đại số tuyến tính - chương 4 Hạng của một ma trận và ma trận nghịch đảo pdf

CHƯƠNG 4:

HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 1


1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN

Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mmxn(K) là
phép biến đổi có một trong các dạng sau:

a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj)
(Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau)
b/ hi → α.hj (Ci → α.hi), α ≠ 0
(Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không)
c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj)
(Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác
hoặc cột khác)
Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 2

1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt)

Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận
A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A

Ví dụ:
 1 2 3
 1 2 3
1 2 3 

 h2 ↔ h3 
 h3 → 2.h3 

A =  4 5 6    → 7 8 9   → 7 8 9 

7 8 9
 4 5 6
 8 10 12 







Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 3

2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG

Cho ma trận A ∈ Mmxn(K)
Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như:
a/ Các hàng khác khơng (có ít nhất một phần tử nằm
trên hàng nào đó khác khơng) nằm trên các hàng
bằng không.
b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không
đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa
phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 4


2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt)

Ví dụ:
 2 1 0 4 3


A =  0 0 3 1 4
0 0 0 2 1



1

0
B=
0

0


2 3 4 5

0 1 4 6
0 0 0 3

0 0 0 0


Là những ma trận bậc thang
Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang
nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ
sau:
Tốn 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 5


2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt)

1

2
A=
0

3


2

0

4
1
4
1 2 0
 h2 → h2 − 2 h1 

4
1 −1
2  h4 → h4 −3h1  0 0 1 − 3 − 6 

    → 0
1 −1
2 −5
1 −1
2 − 5




0 −1 2 − 5 −1

5 2 − 2 11 


1
4
1
4
1 2 0
1 2 0




2 − 5  h4 → h4 + h2  0 1 − 1
2 − 5
h2 ↔ h3
 0 1 −1
 →


    → 0 0 1 − 3 − 6 
0 0 1 −3 −6


0 −1 2 − 5 −1


0 0 1 − 3 − 6





0
1
4
1 2


2 − 5
h4 → h4 − h3
 0 1 −1
  →

0 0
1 − 3 − 6


0 0
0
0
0


Toán 2

1

Chương 4: MA TRẬN

Slide 6


3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN

a/ Định nghĩa:
Cho ma trận A ∈ Mmxn(K). Ta nói ma trận A có hạng
bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma
trận con cấp p có định thức khác khơng, cịn mọi định
thức con cấp p+1 đều bằng khơng.
Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất
của định thức con khác không của nó.
* Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 7


3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)

b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau:
. r(A) = r(AT)
. r(Amxn) ≤ min{m,n}
. r(A+B) ≤ r(A) + r(B)

. r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)}
. Cho ma trận A ∈ Mmxn(K)
X ∈ Mn(K), detX ≠ 0
Y ∈ Mm(K), detY ≠ 0
Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A)
Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 8


3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)

b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt):
. Nếu A → B (Ma trận B nhận được từ A qua một số
hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp)
Khi đó: r(A) = r(B)
. Nếu A ∈ Mn(K) thì:
+ r(A) = n ⇔ detA ≠ 0
+ r(A) < n ⇔ detA = 0

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 9


3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)

c/ Định lý:
Cho A ∈ Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng
khác khơng.
Khi đó: r(A) = p
Nhận xét:
Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận,
thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về
dạng bậc thang. Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma
trận.

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 10


3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận
1

0
A = 3

0
2


4
2
1
5
3

−5 
1


− 4  h3 → h3 −3h1  0
h5 → h − 2 h1
7   5→ 0


− 10 
0
0
0



4
1

1
1
0
h2 → h2
2

 → 0 − 11

5
0
⇒ r(A) = 2− 5
0

Toán 2

−5 

−4 
− 11
22 

5 − 10 
−5
10 

4
2

−5 
1
 h3 → h3 +11h2 
− 2  h4 → h4 −5h2  0
h5 → h + 5h2

22   5  → 0



− 10 
0
0
10 


Chương 4: MA TRẬN

4
1
0
0
0

− 5

− 2
0

0
0


Slide 11


3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)

Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a

1

0
A    →

0

0

2
1

h3 ↔ h4
 0 −1
 →
0
0

0
0

h2 → h2 − 2 h1
h3 → h3 − 3 h1
h4 → h4 − 4 h1

1

2
A =

3

4


3
−2

Toán 2

0
0

3
4

4
5

5
6

4

5
6

a


2
3

1
 h3 → h3 − 2 h2 
 h4 → h4 −3→ 0 − 1 − 2
h
  2 

0
0
0



0
− 6 a − 16 
0
0

4 
Biện luận:

3 
. a = 7 thì r(A) = 2
a − 7
. a ≠ 7 thì r(A) = 3

0 


2
3
−1 − 2
−2 −4
−3

2
3

4
3
−6

Chương 4: MA TRẬN






a − 7

4
−3
0

Slide 12

4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

a/ Định nghĩa ma trận phụ hợp
Cho A = (aij) ∈ Mn(K), khi đó ta gọi ma trận
T

 A11 A12 ... A1n 


 A 21 A 22 ... A 2 n 
PA = 
 là ma trận phụ hợp của ma trận A
....


A
A n 2 ... A nn 
 n1

Ở đây: Aij = (–1)i+jdet(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij.
Cij là ma trận có cấp (n–1) nhận được từ ma trận A
bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j.
Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 13


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

* Ma trận phụ hợp PA có tính chất sau:
A.PA = PA.A = (detA).In
1 1 0


Ví dụ: Cho ma trận A =  1 1 1  Hãy tìm ma trận phụ
0 2 1
hợp PA


1+1 1 1
1+ 2 1 1
A11 = (-1) .
= −1; A12 = (-1) .
= −1; ...
2 1
0 1
Cuối cùng ta tính được ma
trận
T
−1 −1
2
1

 −1 −1





PA =  − 1 1 − 2  ⇒ PA =  − 1
1 − 1
 1 −1
 2 −2
0
0




Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 14


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Cho ma trận A ∈ Mn(K)
* A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0
* A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K)
sao cho: A.B = B.A = In
Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và
được ký hiệu là B = A–1
Do vậy ta có: A.A–1 = A–1.A = In

Tốn 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 15


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

c/ Định lý
Cho ma trận A ∈ Mn(K)
A không suy biến ⇔ A khả nghịch và lúc này
1
−1
A =
.PA
det A
d/ Ma trận nghịch đảo có các tính chất sau:
Cho A, B ∈ Mn(K). Khi đó:
. Nếu A khơng suy biến thì A–1, AT cũng khơng suy biến
và (A–1)–1 = A và (AT)–1 = (A–1)T
. Nếu A và B khơng suy biến thì A.B cũng khơng suy
biến và (A.B)–1 = B–1.A–1
Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 16


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

1 2
. Tìm A–1
Ví dụ 1: Cho A = 
3 4
Nhận xét: detA = – 2 ≠ 0. Vậy A khả nghịch.
Ta có: A11 = (–1)1+1.4,
A21 = (–1)2+1.2,

A12 = (–1)1+2.3
A22 = (–1)2+2.1

T

 4 − 3
 4 − 2
⇒ PA = 
 =

1
1
− 2
− 3

Vậy

1
1  4 − 2
A =
.PA = − 


det A
2− 3
1
−1

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 17


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

2 − 3
1


2 − 4  . Tìm A–1
Ví dụ 2: Cho A =  3
 2 −1
0


Nhận xét: detA = 1 ≠ 0 nên tồn tại A–1
Ta có: A11 = –4

A12 = –3

A13 = –7

A21 = 3

A22 = 6

A23 = 5

A31 = –2
A32 = –5
A33 = –4
T
− 4 − 8 − 7
 − 4 3 − 2




⇒ PA =  3
6
5  =  − 8 6 − 5
 − 2 − 5 − 4
 − 7 5 − 4




Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 18


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

 − 4 3 − 2


1
Vậy
A -1 =
.PA =  − 8 6 − 5 
detA
 − 7 5 − 4


e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ
cấp trên hàng
Ta còn có một thuật tốn khác để tìm A–1 chỉ qua các
phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau:
PBĐBĐ
trên hàng

(A | I)   →(I | A −1 )


Chú ý: Phương pháp này tiện cho việc tính A–1 mà ma
trận A có cấp cao.
Tốn 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 19


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

2 − 3
1


2 − 4  . Tìm A–1
Ví dụ 3: Cho A =  3
 2 −1
0



2 −3
Ta viết  1

2 −4
3
 2 −1
0


1
0

0
1

0

0

0

0
1


2 −3
1

   → 0 − 4

5
0 − 5
6

h2 → h2 − 3h1
h3 → h3 − 2 h1

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

1

−3

0
1

−2

0

0

0
1

Slide 20


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

Ví dụ 3 (tt):

2
1

h2 → h2 − h3
   → 0

1
0 − 5


0
1
h1 → h1 − 2 h2

h3 → h3 + 5 h2
  → 0
1
0
0


Toán 2

−3

1

0

−1 −1

1

6 −2

0

−1

3

−2

−1 −1

1

1 −7

5

Chương 4: MA TRẬN

0

− 1
1

2

−1
− 4


Slide 21


4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

Ví dụ 3 (tt):

1

   → 0

0


0
1
0

h1 → h1 + h3
h2 → h2 + h3

⇒ A

−1

0 −4
0 −8
1 −7

− 4

= −8
− 7


3

6
5

Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

3
6
5

− 2

− 5
− 4


− 2

− 5

− 4

Slide 22


BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Bài 1: Tìm hạng của ma trận

1

0
a/ A = 3

0
2


4
2
1
5
3

1 −1

2
2
c/ A = 
3 −4

5 − 6

Toán 2

 1
− 5



 2
− 4
 2
7  b/ A = 

 −1
− 10 
− 3

 1
0



1

2

3

5

5

2

7

6

0
2
1
−2
−1
2

4
1
5
2
−8
−3

−2
5
0
−6
1
7

1

−1
1

1
−1


− 2


4

7
10 

18 

Chương 4: MA TRẬN

Slide 23


BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)

2
1 
 1 −1


2
Bài 2: Cho ma trận A =  2 − 2 m + 5 m + 1
 1 −1
2
m −1 


Tìm điều kiện của m để r(A) = 3

1 1 0 0 0


0 1 1 0 0
Bài 3: Cho ma trận A =  0 1 0 1 1 


1 0 1 0 0
0 0 a 1 0



Hãy biện luận r(A) theo tham số a
Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 24


BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)

1
1
 1

3 −1
 2
Bài 4: Cho ma trận A = 
−1

1
0

 2
2
3

Tìm điều kiện của m để A khả nghịch

1 2

Bài 5: Cho ma trận A =  2 4
 3 −1


1 1
 
2 ×  2
4  3
 

1

4
2

m


−1

2 

3
m 
0 m + 1


Tìm điều kiện của m để A khả nghịch
Toán 2

Chương 4: MA TRẬN

Slide 25