Bài giảng cơ học lượng tử nguyễn văn khiêm bài 18

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

C¬ häc l­îng tö

NguyÔn V¨n Khiªm


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Bài 18
HỆ NHIỀU HẠT. SỰ BẢO TOÀN SỐ
HẠT, TỔNG NĂNG LƯỢNG VÀ
XUNG LƯỢNG


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Trong chương này và chương sau, ta sẽ xét các bài toán về hệ
nhiều hạt
Trường hợp đáng chú ý là hệ hạt đồng nhất, tức là những hạt
có cung đặc trưng về khối lượng, điện tích và spin (hệ electron,
hẹ proton, ….)
Trong chương này ta mới chỉ xét vấn đề chung về hệ nhiều hạt, kể cả
hệ gồm các hạt khác loại.


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

1.Điều kiện nhân số bậc tự do.
Trước hết ta hãy xem xét câu hỏi sau. Giả sử có một hệ N hạt, mỗi
hạt có ba bậc tự do (ví dụ: hạt thứ i có ba toạ độ độc lập xi, yi, zi).
Khi nào thì có thể coi rằng hệ N hạt đó có 3N bậc tự do?.
Trường hợp đơn giản nhất mà trong đó ta có thể coi như vậy hiển
nhiên là trường hợp các hạt độc lập, không tương tác với nhau.
Trong trường hợp chúng tương tác với nhau, vấn đề trở nên phức
tạp hơn nhiều.
Trong nhiều trường hợp, không thể mô tả đầy đủ các tương tác,
bởi vì các hạt tương tác với nhau thong qua các trường


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Do tốc độ truyền tương tác là hữu hạn nên tương tác sẽ bị trễ, vì thế
sẽ không thể tính toán nổi, đặc biệt khi vận tốc chuyển động của các
hạt là lớn
Khi đó, trong hệ được xét phải tính đến cả các trường, và số bậc tự
do sẽ thay đổi
Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chẳng hạn: khi xét các hạt trong
một vùng không gian qua lớn và vận tốc chuyển động của các hạt là
đủ nhỏ so với vận tốc truyền tương tác, ta có thể coi rằng các hạt
nhận tương tác tức thời.
Khi
Khi đó,
đó, có
có thể
thể coi

coi rằng
rằng nếu
nếu mỗi
mỗi hạt
hạt có
có kk bậc
bậc tự
tự do
do thì
thì hệ
hệ N
N hạt
hạt có
có Nk
Nk
bậc
bậc tự
tự do,
do, tức
tức là
là hệ
hệ thoả
thoả mãn
mãn điều
điều kiện
kiện nhân
nhân số
số bậc
bậc tự
tự do.

do.
Trong toàn bộ phần còn lại của chương này, ta sẽ chỉ xét những hệ thoả
mãn điều kiện trên.


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

2. Trạng thái của hệ hạt
Trong biểu diễn toạ độ, trạng thái của hệ N hạt được mô tả bởi hàm có
dạng:

  
ψ = ψ ( r1 , r2 ,...rN , t )

(18.1)


trong đó ri coi như bộ toạ đọ ứng với hạt thứ i

Chú ý rằng, nếu các hạt có spin thì ψ không phải hàm vô hướng
nhận giá trị là các số phức, mà là hàm nhiều thành phần (và biến
đổi theo một quy tắc nhất định trong hép quay không gian).


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Cũng như trong trường hợp một hạt, ta cũng nêu ra yêu cầu sau đối với
hàm trạng thái:

+
+
nếu ω = ψ ψ (hoặc ω = Ψ Ψ trong trường hợp hàm nhiều thành phần) thì

  

ω ( r1 , r2 ,...rN , t ) là mật độ xác suất tìm thấy mỗi hạt thứ i ở vị trí ri
trong không gian ba chiều
  
hay nói theo kiểu toán học – hệ ở vị trí ( r1 , r2 ,...rN )

trong không gian 3N chiều (ở thời điểm t)


Trong khi đó, muốn tìm mật độ xác suất tìm thấy hạt thứ i1 ở vị trí ri1

hạt thứ ik ở vị trí rik
  
(k < N), cần lấy tích phân của ω ( r1 , r2 ,...rN , t )
theo không gian con của tất cả các biến còn lại, tưc là:


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

  
∫ ω ( r1 , r2 ,...rN , t ) dx j1 .dy j1 .dz j1 ....dx jN −k .dy jN −k .dz jN −k
trong đó, mỗi chỉ số jl đều không nằm trong tập hợp { i1 , i2 ,...ik }

Chẳng hạn, với N = 3 thì xác suất tìm thấy hạt thứ nhất ở vị trí r1

(tại thời điểm t) sẽ là:

  
∫ ω ( r1 , r2 ,...rN , t ) dx2 .dy 2 .dz 2 .dx3 .dy3 .dz 3
trong đó tích phân lấy trong không gian con 6 chiều của các bién số

x 2 ; y 2 ; z 2 ; x3 ; y 3 ; z 3


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

3. Phương trình chuyển động và sự bảo toàn số hạt
Cũng như với một hạt, ta coi rằng hàm trạng thái của hệ N hạt cũng
thoả mãn phương trình Schrödinger:
i

∂ψ
= Hˆ ψ
∂t

trong đó:

(18.2)

2
N


ˆ

p

 
k
Hˆ = ∑ 
+ U k ( rk , t )  + ∑ U k j ( rk , r j )
k =1  2m k
 k ; j =1
N

(18.3)

Chú ý rằng trong (18.3) ta có

ˆ 2
pˆ = p k
ˆ 
∂
∂
∂ 
 = −i ∇ k
p =  − i
; −i 
; −i 
∂x k
∂y k
∂z k 

2
k

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

mk là khối lượng của hạt thứ k trong trường ngoài;

U kj là thế năng tương tác giữa hạt thứ k và hạt thứ j.
Từ phương trình (18.2) và đẳng thức (18.3), tiến hành vài thao tác
giống như trường hợp một hạt, ta cũng có:
∂ *
2
i ψ ψ = −
∂t
2

(

Đặt

)

N

(

1 * 2
2 *
ψ
∇

ψ
−
ψ
∇
∑
k
kψ
k =1 m k


i
Jk = −
ψ *∇ kψ −ψ∇ kψ *
2mk

∂ω N
+ ∑ ∇k J k = 0
∂t k =1

(

)

)

(18.4)

ta có:
(18.5)

Đây chính là phương trình liên tục của dòng. Cũng có thể gọi nó là
phương trình mô tả sự bảo toàn số hạt.


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

4. Sự bảo toàn tổng năng lượng và xung lượng
Trong Cơ học lượng tử, một đại lượng được coi là bảo toàn, nếu đạo
hàm của toán tử tương ứng theo thời gian bằng 0
Nếu Lˆ là toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì,
như ta đã biết ta có:

[

∂Lˆ
i
= − Lˆ , Hˆ
∂t


]

Như vậy, đại ượng L được bảo toàn, nếu
hay

Lˆ giao hoán với Hˆ

[ Lˆ, Hˆ ] = 0

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Bây giờ ta xét xung lượng của hệ
N
ˆ N 
P = ∑ pˆ k = −i ∑ ∇ k
k =1

k =1

Từ đó ta có

[ ]



i ˆ ˆ 
 

L, P =  ∑ U k + ∑ U kj  ∑ U l  −  ∑ U l  ∑ U k + ∑ U kj 

k≠ j
k≠ j
  l
 k
 k
 l


(18.6)

Ta có:

 

U k  ∑ U l ∇ l  −  ∑ U l ∇ l U k = ∇ k U k
 l
  l


(18.7)


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Tiếp theo, ta giả thiết rằng
U kj chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa hạt thứ k và hạt thứ j, tức là

U kj = U kj (rkj )

.

Khi đó, U kj chỉ chịu tác dụng của ∇ k hoặc ∇ j
Mặt khác,

U kj ( ∇ k + ∇ j ) = ( ∇ k + ∇ j )U kj = −( ∇ k + ∇ j )U kj

Ta lại có

∇ k U kj =
∇ jU kj =

dU kj
drkj

∇ k rkj =

dU kj .r jk
drkj .rkj

=−

dU kj .rkj
drkj .rkj

dU kj .rkj
drkj .rkj

(18.8)


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

nên:

(∇

k

Từ đó suy ra:

+ ∇ j )U kj = 0

ˆ
N
dP
= −∑ ∇ k U k
dt
k =1

(18.9)
(18.10)

có nghĩa là tốc độ biến thiên tổng xung lượng bằng các lực tác
dụng từ phía trường ngoài lên các hạt
Trong trường hợp không có trường ngoài, từ (18.10) ta có

ˆ
dP
=0
dt
, tức là tổng xung lượng của hệ bảo toàn.


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

5. Chuyển động của khối tâm
Xét hệ chịu tác dụng của trường ngoài. Khi đó, Hamiltonian của hệ
có dạng:
2

Hˆ = − Fˆ + U
2

(18.11)

N

trong đó

1 2
ˆ
F =∑
∇k
k =1 m k

U = ∑ U kj ( rkj )
k≠ j

(18.12)
(18.13)


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Đặt:

m1 x1

ξ1 = x1 − x 2 ≡ m − x 2
1


m1 x1 + m 2 x 2
− x3
ξ 2 = m + m
1
2

...

m x + ... + m N −1 x N −1
ξ N −1 = 1 1
− xN
m1 + ... + m N −1


ξ N ≡ X = m1 x1 + ... + m N x N

m1 + ... + m N

(18.14)

và các ký hiệu ςj, ζj biểu diễn qua yj, zj (i = 1, ….N) giống như ξj biểu

diễn qua các toạ độ xi (ςN = Y, ζN = Z).


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Rõ ràng X, Y, Z có thể coi là ba toạ độ khối tâm của hệ
Với các ký hiệu đó, dễ chứng minh rằng
N −1
1
1 2
Fˆ =
∇ 2 + j∑
∇j
M
k =1 µ j

trong đó:

 2
∂2
∂2
∂2
+
+
∇ =
2
2
2
∂

X
∂
Y
∂
Z

 2
∂2
∂2
∂2
∇ j = ∂ξ 2 + ∂ς 2 + ∂ζ 2
j
j
j

M = m + ... + m
1
N

1
1
1
=
+
µ
 j m1 + ... + m j m j +1

(18.15)

(18.16)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Chú ý:

N
∂
∂
=∑
,...
∂X k =1 ∂x k

2
2
N


∇2 − ∑
∇ 2j + U
Do đó: Hˆ = −
2M
j =1 2 µ j

(18.17)

trong đó U bây giờ phụ thuộc các toạ độ mới ςj, ζj ,ξj (j = 1, 2,…,N-1)
Nếu đặt:

2

Tˆ = −
∇2
2M
2

Tˆ ' = −∑
∇ 2j
j =1 2 µ j

(18.18)

N

(18.19)


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

thì có thể gọi
Tˆ là toán tử động năng của khối tâm, còn

Tˆ ' là toán tử động năng chuyển động tương đối của các hạt.
Chú ý rằng, trong phần năng lượng tương tác của các hạt không
có mặt các toạ độ khối tâm, trong khi đó thì

Tˆ lại chỉ liên quan đến các toạ độ khối tâm.
Vì vậy:

Hˆ = Tˆ + Hˆ '

(18.20)
trong đó Tˆ chỉ chứa các phép lấy đạo hàm theo toạ độ khối tâm
còn Hˆ ' chỉ lien quan đến chuyển động tương đối và tương tác giữa các hạt.


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Tiếp theo, vì

N
∂
∂
=∑
,...
∂X
j =1 ∂x j

nên các toạ độ của tổng xung lượng sẽ là:
∂ ˆ
∂ ˆ
∂
ˆ
Px = −i
, PY = −i
, Pz = −i
.

∂X
∂Y
∂Z

Bây giờ ta cũng coi hàm trạng thái là hàm của X, Y, Z và các biến ςj, ζj
,ξj (j = 1, 2,…,N-1) và tìm nghiệm của phương trình (18.2) ở dạng:
Ψ = Φ ( X , Y , Z , t )ψ ( ξ1 ,...ζ N , t )

(18.21)


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Khi đó:

∂Φ
∂ψ
2 2
i
ψ + i Φ
= −ψ
∇ Φ + ΦHˆ 'ψ
∂t
∂t
2M

Chia hai vế phương trình này cho Φψ và so sánh các số hạng có cùng
bộ biến số ở hai vế với nhau, ta được hai phương trình:

∂Φ
2 2
i
=−
∇ Φ
∂t
2M
∂ψ
i
= Hˆ 'ψ
∂t

(18.22)
(18.23)

Phương trình (18.22) chính là phương trình chuyển động của khốI tâm,
còn (18.23) là phương trình chuyển động tương đối.


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Ta cũng thấy rằng (18.22) là phương trình chuyển động tự do của hạt vớI
khối lượng M. Nghiệm đơn giản nhất của nó đương nhiên có dạng:

Φ = C.e
trong đó

(


i
Et − PR


)


R = ( X , Y , Z ).


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam


Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam