Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 (không gian véctơ) lê xuân đại
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (660.31 KB, 64 trang )
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
1 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Tọa độ của véctơ
Định nghĩa
Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử
B = {e1, e2, . . . , en } là một cơ sở của E . Như vậy
n
∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x =
xi ei . Các số
i=1
xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và
được gọi là tọa
của véctơ x trong cơ sở B. Kí
độ
x1
x
hiệu [x]B = ..2
.
xn
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Tọa độ của véctơ
Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Tọa độ của véctơ
Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Tọa độ của véctơ
Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
[αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K .
1
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Tọa độ của véctơ
Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
[αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K .
[x + y ]B = [x]B + [y ]B , ∀x, y ∈ E .
1
2
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Tọa độ của véctơ
Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
[αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K .
[x + y ]B = [x]B + [y ]B , ∀x, y ∈ E .
1
2
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Ví dụ
Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B
của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
4 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Ví dụ
Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B
của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2)
Tìm x1, x2, x3 để
x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)
x
+
2x
+
x
=
6
1
x1 = 3
2
3
⇔ x1 + x2
= 5 ⇔
x =2
2
3x2 + 2x3 = 4
x3 = −1
Vậy [x]B = (3, 2, −1)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
4 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở
p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x 2 + x.
Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x 2 + 7x − 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
5 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở
p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x 2 + x.
Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x 2 + 7x − 2
p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x)
⇔ x 2 +7x −2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x 2 +x)
λ3 = 1
λ1 = 2
⇔ λ1 − λ2 + λ3 = 7 ⇔ λ2 = −4
λ3 = 1
λ1 + λ2
= −2
Vậy [x]B = (2, −4, 1)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
5 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Chuyển cơ sở
Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en } và
B = {e1, e2, . . . , en } là 2 cơ sở của E . Giả sử giữa
B và B có mối liên hệ
n
ei =
ski ek ,
i = 1, 2, . . . n.
k=1
e1 = s11e1 + s21e2 + . . . + sn1en
⇔ ... ... ........................
en = s1n e1 + s2n e2 + . . . + snn en
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
6 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Chuyển cơ sở
Định nghĩa
s11
s
Ta gọi ma trận S = 21
...
sn1
s12
s22
...
sn2
...
...
...
...
s1n
s2n
được
...
snn
gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B . Ký hiệu
S = Pass(B, B ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
7 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en } và
B = {e1, e2, . . . , en } là 2 cơ sở của E . Giả sử
x ∈ E ta có
n
x=
xk ek hay [x]B = (x1, x2, . . . , xn )T và
k=1
n
x=
xi ei hay [x]B = (x1, x2, . . . , xn )T
i=1
Ta tìm mối liên hệ giữa [x]B và [x]B
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
8 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
n
x=
xi ei
i=1
= x1e1 + x2e2 + . . . + xn en
= x1(s11e1 + s21e2 + . . . + sn1en ) + x2(s12e1 + s22e2 +
. . . + sn2en ) + . . . + xn (s1n e1 + s2n e2 + . . . + snn en )
= (s11x1 + s12x2 + . . . + s1n xn )e1 + (s21x1 + s22x2 +
. . . + s2n xn )e2 + . . . + (sn1x1 + sn2x2 + . . . + snn xn )en
n
=
xk ek
k=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
9 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
x1 = s11x1 + s12x2 + . . . + s1n xn
x2 = s21x1 + s22x2 + . . . + s2n xn
.....................
x = s x + s x + ... + s x
n
n1 1
n2 2
nn n
x1
s11 s12 . . . s1n
x1
x2 s21 s22 . . . s2n x2
.. =
.
. . . . . . . . . . . . . ..
xn
sn1 sn2 . . . snn
xn
⇒ [x]B = S[x]B , [x]B = S −1[x]B .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
10 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho 2 cơ sở
B = {2x 2 + x, x 2 + 3, 1},
B = {x 2 + 1, x − 2, x + 3} và véctơ
p(x) = 8x 2 − 4x + 6.
Tìm ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang
B.
Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B .
1
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
11 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Ta có e1 = x 2 + 1, e2 = x − 2, e3 = x + 3 và
e1 = 2x 2 + x, e2 = x 2 + 3, e3 = 1. Ta sẽ tìm tọa
độ của e1, e2, e3 theo cơ sở B tức là
e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3
⇔ e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3
e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
12 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3
2
2
2
⇔ s
11 (2x + x) + s21 (x + 3) + s31 .1 = x + 1
= 1
2s11 + s21
⇔
s
= 0
11
3s21 + s31 = 1
⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
13 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3
2
2
⇔ s
12 (2x + x) + s22 (x + 3) + s32 .1 = x − 2
= 0
2s12 + s22
⇔
s
= 1
12
3s22 + s32 = −2
⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
14 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3
2
2
⇔ s
13 (2x + x) + s23 (x + 3) + s33 .1 = x + 3
= 0
2s12 + s22
⇔
s
= 1
12
3s22 + s32 = 3
⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
15 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
Vậy ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B là
0 1 1
1 −2 −2
−2 4 9
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
16 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B .
Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa
p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3
2
2
2
⇔λ
1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6
= 8
2λ1 + λ2
⇔
λ
= −4
1
3λ2 + λ3 = 6
⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42.
⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
17 / 37
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở
Ví dụ
2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B .
Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa
p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3
2
2
2
⇔λ
1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6
= 8
2λ1 + λ2
⇔
λ
= −4
1
3λ2 + λ3 = 6
⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42.
⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42)T .
Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là
[p(x)]B = S −1.[p(x)]B = (8, −2, −2)T
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
17 / 37
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F ) n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
18 / 37
