Tổng quan về mạch lọc số

4
Phần 1:
Tổng quan về mạch lọc số
Chơng 1:
Khái niệm cơ bản về mạch lọc số
1.1. Tổng quan
1.1.1. Định nghĩa bộ lọc số .
Một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của
một tín hiệu theo chỉ tiêu đã cho đợc gọi là bộ lọc số .
1.1.2. Xét các cách biểu diễn của hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến
số n .


x(n) y(n)



trong đó :
y(n) = h(n) *x(n) =


=

m
mnxmh )().(
=x(n) *h(n)
=


=

m
mnhmx )().(
( 1.1)
h(n) : là đáp ứng xung của hệ thống và ta biết rằng đáp ứng xung là đặc trng hoàn
toàn cho hệ thống trong miền n. Mặt khác một lớp các hệ thống tuyến tính bất biến
đợc biểu diễn bởi phơng trình sai phân sau đây :


=

N
k
k
knya
0
)(.
=

=

M
r
r
rnxb
0
)(
(1.2)
Tổng hợp tất cả các hệ số
k

a
và
r
b
sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất
biến . Tức là các hệ số
k
a
và
r
b
đặc trng hoàn toàn cho hệ thống .
Trong miền Z hệ thống đợc đặc trng bởi hàm truyền đạt H(Z)
H(Z) = ZT[h(n)] =
)(
)(
ZX
ZY
=


=


=
N
k
k
k
r

M
r
r
Za
Zb
0
0
(1.3)
Khi đó , trong miền tần số :
Nếu hàm truyền đạt H(Z) đợc đánh giá trên vòng tròn đơn vị đối với
Z
=1 thì
chúng ta có đặc tính tần số H(

j
e
)

h(n)
Hình 1.1.1

5
H(

j
e
) =
)(
)(

j
j
eX
eY
=


=

=

N
k
kj
k
M
r
rj
r
ea
eb
0
0



Y(

j

e
) = H(

j
e
) . X(

j
e
) (1.4)

Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu
vào x(n) đợc biến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng của H(

j
e
) . Chính dạng
của H(

j
e
) đã xác định việc suy giảm hoặc khuếch đại các thành phần tần số khác
nhau . Các hệ thống tơng ứng với H(

j
e
) này có đặc tính tần số mong muốn và có
thể thực hiện đợc về mặt vật lý đợc gọi là bộ lọc số.
1.1.3. Các mạch lọc số lý tởng .
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số . Việc

thiết kế các bộ lọc số thực tế xuất phát từ lý thuyết bộ lọc số lý tởng . Do vậy để đi
đến việc tính toán các thông số của mạch lọc thực tế ta xét các loại bộ lọc số lý
tởng sau :
- Bộ lọc số thông thấp
- Bộ lọc số thông cao
- Bộ lọc số thông dải
- Bộ lọc số chắn dải
1.1.3.1. Bộ lọc số thông thấp lý tởng.
Định nghĩa :
Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tởng đợc định nghĩa nh sau :
1
cc




)(

j
eH
= (1.5)
0 với

còn lại
(


)

1












c


c





Hình 1.1.2

)(

j
eH

6
Nhận xét:
- ở đây
)(

j
eH
là đối xứng , tức là đã định nghĩa bộ lọc số thông thấp lý tởng
với h(n) là thực , và sau này nếu
)(

j
eH
là đối xứng thì ta chỉ cần xét nửa chu kỳ
(

0
) là đủ .
- Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông thấp lý
tởng sẽ nh sau :

c

: tần số cắt .


0
: dải thông .

c
: dải chắn .
- Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau :
h(n) =

2
1






deH
j
)(
=

2
1


c
c
de
j

=
( )
njnj
cc
ee
jn




2
1
=
n
n
c


sin
1

h(n) =


c
n
n
c
c

sin
(1.6)














Nh vậy :
- Đặc tính xung h(n) là đối xứng , bởi vì đặc tính pha
)(

là tuyến tính .
- Tâm đối xứng của h(n) nằm tại mẫu n = 0 , bởi vì pha
)(

= 0
- Tại tất cả các mẫu là số nguyên lần của 2 ( các mẫu chẵn ) trừ tại n = 0 thì h(n)
= 0 . Trong trờng hợp tổng quát
c

=
M


- Các bộ lọc có tần số cắt
c

=
M

( M là số nguyên dơng ) đợc gọi là bộ lọc
Nyquist.
- Nếu
c

=
2

gọi là bộ lọc nửa band, nếu
c

=
M

gọi là bộ lọc một phần M band
n
h(n)
2
1

2
1


1

5
1

0
Hình 1.1.3

7
- Đặc tính tần số
)(

j
eH
của bộ lọc thông thấp lý tởng là hoàn toàn nh nhau ,
nhng đặc tính pha
)(

có thể khác nhau .
1.1.3.2. Bộ lọc thông cao lý tởng.
Định nghĩa :

- Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông cao lý tởng đợc định nghĩa nh sau:

1

c




)(

j
eH
=


c
(1.7)
0 với

còn lại
(


)
Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tởng đợc cho ở hình dới
đây.


)(

j
eH

Cũng giống nh bộ lọc thông thấp lý tởng
)(

j
eH
là đối xứng nh vậy h(n) là
thực và nh vậy trong miền tần số

chỉ xét
)(

j
eH
trong một nửa chu kỳ


0
là đủ .
Nếu xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc thông cao lý tởng sẽ
nh sau :

c

: tần số cắt

c


0
: dải chắn



c
: dải thông
Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau :
h(n) =

2
1






deeH
njj
)(
=

2
1






de
j
-

2
1


c
c
de
j




=
n
n

sin
-


c
n
n
c
c


sin

h(n) =
)(n

-


c
n
n
c
c


sin
(1.8)

c

c






Hình 1.1.4

8

Nhận xét :
- Cũng giống nh bộ lọc số thông thấp lý tởng pha không , đối với bộ lọc số
thông cao lý tởng thì h(n) là đối xứng và tâm đối xứng nằm tại mẫu n = 0 bởi vì
)(

là tuyến tính và
)(

= 0 .
- Nh vậy bộ lọc thông thấp lý tởng và bộ lọc thông cao lý tởng đã xét ở trên
nếu đem cộng đặc tính biên độ
)(

j
eH
của bộ lọc thông thấp lý tởng với đặc tính
biên độ của bộ lọc thông cao lý tởng thì thu đợc đặc tính biên độ của bộ lọc thông
tất .
Từ đây có quan hệ sau:
1 - h
lp
(n) n = 0
h
hp
= (1.9)

- h
lp
(n) n

0

trong đó h
hp
(n) ký hiệu của bộ lọc thông cao
h
lp
(n) ký hiệu của bộ lọc thông thấp
mặt khác
)(n

chính là đặc tính xung của bộ lọc thông tất ( All-pass filter) pha
không và đặc tính biên độ của bộ lọc thông tất là :
)(

j
ap
eH
đợc định nghĩa nh
sau :
)(

j
ap
eH
= 1

n
h(n)
2
1

2
1


1



3
1

0
Hình 1.1.5

9

Nhận xét :
- Nh vậy bộ lọc thông tất cho qua tất cả các thành phần tần số , hay nói cách
khác bộ lọc thông tất là bộ lọc thông thấp có tần số cắt
c

=

(nếu xét trong nửa
chu kỳ


0
). vì vậy bộ lọc thông tất thờng dùng làm các bộ di pha .
- Nếu các bộ lọc thông thấp , thông cao và thông tất có cùng đáp ứng pha thì có
các quan hệ sau đây :
h
hp
(n) = h

ap
(n) - h
lp
(n)
và
H
hp
(e

j
) = H
ap
(e

j
) - H
lp
(e

j
)
tơng tự cũng có :
)(

j
hp
eH
=
)(

j
ap
eH
=
)(

j
lp
eH

1.1.3.3. Bộ lọc số thông dải lý tởng .
Định nghĩa :
Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý tởng đợc định nghĩa nh sau :

1
12
cc




)(

j
eH
=
21
cc

(1.10)
0 với

còn lại
(


)
Hình vẽ dới đây chỉ ra đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý tởng.






)(

j
eH

Hình 1.1.6





10

Nhận xét :
- Đặc tính biên độ
)(

j
eH
là đối xứng trong một chu kỳ (


) vì vậy ta
chỉ xét trong một nửa chu kỳ (

0
) .Trong một nửa chu kỳ này bộ lọc thông
dải chỉ cho qua các thành phần tần số từ
1
c

đến
2

c

.
Các tham số của bộ lọc số thông dải lý tởng nh sau :

1
c

: tần số cắt dới .

2
c

: tần số cắt trên .

21
cc


: dải thông .
0 đến
1
c

và
2
c

đến

: dải chắn .
Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau :
h(n) =

2
1






deeH
njj
)(
=

2
1


2
2
c
c
de
j

-

2
1


1
1
c
c
de
j





h(n)=


2c
n
n
c
c
2
2
sin

-


1c
n
n
c
c
1
1
sin


(1.11)
Nhận xét :
Nếu có hai bộ lọc thông thấp có các tần số cắt là
1c

và
2c

và nếu hai bộ lọc
này có cùng đáp ứng pha thì bộ lọc thông dải chính là hiệu của hai bộ lọc thông thấp
này , tức là :
H
bp
(e

j

) = H
lp2
(e

j
) = H
lp1
(e

j
)
ở đây :
H
bp
(e

j
) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông dải .
H
lp2
(e

j
) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp với tần số cắt
2c

.
H
lp1
(e

j
) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp với tần số cắt
1c


Nếu xét trong miền n thì đáp ứng xung h
bp
đợc tính .
h
bp
(n) = h
lp2
(n) - h
lp1
(n) .
)(

j
eH

1
-
2c

-
1c

1c


2c



Hình 1.1.7

11
1.1.3.4. Bộ lọc số chắn dải lý tởng .
- Định nghĩa :
Đặc tính biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tởng đợc định nghĩa nh sau :

1
2c




)(

j
eH
=
11 cc

(1.12)



2c

0 với

còn lại
(


)
Đồ thị của đặc tính biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tởng đợc biểu diễn ở
hình dới đây :













Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau đây :

h(n) =

2
1






deeH
njj
)(
=

2
1






de
j
-

2
1

2
2
c
c
de
j




+

2
1


1
1
c
c
de
j





h(n)=
)(n

-
[


2
c
n
n
c
c
2
2
sin


-


1
c
n
n
c
c
1
1
sin

]
(1.13)
Nhận xét :
Nếu các bộ lọc thông tất , bộ lọc thông dải và bộ lọc chắn dải có cùng đặc tính
pha thì có quan hệ sau :
H
bs
(e

j
) = H
ap
(e

j
) = H
bp
(e

j
)
ở đây :
H
bs
(e

j
) là đáp ứng tần số của bộ lọc dải chắn .
H
ap

(e

j
) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông tất
H
bp
(e

j
) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải
tơng tự xét trong miền n cũng có :
h
bs
(n) = h
ap
(n) - h
bp
(n)
)(

j
eH

1
-
2
c

-
1

c






1
c


2c



0
Hình 1.1.8

12
1.1.3.5. Nhận xét chung về bộ lọc số lý tởng .
Các bộ lọc số lý tởng không thể thực hiện đợc về vật lý mặc dù đã xét trờng
hợp h(n) thực bởi vì chiều dài của h(n) là vô hạn , mặt khác h(n) là không nhân quả .
Tức là :
L[h(n)] = [-

,+

] =

h(n)

0 khi n < 0 .
1.1.4. Bộ lọc số thực tế .
Các bộ lọc số thực tế đợc đặc trng bởi các tham số kỷ thuật trong miền tần số
liên tục

có bốn tham số chính là :

1

: độ gợn sóng ở dải thông

2

: độ gợn sóng ở dải chắn .

p

: tần số giới hạn ( biên tần ) dải thông .

s

: tần số giới hạn ( biên tần ) dải chắn .
Ngoài ra còn tham số phụ là :


=
s

-
p

: bề rộng dải quá độ .
Hình vẽ 1.1.9 minh hoạ cho bộ lọc thông thấp .


















1.2. Phân loại mạch lọc số

Để tổng hợp bộ lọc số xuất phát từ mạch lọc số lý tởng . Đặc tính tần số
H(e

j
) khi đó đáp ứng xung của mạch lọc lý tởng h(n) có dạng sinx/x do vậy nó có

chiều dài vô hạn .
Dải thông Dải
quá
đ
ộ
Dải chắn




p


s


2


1-
1


1+
1

)(

j
eH

Hình 1.1.9.
Dải thông Dải
quá
đ
ộ
Dải chắn




p


s


2


1-
1


1+
1

)(

j
eH


Hình 1.1.9.
0

13
Mặt khác quan hệ giữa đầu vào , đầu ra và đáp ứng xung của hệ thống phải thoả
mãn điều kiện (1.1).
y(n) =x(n) * h(n) =


=

m
mnxmh )().(
(2.1)
L
[ ]
)(
nh
=
[ ]
,0



=
m

nh )(
<


Từ các quan hệ này cho thấy rằng chiều dài của đáp ứng xung là rất quan trọng
Do đó , có thể phân loại các hệ thống theo chiều dài của đáp ứng xung h(n) hai loại
nh sau .
Loại thứ nhất
: Hệ thống đợc đặc trng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu
hạn . Nó đợc gọi là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn ( Tiếng Anh là
Finite - Impulse Responseviết tắt là FIR) tức là h(n) chỉ khác không trong một
khoảng có chiều dài hữu hạn N (từ 0 đến N-1).
Loại thứ hai :
Hệ thống đợc đặc trng bởi đáp ứng xung có chiều dài vô
hạn . Hệ thống đợc gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn (Tiếng
Anh infinte Impulse Response viết tắt là IIR) , tức là h(n) khác không trong một
khoảng vô hạn .

1.3.

Bộ lọc số FIR pha tuyến tính

1.3.1. Đặc tính tần số của pha .( đặc tính pha)
Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định bởi các mẫu .n=0,1...N-1 tức là
L
[ ]
)(
nh
=
[ ]

1,0
N
=N
Hàm truyền đạt nh sau .
H(z) =


=

1
0
)(
N
n
n
znh
= h(0) + h(1)z
1

+ ... + h(N-1)z
)1(

N
(3.1)
Đáp ứng tần số .
H(

j
e
) =

=

1
0
)(
N
n
nj
enh

=


=
1
0
)(
N
n
nh
cosn +j

=
1
0
sin)(
N
n
nnh

(3.2)
Hoặc
H(

j
e
) =
)
(

j
eH
e
)(

j

trong đó

)(

=arg
[ ]
)
(

j
eH

Mà ta dã biết đáp ứng tần số H(

j
e
) tuần hoàn với chu kỳ 2 tức là :
H(

j
e
) = H
)(
)2(
nkj
e

+
(3.3)
Mặt khác nếu h(n) là thực thì theo tính chất biến đổi fourier đối với tín hiệu rời
rạc có .

14

)e H(
j

=
)e H(
-j


arg
[ ]
)
(

j
eH
= - arg
[ ]
)
(

j
eH

hoặc
)(

=-
)(

)e H(
j

: là hàm chẵn đối xứng

)(

: là hàm lẻ phản đối xứng .
Do đó ta có các nhận xét :
1/ Ta chỉ cần xét H(

j
e
) và
)(

trong khoảng 0


2 hoặc là -


và
trong trờng hợp đặc biệt nếu h(n) là thực thì H(

j
e
) là hàm chẵn và

)(

là hàm lẻ
trong khoảng một chu kỳ , vì vậy chỉ xét H(

j
e
) trong khoảng từ 0



2/ H(

j
e
) có thể lấy giá trị âm hoặc lấy giá trị dơng nhng
)e H(
j

luôn luôn
lấy giá trị dơng do vậy để thuận lợi cho việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính
biểu diễn chúng dới dạng độ lớn . A(e

j
) và
)(


H(

j
e
) = A(e

j
)e
)(

j
(3.4)
với
A(e

j
) =
)e H(
j


1.3.2. Điều kiện pha tuyến tính của bộ lọc FIR
Để tổng hợp đợc bộ lọc FIR thì điều kiện cần là hệ thống phải tuyến tính bất
biến nhân quả và ổn định .
Một hệ thống đợc gọi là hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn định đợc
định nghĩa nh sau:
Nếu y(n) là đáp ứng của kích thích x(n) thì hệ thống đợc gọi là bất biến khi y(n
- k) là đáp ứng của kích thích x(n- k), ở đây k là số nguyên.
Nếu biến số là thời gian thì hệ thống bất biến theo thời gian.
Hệ thống tuyến tính bất biến đợc gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một
thời điểm bất kỳ n = n
0

hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm
tơng lai n > n
0
.
Nói cách khác, đối với một hệ thống nhân quả đáp ứng ra của nó không bao giờ
đi trớc kích thích của nó.
Một hệ thống đợc gọi là ổn định, nếu và chỉ nếu với dãy đầu vào giới hạn, có
dãy đầu ra giới hạn, tức là với:
)(nx
<

với n bất kỳ

)(
ny
<

với n bất kỳ
Tu
y nhiên để tổng hợp bộ lọc FIR thì những điều kiện ràng buộc trên cha đủ.
Do vậy phải xét thêm điều kiện ràng buộc nữa về pha. Đây là điều kiện tuyến tính và
đặc tính tần số H(e

j
) sẽ đợc biểu diễn dới dạng sau:
H(e

j
) = A(e

j
)e
)(

j


15
)(

= -
Thời gian lan truyền của tín hiệu

đợc tính nh sau:

=


d
d )(

Vậy trong trờng hợp này

=
-
.

Nh vậy hằng số sẽ biểu diễn thời gian truyền tín hiệu

.

Từ biểu thức :
)(

= -
Xét hai trờng hợp
1.3.2.1. Trờng hợp 1:
= 0 :


)(

= - (-


).
H(e

j
) = A(e

j
) e
)(

j
= A(e

j
) e

j



= A(e

j
)
[ ]

sincos
j

(3.5)

Ngoài ra H(e

j
) có thể tính theo FT
[ ]
)(
nh

H(e

j
) =


=

1
0
)(
N
n
nj
enh

=


=
1
0
)(
N
n
nh
cosn +j









=

1
0
sin)(
N
n
nnh

(3.6)
Vậy :
A(e

j
) cos =


=
1
0
)(
N
n
nh
cosn
A(e

j
) sin =


=

1
0
)(
N
n
nh
sinn
tg =



=

=
1
0
1
0
cos)(
sin)(
N
n
N
n
nnh
nnh


(3.7)
sin0 = 0, cos0 = 1

tg =



=

=
+
1
1
1
1
cos)()0(
sin)(
N
n
N
n
nnhh
nnh



Đến đây xuất hiện hai trờng hợp: = 0 và

0.
Xét với : = 0

tg0 =0

h(n) = 0 với mọi n

0 và h(0)

0.
0

với n = 0
h(n) = (3.8)
0 với n còn lại


16













Trong trờng hợp này không ứng dụng đợc cho mạch lọc nên dừng không xét.
Xét với :

0.



cos
sin
=



=

=
1
0
1
0
cos)(
sin)(
N
n
N
n
nnh
nnh


(3.9)
sin

=
1
0
)(
N
n
nh
cosn = cos


=
1
0
)(
N
n
nh
sinn
Có thể viết lại quan hệ này dới dạng sau:


=
1
0
)(
N
n
nh
[ ]

cos.sinsin.cos
nn

= 0
vậy ta có :


=
1
0
)(
N
n
nh
sin
[ ]

)(
n

= 0
Từ phơng trình trên có một nghiệm duy nhất là.

2
1

=
N

h(n) = h(N-1-n) 0

n
N-1









h(n)
1
n
Hình 1.3.1
0

17

Nh vậy:
- Đối với một giá trị N chỉ có một giá trị đảm bảo pha tuyến tính .
- Đối với giá trị này , đáp ng xung h(n) là đối xứng .
- Nếu N lẻ thì là một số nguyên tâm đối xứng của đáp ứng xung trùng với mẫu
2
1

N

.
- Nếu N chẵn thì là một số không nguyên và tâm đối xứng của đáp ứng xung nằm
giữa hai mẫu
2
1

N
và
2
N

Tâm đối xứng
0 1 2 4 5 6 7 n
h(n)
3
N lẻ
Hình 1.3.2.
Tâm phản đối xứng
0 1 2 4 5 6 n
h(n)
3
N chẵn
Hình 1.3.3.

18
1.3.2.2. Trờng hợp 2
:

0.
H(e

j
) = A(e

j
)e
)(

j
= A(e

j
) e
)(


j
(3.10)
H(e

j
) =


=

1
0

)(
N
n
nj
enh




=
1
0
)(
N
n
nh
sin
[ ]

)(
n
+
= 0
Nghiệm duy nhất của phơng trình có dạng .
2
1

=
N

=
2



h(n) = - h(N-1-n) 0

n
N-1
Nhận xét:

Đối với một giá trị của N chỉ có một giá trị đảm nảo pha tuyến tính .
Đối với một giá trị này , đáp ng xung h(n) là phản đối xứng .
- Nếu N lẻ thì là một số nguyên và tâm phản đối xứng của đáp ứng xung h(n)
trùng với mẫu
2
1

N
, h(
2
1

N
) =0
- Nếu N chẵn thì là một số không nguyên và tâm phản đối xứng của đáp ứng
xung h(n) nằm giữa hai mẫu
2

1

N
và
2
N
.



















Tâm đối xứng
0
1 2
4 5 6 7

n
h(n)
N lẻ
Hình 1.3.4.

19


















1.3.2.3. Kết luận
:
Từ kết quả tính toán đối với bộ lọc FIR pha tuyến tính
)(

=

- có thể phân
bộ lọc thành 4 loại nh sau :
Bộ lọc số loại một ( h(n) đối xứng N lẻ).
Bộ lọc số loại hai ( h(n) đối xứng N chẵn).
Bộ lọc số loại ba ( h(n) phản đối xứng N lẻ).
Bộ lọc số loại bốn ( h(n)phản đối xứng N lẻ).
Cả bốn loại bộ lọc trên đây cho phép xác định đáp ứng tần số sao cho thoả mãn
các chỉ tiêu kỷ thuật của bộ lọc .
1.3.3. Đáp ứng tần số của các bộ lọc FIR pha tuyến tính .
1.3.3.1. Bộ lọc loại một
. ( N lẻ h(n) đối xứng )

= 0 :

)(

= - (-


).
H(e

j
) =


=

1

0
)(
N
n
nj
enh

= A(e

j
) e

j

(3.11)
Do tính đối xứng của h(n) nên có thể biểu diễn H
)(

j
e
nh sau .
H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n
nj
enh

+ h(
2
1

N
)e
)
2
1
(


N
j

+


+=

1
1
2
1
)(
N
n
nj
N
enh

(3.12)
Đặt n = N -1-m. Viết lại phơng trình dới dạng .
H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n

nj
enh

+ h(
2
1

N
)e
)
2
1
(


N
j

+



=


1
2
1
0
)1(

)1(
N
n
nNj
enNh

(3.13)
Tâm phản đối xứng
0 1 2
4 5 6
n
h(n)
3
N chẵn
Hình 1.3.5.

20
Từ tính chất h(n) = h( N-1-n)
H(e

j
) =

=
2
1
0
cos)(
N
n
nna

e
)
2
1
(


N
j


)0
2
1
()0(

=
N
ha

)
2
1
(2)(
n
N
hna


=

2
1
1


N
n

Từ biểu thức :
H(e

j
) = A(e

j

) e

j


A(e

j
) =
nn
N
n



=
2
1
0
cos)(

2
1

=
N

.
Hinh vẽ 1.3.6 minh hoạ cho đặc tính tần số của bộ lọc FIR loại một với các giá trị
của đáp ứng xung h(n) cụ thể .

1.3.3.2. Bộ lọc loại hai . ( N chẵn h(n) đối xứng ).

= 0 :

)(

= - (-


).

H(e

j
) =


=

1
0
)(
N
n
nj
enh

= A(e

j
) e

j

Do N chẵn nên có thể biểu diễn H(e

j
) nh sau .
H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n
nj
enh

+

=

1
2
)(
N
n
nj
N
enh

(3.14)
Đặt n = N -1-m. Viết lại phơng trình dới dạng .
H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n

nj
enh

+


=


1
2
0
)1(
)1(
N
m
mNj
emNh

(3.15)
Từ tính chất h(n) = h( N - 1 - n)
H(e

j
) =

=
2
1
)
2
1
(cos)(
N
n
nnb

e
)
2
1
(

N
j


)
2
(2)( n
N
hnb =

2
1
1


N
n

Từ biểu thức :
H(e

j
) = A(e

j
) e

j

A(e

j
) =








=
)
2
1
(cos)(
2
0
nnb
N
n



21

-2cos2
ω
2
π

2
3
π

ω

π
π
2

A(e
ω
j
)
π
2
π

2
3
π

π
2

ω

2cos
ω

π
2
3
π

π
2

ω

2
π

)(
ω
j
eH

H×nh 1.3.6.
π
2

π
ω

π
2

π
ω

π
2

π
ω

2
2
2
2
2

22
2
1

=

N

.
Nh vậy tại tần số
=

thì cos






)
2
1
(n

= cos






)
2
1
(n

= cos






)12(
2
n


(2n-1) lẻ với mọi n .
vậy :
cos






)12(
2
n

= 0 với mọi n

A(e

j

) = 0 với bất kỳ b(n) nào (hoặc là bất kỳ h(n) nào ) do vậy các bộ lọc loại
này không thể sử dụng để tổng hợp bộ lọc có đáp ứng tần số khác không tại
=

.
Hinh vẽ 1.3.7 minh hoạ cho đặc tính tần số của bộ lọc FIR loại hai với các giá trị
của đáp ứng xung h(n) cụ thể .
1.3.3.3. Bộ lọc loại ba:
N lẻ h(n) phản đối xứng.
H(e

j
) =


=

1
0
)(
N
n
nj
enh


N lẻ nên biểu diễn H(e

j
) nh sau .

H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n
nj
enh

+ h(
2
1
N
)e
)
2
1
(

N
j

+


+=


1
1
2
1
)(
N
n
nj
N
enh

(3.16)
Trong trờng hợp này h(
2
1
N
) = 0 vậy viết lại H(e

j
)
H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n
nj
enh

+


+=


1
1
2
1
)(
N

n
nj
N
enh

(3.17)
Đặt n = N -1-m. Viết lại phơng trình dới dạng .
H(e

j
) =



=

1
2
1
0
)(
N
n
nj
enh

+

=


1
2
1
0
)1(
)1(
N
n
nNj
enNh

(3.18)
Từ tính chất h(n) = h( N -1 - n)
H(e

j
) =

=
2
1
1
sin)(
N
n
nnc

e
)
2
1
2
(




N
j

ở đây :
)
2
1
(2)( n
N

hnc

=

2
1
1


N
n

Từ biểu thức :
H(e

j
) = A(e

j
) e

j



A(e

j
) =
nnc

N
n



=
2
1
0
sin)(


2
1

=
N

.

=
2



23

2cos
2
ω

π
2

π
ω

π
2

π
ω

2
-2cos
2
3
ω

3

4
π

ω

π
π
2

2
π
A(e
ω
j
)
π
3
4
π

π
2

ω

4
3
2
π

3
2
π

π
3
4
π

π
2

ω

4
3
2
π

)(
ω
j
eH
H×nh 1.3.7.

24
Nh vậy tại tần số
=

0 và

=

thì :
sin

n =sin0n = 0 với mọi n
sin

n = sin

n = 0 với mọi n

Nh vậy ở đây A(e

j
) = 0 tai tần số
=

0 và

=

với bất kỳ b(n) nào (hoặc
là bất kỳ h(n) nào ) do vậy các bộ lọc loại này không thể sử dụng để tổng hợp bộ lọc
có đáp ứng tần số khác không tại
=

0

và

=

.
Hinh vẽ 1.3.8 minh hoạ cho đặc tính tần số của bộ lọc FIR loại ba với các giá trị
của đáp ứng xung h(n) cụ thể .

1.3.3.4. Bộ lọc loại bốn. (N chẵn h(n) phản đối xứng).
H(e

j
) =


=

1
0
)(
N
n
nj
enh

= A(e

j
) e

j

Do N chẵn nên có thể biểu diễn H
)(

j
e
nh sau .
H(e

j
) =


=

1
2
0
)(
N
n
nj
enh

+


=

1
2
)(
N
n
nj
N
enh

(3.14)
Đặt n = N -1-m. Viết lại phơng trình dới dạng .
H(e

j
) =


=

1
2
0
)(
N
n
nj
enh

+

=


0
1
2
)1(
)1(
N
m
mNj
emNh

(3.15)
Từ tính chất h(n) = h( N - 1 - n)
H(e

j
) =

=
2
1
)
2
1
(sin)(
N
n
nnd

e
)
2
1
2
(


N
j

)
2
(2)( n
N
hnd =

2
1
1


N
n

Từ biểu thức :
H(e

j
) = A(e

j
) e

j


A(e

j
) =

=
)
2
1
(sin)(
2
1
nnd
N
n


2
1

=
N

.
=
2

Nh vậy tại tần số
=

0 thì
sin






)
2
1
(n

= sin






)
2
1
(0 n
= 0 với mọi n

A(e

j
) = 0 với bất kỳ d(n) nào (hoặc là bất kỳ h(n) nào ) do vậy các bộ lọc loại
này không thể sử dụng để tổng hợp bộ lọc có đáp ứng tần số khác không tại
=

0.


25

2sin2
ω

2
π

2
3

π

ω

π
π
2

A(e
ω
j
)
-2sin
ω

)(
ω
j
eH

H×nh 1.3.8.
2
2
2
4
2
π

2
3

π

ω

π
π
2

2
π

2
3
π

ω

π
π
2

ω

π
π
2

2
π

2
3
π

0
0
0
0

26

H×nh 1.3.9.
-2sin
2
ω

π
2
π
ω

π
2
π
ω

2
-2
2sin
2
3
ω

2
3
4
π

ω

π
π
2

3
2
π

-2
A(e

ω
j
)
-4
ω

π
π
2

4
)(
ω
j
eH
ω

π
π
2


27
Có thể tổng kết một cách ngắn gọn 4 loại bộ lọc FIR pha tuyến tính trong bảng sau

h(n) đối xứng
h(n) = h(N-1-n)
h(n) phản đối xứng
h(n) = -h(N-1-n)

N lẻ










N
chẵn

H(e

j
) = A(e

j
) e
2
1

N
j


A(e

j
) =
nn
N
n



=
2
1
0
cos)(


)
2
1
()0(

=
N

h

.
2h








n
N
2
1
1
2
1


N
n

a(n) =
0 với n còn lại
A(e

j
) đối xứng trong khoảng tần

số
0

2

)()(

jj
eAeH
=
đối xứng trong
khoảng 0

2

( Bộ lọc FIR loại một )

H((e

j
) = A(e

j
) e
2
1


N
j

A(e

j
)
=














=
2
1
cos)(
2
1
nnb
N
n

2h







n
N
2
1
2
N
n


a(n) =
0 với n còn lại
A(e

j
) phản đối xứng trong khoảng
tần số 0

2

)()(

jj
eAeH
=
đối xứng trong
khoảng 0

2

A(e

j
) =0 tại

=


( Bộ lọc FIR loại hai )
H(e

j
) = A(e

j
) e

2
1
2
N
j

A(e

j
) =
nnc
N
n



=
2
1
1
sin)(

.
2h

n
N
2
1
1
2
1


N
n

c(n) =
0 với n còn lại
A(e

j
) phản đối xứng trong khoảng tần
số 0

2

)()(

jj
eAeH
=
đối xứng trong
khoảng 0

2


A(e

j
) =0 ở

=0 và

=


(Bộ lọc FIR loại ba )


H(e

j
) = A(e

j
) e










2
1
2
N
j

A(e

j
) =

=
2
1
sin)(
2
1
nnd
N
n


.
2h







n
N
2
1

2
N
n


d(n) =
0 với n còn lại
A(e

j
) đối xứng trong khoảng tần số
0

2

)()(

jj
eAeH
=
là đối xứng trong
khoảng 0

2

A(e

j
) =0 ở tại

=


( Bộ lọc FIR loại bốn )


28
1.4. Biểu diễn mạch lọc trong miền thời gian và miền Z .

1.4.1. Biểu diễn mạch lọc trong miền thời gian .
+/ Định nghĩa dãy kích thích và đáp ứng .
Dãy vào đợc gọi là dãy kích thích ( hoặc kích thích ) dãy ra đợc gọi là đáp ứng
của hệ thống với kích thích đang khảo sát .
Đối với một hệ thống tuyến tính toán tử T phải thoả mãn nguyên lý xếp chồng , vì
thế T đặc trng cho hệ thống tuyến tính bắt buộc phải tuân theo quan hệ sau.
T[ax
1
(n) + bx
2
(n)] = aT[x
1
(n)] + bT[x
2
(n)] = ay
1
(n) + by
2
(n) (4.1)
ở đây a,b là hai hằng số bất kỳ .
y

1
(n) : là đáp ứng của kích thích x
1
(n)
y
2
(n) : là đáp ứng của kích thích x
2
(n .
- Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính .
Xét một dãy bất kỳ x(n) ta có thể biểu diễn bằng biểu thức tổng sau đây :
x(n) =


=

k
knkx )()(


Giả sử hệ thống đa vào xét là tuyến tính do vậy có thể viết .
y(n) = T[x(n)]= T

=k
knnx )()(

(4.2)
Vì x(k) độc lập với n , nên .
y(n) = T[x(n)] =
])([)(


=

k
knTnx


nếu ký hiệu h
k
(n) là đáp ứng xung của hệ thống với kích thích
)( kn

có nghĩa là:
h
k
(n) =T[
)( kn

]

và ta có :
y( n) =


=k
k
nhkx )()(
(4.3)
- Đáp ứng xung h
k
(n) đợc gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính .
Nhận xét :
- Các hệ thống tuyến tính đợc đặc trng hoàn toàn bởi đáp ứng xung của nó .
- h
k
(n) là hàm của k và n nh vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho đáp ứng xung
khác nhau , hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k , nếu biến k là thời gian
thì ta nói hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian .
+ / Các hệ thống tuyến tính bất biến .
Định nghĩa .

T
)( kn


T[
)( kn

] = h
k

(n)