Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế ths trần thị tuấn anh

GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-1-

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG KINH TẾ
Phần 1 : Ứng dụng cực trị hàm một biến
I.

Bài toán tìm sản lượng ñể doanh nghiệp ñộc quyền có lợi nhuận cao nhất
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp ñối với mặt hàng
ñó là QD = D (P)

C = C (Q)

Hàm tổng chi phí
Trong ñó :
•

QD :

•

P

: Giá bán của hàng hoá (Price)

•

C

:

•

Q :

Lượng cầu về hàng hoá của doanh nghiệp (Quantity Demand)

Chi phí của doanh nghiệp (Cost)
Sản lượng sản phẩm ñược sản xuất trong một ñơn vị thời gian (Quantity)

Hãy xác ñịnh mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
Phương pháp giải
Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Q = QD
=>

Q = D(P)

(Q là hàm số theo biến P)

=>

P = P(Q)

( P là hàm số theo biến Q)

Doanh thu của doanh nghiệp

R = P.Q = P (Q).Q

(Doanh thu là hàm số theo biến Q)

Chi phí

C = C (Q)

(Chi phí là hàm số theo biến Q)

π = R − C = P(Q ).Q − C (Q)

(Lợi nhuận là hàm số theo biến Q)

Lợi nhuận

Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến)
Ví dụ : Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất một loại hàng với
Hàm chi phí

1
QD = 656 − P
2

C (Q) = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100

Tìm mức sản lượng Q ñể doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất
Giải :
Gọi Q là mức sản lượng cần tìm
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-2-

1
Q = Q( D ) = 656 − P
2
⇒ P = 1312 − 2Q
Doanh thu của doanh nghiệp

R = P.Q = (1312 − 2Q).Q = 1312Q − 2Q 2
Chi phí

C = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100
Lợi nhuận

π = R − C = −Q 3 + 75Q 2 + 312Q − 100
Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến)

π ′ = −3Q 2 + 150Q + 312
π ′ = 0 ⇒ Q = 2 ∨ Q = 52
π ′′ = −6Q + 150
•

Tại ñiểm nghi ngờ Q = 2

⇒ π ′′ = −6.2 + 150 = 138 > 0

⇒ π ñạt cực tiểu tại Q = 2 (ðây không phải là mức sản lượng cần tìm)
•

Tại ñiểm nghi ngờ Q = 52

⇒ π ′′ = −6.52 + 150 < 0

⇒ π ñạt cực ñại tại Q = 52
Vậy ñể có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52.

II . Bài toán xác ñịnh mức thuế ñể thu ñược tổng thuế tối ña
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng
trên là QD = D (P) và hàm tổng chi phí C = C (Q)
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất.
Phương pháp giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi
nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại.
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Q = QD
=>

Q = D(P)

(Q là hàm số theo biến P)

=>

P = P(Q)

( P là hàm số theo biến Q)

Doanh thu của doanh nghiệp

R = P.Q = P (Q).Q
Chi phí

C = C (Q)
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp

(Doanh thu là hàm số theo biến Q)


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-3-

T = t.Q
Lợi nhuận

π = R − C − T = P(Q ).Q − C (Q) − t.Q
Trước hết tìm

Q = Q(t ) ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại

Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế
Ví dụ

Cho

T = t.Q (t ) ñạt cực ñại.

QD = 2000 − P

C (Q) = Q 2 + 1000Q + 50
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế
nhất.
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi
nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại.
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Q = QD
=>

Q = 2000 − P

=>

P = 2000 − Q

Doanh thu của doanh nghiệp

R = P.Q = (2000 − Q ).Q = 2000Q − Q 2
Chi phí

C = Q 2 + 1000Q + 50
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp

T = t.Q

Lợi nhuận

π = R − C − T = −2Q 2 + (1000 − t )Q − 50
Trước hết tìm

Q = Q(t ) ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại

π ′ = −4Q + 1000 − t
π′ = 0 ⇒ Q =
Vì

π ′′ = −4 < 0

nên

1000 − t
4

Q=

1000 − t
là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực
4

ñại.
Khi ñó

T = t.Q = t.
T′ =

1000 − t
4

1
(1000 − 2t )
4


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

T′ = 0 ⇒ t =
T ′′ = −
Vậy

-4-

1000
= 500
2

1
< 0 nên tổng thuế T sẽ ñạt cực ñại tại t = 500
2

t = 500 chính là mức thuế cần tìm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất

Khi ñó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng

Q=

1000 − 500
= 125
2

Lưu ý
Nếu muốn doanh nghiệp sản xuất 200 ñơn vị sản phẩm , thì ta xác ñịnh mức thuế cần thu sao cho

Q=

1000 − t
= 200
4

⇒ t = 1000 − 800 = 200
III .

Bài toán xác ñịnh mức thuế hàng nhập khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là

QS = S ( P)
QD = D( P)
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị
trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là P0
Hãy tính mức thuế nhập khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể tổng thuế nhập khẩu thu ñược là lớn
nhất.
Phương pháp giải :
Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu
Khi ñó ñể tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì

Q = QD − QS (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa, QD > QS )
⇒ Q = D ( P ) − S ( P) ( Sản lượng là hàm số theo biến P)
Doanh thu

R = P.Q = P[Q( P ) − S ( P)]

(Doanh thu là hàm số theo biến P)

Chi phí

C = P0 .Q = P0 .[D ( P) − S ( P )]
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

T = t.Q = t [D( P) − S ( P)]
Lợi nhuận

π = R − C − T = [D ( P ) − S ( P)](P − P0 − t )
Trước hết tìm

P = P(t ) ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại

Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế

T = t [D( P(t )) − S ( P(t ))] ñạt cực ñại.


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-5-

Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa
ñó trong thị trường nội ñịa là QD = 4200 − P và QS = −200 + P
Giá bán trên thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu của một ñơn vị hàng là

P0 = 1600

Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể thu ñược nhiều thuế nhập khẩu nhất.
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
Và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu
ðể tiêu thụ hết hàng nhập khẩu thì

Q = QD − QS = (4200 − P) − (−200 + P) = 4400 − 2 P
Doanh thu

R = P.Q = P(4400 − 2 P)
Chi phí

C = P0 .Q = 1600(4400 − 2 P )
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

T = t.Q = t (4400 − 2 P)
Lợi nhuận

π = R − C − T = (4400 − 2 P)(P − 1600 − t )
π ′ = −2( P − 1600 − t ) + (4400 − 2 P) = 7600 + 2t − 4 P
π ′ = 0 ⇒ 7600 + 2t − 4 P = 0
⇒ P = 1900 +

π ′′ = −4 < 0

t
2

nên

π

ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá

P = 1900 +

t
2

Khi ñó tổng thuế

t 

T = t.Q = t (4400 − 2 P) = t 4400 − 2(1900 + ) = t (600 − t )
2 

T ′ = 600 − 2t

T ′ = 0 ⇒ t = 300
T ′′ = −2 => hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế t = 300
Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là

P = 1900 +

300
= 2050
2

Lưu ý
Nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội ñịa, nhà nước phải ñánh thuế sao cho giá bán không ñược
thấp quá. Ví dụ muốn giá bán tại thị trường nội ñịa không dưới 2100 thì mức thuế nhập khẩu là t sao


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

cho

-6-

1
P = 1900 + t ≥ 2100 ⇒ t ≥ 400 , nghĩa là mức thuế nhập khẩu tối thiểu là 400 trên một
2

ñơn vị hàng nhập khẩu.

IV .

Bài toán xác ñịnh mức thuế xuất khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là

QS = S ( P)
QD = D( P)
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị

trường quốc tế trừ ñi chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là P0
Hãy tính mức thuế xuất khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể tổng thuế xuất khẩu thu ñược là lớn
nhất.
Phương pháp giải :
Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu
Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là

Q = QS − QD (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa, QS > QD )
⇒ Q = S ( P) − D ( P) ( Sản lượng là hàm số theo biến P)
Doanh thu

R = P0 .Q = P0 [S ( P) − D( P)] (Doanh thu là hàm số theo biến P)
Chi phí

C = P.Q = P.[S ( P) − D( P)]
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

T = t.Q = t [S ( P) − D ( P)]
Lợi nhuận

π = R − C − T = [S ( P) − D ( P)](P0 − P − t )
Trước hết tìm

P = P(t ) ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại

Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế

T = t [S ( P(t )) − D ( P (t ))] ñạt cực ñại.

Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa
ñó trong thị trường nội ñịa là QD = 4200 − P và QS = −200 + P
Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một ñơn vị hàng) là

P0 = 3200
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược nhiều thuế xuất khẩu nhất.
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng xuất khẩu


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-7-

P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng ñó ñể xuất khẩu
Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là

Q = QS − QD = −200 + P − (4200 − P ) = 2 P − 4400
Doanh thu

R = P0 .Q = P0 (2 P − 4400) = 3200(2 P − 4400)
Chi phí

C = P.Q = P (2 P − 4400)
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

T = t.Q = t (2 P − 4400)
Lợi nhuận

π = R − C − T = (2 P − 4400)(3200 − P − t )
π ′ = 2(3200 − P − t ) − (2 P − 4400) = 10800 − 2t − 4 P
π ′ = 0 ⇒ 10800 − 2t − 4 P = 0
⇒ P = 2700 −

π ′′ = −4 < 0

t
2

nên

π

ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá

P = 2700 −

t
2

Khi ñó tổng thuế

t


T = t.Q = t (2 P − 4400) = t 2(2700 − ) − 4400 = t (1000 − t )
2



T ′ = 100

− 2t

T ′ = 0 ⇒ t = 500

T ′′ = −2 => hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế t = 500
Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là

P = 2700 −

500
= 2450
2

Lưu ý
Nếu ta muốn giá tiêu dùng tại thị trường trong nước không vượt quá 2400 thì mức thuế xuất khẩu phải là bao
nhiêu?
Gọi mức thuế là t thì ta có giá tiêu dùng tại thị trường nội ñịa là

1
P = 2700 − t ≤ 2400 ⇒ t ≥ 600 ,
2

nghĩa là mức thuế xuất khẩu tối thiểu là 600 trên một sản phẩm.

Phần 2 : Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến
I.

Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều
kiện cạnh tranh hoàn hảo


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-8-

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá
P1 , P2 ,..., Pn .
Hàm chi phí

C = C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) với Qi (i = 1, n) là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất .

Tìm các mức sản lượng

Q1 , Q2 ,..., Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại.

Phương pháp giải
Gọi

Q1 , Q2 ,..., Qn là các mức sản lượng cần tìm

Doanh thu
n

R = P1Q1 + P2Q2 + ... + PnQn = ∑ Pi Qi
i =1

Chi phí

C = C (Q1 , Q2 ,..., Qn )
Lợi nhuận
n

π = R − C = ∑ PiQi − C (Q1 , Q2 ,..., Qn )
i =1

Bài toán trở thành tìm

Q1 , Q2 ,..., Qn ñể hàm π ñạt cực ñại.

Ví dụ
Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá

P1 = 60; P2 = 75 . Hàm chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 . Tìm các mức sản lượng Q1 ,Q2 doanh
nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
Giải :
Gọi

Q1 ,Q2 là các mức sản lượng cần tìm

Doanh thu :

R = P1Q1 + P2Q2 = 60Q1 + 75Q2
Chi phí :

C = Q12 + Q1Q2 + Q22
Lợi nhuận ;

π = R − C = 60Q1 + 75Q2 − Q12 − Q1Q2 − Q22
ðiểm dừng là nghiệm của hệ :

 ∂π
 ∂Q = 0
60 − 2Q1 − Q2 = 0 Q1 = 15
⇒
⇒
 ∂π1
75
−
Q
−
2
Q
=
0
1
2
Q2 = 30


=0
 ∂Q2
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

-9-

∂ 2π
= −2
∂Q12
∂ 2π
∂ 2π
= −1 =
∂Q1∂Q2
∂Q2∂Q1
∂ 2π
= −2
∂Q22
Khi ñó ma trận Hesse

− 2 − 1
H =

 − 1 − 2

H 1 = −2 < 0
H2 =

Vì

− 2 −1
=3>0
−1 − 2

(−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng

Q1= 15
Q2 = 30

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 15 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 30 ñơn vị hàng
hóa thứ 2.

II . Bài toán tối ña hoá lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều
kiện ñộc quyền
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên
là QDi = Di ( P1 , P2 ,..., Pn ) với

i = 1, n

Trong ñó .
•

QDi : lượng cầu của hàng hoá thứ i.

•

P1 , P2 ,..., Pn : Giá bán của n loại hàng hóa.

•

Q1 , Q2 ,..., Qn : Sản lượng của n loại hàng hóa.

Hàm tổng chi phí là
Tìm mức sản lượng

C = C (Q1 , Q2 ,..., Q2 )

Q1 , Q2 ,..., Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.

Phương pháp giải
Gọi

Q1 , Q2 ,..., Qn là các mức sản lượng cần tìm

ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì

Q1 = QD1
Q1 = D1 ( P1 , P2 ,..., Pn )
 P1 = P1 (Q1 , Q2 ,..., Qn )


 P = P (Q , Q ,..., Q )
Q2 = QD2
Q2 = D2 ( P1 , P2 ,..., Pn )
 2
2
1
2
n
⇒
⇒

...
...
...
Q = .Q
Qn = Dn ( P1 , P2 ,..., Pn )

 Pn = Pn (Q1 , Q2 ,..., Qn )
Dn
 n
Doanh thu


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

- 10 -

n

n

i =1

i =1

R = Q1 P1 + Q2 P2 + ... + Qn Pn = ∑ Qi Pi = ∑ Qi .Pi (Q1 , Q2 ,..., Qn )
Chi phí

C = C (Q1 , Q2 ,..., Qn )
Lợi nhuận
n

π = R − C = ∑ Qi .Pi (Q1 , Q2 ,..., Qn ) − C (Q1 , Q2 ,..., Qn )
i =1

Bài toán trở thành tìm

Q1 , Q2 ,..., Qn ñể hàm π ñạt cực ñại.

Ví dụ :
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng , biết hàm cầu của 2 của 2 loại
hàng hóa ñó như sau :

QD1 = 40 − 2 P1 + P2
QD2 = 15 + P1 − P2
Hàm chi phí

C = Q12 + Q1Q2 + Q22

Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp
ñạt cực ñại.
Giải :
Gọi

Q1 ,Q2 là các mức sản lượng cần tìm

ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng

Q1 = QD1
Q1 = 40 − 2 P1 + P2
 P1 = 55 − Q1 − Q2
⇒
⇒

Q2 = QD2
Q2 = 15 + P1 − P2
 P2 = 70 − Q1 − 2Q2

Doanh thu

R = Q1P1 + Q2 P2 = Q1 (55 − Q1 − Q2 ) + Q2 (70 − Q1 − 2Q2 )
⇒ R = −Q12 − 2Q22 − 2Q1Q2 + 55Q1 + 70Q2
Chi phí

C = Q12 + Q1Q2 + Q22
Lợi nhuận

π = R − C = 55Q1 + 70Q2 − 2Q12 − 3Q1Q2 − 3Q22
Bài toán trở thành tìm

Q1 ,Q2 ñể hàm π ñạt cực ñại

ðiểm dừng là nghiệm của hệ :

 ∂π
 ∂ Q = 0
⇒
 ∂π1

=0
 ∂ Q 2


55 − 4Q1 − 3Q 2 = 0
⇒

70
−

3
Q
−
6
Q
=
0
1
2



Xét các ñạo hàm riêng cấp hai

Q1 = 8


23
Q 2 = 3


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

- 11 -

∂ 2π
= −4
∂Q12
∂ 2π
∂ 2π

= −3 =
∂Q1∂Q2
∂Q2∂Q1
∂ 2π
= −6
∂Q22
Khi ñó ma trận Hesse

 − 4 − 3
H =

 − 3 − 6

H 1 = −4 < 0
H2 =

−4 −3
= 15 > 0
−3 −6

Q1 = 8

Vì ( −1) H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng 
23
Q2 = 3
k

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 8 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và

23 ñơn vị hàng

3

hóa thứ 2.

III .

Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán
trên nhiều thị trường
Một công ty sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt. Giả sử hàm cầu trên
n thị trường như sau

QD1 = D1 ( P1 )
QD2 = D2 ( P2 )
...
QDn = Dn ( Pn )
Hàm tổng chi phí :

C = C (Q) với Q = Q1 + Q2 + ... + Qn

Trong ñó :
•

Q là tổng sản lượng của doanh nghiệp.

•

Qi là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i (∀i = 1, n)

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể doanh nghiệp ñạt lợi nhuận cực ñại
Phương pháp giải :

Gọi

Q1 , Q2 ,..., Qn là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm

ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

- 12 -

Q1 = QD1
Q1 = D1 ( P1 )
 P1 = P1 (Q1 )


 P = P (Q )
Q2 = QD2
Q2 = D2 ( P2 )
 2
2
2
⇒
⇒



...
...
...

Q = .Q
Qn = Dn ( Pn )
 Pn = Pn (Qn )
Dn
 n
Doanh thu
n

n

i =1

i =1

R = Q1P1 + Q2 P2 + ... + Qn Pn = ∑ Qi Pi = ∑ Qi .Pi (Qi )
Chi phí

C = C (Q ) = C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) vì Q = Q1 + Q2 + ... + Qn
Lợi nhuận
n

π = R − C = ∑ Qi .Pi (Qi ) − C (Q1 , Q2 ,..., Qn )
i =1

Bài toán trở thành tìm

Q1 , Q2 ,..., Qn ñể hàm π ñạt cực ñại.

Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng hóa bán trên 3 thị trường

tách biệt với các hàm cầu

QD1 = 840 − 2 P1
QD2 = 1230 − 3P2
Hàm chi phí

C = 20 + 150Q + Q 2 với Q =Q1 +Q2

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể lợi nhuận cực ñại.
Giải :
Gọi

Q1 ,Q2 là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm

ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì

Q

P1 = 420 − 1

Q1 = QD1
Q1 = 840 − 2 P1

2
⇒
⇒

Q2 = QD2
Q2 = 1230 − 3P2
 P = 410 − Q3

 2
3
Doanh thu

Q1
Q
) + Q2 (410 − 3 )
2
3
2
2
Q
Q
⇒ R = 420Q1 − 1 + 410Q2 − 2
2
3
R = Q1 P1 + Q2 P2 = Q1 (420 −

Chi phí

C = 20 + 150Q + Q 2 = 20 + 150(Q1 + Q2 ) + (Q1 + Q2 ) 2
⇒ C = 20 + 150Q1 + 150Q2 + Q12 + 2Q1Q2 + Q22
Lợi nhuận


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

- 13 -

3

2

4
3

π = R − C = 270Q1 + 260Q2 − Q12 − Q22 − 2Q1Q2 − 20
Bài toán trở thành tìm

Q1 ,Q2 ñể hàm π ñạt cực ñại.

ðiểm dừng là nghiệm của hệ :

 ∂π
 270 − 3Q1 − 2Q2 = 0
 ∂Q = 0
Q1 = 50

1
⇒
 ∂π
260 − 8 Q − 2Q = 0 ⇒ 
2
1
Q2 = 60

= 0 
3
 ∂Q2
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai

∂ 2π
= −3
∂Q12
∂ 2π
∂ 2π
= −2 =
∂Q1∂Q2
∂Q2∂Q1
∂ 2π
8
=−
2
∂Q2
3
Khi ñó ma trận Hesse

− 3 − 2 
H =
− 2 − 8 
3


H 1 = −3 < 0
H2 =

Vì

−3

−2

=4>0
−2 − 8
3

Q1 = 50
(−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng 
Q2 = 60

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 50 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 60 ñơn vị hàng
hóa thứ 2.
Khi ñó tổng sản lượng của doanh nghiệp sẽ là

Q = Q1 + Q2 = 50 + 60 = 110

Bài tập
Bài 1.

Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị
trường là

1
QD = 656 − P . Hàm chi phí C = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100
2

Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
Bài 2.

Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng ñó là

QD = 300 − P . Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là C = Q 3 − 19Q 2 + 333Q + 10

Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể có ñược lợi nhuận tối ña.
Bài 3.

Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị
trường là
a.

QD = 2640 − P . Hàm chi phí C = Q 2 + 1000Q + 100

Hãy xác ñịnh mức thuế t trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

b.

- 14 -

Nếu ta muốn doanh nghiệp sản xuất ít nhất là 300 sản phẩm thì ta có thể ñịnh mức thuế trên một sản phẩm
tối ña là bao nhiêu?

Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
Bài 4.

Biết hàm cung và hàm cầu về một loại hàng hóa ở thị trường nội ñịa là

Qs = −40 + P và QD = 420 − P

Một công ty ñược ñộc quyền nhập khẩu loại hàng hóa ñó với giá nhập khẩu(bao gồm cả chi phí nhập khẩu) là
P0 = 180 . Hãy xác ñịnh mức thuế nhập khẩu ñánh trên một ñơn vị sản phẩm nhập khẩu ñể thu ñược của

doanh nghiệp nhiều thuế nhất.
Bài 5.

Một công ty ñộc quyền nhập một loại hàng, biết hàm cung và hàm cầu của loại hàng hóa trên ở thị trường
trong nước là Qs = −20 + P và QD = 880 − P . Biết giá bán loại hàng này trên thị trường quốc tế là

P0 = 250
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập ñể thu ñược của công ty nhiều thuế nhất.
Bài 6.

Một công ty ñược ñộc quyền xuất khẩu một mặt hàng biết hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội ñịa là
Qs = −20 + P và QD = 400 − P . Giá bán trên thị trường quốc tế là P0 = 310
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược của công ty nhiều thuế nhất.

Bài 7.

Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là

QD1 = 400 − 2 P1 + P2
QD2 = 480 + P1 − P2
Hàm tổng chi phí
a.
Bài 8.

C = 160Q1 + 240Q2 + 150

Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña

Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là

QD1 = 800 − 2 P1 + P2
QD2 = 960 + P1 − P2
Hàm tổng chi phí

C = 320Q1 + 480Q2 + 150

Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña

Bài 9.

Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu
trên hai thị trường là
Hàm tổng chi phí

1
QD1 = 470 − P1 và QD2 = 620 − P2
2

C = Q 2 + 60Q + 20

Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña. Từ ñó suy ra tổng sản
lượng của doanh nghiệp.

Bài 10. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu
trên hai thị trường là
Hàm tổng chi phí

1
QD1 = 310 − P1 và QD2 = 235 − P2
2

C = Q 2 + 30 Q + 20

Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña. Từ ñó suy ra tổng sản
lượng của doanh nghiệp.


GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM

- 15 -

Bài 11. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên ba thị trường tách biệt. Biết hàm cầu
trên từng thị trường như sau

1
QD1 = 30 − P1
3
QD2 = 57,5 −

1
P2
4

1
QD3 = 54 − P3
5
a.

Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí
của doanh nghiệp là C = 15 − 30Q

b.

Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí
của doanh nghiệp là

C = Q 2 + 30Q + 15

Bài 12. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là

1
(290 − 3P1 + 2 P2 )
7
1
= (650 − 3P2 + P1 )
7

QD1 =
QD2
a.

Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể có lợi nhuận tối ña biết hàm
tổng chi phí của doanh nghiệp là

b.

C = Q12 + Q1Q2 + Q22

Vẫn hỏi như trên nếu thuế suất ñịnh trên mỗi sản phẩm của loại hàng thứ nhất là
hàng thứ 2 là

t1 = 26 và trên loại

t2 = 24 . Hàm chi phí sản xuất là C = Q + Q1Q2 + Q

Bài 13. Cho biết hàm tổng chi phí ñể sản xuất một loại sản phẩm là

2
1

2
2

C (q ) = q 2 + 2000q +

500
q

a.

Tìm chi phí biên tế

b.

Xác ñịnh q ñể chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại ñiểm trên.