Tài liệu Toán kinh tế - Phần II: Vi tích phân pdf

12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
1
PHẦN II. VI TÍCH PHÂN
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
2
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X, được
cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì f được
gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu:
)x(fyx
YX:f
=
→

)x(fx 
a) Đơn ánh: ∀x
1
, x
2
∈ X, x
1
≠ x
2
=> f(x

1
) ≠ f(x
2
)
b) Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x)
c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh
d) Nếu f: X→Y là song ánh thì f
-1
: Y→X là ánh xạ ngược của f
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
3
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một hàm
số một biến. Ký hiệu là y = f(x).
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc.
Tập X: miền xác định
Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f:
)x(fmaxM
Xx∈
=
)x(fminm
Xx∈
=
,
Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị hàm số y = 2x
2
- 4x + 6

12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
4
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X:
a) f(x) = g(x), ∀ x ∈ X
b) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X
c) (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X
d) Hàm số f/g có miền xác định X
1
= X\{x: g(x) = 0} :
1
Xx,
)x(g
)x(f
)x)(
g
f
( ∈∀=
e) (af)(x) = af(x), ∀x∈X
Ví dụ: Cho ba hàm số f(x) = x
2
+ 6, , h(x) = x + 2
x)x(g =
Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó.
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
5
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u

= g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm số
hợp của f và g. Ký hiệu f
o
g.
Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm g
o
f, g
o
h và tìm miền xác định.
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y
là một song ánh thì f
-1
: Y→X được gọi là hàm số ngược của f.
Gọi (C), (C
-1
) là đồ thị của f, f
-1
thì đồ thị của nó đối xứng
với nhau qua đường thẳng y = x.
M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = f(x) ⇔ x = f
-1
(y) ⇔ N(y,x) ∈ (C
-1
)
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
6
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
•

f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x
1
,x
2
∈ X: x
1
< x
2
=> f(x
1
) ≤ f(x
2
)
•
f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x
1
,x
2
∈ X: x
1
< x
2
=> f(x
1
) ≥ f(x
2
)
•
f được gọi là bị chặn trên X nếu: ∃M: f(x)≤ M, ∀ x ∈ X
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.

Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X,
nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X.
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
7
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số
được gọi là tuần hoàn nếu: ∃T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X
Số T
0
> 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ
sở của hàm số f.
Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ
sở là T
0
= 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu
kỳ cơ sở là T
0
=π.
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
8
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x ∈ X, -x ∈ X.
a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X
b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X
Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x
2
là hàm số chẵn,
)1xxlg()x(g

2
++=
là hàm số lẻ.
Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f.
a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy:
(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (x,f(x)) ∈ (C)
b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:
(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) ∈ (C)
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
9
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = x
α
, với α ∈ R
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc α.
•
α ∈ N: miền xác định R
•
α nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.
•
α có dạng 1/p, p ∈ Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
•
α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x
α
tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0 và
tại mọi x > 0 nếu α < 0.
Đồ thị của y = x
α
luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ

(0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0.
ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
10
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Hàm số mũ: y = a
x
(a > 0, a ≠ 1)
Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
Hàm số mũ tăng khi a > 1.
Hàm số mũ giảm khi a < 1.
Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.
4. Hàm số logarit: y = log
a
x, a > 0, a ≠ 1
Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
Hàm số log
a
x tăng khi a > 1
Hàm số log
a
x giảm khi a < 1
Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị
Hàm số y = log
a
x là hàm số ngược của hàm số y = a
x
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố

11
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
)x(Log)x(Log)
x
x
(Log
2a1a
2
1
a
−=
blog
a
ab =
aLog
bLog
bLog
c
c
a
=
•
Một số tính chất của log
a
x:
Log
a
(x
1
x

2
) = Log
a
(x
1
) + Log
a
(x
2
)
Log
a
x
α
= αLog
a
x
12/22/13 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
12
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
5. Hàm số lượng giác:
•
y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π
•
y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π
•
y = tgx, miền xác định ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π
•
y = cotgx, miền xác định ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π