Giáo trình lý thuyết thống kê và phân tích dự báo phần 2 chu văn tuấn

Chương 6

HỔI QUI VÀ TƯƠNG QUAN

1. MỐI LIÊN HỆ• GIỬA CÁC HIỆN
TƯƠNG
KINH
•
•
TẾ - XÃ HỘI VỚI PHƯƠNG PHÁP H ồi QUI VÀ
TƯƠNG QUAN
1.1.
xã hôi

Môi liên hệ giữa các hiện tượng kinh tế-

Theo quan điểm duy vật biện chứng coi thê giới
vật chất là một thể thống nhất, trong đó các sự vật và
hiện tượng có mối liên hệ hữu cơ với nhau, tác động và
ràng buộc lẫn nhau. Không có sự vật và hiện tượng nào
phát sinh và phát triển một cách cô lập, tách rời với các
sự vật và hiện tượng khác. Các hiện tượng kinh tế - xã
hội cũng phát sinh và phát triển theo nguyên lý đó.
Do tính chất phức tạp của hiện tượng kinh tế - xã
hội, mối liên hệ nội tại cũng rất phong phú và muôn
hình muôn vẻ, tính chất và hình thức của các môi liên
hệ cũng rất khác nhau. Có thể nghiên cứu mối liên hệ
cùng một lúc giữa nhiều hiện tượng. Chẳng hạn như,
nhà quản trị doanh nghiệp nghiên cứu mối liên hệ giữa
năng suất lao động, mức tiêu hao nguyên, nhiên, vật
195

liệu... vối giá thành sản xuất sản phẩm. Nhà môi giới
đầu tư thì quan tâm đến môi quan hệ giữa giá cả thị
trường chứng khoán và cổ tức của nó. Các hãng sản
xuất thì quan tâm tới mức thu nhập của người tiêu
dùng và khối lượng hàng hoá mà người tiêu dùng có thể
mua được. Người làm công tác định giá bất động sản
như nhà cửa thì quan tâm đến giá bán gần đây của
những ngôi nhà tương tự, kích thước và tình trạng của
ngôi nhà. Tương quan và hồi quy là những phương pháp
mà nhà quản trị doanh nghiệp, hàng sản xuất, nhà đầu
tư... sẽ cần trong phân tích, đánh giá, đưa ra quyết định
thông qua việc xác định mốì liên hệ giữa các tiêu thức.

1.2. Các loại môi quan hệ
Môi quan hệ giữa các hiện tượng kinh tế - xã hội
có thể diễn ra trong không gian và thời gian. Liên hệ
trong không gian là sự tác động qua lại, sự phụ thuộc
vào nhau khi chúng ở trong cùng một thòi gian. Liên hệ
trong thời gian là sự tác động qua lại, phụ thuộc vào
nhau khi chúng ở các quá trình các giai đoạn phát triển
khác nhau.
Nếu xét theo mức độ liên hệ phụ thuộc giữa các
hiện tượng với nhau, có thể phân biệt: liên hệ hàm sô" và
liên hệ tương quan. Liên hệ hàm sô" là môi liên hệ hết
sức chặt chẽ giữa 2 hiện tượng nghiên cứu: khi hiện
tượng này thay đối thì nó hoàn toàn quyết định sự thay
đổi của hiện tượng có liên quan theo một tỉ lệ tương ứng
196

hoàn toàn chặt chẽ. Mối liên hệ này có thế thấy được
không những ở toàn bộ tổng thể, mà cả trên từng đơn vị
riêng biệt. Các mối quan hệ hàm sô' thường biểu hiện
nhiều trong toán học, vật lý học..., nhưng ít thấy trong
các hiện tượng kinh tế - xã hội. Liên hệ tương quan là
mối liên hệ không hoàn toàn chặt chẽ giữa các hiện
tượng nghiên cứu: khi hiện tượng này thay đổi thì có thể
làm cho hiện tượng có liên quan thay đổi theo, nhưng
không có ảnh hưởng hoàn toàn quyết định. Mối liên hệ
này không biểu hiện được rõ trên từng đơn vị sản phẩm
có liên hệ với nhau; khi năng suất lao động tăng thì giá
thành giảm và ngược lại, nhưng mức độ tăng giảm này
không giông nhau ở các doanh nghiệp. Đó là vì giá
thành tăng hay giảm còn phụ thuộc vào nhiều nguyên
nhân khác chứ không hoàn toàn do năng suất lao động
quyết định. Hoặc mức thu nhập của người tiêu dùng và
mức cầu về hàng hoá mà người tiêu dùng có thể mua
được. Như vậy, có thể nói giữa năng suất lao động và giá
thành sản phẩm hoặc giữa thu nhập và mức cầu về sản
phẩm, hàng hoá có mối liên hệ tương quan.
Xét theo chiều hướng của mối liên hệ người ta
phân thành 2 loại: liên hệ tướng quan thuận và liên hệ
tương quan nghịch. Liên hệ tương quan thuận biểu hiện
ở chỗ: trị sô" của tiêu thức nguyên nhân (x) và trị số của
tiêu thức kết quả (y) cùng phát triển theo một chiều
hướng. Khi (x) tăng (giảm) thì (y) củng tăng (giảm). Ví
197

dụ mối quan hệ giữa thu nhập khả dụng và mức cầu về
sản phẩm, hoặc mổì quan hệ giữa năng suất lao động và
tổng sản phẩm (vì khi thu nhập và năng suất lao động
tăng làm cho mức cầu sản phẩm và tổng sản phẩm cũng
tăng theo). Ngược lại, liên hệ tương quan nghịch là loại
liên hệ tương quan mà trị s ố của tiêu thức nguyên nhân
(x) biến đổi theo chiều hướng nào thì trị sô" của tiêu thức
kết quả (y) biến đổi theo chiều hưống ngược lại. Ví dụ:
giữa giá thành sản phẩm với năng suất lao động, giữa
lãi suất vay vốn và lượng vốn đầu tư, khi lãi suất vốn
vay tăng, chi phí cho đầu tư tăng các hàng sẽ thu hẹp
quy mô đầu tư làm giảm khối lượng đầu tư của nền kinh
tế. Như vậy, để nhận biết mối liên hệ tương quan người
ta chỉ cần so sánh chiều hưống của tổng của tích các độ
lệch giữa các lượng biến với sô" bình quân sô" học của
chúng £(x - x).(y - y). Nếu tổng này luôn luôn mang
dấu dương (+) ta có mối liên hệ tương quan thuận, nếu
tổng này mang dấu âm (-) ta có mối liên hệ tương quan
nghịch.

1.3.
Phương pháp hồi qui và tương quan
(phương pháp tương quan)
Hồi qui và tương quan là các phương pháp của
toán học, được vận dụng trong thống kê học để biểu hiện
và phân tích mối liên hệ tương quan giữa các hiện tượng
kinh tế và xã hội. Vì 2 phương pháp này có liên quan
chặt chẽ với nhau và xuất phát từ cùng mục đích nghiên
198

cứu, cho nên để tiện ta có thể gọi tắt là phương pháp
tương quan.
Phương pháp tương quan được vận dụng để
nghiên cứu mổì liên hệ giữa các hiện tượng hoặc giữa
các tiêu thức. Cụ thể là trị sô' của một tiêu thức nào đó
biến thiên do ảnh hưởng của một loạt các tiêu thức
khác, trong đó một sô" tiêu thức có ảnh hưởng đáng kể
mà ta cần quan tâm nghiên cứu. Tuỳ theo mục đích
nghiên cứu, ta có thể chọn riêng hai (hoặc 3, 4...) tiêu
thức có ý nghĩa nhất để xác định môi liên hệ giữa chúng
với nhau, còn các tiêu thức khác tạm coi như không thay
đổi.
Nhiệm vụ chủ yếu của phương pháp tương quan
gồm:
a.

Xác định tính chất và hình thức của môi liên

hệ, có nghĩa là xem xét mối liên hệ giữa các tiêu thức
nghiên cứu ở dạng mô hình nào (liên hệ tuyến tính, hoặc
phi tuyến tính), liên hệ thuận hoặc liên hệ nghịch...
Muôn vậy phải dựa trên cơ sở phân tích lý luận để giải
thích sự tồn tại thực tế và bản chất của mối liên hệ giữa
các hiện tượng nghiên cứu. Kết hơp với việc thăm dò mối
liên hệ đó bằng phương pháp thông kê như: phương
pháp đồ thị, phương pháp phân tổ, phương pháp sô'bình
quân; hoặc dựa vào kết quả nghiên cứu từ trước về các
hiện tượng này.

199


b. Lập phương trình hồi qui đế biểu hiện mối liên
hệ - căn cứ để lập phương trình là hình thức và chiều
hướng mốì liên hệ và sô" tiêu thức được chọn để nghiên
cứu.
c. Giải phương trình để tính giá trị của các tham

số và nêu ý nghĩa của tham sô" vừa tính được.
d. Đánh giá trình độ chặt chẽ của mối liên hệ
bằng các chỉ tiêu như: hệ s ố tương quan, tỷ s ố tương
quan. Thông qua các chỉ tiêu đó ta có thể kết luận về
tầm quan trọng của mối liên hệ, đánh giá đúng đắn vai
trò của từng nguyên nhân, xây dựng các mô hình sản
xuất và tiêu dùng, xây dựng các định mức, dự báo tình
hình trong thòi gian tới.
Trong phân tích tương quan, sô" tiêu thức được
chọn ra nghiên cứu càng nhiều thì quá trình tính toán
càng phức tạp. Sau đây trình bày cách vận dụng cụ thê
phương pháp tương quan trong một sô" trường hợp tiêu
biểu nhất.

2. LIÊN HỆ TƯƠNG QUAN TUYÊN TÍNH GIỬA
HAI TIÊU THỨC
2.1. Phương trình hồi qui tuyến tính giản
đơn
Các môi liên hệ tương quan giữa các hiện tượng
kinh tê - xã hội thường được biêu hiện dưới dạng phương
200

trình tuyến tính. Trong nhiều trường hợp phân tích
thực tế cho thấy môi liên hệ là phi tuyến tính, nhưng
người ta cho rằng nếu không có sai sô" lớn lắm thì có thể
dùng phương trình tuyến tính đê mô tả một cách xấp xỉ,
gần đúng, mà quá trình tính toán lại đơn giản hơn.
Cũng có khi hình thức của mối liên hệ này chưa rõ,
ngưòi ta cũng giả thiết là mối liên hệ tuyến tính.
Ta hãy xét ví dụ sau đây về mốì liên hệ giữa thu
nhập bình quân 1 tháng (thu nhập được phép sử dụng)
và mức cầu về hàng hoá, dịch vụ mà người tiêu dùng có
thể mua được, (bảng 6.1)
Khảo sát ngẫu nhiên 10 khách hàng ta thu được
các dữ liệu sau đây:
Thu nhập
(khả dụng)
bình quân 1
tháng (x)

Lượng hàng
hoá có nhu
cầu mua sắm

1

1,0

1

20

2

2,5

2

24

3

3

2

25

4

3,5

2

28

5

4,0

3

26

6

5,0

3

30

STT

Tuổi tác

(y)

201


7

6,5

4

34

8

7,0

6

45

9

9,0

6

48

10

10,0

7

50

Hồi qui được dùng để xem xét mối liên hệ tuyến
tính giữa 2 tiêu thức X và y. Mục tiêu của phân tích hồi
qui là mô hình hoá môi liên hệ, nghĩa là từ tài liệu thực
tê thu nhập được ta cô" gắng xây dựng một mô hình toán
học nhằm thể hiện một cách tốt nhất mối liên hệ giữa 2
tiêu thức

X

và y.

Dùng đồ thị để quan sát mối liên hệ giữa thu
nhập bình quân 1 tháng vói khối lượng hàng hoá có thể
mua được từ thu nhập đó, có thể sơ bộ thấy giữa 2 tiêu
thức nói trên có mối liên hệ không hoàn toàn chặt chẽ.
Tuy nhiên, nếu quan sát toàn bộ, ta thấy đưồng gấp
khúc trên đồ thị vươn theo 1 hướng rõ rệt: từ bên trái
phía dưới sang bên phải phía trên.

Đồ thị 6.1: Mối quan hệ giữa thu nhập khả
dụng và nhu cầu về hàng hóa

202


Mỏi quan hệ giữa thu nhập khả dụng
và cầu về hàng hoá
8

o

7

...

Ị t —

7.

Đường hồi
quy thực tế
• Yx

0
0

5

10

15

Thu nhập khả dụng

Trên đồ thị, đường gấp khúc được gọi là đường hồi
qui thực nghiệm, hình thành bởi các tài liệu điều tra
thực thế. Đường này chưa phản ánh rõ được mối liên hệ
giữa 2 tiêu thức. Tuy vậy, đưòng hồi qui thực nghiệm
này vươn theo một hướng rõ rệt. Điều đó cho phép ta có
t hể điều chỉnh để vạch ra một đường thẳng đi theo cùng
hưống, thay thế cho đường hồi qui thực nghiệm. Đưòng
này được gọi là đường hồi qui lý thuyết.
Trong vô số các đường thẳng vẽ được, vấn đề là
chỉ chọn 1 đưòng thẳng mô tả sát nhất xu hướng này.
Phương pháp dùng để xác định đường này là phương
pháp bình phương bé nhất. Phương pháp này sẽ tìm ra
1 đường thẳng cực tiểu hoá được tổng các độ lệch bình

203


phương các chênh lệch giữa giá trị thực tê yt với giá trị
ỹx, tức là:
S = Z(yt -

ỹx)2 =>min

Trong đó:
y x = a + bx
yx: Trị số' điều chỉnh của tiêu thức kết quả (y) theo
quan hệ phụ thuộc với tiêu thức (x)
x: Trị sô" của tiêu thức nguyên nhân
a,

b: Các tham sô" qui định vị trí đường hồi qui lý

thuyết.
yt: Đường hồi qui thực nghiệm
Bằng cách lấy đạo hàm theo a và b ta rút ra được
hệ phương trình chuẩn của a, b:

(1)
(2)
Giải hệ ta được:
a = ỹ - b. X

Nếu nhân cả tử sô" và mẫu số của công thức (6.1)
vối 1/n rồi biến đổi ta có:

204


b =

(6.2)
-

n

r

Hoặc công thức (6.2) có thể viết thành:
b - L

s ụ illỉip
X (x - x)

l

(6.3>

Nếu chia cả tử sô và mẫu số của (6.3) cho (n) ta
có:

u _ x -y - y-x

b = ----- r ĩ -----,

(6.4)

y ( x , - x ) 2

Trong đó: ĩ> \ -----------1--------n

Như vậy, tham số b có thể tính bằng nhiều công
thức khác nhau, tuỳ theo nguồn tài liệu.
Theo số bảng 6.1 ta lập bảng tính toán sau. (bảng
6.2)

205


STT

X

y

x.y

X2

(x- x)

(y* ỹ)

1

1

1

1

1

-4,15

-2,6

17,2225

6,76

10,79

2

2,5

2

5

6,25

-2,65

•1,6

7,0225

2,56

4,24

3

3,0

2

6

9

»2,15

•1,6

4,6225

2,56

3,44

4

3,5

2

7,0

12,25

-1,65

•1,6

2,7225

2,56

2,64

5

4,0

3

12,0

16,0

-1,15

-0,6

1,3225

0,36

0,69

6

5,0

3

15,0

25

-0,15

-0,6

0,0225

0,36

0,09

7

6,5

4

26

42,25

+ 1,35

+0,4

1,8225

0,16

0,54

8

7,0

6

42

49

+ 1,85

2,4

3,4225

5,76

4,44

9

9,0

6

54

81

+3,85

2,4

14,8225

5,76

9,24

10

10

7

70

100

+4,85

3,4

23,5225 11,56

Cộng

Ix

l y X xy Ix * I(x=51,5 =36 =238 =341,75 =0

X)

(x- x)2 (y- y)2 (x,- x).(y, - y)

16,49

X(y- ỹ) I(x-x)2 I ( y ~y)'2 (x,- x).(y, = 0

=76,525 = 38,4

ỹ) =52,6

Ta có:

10

10

- _ Z y _ 3 6 _ , /:

*■
-

w

To

=Ị ^

ạ

10

3 -6

s
10

Thay sô" vào tính các tham sô" a, b
u _

xy - y.x

' Ề V
n
206

_

23,8-5,15.3,6

r = H p i10

_

5,26

_ , ^

5.15)’ = 7 -6525 =


Hoặc tính theo công thức (6.3):
b= I ^ > - ( y , - ỹ > = ^
£ (x -x )2

7,6525

Vậy a = 3,6 - 0,687.(5,15) = 0,06195
Do đó, phương trình hồi qui có dạng:

ỹx= 0,06195+ 0.687.X
Trong phương trình này, tham sô" a = 0,06195 là
mức độ xuất phát đầu tiên của đường hồi qui lý thuyết,
đây là tham sô" tự do không phụ thuộc vào (x), nói lên
ảnh hưởng của các nhân tô" khác tới lượng hàng hoá,
dịch vụ mua được. Tham số b = 0,687 là mức độ quy
định độ dốc của đường hồi quy lý thuyết, người ta
thường gọi là hệ s ố hồi quy, nói lên ảnh hưởng của tiêu
thức nguyên nhân (x) đối với tiêu thức kết quả (y), cụ
thể, nếu thu nhập bình quân 1 tháng tăng thêm 1 triệu
đồng thì nhu cầu mua sắm hàng hoá, dịch vụ của người
tiêu dùng tăng thêm 0,687.
2.2. Hệ sô tương quan
Trong các phần trên đã giải quyết vấn đề xác
định mối liên hệ tương quan và biểu hiện cụ thể môi
liên hệ này bằng phương trình hồi quy. Một yêu cầu
quan trọng của phân tích tương quan là xác định một
cách cụ thể trình độ chặt chẽ của mốì liên hệ.
207


Trong trường hợp 2 tiêu thức X và y có môi liên hệ
tương quan tuyến tính, chỉ tiêu đánh giá trình độ và
chiêu hướng của

m ổì

liên hệ tuyến tính giữa

X

và y được

gọi là hệ sô" tương quan.
Hệ số tương quan giúp ta xác định được trình độ
và chiều hướng của mối liên hệ, xem xét giữa tiêu thức
nguyên nhân và tiêu thức kết quả có mối liên hệ vói
nhau đến chừng mực nào. Trong những điều kiện thời
gian và không gian khác nhau, mốì liên hệ tương quan
giữa cùng một sô" hiện tượng cũng có thể có trình độ chặt
chẽ khác nhau. Qua việc đánh giá này có thể chọn ra
được tiêu thức nguyên nhân có tác dụng chủ yếu hay
thứ yếu đối vối hiện tượng nghiên cứu.
Hệ số tương quan cũng giúp ta xác định phương
hướng cụ thể của mốì liên hệ nếu chỉ tiêu này tính ra
giá trị dương đó là mối tương quan thuận, và giá trị âm
đó là mối tương quan nghịch.
Hệ sô" tương quan còn được dùng trong nhiều
trường hợp dự báo thông kê và sai số dự báo.
Trong toán học có nhiều phương pháp và nhiều
công thức tính hệ số’ tương quan. Thông kê chỉ vận dụng
một số công thức đơn giản và thích hợp nhất. Sau đây là
một sô" công thức thường dùng.
Với (Xj, yj), (x2, y2),... (xn, yn) là mẫu n cặp giá trị
quan sát thu nhập ngẫu nhiên từ X và y. Công thức tính
208


hệ số tương quan mẫu (rxv) (còn gọi là hệ sô" tương quan
Pearson) có dạng:

r xy =

z(=' i - X)(y i - y)
a/ I (*. - * ĩ ỵ ( y, - ỹf
—

^

V N ~ ; ; / V '

,

J }

(6.5)

=

Từ công thức (6.5) có thể chia cả tử sô" và mẫu số
cho n, ta có công thức:

r.xy =

Ị

i I(* ,-x ).(y i-ỹ)
n

n-y ìT Ã **

Hay r

x )2- Z ( y . - y )

- Z (x' "
- y)
= -D-----------——-----------0 v0 „
X

(6.6)

V

Trong đó:
và

ô. =..

(ỗx;ôy: Độ lệch chuẩn của tiêu thức

Z( y . - y > !
n
X

và y)

Hoặc từ công thức (6.6), hệ sô tương quan còn
được viết dưới dạng:

r xv

= XV r / - y
Ô x ỗ

(

6

' 7

)

V

209


Cũng tương tự, khi ta nhân cả tử sô" và mẫu sô"
của công thức (6.5) với ( —) ta có:
n

Ị > iy i-n(x)(y)
r xy

__ J

I

VCE> ?-nx

—

w *o )

y

) ( 2 y 2i - n y

)

Hoặc từ công thức (6.7) ta còn có thể biến đổi
= xy xy

X .ỹ

M y

= xy

-

X .ỹ

"

Ô2X

^ 5x
ôy

™'
màu - xy
b = “—x -y

52

Do đó: rxy = b .—
y

(6.9)

Như vậy, hệ sô" tương quan có thể tính bằng nhiều
công thức khác nhau, tuỳ theo nguồn tài liệu cụ thể ta
có thể sử dụng một trong các công thức trên để tính
toán.


Hệ sô" tương quan có các tính chất sau:
a. Hệ sô" tương quan có trị s ố - l < rxy< 1
b. Khi rxy > 0 giữa X và Y có mối tương quan
thuận: Khi biến X tăng lên (giảm đi) thì biến Y cũng
tăng lên (giảm đi).
c. Khi rxy= ± 1, giữa X và Y có liên hệ hàm sô"
d. Khi rxy = 0, giữa X và Y không có mối liên hệ
não
e.

Trị sô" rxy càng gần với ± 1, môi liên hệ giữa X

và Y càng chặt chẽ.
* Tiếp theo ví dụ bảng 6.1, ta tính được rxy như sau:
Theo công thức 6.6 ta có:

X
xy

52,6
_
52,6
-y/76,525 X 38,4
^2938 ,56

52,6
54,2

0 97

Hoặc tính theo công thức (5.7) ta có:
_ xy - x.y _ 23 ,8 - 5,15 X 3,6 _ 5,26 _
r‘y _ ồ x.ôy “ 2,766 X 1,959
- 5,42

97
’

Trong đó:

211

Các công thức hệ sô tương quan trên đây cũng còn
có thể biến đổi ra nhiều công thức khác, nhưng kết quả
tính toán không thay đổi. Việc vận dụng công thức nào
phải căn cứ vào điều kiện tài liệu đã có.

2.3. Phương trình hồi quy tuyến tính phức
tạp
Trong thực tê việc phân tổ tài liệu điều tra
thường gặp những trường hợp các đơn vị trong tổng thể
quá nhiều và được phân chia vào các tổ theo các tần sô"
tương ứng, trong các tổ lượng biến lại có khoảng cách tổ.
Gặp trường hợp này, trước tiên cần phải phân tổ tài liệu
theo những tiêu thức kết hợp và tính ra trị sô" giữa của
mỗi tổ, sau đó mới xây dựng phương trình hồi quy và
tính các tham sô" có liên quan.
Ví dụ: có tài liệu điều tra thu thập được ỏ 50
doanh nghiệp công nghiệp về giá trị thiết bị chủ yếu và
kết quả sản xuất. Để nghiên cứu môi quan hệ giữa quy
mô sản xuất và kết quả sản xuất, ta tiến hành phân tổ
tài liệu điều tra và giả dụ đã phân tổ được như sau:

212


Bảng 6.3
\

Giá tr ị
\

Cộng
sỗ
doanh
nghiệp

th iế t bị
\ chủ yếu
\

(triệu
\ đồng)
2,5-5,7 7,5-12,5 12,5-17,5 17,5-2,5

G iá trị\
sản xuât\
b ìn h q u â n
1 ngày

\

(triệ u đồng)\
SỐ DOANH NGHIỆP
2

1

3

3

6

6

15

3

20

45-55
35 - 45
25-35

3

8

6

15-25

5

4

1

5-15

2

Cộng số
doanh nghiệp

10

10
2

15

15

10

50

Căn cứ tài liệu trên chúng ta nhận thấy tình hình
phân phôi các đơn vị trong bảng như sau: đại bộ phận số
doanh nghiệp được tập trung theo một hướng từ trái,
phía dưới sang phải, phía trên của bảng (bảng này có
213


tên là bảng tương quan, có câ'u tạo giông như một đồ
thị). Biểu hiện này cho phép ta kết luận rằng giữa hai
tiêu thức giá trị thiết bị chủ yếu (quy mô của doanh
nghiệp) và giá trị sản xuất bình quân một ngày (kết quả

sản xuất) có mốì liên hệ tương quan thuận. Xuất phát từ
phương trình cơ bản yx= a + bx cho hai tiêu thức tương
q u a n , t r o n g đ ó m ỗ i t r ị sô" c ủ a c h ú n g ( c ủ a X, y ) c h ỉ x u ấ t

hiện một lần, ta suy ra cho trường hợp tài liệu phân tổ
(mỗi trị sô của X, y xuất hiện nhiều lần). Chỉ cần chú ý
là các phần tử Xy, Xx, Zxy, Zx2 trong các phương trình
chuẩn đều có tần sô" của nó.
Vì vậy, hệ phương trình chuẩn sẽ là:
X yny = Na + b z xnx

(1)

£ xynxy = a z xn x+ b z X2n x

(2)

(6.10)

Trong đó:
N: E số" đơn vị tổng thể chung.
- x,y: Trị sô giữa khoảng cách tổ của tiêu thức:
nguyên nhân (x) và kết quả (y).
- nx: Tần sô" của các tổ được phân tổ theo tiêu thức
x: (X nx = N)
- nv: Tần sô" của các tổ được phân chia ra theo tiêu
thức y(X ny= N)
- nxy: Tần sô" chung của tổ được phân chia theo hai
tiêu thức kết hợp X và y (Z nxy= N).

214


Căn cứ vào hệ phương trình chuẩn, ta phải tính
toán các phần tử
Xyny; bX X2nx; b Zxnx; a Zxnx; Na; Xxy.nxy. Bảng
(6.4) sẽ cho chúng ta cách tính toán các phần tử kể trên.
Bảng (6.4) Bảng tính các phần tử của công thức
(6.10) từ tài liệu phân tổ của bảng tương quan (6.3)

trị thiết bị

2,5- 7,5- 12,57,5 12,5 17,5

17,522,5

SỐ
\
doanh
Giá trị bìnÌK nghiệp

Các cột tính toán

\

quân ngày

\ ( n xy)

(triệu đồng)

\

.

y

I
5

III

lõ

20


2

1

3

150

7.500

3

6

6

15

600

24.000

3

20

600

18.000

10

200

4.000

2

20

200

10

(y.

n y)

(y2.ny)

\

-1

45-55

50

35-45

40

25-35

30

3

8

6

15- 25

20

5

4

1

5- lõ

10

2

1

Các dòng
tính toán

II

10

15

15

10

I r ỵ = Lnx= I ynv I y2ny
N =50
1.570 53.700

150

225

200

625 = X xnx

II

xnv

50

III

X2nx

250 1.500 3.375

IV

£(yn j

210 440

540

380

1570 = X ynxv

V

E(xynxv 1050 4400 8100

7600

21.150 = z xynxv

4.000

9.115 = z

X 2n x

215


Theo tài liệu tính toán được, thay các tài liệu này
vào hệ phương trình (6.10) ta có:
f 1.560 = 50a + 62 5b
121.150 = 625a + 9125b
Giải ta được: a = 16,875: b = 1,163
Vậy, phương trình Yx= a + bx được xác định sẽ là

Yx= 16,875+ 1,162 X
Để đánh giá trình độ liên hệ giữa hai tiêu thức,
quy mô sản xuất và kết quả sản xuất của doanh nghiệp
công nghiệp được điều tra, hệ sô" tương quan sẽ được
tính như sau:
r

2 ( x i -x .).(y i - y ) n xy

(6 . 11)

Hoặc có thể biến đối hệ sô" tương quan rxy thành:
xy

216

-

X

.y

(6.13)


Theo sô" liệu phân tổ của 50 doanh nghiệp bảng
(6.3) và (6.4) ta có:
— _ z Xy°xy _ 2 1 . 1 5 0 _ ^
xy = — —-— - = — —-----= 423
N

50
xn

X =

N

ỹ . %

J

625
50

= 1 2, 5

i . = L Í Z » = 3 1 ,4

N

50

X (x „ -^ .n „
V

N

| Ẽ W
V

X ~

= / 9 1 Ị 5 _ 625

N

V 50

50

= 726,25 = 5,124

53700
50

1570 2
50

= ■788,04 = 9,383
Vì vậy, theo công thức (6.14) ta có:
_ 4 2 3 - .(12,5 X 3 4 , 4 ) _ 3 0 , 5 0

—ĩ- =~ = ----------------- =U,6J
^88,04
48,08
-

r*v ~ —7
V26,25

X

Nếu tiếp tục biến đổi công thức (6.13) ta có:
xy - x . y

xy

s*-8y

xy - x . y

Ô2X

5_ -x

= 1b

X

ô

—

(6.14)

Theo tài liệu trên ta có:
217


b = 1,162; Ôx = V26,25 = 5 ,1 2 4 ; S y = ^88,04 = 9 ,3 8 3

r

5,124

- „

= l,1 6 2 x — —— = 0,63
xy
9,383

Thông qua hệ sô" tương quan giúp ta nhận thức cụ
thể cường độ của mốì liên hệ, nhò vào đó ta có thể xác
định được những tiêu thức cần thiết để tiếp tục nghiên
cứu mốì liên hệ giữa các hiện tượng.

3. LIÊN HỆ TƯƠNG QUAN PHI TUYÊN TÍNH
GIỮA HAI TIÊU THỨC
3.1. Các phương trình hồi quy
Trong nhiều trường hợp nghiên cứu ta thấy môi
liên hệ tương quan giữa các tiêu thức không biểu hiện
bằng một đường thẳng, mà ở dạng các đưòng cong khác
nhau. Ta gọi đó là tương quan p h i tuyến tính.
Phần trên đã phân tích một sô" ví dụ về môi quan
hệ tương quan tuyến tính giữa thu nhập bình quân của
hộ gia đình với lượng hàng hoá mà các gia đình có nhu
cầu mua sắm, hoặc giữa tuổi nghê và năng suất lao
động của công nhân trong một xí nghiệp. Nhưng trong
thực tế, không phải bất kỳ xí nghiệp nào mổì liên hệ này
cũng là tương quan tuyến tính, tức là không phải công
nhân càng ở tuổi nghề lâu năm bao nhiêu thì năng suất

lao động của họ càng tăng bấy nhiêu. Trong một số
ngành công nghiệp mà lao động chân tay còn chiếm tỷ lệ
218


quan trọng, năng suất lao động lúc đầu có thể tăng lên
theo tuổi nghề, nhưng sau đó giảm dần. Đó là vì người
công nhân có tuổi nghề càng cao bao nhiêu thì tuổi đòi
cũng tăng và do đó sức lao động giảm dần. Cũng tương
tự như vậy, khi thu nhập bình quân của mỗi người dân
tăng sẽ làm tăng nhu cầu mua sắm hàng hoá, nhưng
đến một mức độ nhất định nhu cầu mua sắm hàng hoá
sẽ giảm dần, đặc biệt đối với hàng hoá thông thường, và
điều đó cũng đúng nếu ta gắn kết nhu cầu mua sắm ấy
với tuổi tác của dân cư, thông thường tuổi trẻ có nhu cầu
mua sắm hàng hoá nhiều hơn tuổi già nếu họ có cùng
mức thu nhập. Như vậy, nếu thu thập được sô lớn tài
liệu và phân tích, thì thấy mối quan hệ giữa tuổi nghề
và năng suất lao động, giữa thu nhập và mức cầu về
hàng hoá sẽ được biểu hiện bằng một đường cong. Ta có
thể gặp tình hình tương tự khi nghiên cứu các môi liên
hệ khác như: liên hệ giữa khôi lượng sản phẩm và giá
thành, giữa quy mô kinh doanh và tỷ suất phí lưu
thông, giữa lượng nước tưới và năng suất lúa v.v...
Về mặt toán học, có nhiều phương trình hồi quy
để biểu hiện mối liên hệ tương quan phi tuyến tính như:
- Phương trình pa- ra- bôn bậc 2.
ỹy = a + bx + cx2

(6.15)

Từ phương trình này, dùng phương pháp bình
phương nhỏ nhất sẽ rút ra được hệ phương trình sau:
219