii irình thay đối trạnn thái \ à S(TÍ (lồ ti-ạiis: thái của
hộ t l i õ n e ................................................................................................2(i 1
\'à

các

xác

sLiàt

Irạiiu t h á i 2 62

Câu hỏi ón tập chưưng I V .........................................................................268

TÀI LIỆU THAM K H Ả O ............................................................................. 269

.

3.3. ỉiê phương trình trạnỵ lliáí


LỜI NÓI ĐẦU

' ĩroiìii k h o à n e hơn 5 0 lìăni ỉ r ó lại cla\. Uìa;t loc đ ã p h á t I r i cn rat m ạ n h và
d ã d ư ọ v á p úụn^j. iìiỏl c á c h r ộ n u rài \ à
tlìLiạ l

\'à

\í\0

hâu

hốt

các

h o ạ tđ ộ ỉìu

cua

sau
Ciìn

sac \ lIo kiiili íê. v à o kl i oa h ọ c k ỹ

Ỉ ILI UU' .

ì'ừ

đỏ

là iìì

Iiẩ \

s in h

ca

m ộ l

iìLiaiih Ukíỉì Iìoc m ó i là '[\niii ki ii h lỏ.
^

•

T o á n k i n h lè là i n ộ t c ỏ i i e c u qiiaii Iroiiii \ I nci CLII12 c ấ p p h i a í i m p h á p l u ậ n ,

các Ịiluroni: pháp inò hinh hoá. các phưoìii^ |)li,í|' lính toán tối ưu. Do dỏ, nó
k h ô iiiỉ nliữ ni: ià cổim CỊI dẽ tư duy \'é dịnh tính 11:à c;i về d ịn li lirợ iii’ . tiiú p iziai
C | u \ ê t c á c \' â n d c m ộ t c ú c h c ó hiỌu cỊua.
V i ộ c l â p kc' h o ạ c h Ịihál

\ u a ì xã hội là các ván đc quan

I r i ế n kiiili tc \ à \ i i ' j n á i i ” c a o h i ệ u q u á c u a s á n

Irọni: cua haì

kv 111(111|UỐC nia nào. Để giai quyết

toì c á c v â n đ ê d ó Ihì p h a i k l i ó n i i Iiiiừn>: h o à n lìiKMi L,K' p h ư ư n t i p h á p đ i c ư k h i ổ n .

qu;iii lý \ à đáv nhanli lốc đỏ ticìi bo khoa ÌÌOƠ kv lịuuìl. thực hiộn các biện pháp
k l m a h ọ c LX) b ủn .

l ì o o i i quá trình ció. (tÌL'u quan li'ọn,” tlau ík n hì phái xãy clụìii: đu'ực các
ino hình UKÍn học từ Ihuv licn san \u a l \ à kinh cidunlì. tlịch vụ rất piioiig phú và
da daiig. IIÕU Icii ihàiih các liai U),iii. S

íiiai c á c hài t o á n đ ó .

Sưclụns các Ịiliưoìit: |iliá|') lối UII \ à c;ic nr> hình kinh lẽ khi xây dựng lòi
iiiai xè kẽ hoạch hoá và dicu kliicn là luu)'!!'.’ quan imn>j[ của sự Imàn ihiện các
hệ thốnu điẽu kỉiicn. Nhãin Lỉóp phán (ỉa\' liKiiih hiiại dộng vổ áp dụng các

phưcíníí p h á p lối ư u \ à c á c m ỏ h ì n h tcKÍii kinh Ic \ 10 lliực tiỏii, cLiiig c á p lài liệu
t i i ã n u d ạ \ \'ù Iii ĩhi èn c ứ u d ố i \('íi c á c cán, hỏ \;! 1 II liẹu h ọ c l ậ p c h o đ ỏ n g đ a o

sinh \'ÌC'11, chúii!a lôi b i ê n s o a n ti ia d nìi ili

.

Giáo trình đu'i)'c chia ihàiih hai phàn là y (// líii liiHi \'à M ó liìnli toáii kinh íế.

9


Phần I: Tối ưu hóa
Tối ưu hoá còn gọi là Q uv hoạcli toán học. TixMiíỉ phần này nêu ra đối
tượng nahiôn cứu là bài toán lối ưu hóa tổna quát.
Tuỳ theo tính chất các thành phần của bài loán (miền ràns buộc, hàm
mục tiêu, các hàm rà n s buộc, các biẽìi số. các ihani sò) mà nsười ta phân loại
ra các lớp bài toán quy hoạch khác nhau: quy hoạch luyến tính, quy hoạch phi
luyên, quy hoạch rời rạc (trưòìm hợp riêniỉ quan Irọĩiíí là quv hoạch ngu\'ên).
quy hoạch độns. quy hoạch tham số, quy hoạch đa mục tiêu. Do kliuỏn khổ của
chươnc trình nên 2 Ìáo trình này chí xét các mồ hình toán học và các mò hình
ihực tiẽn của quy hoạch tuvến tính, bài toán vận u'u. quv hoạch đ ộ n s và một sỏ
loại quỵ hoạch phi luvến. Các thuật toán được trình bàv inộl cách cụ Ihế, dẻ
hiểu kèm theo các ví dụ minh họa.

Plĩần II: M ô hình toán kinh tê
Trong phần này trình bày các bước xâv dựníz mô hình kinh lế và các inò
hình kinh tế lớn, kinh t ế nhỏ và kinh lê' phát triển. Sau đó xét các mô hình kinh
tế có nhiều ứns d ụ n s tro n s thực tiền là: phưiíns pháp cân đối liên nphươii” pháp sơ đồ mạníĩ lưới (PERT), mô hình phục vụ đám ctôna bao

Siồm

các

nội dưne từ xâv dựng m ô hình đến các phưcĩns pháp liiái quyết và các ví dụ
thực tiễn minh họa.
C h ú n s tôi cô gắng trình bày các vân để một cách sánu sủa, ngắn eọn và
d ẽ h i ể u , c ó c h ú V tới ý n o h ĩ a k i n h t ế v à x â y d ự n a c á c mò h ì n h t o á n h ọ c c h o c á c

vấn đề thực tế; các ví dụ minh họa dược nêu rất đẩy đủ. Cuối mỗi chươnu cổ
câu hỏi và bài tập.
Tác gìci xin chân thành cám ơn độc giá
H ù N ộ i . HíỊÙỵ 15 íììáìĩỊị ỈO lìchìi 20()ò

Bùi M inh Trí

0


Phần I

TỐI ƯU HÓA

LỜI NÓI ĐẨU

Các phươim pháp tối ưu hóa được áp dụnu IIIÓI cách hiệu qua irong lủt cà
các lĩnh vực hoạt độim khác nhau cua con nuưòi. Đãc biệt các thành tựu rất sâu
sãc đạt được khi siái quyết các bài toán kinh tc. lap kế hoạch sán xuất và kinh
d o a n h , t h iế t k ế k v ihi iậ l và p h à n tích c á c hê thốiiii lớn t r o n g x â y d ự n g , c h i n h

phục vũ trụ, trong nahiên cứu và ứni: dụnt: tiii lioc \'ào đời sống. Nhừ công cụ
lính toán ngàv cà n s hoàn thiện mà các công tiìiih nghiên cứu lý thuyếl và thực
hành được m ở r ộ n a và phát triến nhanh.
Ngày nay đối vói nhữna neười làin kinh to. quan lý sán xuất và kinh
doanh, các kỹ sư và các nhà n.iihién cứu k h o a h o e thuộc nhiều lĩnh vực khác
nhau, sự hicu biết \ ’é các phưưiiổ pliáp tôi 11X1 lnxi cũHii cần Ihiêì như các môn
k h o a h ọ c c ơ bàn, c á c m ô n kỹ ihuậl co' SO' v;( CUL

k h o a học c h u y ê n n g à n h .

C ũna cẩn nói thêm I'àniz níiirời la còn tiọi lổi ưu lu');i là quy hoạch loán học.
Với một nội dung

CO'

ban là uiai các

bai to án

cực trị có các ràng buộc

kinh lố và kỹ Ihuậl dưới dạn

quy hoạch không «iái được bằne các phuxíng plìiip yiải tích cổ điên inà phai
dùng các c ô n s cụ hiện đại hơn. Qua thưc tố Iihiini nãm eiang dạy. chúng lôi
thấv nếu trình bày quy hoạch loán học mà (lự;i livii các khái niệm và kết quá đại
sô và giải tích lổi thì sẽ iiLĩán izọn và chặl clic. Dóni! thời nếu biết kêì hợp việc


lìni ihuật toán lốt và kỹ (huạt lạp 11'iiih thì nuười la có ihc >:i;ii đuọ’c các bài toán
thực tế cờ lớn, phức tạp.
Phần I bao cồm 5 chưoiiti:
Chu'<>'n;^ /. Bài toán tối ưu hóa tòiiii quát \'à các \ ’ấn đổ cơ scV
Cliiừin:^ //. Quv hoạch tu) cn tính
Cliiíoiì'^ m . Bài loán vận lai
ChiừUi'^ IV. Q u \ ’ hoạch độni’
Clìiio'11^ \ \ Quv hoạch phi tuvến
Co' sớ cua các phươne pháp được trình hàv tiỗ hiểu, các ihuạl toán rò ràny
và không quá đi sãu vào Iv lhu\'ct phức lạp. Đối \ó'i mối mò h'mh đcu cỏ giói
thiệu bài toán thực tc', mỗi ihuật toán dcu C() \'í dụ minh họa.


Chương I

____

BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TONG QUÁT
VÀ CÁC VẤN ĐỂ Cơ SỞ

§1. BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TổNG QUÁT VÀ PHÂN LOẠI CÁC
BÀI TOÁN
Khi tiên hành k ế hoạcli hóa san XLiát. dicu khi ôn các hệ Ihồns và thiêt kè
k ỹ t h u ậ t m à b i ê t d ự a t r ê n c á c n2Li yên lă c cực trị la s ẽ li êt kiệm đ ư ợ c v ậ t t ư tiền

vòn, tài nguyên, sức lao độno. ihời eian \'à tăng dưực hiệu quá giai quyct các
vấn đề đặt ra.
Nhữno cơ sở Iv thuvcì và các phương pháp ihực hành đế giải quyết các vấn
đề nêu trên nãm trong môn học 1 oi ưu hóa ha\ còn gọi là Quy hoạch toán học.

1.1. Bài toán tối UXỈ hóa tổng quát
Bài loán tói ưu hóa lổna quát được p h aỉ biéu Iihư sau:
Cực đại hóa (cưc ticu hóa) hàm;
i ' ( x ) m a x (rniii)

(1-1)

Với các dicLi kiện:
g,(x) (<, =, >) b,. i = Km

(1.2)

xeX cR "

(1.3)

Bài toán (1.1)

(1.3) dirực ízọi ià mộl cỊuỵ hoạch, hàm f(x) được gọi là

h à m m ụ c tiê u , c á c h à m tỉ,(x), i = i , m đu'Ọ'c uọi là cáic h à m r à n g b u ộ c , m ỗ i đ ả n g

Ihức hoặc bất đẳng ihức trong hộ (1.2) được gọi là niiội ràng buộc. Tập hợp:

13


D={xeX

g,(x) ( < , = . > ) b,. i = l , m (

(1.4)

được gọi là miền ràng buộc (hay miồn chấp nhận được). Mỗi điểm X = (X|,
X ,...., x j

e D được g ọ i là m ột phươníỉ án ( h a y m ộ t lời g i ả i c h ấ p n h ậ n được).

Một phương án X* e D đạt cực đại (hav cực liêu) của hàm m ục tiêu, cụ thê là:
f(x*) > f(x), Vx e D (cìối với bài toán m ax)
f(x*) < f(x), Vx € D (đối vói bài toán min)
được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu). Khi đó siá trị f(x*) được gọi là
giá trị tối ưu của bài toán.

1.2. Phân loại các bài toán
•

Một trong những phươ na pháp hiển nhiên nhâì đê aiải bài toán đật ra là
phương pháp điểm diện: tính aiá trị hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phươna
án,

sau đó sosánh các siá trị tính đu'Ợc để lìm ra ẹiá trị tối ưu và phươnơ án tối

ưu của

bài toán. Tuy nhiên cách giải quyết này khó có thể thực hiện được, n»ay

cả khi kích thước của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là khôno lớn, bởi
vì tập D thông thường g ồ m m ột số rất lớn các phần tử, tr ona nhiều trường hợp
còn là không đếm được.
Vì vậy cần phải có những nghiên cứu trước về mật lý thuyết đê có thê
tách ra từ bài toán tổng quát n hữns Ictp bài toán “dễ giái” . Các nahiên cứu [ý
thuyết đó thường là:
- Nghiên cứu các tính chấl của các thành phần bài toán (hàm m ụ c tiêu,
các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số....)
- Các điều kiện tồn tại lời siâi chạp nhận (tươc
- Các điều kiện cần và đủ của cực trị
Tính chất của các đối lượng imliièn cứu
Các tính chất của các thành phần cùa bài toán và đối lượns nsh ièn cứu
giúp ta phân loại các bài toán. Một bài toán lối ưu (quv hoạch toán học) được
gọi là;
- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục
ràng buộc g,(x). i = l , m là tuyến tính. Một trườna
Q H T T là bài toán vận tải (BTVT)

14

tiêu f(x) và tất cả các hàm
hợp riêno quan trọne

của


- Quy hoạch tham sô (QHTS) nếu c;k; ìii' S( ! iKi rit biểu thức của hàm mục

tiêu và của các ràng buộc phụ thuộc vào tỈKìn; ^.0
- Quy hoạch động (Q ỉiĐ ) nếu đối Uiun.^ 'a-i ia các quá trình có nhiều giai
đoạn nói chung, hav các quá trình phái tricii ỉhco lỉìời gian nói riêng, hay là
trườne hợp hàm mục liêu có d a n s tách bion
- Quy hoạch phi tuvến (QHPT) néu ỉ(,\) lìoãt LÓ ít nhất một trong các
hàni g (x) là phi tuyến hoặc cá hai trường họp dó cùng x ay ra
- Quy hoạch rời rac (Q H R R ) nếu miổn ràng bu(>c D là tập rời rạc. Trong
trường hợp riêns khi các biến chi nhận giá trị ngu\cn ta có quy hoạch nguyên
(QHN). iMộl trườns hợp riêng của QHN là quỵ hoach DÌến boolcs khi các biến
số chi nhận siá Irị 0 hoặc 1
- Quy hoạch đa mục tiêu ( Q H Đ M D IICII írén cLing một miền ràng buộc ta
xét nhiều hàm mục tiêu khác nhau.

§2. VẤN ĐỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
Tron» mục này ta sẽ nói về việc xày dưng mỏ hình toán học cho một vấn
đé thực tế. Sau đó giới thiệu niột số mỏ hìĩih iliụv Ic q u a n trọng.

2.1. Xây dựng mò hình toán học cho một vấn đề thực tế
Viêc mổ hình hóa loán học cho niỏl \âii dc chirc tế có thể chia ra làm
bốn bước:
B ước I: Xâv dưiiiĩ mò hình ctịiih tiMÌi clìo \:tn do thực lế. lức là xác định
c á c y ế u tô c ó V n e h ĩ a q u a n irọniỉ nhâì va xác líip i;á( quv' luật m à c h ú n g phải tuân

theo. Nói một cách khác là phái biếu mó IVinli hãng Jò'i và bằng nhĩrng biếu đồ,
các điều kiện về kinh tế. kỹ thuặl. tự nhiên. \ã liói, ( ÚL lĩiục liêu cần đạt được.
B ư ớ c 2: Xây dựntỉ mò hình loán học clid VÍIII đớ dang xét. tức là diễn lả
lại dưới n sô n ngữ toán học cho mô hình (lịnh línli. Khi cỏ một hệ thống ta chọn
các biến số đặc trưng cho các trạns thái cua hè ihốrm. M ô hình toán học thiêt
lập mối liên hệ giũ’a các biên sỗ và các hé số dieu khiển hiện tượng. Việc làm
quan trọng ớ bước này là phái xác định hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng

bằnơ số mà giá trị càng lớn (càng nhó) cùa nó lương ứ'ng với hiệu quả càng tốt

15


h ư n iziái q u y ố í v ấ n d e m à nuLrời lì h ậ ii lời e ì a i m o i i e ỉ i ì u ỏ n . 'I'iẽp I h c o

đó

là p h a i

dicn tá bãniz các phươne trình hoặc bat phu'í)nu íiinh các diéư kiện kinli Ic. kv
ihiiậL... đó ỉa các rànu buộc loán lìọc nià các biên số pluii tuân llieo.
B iiớ c 3 : Sư dụ n ii c á c cỏiiii c ụ to á n học đê k h a o sal \'à eiái q u y c ì bài loán
h ì n h Ihàiìh t r o i m b ư ó v 2. Cãỉ ì c ứ v à o n i ỏ hìiih d a x â y đ ự í m c á n p h a i c h ọ i i h o ặ c

xây dựníi phươne pháp eiai cho phù họp. Tiép dó cụ the hỏa plìươĩií^ pháp bãim
các ihiiâl loán tối ưu. Vì các hài \oi\n ihưc tê ihirờỉie có kích thước lởn nên
khỏrm thê eiài bầne lav dươc m à pliai sử dunu nìáy tíiìh diên từ. V ây cán
chưưne trình hổa ihuạt toán bằne một neỏn n s ữ lập irình phù hợp. Sau đó dưa
lên máy tính điện iư đe chạv và in ra kc'l quá.
B ư ớ c 4: Phàn tích và kicin định lại các kèì qua lính toán thu được tronii
Ixrớc 3.
Trone bước nàv can phái xác định mức độ phù họp của m ò hình và kết
quá íính toán bàny; thực nehiệin hoặc áp dụniz phươne pháp phân lích chuvên
Kliíi ììă/ìiị 1: Mô hình và các kết quá lính toán phù hợp với thực tế. Khi đó
cần lập một ban tốna kết ghi rõ cách đặt vấn đề. inô hình toán học, thuậl toán
tối ưu, chương trình, cách chuẩn bị số liệu đê đưa vào máv tính, nghía là toàn
bộ các công việc cần ihiêì cho việc áp dụníi mó hình và kết quá để 2 Ìai quyếl

vấn đề thưc tế đặt ra. T rona trườns hợp mô hình cần dược sử d ụ n s nhiều lầii thì
phải xâv dựng hệ thống phần m ềm báo đám giao diện Ihuận tiộn í>iũa níỉuừi sử
dụng và niáv lính điện lử, không đòi hỏi neưừi sứ dụne phai có trình độ chuyên
m òn cao vé toán và lia học.
Kliíi nĩuìỊị 2: Mồ hình và các kết quá lính toán khổĩiii phù họp với thực tế.
Trons: Irường hợp này cần phái xem xél cúc nouycn nhân của nỏ. Có thể nêu ra
bốn níỉuvcn nhân sau:
* NỊịiiycii nhân 1: Các kết quá lính toán tronc btrớc 3 chưa có đủ độ chính
xác cần thiết. Khi dó cần phải xem lại các thuật toán cũn>z như các chươna trình
tính t o án đã viết và s ử d ụ n e .

* NiỊiiyèìì lìhâii 2: Các số liệu ban đầu (các hệ số, thông số) không phản
ánh thực lế giá cả hoặc chi phí trên thị trườim hoặc các định mức vật tư. hoặc

16


các số liệu khúc về công suất, kha nãni: inií)

du !rũ' tài nguyên,... Lúc này

cần điổLi c h ỉ n h lại một cách nghiêm tLÌc, chínli \ K.
NỊ^iiyêii lìliân 3: Mô hình định tínli xa\ (ỉiinụ chưa phản ánh được đầy
đú hiện tượns thực tế. Nôu

vậy

cán

I'a s o á i

lai luiov I xem có yếu tố hoặc quy

luậl nào còn bị bo sót khònu?
Níịiiyêiì nlìún 4; Vicc xây dưnu mo h ì n h l o á n học ở bước 2 chưa thỏa

*

dáns. Cần phai xàv d ự n s lại cho phù họp

IIIÚV clo lăna dần từ tuvến tính đến

phi tu v ế n . từ tĩnh đ ế n đ ộ n g , từ tất đ ịn h đến neẫu Iihiên.

2.2. Một sô mò hinh thực tê
•

■

2.2.1. Bài toán lập k ế hoạch sản x u ấ t tối uv
Một công ly muốn sản xuất hai !oai san phàm niới A và B bằng các loại
Iiiỉuỵên liệu I, II và IIÌ. Suất chi phí n^uyẽn licu dc san xuất các sán phẩm đó
ciio irong bảng sau:
ị
ỉ

Sản phẩm
Nguyên ỉiệu

II

1

1
ỉ
11
!

III

0

I

ỉ
■"

^

A
......■■■■■ ■■■ ■
2

B

1

1
2

Có nchĩa là:
- Đê’ sàn xuất một đơn vị san phâni A càii tiuiiiỉ ?, dơn vị imuyên liệu I \'à
ỉ d()'n vị nguyên liệu II.
- Đế sân xuấl mộl đơn vị sán phám B cần (lung I (tơn vị nouyên liệu I, 2
đơn vị Iì2 uycn liệu II và I đơn vị nỵuvên liêu lli. Ban giám đốc còng ty có dự
Irữ các loại n su y ê n liệu I, II và III iươni: ứnj: ỉii H. 7' \ à 3 đơn vị, Tiền lãi một
đơn vị sàn phẩm A và B tưoìi” ứn« là 4 tricu donu \ à 5 Iriệu đồng. Cần lập kế
hoạch sán xuất sao cho công tv thu được licn lã) lớn nhất với điều kiện hạn chế
vể nsLiyên liệu.
Kv hiệu X, là lượne sán phám loại A, X, ià lượno san phẩm loại B cần
sán xuất.

17


M ô hình toán học có dạnạ:
f(x) = 4X| + 5x, —> max
2X| + X, < 8
X| + 2x, < 7
x ,< 3
.

X |,X 2>0

Đày là một bài toán QHTT.
* Bùi toán lập ké hoạch sàn xu ấ t tổng cỊỉiát có dạng n h ư sau:
Giả sử công ty sản xuất n loại sản phẩm và sử dụng m loại nguyên liệu.
Ta đưa vào các ký hiệu sau;
Xj! lượng sản phẩm loại j, (j =

n ) cần sản xuất;

Cj: tiền lãi một đơn vị sản phẩm loại j, (j = 1, n );
a,ị: lãi suất chi phí nguyên liệu loại i đế sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j;
b,: lượng dự trữ n g uyên liệu loại i, (i = l , m ).
Trong các điều kiện đã cho hãy xác định các giá trị Xj, (j = 1, n ) sao cho
tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản phẩm hàng hóa) là lớn nhất với điều kiện hạn
chế về nguyên liệu.
M ô hình toán học có dạng:
lì

f(x) =

^ max

' n

( 2 . 1)

____

< b , j = l, m

(2.2)

J=|
X, > 0, j = l , n

(2.3)

2.2.2. Bài toán vận tải
Có m kho hàng c ù n s chứa một loại hàng hóa (đánh sô' i = l , m ) lượng
hàng có

ở

kho i là a„ (i = 1, m ). Gọi kho i là điếm p h á t i. Có n địa điểm tiêu thụ


loại hàng trên (đánh số J = l,n ) với nhu cáíi licu itiLi ở điểm j là bj, (j = l,n ).
Gọi điếm tiêu thụ j là điểm thu j,
Biết C|| là cước phí vạn chuyển một (1(tn

VỊ

h a n g hóa từ điểm phát i đến

điếm thu j (i = l , m . j = l.n ). Hàng có thế chu\ển lừ điểm phát i bất kỳ đến
điểm thu j bất kỳ.
Hãy lập k ế hoạch vận chuyên hàrm hóa từ điếin phát đến các điểm thu sao
cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất với các điều kiện: các điểm phát thì
phát hết hàng hóa, còn các điểm thu thì thỏa mãn Iihu cầu. Đ ó là mô hình định
tính của BTVT.
Ký hiệu x,| là lượng hàng vận chuyển từ đièm phát i đến điểm thu j. Khi
đó ta có mô hình toán học:
(2.4)

í=l 1=1
với các điều kiện sau:
---

= a , , i = l,m

(2.5)

= b , , j = l,n

( 2 .6 )

J=!

1-1
. X , J

> 0, i = l, m j = l,n
,

(2.7)

Ngoài ra còn điều kiện cân bằng thu phát:
11

n ì

(2.8)
i=i

j-i

Có thể chứng minh điều kiện cân bằng ihii - phát như sau:

- Lấy tổng 2 v ế của (2.5) theo i = l,m :
n i

n

1=1

J=I

n ì

(2 .5)’
1=1

-- Lấy tổng 2 vế của (2.6) theo j = 1, n :

19


n

in

II

.6)
1=1 1-1

1=1

Vì hai tổnỉỉ ở vế trái 2 phương trình (2.5)’ và (2.6)' bằng nhau nên la sLi\
ra 2 tổng ở vế phái cũng bằng nhau.

2.2.3. Bài toán cái túi
Một người du lịch muốn đem theo một cái túi nặng không quá b ks. C(í n
loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo. Mỗi một đồ vật loại j có khối lượng
kg và trị giá

Cj ,

người du lịch muốn chất vào các túi đồ vật sao cho tổng giá trị

đồ vật đem theo là lớn nhất.
Ký hiệu

X,

là số đồ vật loại j sẽ chái vào túi. Ta có bài toán sau:
í ”
^ c.x 1 —)• max

(2.9)

1-1

(2.10)

i a , x ^ < b
1=!

Xj

(2.11)

> 0, j = Kn

V

> nguyên, j = l, n

(2.12)

Đây là bài loán quy hoạch nguyên.

2.2.4. Bài toán về khẩu phẩn thức ăn
Cần phải xây dựng k h ẩ u phần thức ăn từ n loại thực phẩm với đơn giá
cho trước sao cho đ ảm bảo được yêu cầu về m loại chất dinh dưỡ ng và với
giá rẻ nhất.
KỶ hiệu:
a,j: lượng chất dinh dưỡnsi loại i có trong inộl đơn vị khối lượng thực
phẩm loại j;
bị! lượng chất dinh dưỡng loại i cần có trong khẩu phần;
c,; giá một đơn vị thực phẩrn loại j;
(i = l , m , j = l , n ) . Gọi

X:

là lượna thực phẩm loại j tronạ khẩu phần

(j = 1,11). Mô hình toán học của bài toán có dạna:

20


Tim cực tiểu cua hàm S(5:
...

X . —> l ì ì l ỉ ì
|--i

Với điều kiện
rn
l=-l
X: > 0
Thônơ ihườníỉ tronsỉ bài toán này còn xéi thêm điều kiện về tổng khối
lượnơ cùa khâu phần, chẳn« hạn:
X x,< w
j-l

2.2.5. Bài toán phân bô vốn dầu tư dưa tiến bộ khoa học kỹ
thuật vào sần xuất
Giả sứ có m đơn vị sàn xuất u,. i = l . n i . có q vêư tố sản xuất F^,, k = l,q
với các nsu ồn dự trũ' là l \ , k = l,q và có n công n iihệ khác nhau Tj, j = l,n .
Người ta có thể sử dụng một trong các còne Iiẹliê dó cho mỗi đơn vị sản xuất và
kv hiệu:
' 1, nếu c ô n í nahệ j được sứ dựng cho dơn vị i
LO, nếu imưực lại.
c,|: ticn lãi thu được cua cõng Iighệ I i;h() (t(ĩn VỊ 1
lượnsí yếu tố san xuất loại k nèu sử dutii,; công nahệ j cho đơn vị i.
Hãy chọn các công Iiíĩhộ cho các đcrn vị san yaiất sao cho tổng tién lãi là

lớn nhất.
111

[1

max
Đ ây là bài toán

1-1 1-1
ni

n

___

Q uy hoạch
nguyên biến logic

1-1

r-l

21


J=I

X,J> 0 , X,J e

(0.1}. i = ĩ . m , j =

l.n

2.2.6. Bài toán quy hoạch nguồn điện tôi uu
Cần phải

lạp kế hoạch phát triển hệ

thông n nhà m áv điện (bao íĩồm nhiệt

điện và thủy điện) trong T năm sao cho báo đ ám công suất vận hành yêu cầu và
năng lượng điện yêu cầu cho từníỉ nãin. trên cơ sở các ràn s buộc về tài nguyên
VỚI mục tiêu là v ố n đ ầ u tư ít nhất có t h ể được.

Ta đưa vào các ký hiệu sau:
X | ( t ) : công suất đặt nhà m áv j, tại năm t. j = l. n , l = l . T ;
r|(t): thời g i a n s ử d ụ n g c ô n g suất lớ n nhấ t c ủ a n h à m á y j t r o n s n ă m t;
Xj (t): c ô n g suấ t c ầ n t ì m c ủ a n h à m á y j tại n ă m t;

c,

(t) =

(Cj„)

- ajX|(t) = suấ t c h i phí đ ầ u tư p h ụ t h u ộ c v à o v ố n đ ầ u tư k h ở i

công và phụ thuộc vào công suất;
cy sưất chi phí thun cho nhà máy j;
B(t): lổng cônơ suất yêu cầu cho nãm t;

A(t): tổna năng lượng điện yêu cầu cho n ăm t;
C(t): lượng than dự trữ cho năm t.
Ta có mỏ hình toán học sau:
- a^X |(t))Xj(l)

min

(2.13)

1= !

ịx ,(t)> B (t),t= ĨT

(2.14)

j_ .|

22

ị r , ( t ) x , ( t ) = A (t),l = ĩ 7 f

(2.13)

x / t ) - x , ( t + l ) < 0 , j = l.n,t = K T - I

(2.16)


0 < x , ( t ) < x,(t)

(2.17)

^ C j X , ( t ) < B(t).t = Ĩ , T

(2.18)

I --1

Đây là bài toán quy hoạch phi lu \cn

§3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ TỪ ĐẠI số
Trong các phần sau cứa cuốn sách này cần sư dụng đến một số khái niệm
và kết qua từ dại số như ma irận, định thức, ma tr án I i s h ị c h đáo, hạng của ma
trận, hệ phưữne trình đại sò luvến tính. \'ect(í,..^ Vì \'áy ch úna tỏi nhắc lại một
cách vắn lắt c;íc khái niệm và kêì quá dó đé han doc dẻ theo dõi.

3.1. Ma trận
Nsười ta

oọi

ma trận là một bane cliữ nhat iZổm m

X

n số sấp thành m

hàng và n cột dưới dạniỉ:
ill

U ị I U ị .

... a,„

A =

A = (a

ma trận có kích thước lĩi

X

n

M a trận c ó s ố h à n g bằnti s<5 cột ( m = II) cỉưcíc g o i làm a trận v u ô n g . L ú c
d ó n a ư ờ i la n ó i r à n a m a trận cổ c à p n.

Ma tnin mà các còt cua nó là các liàn.e iLKdie
trận chuyển vị của A. ký hiệu là A'. có kích Ihưoc

II

ÚT. a cúa A được gọi là ma
X in.

Ma trận chi có một cột được eọi là vecUíciìi, con ma trận chi có một hàng
«ọi là vcctơ hàna. Ma trận vuôniz có dạiiíi,;

0

a,
A =

Ơ-:

0

(1 ,

23


được gọi là ma trận đường chéo. Nêu ma irạn đườiie chéo có a = 1, Vi = l,n
ihì đưực gọi là m a trận đơn vị. Hai nia tràn du' 0\ eoi là b ằns nhau nêu chúng có
cùng kích thước và các phần tử tươnu ứne báiì 2 nhau.
Muốn nhân ma trận với một hăns số a la nhân mỗi pliân (ử cùa m a trận
với số đó:
a . A = (a.a„)„„„
Tổng của hai m a trận A và B có cùne kích thước là m a trận c m à mỗi
phần tử của nó bàne tổng các phđn tử tươns Ứn2 cua ma trận A và m a trận B:
c„ =

+ b„. Vi.j

Ma trận A nhân được với ma trận B chi iroim truừng hợp số cột của ma
irận A bằng số h à n s cúa m a trận B.
ki ' i n i i

1|'in\n

p

(3.1)
k=l

3.2. Định thức
Ta gọi định thức cấp 2 tương ứng với ma trận vuông cấp 2 là số:
a,, a ,2
A=
^21 ^^22
Ta Rọi định thức cấp 3 tươne ứng với ina trân vuông cấp 3 là số:

A=

Uii

a ,2 a,;

cI t ị

U-);

^31 ^,'2
~

—íi|

(3.2)

Cách tính đó của định thức cấp 3 được diỗn tà bằng quy lắc Xarut: 3 số

hạng đầu được thiết lập sona sona với dưòìi 2 chéo chính. 3 số hạna sau được
thiết lập sona so n s với đư ờ nc chéo phụ.

24


C ác tính ch ấ t cùa đ ịn h th ứ c
Tíiìlì chất ỉ : Định ihức khôii” thay (lo! khi !a liìav đổi hàng thành cột, cột
thành hàntz (lức là chuvcn vị nó).
Tínlì clìíít 2: Nếu đổi chỗ 2 cỏt (2 hàiiL’) cho Iiliau thì định thức đổi dấu.
Tíiỉlì cliấí 3: Thừa số c h u n e cua Iiìõt col có thể đưa ra ngoài dấu của
định lluíc.
Tíiìlì clìđí 4: Nếu các phần tử của mội cot (hay hàng) tý lệ với các phần tử
iươns xứns cùa cột khác (hàn« khác) thì định thức băng 0.
Tíiìlì chát 5: Nếu mỗi phẩn tử của một C(M có Ihe tách thành tổna của 2 số
thì đ ị n h th ứ c đ ó c ũ n " l á c h t h à n h t ổ i m cuu 2 dịiih lìiức t ư ơ n s ứ n g .

Tínìì cìuít 6: Định thức sẽ khôna đỏi néii cỏiiii thêm vào các phần tử cúa
một cột (hàng) nào đó các phần lử của

CỘI

khác (hàng khác) đã nhân với một

hàn" s ố .
Đ ể tính định thức cấp cao (n > 4) la phai

SU'

dụne khái niệm phần phụ đại

sò' và khai triển định thức theo một cột ha\' một hàng.
Định thức ứn» với ma irận vuôim cấp II diroi' gọi là định thức cấp n;
a,, . .. a „ . . ■■ a„,
A = a,i .. ■

(3.3)

•

a,„ .. • a„,

.

■■

Định thức cấp n - 1 có từ định Ihức cáp

II

bãiig cách bỏ đi hàng j và cột i

dược gọi là định ihức con ứne vói phần tu' a,| cua (linh Ihức /\ và được kí hiệu là M||.
Dịiilì fìí>liĩa: Phần phụ đại số ứiiíi \'('iị |ih:íiì lu a,,. kí hiệu A,| là định thức
con M„ kèm Ihco dấu + nếu lổna cúc chí sỏ ị f

I

ià chãn, kèin theo dấu

-

nêu

lổne i + j là lẻ:
=

M,^

Định thức cấp n có thể khai triểii Ihet)
A = a,! A|| + a2j

(3.4)
CỘI I

cÌLn'i dạng:

A,J,

(3.5)

A,,,

(3.6)

Với hàno i:
^

‘^,1 + ■•■ +

25