Bài giảng đại số tuyến tính chương 3 ths nguyễn phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (199.86 KB, 33 trang )
Chương 3:
KHÔNG GIAN VECTƠ
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013
1
1
2
3
4
5
6
Vectơ n-chiều
Không gian vectơ
Tích vô hướng
Các khái niệm
Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa
Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính
Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính
Hạng của hệ vectơ
Định nghĩa
Tính chất
Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận
Không gian con
Định nghĩa
Cơ sở và số chiều của không gian con
Không gian sinh
Không gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất
Tọa độ trong không gian n-chiều
Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở
Công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở
2
Vectơ n-chiều
Định nghĩa
Một vectơ n-chiều x là một bộ n số thực có thứ tự x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∈ R.
Vectơ không được kí hiệu là 0 = (0, 0, . . . , 0).
Định nghĩa
Cho 2 vectơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn )
x = y ⇔ xi = yi , ∀i ∈ {1, . . . , n}
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
kx = (kx1 , kx2 , . . . , kxn ) ; k ∈ R
Tổng quát, ta có: ax + by = (ax1 + by1 , ax2 + by2 , . . . , axn + byn )
Ví dụ:
Cho 2 vectơ x = (1, −2, 2), y = (−1, −3, 1), ta có:
x + y = (0, −5, 3), −2x = (−2, 4, −4)
2x − 3y = (2, −4, 4) + (3, 9, −3) = (5, 5, 1)
3
Vectơ n-chiều
Tính chất (1)
x+y =y+x
Tính chất (2)
x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)
Tính chất (3)
x+0=x
Tính chất (4)
x + (−x) = 0
Vectơ n-chiều
Tính chất (5)
k(lx) = (kl)x
Tính chất (6)
(k + l)x = kx + lx
Tính chất (7)
k(x + y) = kx + ky
Tính chất (8)
1.x = x
Không gian vectơ
Định nghĩa (Không gian vectơ n-chiều)
Tập hợp các vectơ n-chiều xây dựng trên R được trang bị 2 phép toán trên
được gọi là không gian vectơ Rn .
Định nghĩa (Không gian Euclide n-chiều)
Không gian Euclide Rn là không gian vectơ Rn được trang bị thêm một tích
vô hướng của 2 vectơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) được định nghĩa:
x.y = x1 .y1 + x2 .y2 + . . . + xn .yn
Không gian vectơ
Tích vô hướng
Với mọi vectơ x, y, z ∈ Rn , ta có
Tính chất (1)
x.y = y.x
Tính chất (2)
x. x ≥ 0
x. x = 0 ⇔ x = 0
Tính chất (3)
(x + y).z = x.z + y.z
Tính chất (4)
x.(ky) = (kx).y = k(x.y)
7
Không gian vectơ
Các khái niệm
Trong Rn cho x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ta có
Định nghĩa
Độ dài của x: ||x|| =
√
x.x =
x21 + x22 + · · · + x2n
Định nghĩa
Khoảng cách giữa x, y:
||x − y|| = (x − y).(x − y) =
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2
Định nghĩa
Góc giữa x và y, kí hiệu (x,y): cos(x, y) =
x.y
||x||||y||
Không gian vectơ
Các khái niệm
Định nghĩa (Tính trực giao)
x, y trực giao nhau ⇔ x.y = 0
Hệ vectơ {u1 , u2 , . . . , um } là hệ trực giao ⇔ ui .uj = 0, ∀i
j ∈ {1, . . . , m}
Ví dụ:
Trong R3 cho x = (3, −1, 2), y = (1, 1, m). Xác định m để x trực giao với y.
Giải
x trực giao với y ⇔ x.y = 0 ⇔ 3 − 1 + 2m = 0 ⇔ m = −1
Định nghĩa (Tính trực chuẩn)
Hệ vectơ {u1 , u2 , . . . , um } là hệ trực chuẩn
⇔ ui .uj = 0 ∧ ||ui || = 1, ∀i j ∈ {1, . . . , m}
Ví dụ:
Trong R3 cho hệ vectơ {x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1)}. Nhận thấy
x.y = x.z = y.z = 0 và ||x|| = ||y|| = ||z|| = 1
Vậy: Hệ {x, y, z} là hệ trực chuẩn.
9
Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa
Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am }
Định nghĩa
Vectơ b được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ H ⇔ Tồn tại xj ∈ R, j = 1, m
sao cho b = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am
Ví dụ:
Trong R2 cho hệ vectơ H = {a1 = (1, 1), a2 = (1, 0)}. Vectơ b=(2,3) có phải là
một tổ hợp tuyến tính của H hay không? Biểu diễn b theo H nếu được.
Giải
Giả sử b = x1 a1 + x2 a2 , xi ∈ R.
⇔ (2, 3) = x1 (1, 1) + x2 (1, 0) ⇔ (2, 3) = (x1 , x1 ) + (x2 , 0) ⇔ (2, 3) = (x1 + x2 , x1 )
x1 + x2 = 2
x1 = 3
⇔
⇔
⇔ b = 3a1 − a2
x1 = 3
x2 = −1
Vậy b là một tổ hợp tuyến tính của H.
10
Tổ hợp tuyến tính
Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính
a1j
a
2j
Giả sử aj = (a1j , a2j , . . . , anj ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ). Ta kí hiệu Aj = . ,
..
anj
x1
b1
x
b
2
2
B = . và X = .
.
..
.
xm
bn
Khi đó b là một tổ hợp tuyến tính của hệ H ⇔ x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = b
có nghiệm
⇔ x1 A1 + x2 A2 + · · · + xm Am = B có nghiệm
⇔ AX = B có nghiệm, với A = (A1 A2 . . . Am ).
11
Tổ hợp tuyến tính
Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính
Ví dụ:
Trong R3 cho u = (1, −1, 2), v = (1, 1, −1), w = (−1, −3, 4). Cho biết
x = (1, −3, 5) có phải là một tổ hợp tuyến tính của {u,v,w} hay không? Hãy
chỉ ra một cách biểu diễn của x theo u, v,w nếu có.
Giả sử x = au + bv + cw, a, b, c ∈ R.
⇔ (1, −3, 5) = (a, −a, 2a) + (b, b, −b) + (−c, −3c, 4c)
⇔
(1, −3, 5) = (a + b − c, −a + b − 3c, 2a − b + 4c)
a+b−c=1
−a
+
b − 3c = −3
⇔
2a − b + 4c = 5
1 −1 1
1 1 −1 1
1
(A|B) = −1 1 −3 −3 −→ 0 2 −4 −2 −→
0 −3 6
3
2 −1 4
5
1 1 −1 1
0 1 −2 −1
a+b−c=1
Hệ tương đương
Chọn c=0 ta được b=-1, a=2.
b − 2c = −1
Vậy x = 2u − v chứng tỏ x là một tổ hợp tuyến tính của u,v,w.
12
Tổ hợp tuyến tính
Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính
Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am }
Định nghĩa
Hệ H là hệ phụ thuộc tuyến tính
⇔ Tồn tại một vectơ aj ∈ H là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
⇔ Tồn tại xj 0 : x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = 0
⇔ AX=0 có nghiệm không tầm thường với A được định nghĩa ở trên.
Ngược lại H là hệ độc lập tuyến tính.
13
Tổ hợp tuyến tính
Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính
Ví dụ:
Hệ H = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, −1, −1, 1), a3 = (1, −1, 1, −1),
a4 = (1, 1, −1, −1)} trong R4 có độc lập tuyến tính hay không?
Giải
Giả sử
=0
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4a4 = 0, xi ∈ R ⇔ AX
1
1
1
1
1 1
1 1
0 −2 −2 0
1 −1 −1 1
A =
−→
−→
0 −2 0 −2
1 −1 1 −1
0 0 −2 −2
1 1 −1 −1
1
1
1
1
1 1
1 1
0 −2 −2 0
0 −2 −2 0
−→
2 −2
2 −2
0 0
0 0
0 0 −2 −2
0 0
0 −4
⇒ Hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 0, 0, 0).
Vậy: Hệ H là hệ độc lập tuyến tính.
14
Tổ hợp tuyến tính
Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính
Ví dụ:
Hệ H = {a1 = (−1, 2, 1), a2 = (1, 1, −2), a3 = (0, 3, −1)} trong R3 độc lập hay
phụ thuộc tuyến tính? Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính hãy tìm một phương trình
biểu diễn sự phụ thuộc đó.
Giải
Giả sử
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3
0
−1 1
1
3 −→
A = 2
1 −2 −1
=
0, xi ∈ R ⇔ AX
=0
0
−1 1
−1 1 0
0
3
3 −→
0 1 1
0 −1 −1
−x1 + x2 = 0
Hệ phương trình tương đương
x2 + x3 = 0
Chọn x2 = 1 ⇒ x1 = 1, x3 = −1
⇒ Hệ H là hệ phụ thuộc tuyến tính. Một phương trình biểu diễn sự phụ thuộc
đó là a1 + a2 − a3 = 0
Tổ hợp tuyến tính
Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính
Tính chất (1)
Hệ có chứa vectơ không là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (2)
Hệ có chứa 2 vectơ tỉ lệ là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (3)
Một hệ có số vectơ nhiều hơn số chiều luôn là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (4)
Hệ vectơ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính.
Hệ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính.
16
Hạng của hệ vectơ
Định nghĩa
Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am }
Định nghĩa
Hạng của H, kí hiệu là rank(H), là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ.
Mọi hệ con có nhiều hơn rankH vectơ đều là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Hệ có toàn vectơ không được quy ước có hạng bằng 0.
Ví dụ:
Tìm hạng của hệ vectơ: H = a1 = (1, −3, 2) , a2 = (0, −4, 0) , a3 = (−1, 2, −4) .
Giải:
Ta có: a2 = 2a1 + a3 nên a1 , a2 , a3 phụ thuộc tuyến tính.
Mặt khác a1 , a3 độc lập tuyến tính.
Vậy rankH = 2
17
Hạng của hệ vectơ
Tính chất
Tính chất (1)
Mọi vectơ của hệ H đều là một tổ hợp tuyến tính của một hệ độc lập tuyến
tính có rankH > 0 vectơ.
Tính chất (2)
Hạng của hệ vectơ không đổi nếu ta thêm vào hệ một vectơ là tổ hợp tuyến
tính của các vectơ của hệ.
Tính chất (3)
Hạng của hệ vectơ không đổi nếu ta bớt đi một vectơ là tổ hợp tuyến tính của
các vectơ còn lại của hệ.
Tính chất (4)
Trong Rn cho 2 hệ H = {a1 , a2 , . . . , am }, F = {b1 , b2 , . . . , bk }. Nếu aj là một tổ
hợp tuyến tính của hệ F (∀j ∈ {1, . . . , m}) thì rankH ≤ rankF.
18
Hạng của hệ vectơ
Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận
Định lý
a11
a
21
Cho A = .
..
am1
Khi đó hạng của
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am2 . . . amn
A bằng hạng của hệ vectơ dòng/cột của A.
Nghĩa là gọi D = {(a11 , a12 , . . . , a1n ), (a21 , a22 , . . . , a2n ), . . . , (am1 , am2 , . . . , amn )}
và C = {(a11 , a21 , . . . , am1 ), (a12 , a22 , . . . , am2 ), . . . , (a1n , a2n , . . . , amn )}
thì rankA=rankD=rankC.
Vì vậy, khi ta cần tìm hạng của một hệ vec tơ ta tìm hạng của ma trận các
dòng/cột được lập từ những vectơ này.
Ví dụ: Trong R4 cho H = {u = (1, −2, 1, 0), v = (2, 3, 2, −1), w = (3, 1, 3, −1)}.
Tìm rankH.
Giải
Ta có
1 −2 1 0
1 −2 1 0
1 −2 1 0
0 7 0 −1
0 7 0 −1
2 3 2 −1
A =
−→
= B
−→
0 7 0 −1
0 0 0 0
3 1 3 −1
19
Hạng của hệ vectơ
Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận
Tính chất (1)
Hạng của hệ bằng số vectơ của hệ ⇔ Hệ độc lập tuyến tính.
Hạng của hệ nhỏ hơn số vectơ của hệ ⇔ Hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (2)
Cho hệ H có số vectơ bằng số chiều (m=n):
rankH = n ⇔ detA
0
rankH < n ⇔ detA = 0
20
Không gian con
Định nghĩa
Định nghĩa
Xét L ⊆ Rn . L là một không gian con của Rn
L ∅
⇔
∀x, y ∈ L ⇒ x + y ∈ L
∀x ∈ L, k ∈ R ⇒ kx ∈ L
0∈L
⇔
∀x, y ∈ L, k ∈ R ⇒ x + ky ∈ L
Lưu ý:
Nếu L là một không gian con của Rn thì 0 ∈ L.
Do đó, nếu 0 L thì L không phải là không gian con của Rn .
Ví dụ: Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của R2 .
1
2
L1 = {x ∈ R2 : x = (a, 2 + 3a), a ∈ R}
L2 = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R}
Giải
1
2
Nhận thấy 0 = (0, 0) L1 . Do đó L1 không phải là không gian con của R2 .
Ta có 0 = (0, 0) ∈ L2 . ∀x, y ∈ L2 , k ∈ R. Giả sử x = (a, 3a), y = (b, 3b) ta
có x + ky = (a + kb, 3a + 3kb) ∈ L2 ⇒ L2 là một không gian con của R2 .
Không gian con
Cơ sở và số chiều của không gian con
Định nghĩa
Hệ H = {a1 , a2 , . . . , am } là một cơ sở của không gian L của Rn
H là hệ độc lập tuyến tính
⇔
Mọi vectơ trong L đều là một tổ hợp tuyến tính của H
Lưu ý:
1
Số vectơ trong một cơ sở của L không vượt quá n.
2
Số vectơ trong các cơ sở của L luôn bằng nhau.
Định nghĩa
Số vectơ trong một cơ sở của không gian L được gọi là số chiều của L, kí hiệu
là dimL.
Tính chất (1)
Nếu dimL = r thì mọi hệ có r vectơ độc lập tuyến tính của L đều là cơ sở của
L.
22
Không gian con
Cơ sở và số chiều của không gian con
Tính chất (2)
Trong Rn , mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của Rn .
Hệ En = {e1 , e2 , . . . , en } với e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),. . .,
en = (0, 0, . . . , 1) được gọi là cơ sở chính tắc của Rn .
Tính chất (3)
Mọi vectơ của L đều là một tổ hợp tuyến tính duy nhất qua các vectơ trong
mỗi cơ sở của L.
Ví dụ: L2 = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R} là một không gian con của R2 .
Ta có ∀x ∈ L2 : x = (a, 3a) = a(1, 3).
Vậy mọi vectơ x ∈ L2 đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {(1,3)} độc lập tuyến
tính nên {(1,3)} là một cơ sở của L2 và dimL2 = 1.
Ví dụ:Cho biết L = {x ∈ R2 : x = (a + b, 2a − b), a, b ∈ R} là một không gian
con của R2 . Tìm một cơ sở của L và xác định dimL.
Ta có ∀x ∈ L : x = (a + b, 2a − b) = a(1, 2) + b(1, −1).
suy ra mọi vectơ x ∈ L đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {(1,2),(1,-1)} độc lập
tuyến tính.
Vậy {(1,2),(1,-1)} là một cơ sở của L và dimL = 2.
23
Không gian con
Không gian sinh
Định nghĩa (Không gian sinh)
Trong Rn cho hệ H = {a1 , a2 , . . . , am }. Không gian sinh bởi H, được kí hiệu là
Span(H): SpanH = {x ∈ Rn : x = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am , xi ∈ R}
Định lý
SpanH là một không gian con của Rn có dim(SpanH) = rankH.
Bài toán 1:
Trong Rn cho hệ H = {a1 , a2 , . . . , am }. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của
SpanH.
Phương pháp giải
1
Lập ma trận A có hệ vectơ dòng là H.
2
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến đổi A về dạng bậc thang
theo dòng B.
3
Hệ các vectơ dòng khác không của B là một cơ sở của SpanH.
24
Không gian con
Không gian sinh
Ví dụ:
Trong R4 cho hệ H = {a1 = (−2, 4, −2, −4), a2 = (2, −5, −3, 1), a3 = (−1, 3, 4, 1)}.
Hãy tìm một cơ sở và số chiều của SpanH.
4
1
a3 −1 3
a 2 −5 −3 1
Xét A = 2 =
a1
−2 4 −2 −4
4
1
4
1
−1 3
−1 3
−1 3 4 1
2 −5 −3 1
0
1
5
3 −→ 0 1 5 3
−→
−→
0 −1 −5 −3
0 −1 −5 −3
0 0 0 0
Vậy: Một cơ sở của SpanH là {(−1, 3, 4, 1), (0, 1, 5, 3)} và dimSpanH=2.
25
