Bài tập toán cao cấp 2 ma trận nghịch đảo và phương trình ma trận

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2

Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số
sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản
hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Bài 1:
Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:


1) A   3 4 
 5 7 

Ta có:
 5

 1

 3 4 1 0  h1 3 
 3 4 1 0 
 
3  1
 h2
AI 
 


1

5

 0


1 
 5 7 0 1 

 0
3
3


 

 4
h2   h1
 3

h1    h2
3





   1 0 7 4   A1   7 4 
 0 1 5 3 
 5 3 


4 1
0 
3 3

1 5 3 




2) A   1 2 
 4 9 

Ta có:
 1 2 
A 

 4 9 
1

1



 3 4 5
3) A   2 3 1
 3 5 1

 9 2   9 2 
1  d b 

1




ad  bc  c a  1.(9)  (2).4  4 1   4 1 






Ta có:
 3 4 5 1 0 0 
 1 1 4 1 1 0 
h1 
A I   2 3 1 0 1 0  h2(-1)

  2 3 1 0 1 0 
 3 5 1 0 0 1 
 3 5 1 0 0 1 

 

 1 1 4
 1 1 4 1 1 0 
1 1 0 
h12h2

 h2(-2) h3 


h1

  0 1 7 2 3 0 
3h3  0 1 7 2 3 0  
 0 2 13 3 3 1 
 0 0 1 1 3 1 
 1 1 4 1 1 0 
 1 1 0 3 11 4 
h37 h2


h2(-1)

  0 1 7 2 3 0  h3

4h1  0 1 0 5 18 7 
 0 0 1 1 3 1 
 0 0 1 1 3 1 
 1 0 0 8 29 11 


h2h1

  0 1 0 5 18 7 
 0 0 1 1 3 1 

  8 29  11



Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A-1 =   5 18  7 
 1 3 1 




 2 7 3
4) A   3 9 4
 1 5 3






Ta có:
 2 7 3 1 0 0 
 1 5 3 0 0 1 
A I   3 9 4 0 1 0  h3h1

  3 9 4 0 1 0 
 1 5 3 0 0 1 
 2 7 3 1 0 0 

 

 1 5 3 0 0 1


  0 6 5 0 1 3

 0 3 3 1 0 2
h13h2
h12h3


 1 5 3 0 0 1
 h3h2 
  0 3 3 1 0 2
 

 0 6 5 0 1 3


 1 5 3 0 0 1  h2  1  1 5 3 0 0
 3 
1


h2(-2)h3

  0 3 3 1 0 2    0 1 1 
0

3
 0 0 1 2 1 1 
 0 0 1 2 1

 1 5 0 6 3 2

5

1

 0 1 0
1 

3
3
 0 0 1 2 1
1
h31h2
h33h1

 7
 
 3
 5
 A1  
3

 2

1
3
1
1 
3
1
1
2











1
2
3
1












7
1 
1
0

0

2




3
3 



5
1 
 h2(-5)h1

 0 1 0
1  

3
3



1 
 0 0 1 2 1


 1 2 2 
5) A   2 1 2 

 2 2 1 

Ta có:
2 1 0 0  h1 2   h 2  1 2 2 1 0 0 
1 2

 h1 2   h 3 

A   2 1 2 0 1 0  
  0 3 6 2 1 0 
 2 2 1 0 0 1 
 0 6 3 2 0 1 





1 2 2
 1 2 2 1 0 0

h 2  2   h 3


  0 3 6 2 1 0    0 1 2

0 0 9
2 2 1 


0 0 1


 1
h 2  
 3
1
h 3 
9


1 2 0

h 3 2  h 2
h 3 2  h1
  0 1 0


0 0 1



1
9

2
1
 A 
9

 2
9

2
9
1
9
2

9

5
9
2
9
2
9

2 
9 

2

9

1 

9 

4
9
1

9
2

9

2

 
1 0 0
9


2  h 2 2 h1 
 
 0 1 0

9


1 
0 0 1


9 


1

0

2
3
2
9

1
3
2

9

1
9
2
9
2
9



2
9
1
9
2

9


0


0

1

9
2 
9 

2

9

1 

9 


Bài 2
Giải các phương trình ma trận sau
1 2

3 5

1) 
 X  5 9
3 4


1 2

 3 5

Đặt A  
;B  5 9
3 4


Ta có: AX  B  X  A1 B
1
 2
1 2
 4 2  
1  d b 
1
A 
 



 3
ad  bc  c a  1.4  2.3  3 1  
3 4
 2
 2 1 
 3 5   1 1
 X   3 1  


  5 9   2 3 

 2
2 
1

1 

1 
2 

 3 2   1 2 

2) X 


 5 4   5 6 
 3 2 
 1 2 
;B 


 5 4 
 5 6 

Đặt A  

Ta có: XA  B  X  BA1
1
2
 3 2 
 4 2  

1  d b 
1
A 
 



 5
ad  bc   c a  3.(4)  5.(2)  5 3  
 5 4 
2
 2 1 
  1 2    3 2 
 X 5
3

 


   5 6   5 4 
2
2
1

1 

3
 
2

 1 2 3 
 1 3 0 
 3 2 4  X   10 2 7 
3) 



 2 1 0 
 10 7 8 





Giải:
 1 2 3 
 1 3 0 


Đặt A   3 2 4  ; B  10 2 7 
 2 1 0 
10 7 8 





Ta có: AX  B  X  A1 B
 4 3 2 

Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: A   8 6 5 
 7 5 4 


1

 4 3 2  1 3 0   6 4 5 
 

Suy ra: X   8 6 5 
 10 2 7    2 1 2 
 7 5 4 10 7 8   3 3 3 


 


 5 3 1   8 3 0 
4) X  1 3 2    5 9 0 
 5 2 1   2 15 0 

 

5 3 1
 8 3 0 


Đặt A   1 3 2  ; B   5 9 0 
 5 2 1 
 2 15 0 






Ta có: XA  B  X  BA1
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:


1
3
 1
 19  19  19 


9
10
11 
1

A 
 19
19
19 


  13  25  18 
19
19 
 19

Suy ra:
1
3
 1
 19  19  19 
 8 3 0  
 1 2 3
10
11  

 9

1
X  BA  A   5 9 0 
  4 5 6
 19

19
19
 2 15 0  
  7 8 9 

 13
25
18
 

 
19

19 
 19

 3 1 

 5 6  14 16 

5) 
X


 5 2   7 8   9 10 
 3 1 

 5 6

14 16 

Đặt A  
 ; B   7 8  ; C   9 10 
 5 2 




Ta có: AXB  C  X  A1CB 1
1

 3 1 
 2 1 

A 
 

 5 2 
 5 3 
1
 4 3 
 5 6
1


B 
5
  7

 7 8
 2
2
1

Suy ra:
 4 3 
 4 3 
 2 1  14 16  
 19 22  

 1 2
X 
5
5 


 7
 7



 5 3  9 10 
 43 50 
3 4
 2
2
2
2