Hàm phân hình và sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH
KHOA TOÁN –TIN

NGUYỄN CƠ THẠCH

HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH
KHOA TOÁN –TIN

HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG
SV:
NGUYỄN CƠ THẠCH
LỚP: TOÁN 5-BT
MSSV: K33101239

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô của trường ĐHSP nói
chung và các cán bộ giảng viên khoa Toán-Tin nói riêng bao năm qua đã tận tình
chỉ dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất để em được học tập tại trường .
Em có được kết quả ngày hôm nay là do một phần ở sự nỗ lực của bản thân
và một phần quan trọng ở sự chỉ dạy của thầy cô.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn riêng đến thầy Nguyễn Văn Đông đã tận tình
hướng dẫn cho em trong những ngày qua để em hoàn thành bài khóa luận tốt
nghiệp. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy.
Chắc chắn bài làm của em vẫn còn những sai sót, rất mong được sự đóng
góp, chỉnh sửa của quý thầy cô để được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, em xin chân
thành cảm ơn quý thầy cô và kính chúc thầy cô sức khỏe, công tác tốt.

TP.HCM, tháng 12, năm 2011
Sinh viên
NGUYỄN CƠ THẠCH


MỤC LỤC
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................. 1
Chương II: HÀM PHÂN HÌNH.......................................................................................... 5
2.1 Hàm phân hình .......................................................................................................... 5
2.2 Trường các hàm phân hình ....................................................................................... 6
2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình .................................................................. 10
2.4 Biểu diễn hàm phân hình ........................................................................................ 14
Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH ................................................. 20
3.1 Lý thuyết tổng quát về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình .................................... 21

3.2 Khai triển phân thức từng phần của π cot π z ......................................................... 24
3.3 Công thức Euler đối với ζ (2n) = ∑ v −2 n ............................................................... 29
v ≥1

3.4 Lý thuyết Eisenstein về hàm lượng giác ................................................................. 36
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 43


Mở đầu
Lý thuyết giải tích phức được phát triển vào thế kỷ 19 gắn liền với các nhà
toán học: Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass…
Ngày nay giải tích phức vẫn tiếp tục phát triển và hoàn thiện. Giải tích phức
không những sâu sắc về lý thuyết và có nhiều ứng dụng không những trong toán
học mà còn trong nhiều ngành khoa học tự nhiên cũng như trong kĩ thuật.
Lý thuyết hàm phân hình là một phần quan trọng và đặc sắc của giải tích
phức. Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm hệ thống lại một số kiến thức về giải tích
phức để từ đó giúp cho bản thân có điều kiện nghiên cứu sâu hơn về giải tích phức
sau này.
Nội dung chính của luận văn trình bày các tính chất có liên quan đến hàm
phân hình và một số tính chất có liên quan đến sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình.
Luận văn còn nghiên cứu một số chuỗi hàm phân hình đặc biệt như chuỗi Euler,
Eisenstein.
Luận văn gồm ba chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm phân hình.
Chương III: Trình bày về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình và một số chuỗi hàm
phân hình đặc biệt.

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1: Cho D là tập mở khác rỗng trong  . Hàm f: D → 
được gọi là hàm chỉnh hình trên D nếu nó khả vi phức tại mỗi điểm thuộc D.
Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại một lân cận U mở của z0 nằm
trong D sao cho f |U chỉnh hình trên U. Tập hợp các điểm mà tại đó hàm chỉnh hình luôn
là tập mở trong  .
Hàm chỉnh hình còn gọi là hàm giải tích.
Hàm chỉnh hình trên  còn gọi là hàm nguyên.
Tập hợp các hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là O(D).
Định lý 1.2 (định lý đồng nhất): Các mệnh đề sau về cặp f, g các hàm chỉnh hình trên
miền G ⊂  là tương đương:
i)

f=g

ii)

g (ω )} có một điểm giới hạn trong G
Tập hợp {ω ∈ G : f (ω ) =

iii)

n)
Có một c ∈ G sao cho f (=
( c ) g ( n ) (c) ∀n ∈ 

Định lý 1.3: Cho D là một tập mở khác rỗng trong  và chuỗi

∑f

n

các hàm chỉnh

hình trong D, hội tụ compact trong D về một hàm giới hạn f trong D. Khi đó với mọi
k ∈  chuỗi đạo hàm k lần theo từng số hạng

=
f (k ) ( z)

∑f

∑f

(k )
n

(k )
n

hội tụ trong D về f ( k ) :

( z) , z ∈ D


Định lý 1.4 (định lý về chuỗi bội): Cho=
fn ( z)

∑ c( ) ( z − z )

n

k

0

k

là chuỗi lũy thừa hội

k

tụ trong một đĩa chung B tâm c với n ∈  . Giả sử f ( z ) = ∑ f n ( z ) hội tụ chuẩn tắc trong
n

∞

B. Khi đó với mỗi k ∈ , bk =
∑ ck( n) hội tụ trong  và f được biểu diễn trong B dưới
n =0

dạng:
=
f ( z)

∑ b (z − z )
k

k

0

Định lý 1.5 (định lý Hurwitz): Giả sử G là một miền trong  , dãy f n ∈ O(G ) hội tụ
compact trong G về f và f n không có không điểm trong G. Khi đó nếu f không là hàm
hằng không thì f không có không điểm trong G.

Định nghĩa 1.6 (Cấp của một không điểm và bội tại một điểm):
Nếu f là một hàm chỉnh hình khác hằng 0 trong một lân cận của c, thì từ định
lý đồng nhất ta biết rằng có một số tự nhiên m sao cho :
f (c=
) f ′(c=
) 
= f ( m −1) (c=
) 0 và f ( m ) (c) ≠ 0. Đặt
min {n ∈  : f ( n ) (c) ≠ 0}
oc ( f ) =
m=
Số này được gọi là cấp của không điểm của f tại c, hoặc gọi vắn tắt là cấp của f
tại c. Rõ ràng :
f (c ) =
0 ⇔ oc ( f ) > 0
Ta đặt oc ( f ) = ∞ nếu f đồng nhất 0 gần c.
Với mọi chuỗi lũy thừa f = ∑ cn z n ta định nghĩa cấp v( f ) của hàm f là
min {n ∈  : cn ≠ 0} khi f ≠ 0
v( f ) = 
khi f =
0
∞
Chẳng hạn v( z n ) = n .
=

f
Đặt τ c ( z )= z + c ta có nếu

∑ c ( z − c)
n

n

thì f  τ c = ∑ cn z n và oc ( f ) = v( f  τ c )


Ngoài ra, ta thường dùng số v( f=
, c) oc ( f − f (c)) để chỉ rằng f nhận giá trị f (c) với bội
v( f , c) tại c. Ta luôn có v( f , c) ≥ 1 và hai mệnh đề sau tương đương

a) f có bội n < ∞ tại c
b)

f ( z )= f (c) + ( z − c) n F ( z ) với F là hàm chỉnh hình tại c và thỏa
F ′(c) ≠ 0 . Đặc biệt v( f , c) =
1 ⇔ f ′(c) ≠ 0 .

Định lý 1.7: Cho G là một miền trong  , f : G →  là hàm chỉnh hình khác hằng.
Khi đó với mọi a ∈  tập hợp thớ

f −1 (a ) =
a}
{z ∈ G : f ( z) =
mà ta gọi là tập các a- điểm của f , là tập rời rạc và đóng (tương đối) trong G.
Đặc biệt, với mọi tập compact K ⊂ G , mỗi tập f −1 (a ) ∩ K , a ∈  , là tập hữu hạn dẫn

đến f −1 (a ) là tập không quá đếm được, nghĩa là f không có quá đếm được các a - điểm
trong G. Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập con
rời rạc và đóng (tương đối) trong G.
Định lý 1.8: Cho g : G → G′ là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G′ . f là hàm
chỉnh hình trên miền G và là hàm hằng trên mỗi tập thớ của g- g −1 ( w ) , w ∈ G′. Khi đó có
một hàm chỉnh hình h trong G′ sao cho g *(h) = f hay h( g ( =
z )) f ( z ), ∀z ∈ G.

1.2 Điểm bất thường
Mệnh đề 1.9: Nếu hàm f có một cực điểm cấp m tại z0 thì ( z − z0 )l f ( z ) → ∞
khi z → z0 với mọi số nguyên l < m , trong khi ( z − z0 ) m f ( z ) có z 0 là điểm bất
thường bỏ được. Đặc biệt f ( z ) → ∞ khi z → z0 .


Mệnh đề 1.10: Nếu f có không điểm cấp m tại z0 thì
tại z0 . Ngược lại nếu f có cực điểm cấp m tại z0 thì
được và nếu ta định nghĩa

1
có cực điểm cấp m
f

1
có z0 là điểm bất thường bỏ
f

1
1
có không điểm cấp m tại z0
( z0 ) = 0 thì

f
f

Định lý 1.11: Giả sử f là một hàm nguyên khi đó:
i)

f là hàm hằng ⇔ ∞ là điểm bất thường bỏ được.

ii)

f là hàm đa thức ⇔ ∞ là cực điểm của f.

iii)

f là hàm siêu việt ⇔ ∞ là điểm bất thường cốt yếu của f.

1.3 Về hàm mũ
Định lý 1.12: Cho G là một miền trong  . Các mệnh đề sau đối với hàm chỉnh
hình f trong G là tương đương:
i) f ( z ) = a exp ( bz ) trong G với a, b các hằng số trong  .
ii) f ′ ( z ) = bf ( z ) trong G.
Định lý 1.13: Cho G là một miền chứa 0, hàm f : G →  là hàm khả vi phức
tại 0 thỏa điều kiện f (0) ≠ 0 và thỏa phương trình hàm
f (w + z) =
f ( w ) f ( z ) với w, z , w + z thuộc G
Khi đó với b = f ′(0) ta có:
=
f ( z ) exp(bz ) ∀z ∈ G .

1.4 Về dãy trong không gian mê tric

Định nghĩa 1.14: Cho S là không gian mê tric, một điểm p ∈ S được gọi là
điểm giới hạn hoặc là điểm tụ của tập M ⊂ S nếu U ∩ ( M \ { p} ) ≠ ∅ với mọi lân
cận U của p.
Mọi lân cận của điểm giới hạn p của M chứa vô hạn điểm của M và do đó luôn
có dãy {cn } ⊂ M \ { p} với lim cn = p .
n →∞

Định lý 1.15: S là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi dãy ( xn ) trong S
đều chứa một dãy con hội tụ.


Chương II: HÀM PHÂN HÌNH
Trong lý thuyết hàm các hàm chỉnh với các cực điểm đã đóng một vai trò nổi
bật. Vào năm 1875 Briot và Bouquet đã gọi những hàm này là các hàm phân hình.
Mục 2.1 trình bày khái niệm và tính chất của hàm phân hình.
Các hàm phân hình không những có thể cộng, trừ, nhân mà còn có thể chia. Điều
này khiến cấu trúc đại số của các hàm phân hình đơn giản hơn so với các hàm
chỉnh hình. Đặc biệt các hàm phân hình trên một miền tạo thành một trường.
Mục 2.2 trình bày cấu trúc đại số của tập các hàm phân hình trên một miền.
Mục 2.3 trình bày cấu trúc tô pô của không gian các hàm phân hình.
Nội dung chính của mục 2.4 là định lý (2.15) chỉ ra mọi hàm phân hình đều có thể
biểu diễn thành thương của hai hàm chỉnh hình.

2.1 Hàm phân hình
Định nghĩa 2.1: Cho D là một tập mở khác rỗng trong  . Một hàm f được

gọi là hàm phân hình trong D , nếu có một tập con rời rạc P( f ) của D sao cho f
chỉnh hình trên D \ P( f ) và có cực điểm tại mỗi điểm thuộc P( f ) .
Dựa vào mệnh đề 1.9 ta chọn ∞ như giá trị của hàm tại mỗi cực điểm :
f ( z ) := ∞ với z ∈ P( f )

Như vậy các hàm phân hình trong D là các ánh xạ liên tục D →  ∞ =  ∪ {∞}
Tập P( f ) được gọi là tập cực của f , tập hợp này là tập đóng tương đối trong
D . Lưu ý rằng tập cực có thể là tập ∅ nên các hàm chỉnh hình trong D là hàm

phân hình trong D . Vì P( f ) là tập rời rạc, đóng tương đối trong D nên tập cực
của mỗi hàm phân hình trong D hoặc rỗng, hoặc hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được.
Một hàm phân hình f trong D mà có tập cực khác rỗng không thể biến toàn bộ
D vào  .


Ví dụ :
ao + a1 z + ... + am z m
, bn ≠ 0 m, n ∈ 
bo + b1 z + ... + bn z n

a) Mọi hàm
hữu tỷ h( z ) :
=

là hàm phân hình với tập cực là tập hữu hạn, đó là tập các không điểm
của mẫu thức.
b) Hàm cot π z =

cos π z
là hàm phân hình không là hàm hữu tỷ có tập cực
sin π z

là tập vô hạn đếm được với P(cot π z ) =  .

2.2 Trường các hàm phân hình
Một hàm được gọi là phân hình tại z0 nếu nó phân hình trong một lân cận nào
đó của z0 . Khi đó nếu hàm này khác hằng 0 thì nó có khai triển
f ( z)
=

∞

∑c (z − z )

n=m

n

n

0

tại z0 , với số cn ∈  xác định duy nhất và m ∈  sao cho cm ≠ 0
Nếu m < 0 thì

−1

∑c (z − z )
n

0

n

được gọi là phần chính của f tại z0 .

m

Trường hợp m ≥ 0 phần chính của f bằng 0 .
Cho D là tập mở khác rỗng trong  . Ký hiệu: M ( D) := {h : h phân hình trong D} .

Ta có O( D) ⊆ M ( D) .
Với các hàm phân hình ta có thể thực hiện phép cộng, trừ, nhân. Nếu
f , g ∈ M ( D) với các tập cực P ( f ), P ( g ) thì P ( f ) ∪ P ( g ) là rời rạc và đóng tương

đối trong D và các hàm f , g , f ± g , f .g chỉnh hình trong D \ ( P( f ) ∪ P( g ) ) . Với
mỗi z0 ∈ P( f ) ∪ P( g ) có các số tự nhiên m, n và một lân cận U của z0 nằm trong
D với U ∩ ( P ( f ) ∪ P ( g ) ) =
{ z0 } sao cho ( z − z0 )m f ( z ) và ( z − z0 )n g ( z ) bị chặn trong

U \ { z0 } ( m = 0 trong trường hợp z0 ∉ P( f ) và n =
0 trong trường hợp z0 ∉ P( g ) ).


Khi đó mỗi hàm trong 3 hàm
( z − z0 ) m + n [ f ( z ) + g ( z ) ] , ( z − z0 ) m + n [ f ( z ) − g ( z ) ] , ( z − z0 ) m + n [ f ( z ).g ( z ) ]

bị chặn trong U \ { z0 } . Điểm z0 khi đó hoặc là điểm bất thường bỏ được hoặc là
cực điểm của f + g , f − g , f .g . Do đó tập cực của các hàm này là tập con của
P ( f ) ∪ P ( g ) và là tập rời rạc và đóng tương đối trong D . Từ điều này có
f + g , f − g , f .g ∈ M ( D )
M ( D) là  - đại số (đối với phép cộng, trừ, nhân) và  - đại số O( D) là  - đại

số con của M ( D) . Với mọi f , g ∈ M ( D) các tập cực thỏa

=
P(− f ) P( f ) , P( f ± g ) ⊂ P( f ) ∪ P( g )


P( f ± g ) nói chung là một tập con thực sự của P ( f ) ∪ P ( g ) . Chẳng hạn với D :=  ,


f ( z ) :=

1
1
, g ( z ) =: z − ta có P( f ) ≡ P( g ) =
{0} nhưng P( f + g ) = ∅ ≠ P( f ) ∪ P( g )
z
z

1
z

Nếu=
f ( z) : =
, g ( z ) : z thì P ( f ) = {0} , P ( g ) = ∅ và P( f .g ) = ∅ ≠ P ( f ) ∪ P ( g ) .
Cũng như O( D) ,  - đại số M ( D) là đóng đối với phép lấy đạo hàm, chính xác
hơn là:
Cùng với f , đạo hàm f ' của nó là hàm phân hình trong D . Hai hàm này có
cùng tập cực P( f ) = P( f ') ; và nếu q là phần chính của f tại một cực điểm thì q '
cũng là phần chính của f ' tại đó.
O( D) là vành giao hoán các hàm chỉnh hình trong D . Trong vành O( D) các

hàm chỉnh hình trong D phép chia một hàm g chỉ có thể thực hiện được khi g

khác không trong D . Nhưng trong vành M ( D) , chúng ta có thể chia bởi các hàm
có không điểm. Tập không điểm Z ( f ) của một hàm phân hình f ∈ M ( D) được
hiểu là tập không điểm của hàm chỉnh hình f

D\P( f )

đóng tương đối trong D và Z ( f ) ∩ P( f ) =
∅.

∈ O( D \ P( f )) . Khi đó Z ( f )


Định lý 2.2: Các khẳng định sau về hàm phân hình u ∈ M ( D) là tương đương
i) u là một đơn vị trong M ( D) , nghĩa là, uu = 1 với u nào đó thuộc M ( D)
ii) Tập hợp các không điểm Z (u ) là tập rời rạc trong D
Ngoài ra khi i) đúng =
ta có P(u ) Z=
(u ) và Z (u ) P(u )
Chứng minh: i) ⇒ ii) Từ phương trình uu = 1 suy ra rằng với c ∈ D
u (c ) =
0 ⇔ u (c) =
∞ và u (c) =
∞ ⇔ u (c) =
0

nghĩa
là , Z (u ) P=
=
(u ) và P(u ) Z (u ) . Đặc biệt, Z (u ) , là tập cực của một hàm phân
hình, nên là tập rời rạc trong D .

ii) ⇒ i)=
A : Z (u ) ∪ P(u ) là tập rời rạc và đóng tương đối trong D .Trong D \ A
hàm u =

1
chỉnh hình. Mọi điểm thuộc Z (u ) là một cực điểm của u (mệnh đề 1.10)
u

và mọi c ∈ P(u ) là điểm bất thường bỏ được và là không điểm của u vì
lim
z →c

1
= 0 . Điều này có nghĩa u ∈ M ( D) 
u( z)

Trên cơ sở định lý này thương của hai phần tử f , g ∈ M ( D) tồn tại trong vành
M ( D) khi Z ( g ) rời rạc trong D . Đặc biệt

f
∈ M ( D) ∀f , g ∈ O( D) khi Z ( g ) rời
g

rạc trong D .
Một hệ quả quan trọng của định lý này là:
Hệ quả 2.3:  - đại số của các hàm phân hình trong một miền là một trường
Chứng minh: Nếu f ∈ M (G ) không phải là phần tử 0 và G là một miền thì
G \ P ( f ) cũng là một miền và f

G\P( f )

là một hàm chỉnh hình khác 0 thuộc

O(G \ P ( f )) . Khi đó Z ( f ) là tập rời rạc trong G (định lý 1.7) và cho nên theo định

lý 2.2 f là một đơn vị trong M (G ) . Như vậy mỗi phần tử trong M (G ) \ {0} đều là
đơn vị




Trường M () chứa trường ( z ) các hàm hữu tỷ như là một trường con thực sự
vì exp z, cot z ∉ ( z ) .
Ta có thể mở rộng định lý 1.8 qua kết quả sau
Định lý 2.4: Cho g : G → G ' là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G’. Đơn
ánh g * : O(G ') → O(G ) , h  f = g * (h) , tức là h( g ( z )) = f ( z ) với mọi z ∈ G , trong
định lý 1. 8 có thể được mở rộng thành đơn ánh g * : M (G ') → M (G ) từ trường các
hàm phân hình trong G ' đến trường các hàm phân hình trong G . Ngoài ra, với mọi
h ∈ M (G ') ta có P ( g * (h)) = g −1 ( P (h))

Chứng minh: Vì g khác hàm hằng và mỗi tập P(h) với h ∈ M (G ') là tập rời rạc,
đóng tương đối trong G ' , nên tập hợp g −1 ( P(h)) luôn rời rạc và đóng tương đối
trong G. (định lý 1.7). Ta có h  g chỉnh hình trong G \ g −1 ( P(h)) . Hơn nữa vì
lim(h  g )( z ) = lim h( w) = ∞ với mọi c ∈ g −1 ( P(h))
z →c

w→ g ( c )

nên g * (h) := h  g là một hàm phân hình trong G với tập cực là g −1 ( P(h)) . Ánh xạ
g * được định nghĩa như vậy là một đơn ánh từ M (G ') vào M (G ) 

Định lý 2.5 (Định lý đồng nhất cho hàm phân hình): Các phát biểu sau về cặp
hàm phân hình f , g trong miền G là tương đương
i) f = g
g (ω )} có điểm giới hạn trong
ii) Tập hợp {ω ∈ G \ ( P( f ) ∪ P( g )) : f (ω ) =
G \ ( P( f ) ∪ P( g ))

iii) có một điểm c ∈ G \ ( P( f ) ∪ P( g ) ) sao cho f ( n ) (c) = g ( n ) (c) với mọi
n∈

Chứng minh: Nếu G là một miền thì G \ ( P( f ) ∪ P( g )) cũng là một miền. Do
đó các mệnh đề tương đương được suy ra từ định lý 1.2.


Sau đây ta trình bày về cấp của hàm phân hình
Nếu f ≠ 0 là hàm phân hình tại z0 thì f có khai triển duy nhất
=
f ( z)

∞

∑ c (z − z )

n=m

với cn ∈ , m ∈  (cm ≠ 0)

n

0

n

Số nguyên m được xác định duy nhất bởi phương trình này được gọi là cấp của
f tại z0 , ký hiệu oz0 ( f ) . Nếu f chỉnh hình tại z0 thì đây là cấp đã được giới thiệu

ở mục 1.6. Từ định nghĩa này ta có: Với một hàm f phân hình tại z0
1) f chỉnh hình tại z0 ⇔ oz ( f ) ≥ 0
0

2) Trong trường hợp
=
m oz ( f ) < 0 , z0 là một cực điểm của f với cấp −m
0

Như vậy các cực điểm của f là những điểm mà cấp của f tại đó âm.
Các quy tắc tính toán của hàm oz ( f ) : Với mọi hàm f , g phân hình tại z0
0

i) oz (=
f . g ) oz ( f ) + oz ( g )
0

0

0

ii) oz ( f + g ) ≥ min {oz ( f ), oz ( g )} với đẳng thức xảy ra khi oz ( f ) ≠ oz ( g )
0

0

0

0

0

2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình
Nếu G là một miền trong  và f là hàm phân hình trong G và f : G →  ∞ được
xác định bởi f ( z ) = ∞ khi z là cực điểm, f ( z ) = f ( z ) với các z khác thì f là hàm
liên tục. Xét mê-tric trên M(G) như là mê-tric cảm sinh của mê-tric trên C (G,  ∞ )
Mê-tric d trên  ∞ được định nghĩa như sau
d ( z , w) =

và

z−w
1+ z

2

1+ w

2

với z , w∈ 

z−w

=
d ( z , ∞) lim
=
2
2
w →∞
1+ z 1+ w

1
1+ z

2

với z ∈ 

Lưu ý rằng trong  , nếu M ⊂ { z ≤ R} thì
z1 − z2
≤ d ( z1 , z2 ) ≤ z1 − z2 , ∀z1 , z2 ∈ M (2.3.1)
1 + R2


Nhận xét rằng với z1 , z2 ∈  \ {0} ta có
d ( z1 , z2 ) = d (

1 1
, ) (2.3.2)
z1 z2

1
z

và với z ∈  \ {0} có d ( z=
, 0) d ( , ∞) (2.3.3)
Ta ký hiệu B∞ (a, r ) là quả cầu trong  ∞ .
Mệnh đề 2.6
a) Nếu a ∈  và r > 0 thì có số ρ > 0 sao cho B∞ (a, ρ ) ⊂ B(a, r )
b) Ngược lại, nếu ρ > 0 a ∈  thì có r > 0 sao cho B(a, r ) ⊂ B∞ (a, ρ )
c) Với ρ > 0 cho trước có một tập compact K ⊂  sao cho
 ∞ \ K ⊂ B∞ (∞, ρ )

d) Ngược lại, với một tập compact K ⊂  cho trước có một số ρ > 0 sao
cho B∞ (∞, ρ ) ⊂  ∞ \ K
Định lý 2.7: Cho { f n } là dãy trong M(G) và giả sử f n → f trong C (G,  ∞ ) .
Khi đó hoặc f phân hình hoặc f ≡ ∞ . Đặc biệt nếu f n là dãy trong O(G ) thì hoặc f
chỉnh hình hoặc f ≡ ∞
Để chứng minh định lý ta cần chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.8: Nếu  là tập con compact của C (G,  ∞ ) thì  là đồng liên tục tại
mỗi điểm của G. (  ⊂ C (G,  ∞ ) được gọi là đồng liên tục tại điểm a ∈ G nếu và
chỉ nếu với mọi ε > 0 tồn=
tại δ δ (a, ε ) > 0 sao cho với z − a < δ
d ( f ( z ), f (a ) ) < ε với mọi f ∈  )


Chứng minh: Cố định a ∈ G và cho ε > 0 và R > 0 được chọn sao cho
=
K B (a, R ) ⊂ G thì K là tập compact. Do  là tập compact nên từ định lý 1.15 có

hữu hạn hàm f1 ,..., f n trong  sao cho với mỗi f ∈  có ít nhất một f k với
sup d ( f ( z ), f k ( z )) <
z∈K

ε
3

(2.3.4)

Nhưng vì f k liên tục nên có 0 < δ < R sao cho z − a < δ dẫn đến
d ( f k ( z ), f k (a )) <

ε
3

với 1 ≤ k ≤ n . Do đó nếu z − a < δ , f ∈  và k được chọn sao cho (2.3.4) đúng thì
d ( f ( z ), f (a )) ≤ d ( f ( z ), f k ( z )) + d ( f k ( z ), f k (a )) + d ( f k (a ), f (a )) <

ε
3

+

ε
3

+

ε
3

ε.
=

Chứng minh định lý 2.7 : Giả sử có một a ∈ G với f (a) ≠ ∞ và đặt M = f (a) .
Sử dụng mệnh đề 2.6a có thể tìm một số ρ > 0 sao cho B∞ ( f (a), ρ ) ⊂ B( f (a), M ) .
Nhưng vì f n → f nên có n0 sao cho d ( f n (a), f (a)) <

{ f , f1 , f 2 ,...} là tập compact trong

ρ
2

với n ≥ n0 . Đồng thời

C (G,  ∞ ) nên theo bổ đề 2.8 nó đồng liên tục tại

mỗi điểm của G. Nghĩa là có r > 0 sao cho z − a < r dẫn đến d ( f n ( z ), f n (a)) <

ρ
2

.

Suy ra d ( f n ( z ), f (a)) ≤ ρ với z − a ≤ r và n ≥ n0 . Nhưng với sự chọn lựa của ρ ta
có f n ( z ) ≤ f n ( z ) − f (a) + f (a) ≤ 2M với mọi z ∈ B(a, r ) và n ≥ n0 . Khi đó sử dụng
(2.3.1) ta có
fn ( z) − f ( z)
≤ d ( f n ( z ), f ( z ))
1 + 4M 2

với mọi z ∈ B(a, r ) và n ≥ n0 . Vì d ( f n ( z ), f ( z )) → 0 đều với z ∈ B(a, r ) dẫn đến
f n ( z ) − f ( z ) → 0 đều với z ∈ B(a, r ) . Vì phần cuối của dãy

{ f n } bị chặn trên


B(a,r) nên f n không có cực điểm và chỉnh hình gần z = a với n ≥ n0 . Suy ra f
chỉnh hình trên một đĩa tâm a.
Bây giờ giả sử có một điểm a ∈ G với f (a) = ∞ . Với hàm g ∈ C (G,  ∞ ) ta định
nghĩa

1
1
1
1
1
bởi ( z ) =
nếu g ( z ) ≠ 0 , g ( z ) ≠ ∞ , ( z ) = 0 nếu g ( z ) = ∞ , ( z ) = ∞
g
g
g ( z)
g
g

nếu g ( z ) = 0 . Điều này dẫn đến
(2.3.2), (2.3.3)

1
∈ C (G,  ∞ ) . Vì f n → f trong C (G,  ∞ ) nên theo
g

1

1
1
phân hình trong G nên có r > 0
→ trong C (G,  ∞ ) . Vì mỗi
fn
fn
f

và một n0 sao cho

1
1
1
1
,
chỉnh hình trên B(a, r ) với n ≥ n0 và
đều với
→
fn
fn
f
f

mọi z ∈ B(a, r ) . Từ định lý Hurwitz 1.5 ta có hoặc

1
1
có các không
≡ 0 hoặc
f

f

điểm cô lập trong B(a, r ) . Do đó nếu f không đồng nhất bằng ∞ thì

1
không
f

đồng nhất bằng 0 , suy ra f là hàm phân hình trong B(a,r). Kết hợp với phần đầu
của chứng minh ta có f là hàm phân hình trong G nếu f không đồng nhất bằng
∞.

Nếu f n ∈ O(G ) thì
1.5 hoặc

1
không có không điểm trong B(a,r). Theo định lý Hurwitz
fn

1
1
1
không bao giờ triệt tiêu. Nhưng vì f (a) = ∞ nên
có ít
≡ 0 hoặc
f
f
f

nhất một không điểm. Do đó f ≡ ∞ trên B(a,r). Kết hợp với phần đầu của chứng

minh ta có hoặc f chỉnh hình hoặc f ≡ ∞ 
Hệ quả 2.9: M (G ) ∪ {∞} là không gian mê tric đủ
Hệ quả 2.10: O(G ) ∪ {∞} là không gian con đóng của C (G,  ∞ )


2.4 Biểu diễn hàm phân hình
Định lý 2.11: Cho G là một miền trong  và { f n } là dãy hàm thuộc O(G ) sao cho
không có hàm f n nào là hàm hằng 0. Nếu

∞

∑[ f
n =1

n

( z ) − 1] hội tụ tuyệt đối và đều trên các

∞

tập compact trong G thì ∏ f n ( z ) hội tụ trong G về f(z). Nếu a là một không điểm của
n =1

f thì a là một không điểm của chỉ một số hữu hạn các hàm f n và bội của các không

điểm của f là tổng các bội của các không điểm của f n tại a.
Định nghĩa 2.12: Một nhân tử sơ cấp là một trong các hàm E p ( z ) với p = 0,1, 2,...
E ( z ) = 1 − z
E p ( z )= (1 − z )e

z+

z2
zp
+...+
2
p

,

p ≥1

z
Hàm E p   có một không điểm đơn tại a và không có không điểm khác. Đồng thời
a
 a −b 
nếu b là một điểm trong  \ G thì E p 
 có một không điểm tại z = a và chỉnh
 z −b 
hình trong G .

Bổ đề 2.13: Nếu z ≤ 1 và p ≥ 0 thì 1 − E p ( z ) ≤ z

p +1

Định lý 2.14: Cho G là một miền, {a j } là một dãy các điểm phân biệt trong G mà
không có điểm giới hạn trong G và giả sử {m j } là một dãy các số nguyên. Khi đó có
một hàm chỉnh hình f xác định trên G mà các không điểm của nó chỉ là các điểm a j
với bội m j
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh cho trường hợp đặc biệt là có một R > 0 sao

cho

{ z : z > R} ⊂ G và

a j ≤ R ∀j ≥ 1

(2.4.1)


Xét dãy { zn } bao gồm các điểm {a j } nhưng sao cho mỗi a j được lặp lại phụ thuộc
vào số bội m j . Khi đó với mỗi n ≥ 1 có một điểm wn trong  \ G sao cho

wn − zn =
d ( zn ,  \ G )
Trường hợp {a j } có hữu hạn phần tử thì định lý được chứng minh dễ dàng nên ta
chỉ xét {a j } có vô hạn phần tử. Lưu ý rằng giả thiết 2.4.1 loại bỏ trường hợp G =  . Vì
a j ≤ R ∀j và {a j } không có điểm giới hạn trong G dẫn đến  \ G khác rỗng và là tập

0
compact đồng thời lim zn − wn =
n →∞

 z − wn 
Xét các hàm En  n
 . Mỗi hàm này đều có không điểm đơn tại z = zn . Ta cần
 z − wn 
chỉ ra rằng tích vô hạn các hàm này hội tụ trong O(G ) . Để làm điều này ta lấy K là tập
con compact của G sao cho d ( \ G, K ) > 0 .
Với mỗi z ∈ K có:
z − wn

zn − wn
≤
≤ zn − wn d ( \ G, K )
z − wn
d ( wn , K )
Điều này dẫn đến rằng với mọi δ , 0 < δ < 1 có một số nguyên N sao cho

zn − wn
<δ
z − wn

với mọi z ∈ K và n ≥ N

Theo bổ đề 2.13 có
 z − wn 
n +1
∀z ∈ K và n ≥ N
En  n
 −1 < δ
 z − wn 
∞

Suy ra



∑ E
n =1

Theo định lý 2.11



n

(2.4.2)

 zn − wn  

 − 1 hội tụ tuyệt đối và đều trên K
 z − wn  
∞
 z − wn 
f ( z ) = ∏ En  n

n =1
 z − wn 

hội tụ trong O(G ) , do đó f là một hàm chỉnh hình trong G . Đồng thời cũng theo định
lý 2.11 f chỉ nhận các điểm z = a j là không điểm cấp m j .


Ta chứng minh lim f ( z ) = 1 . Lấy ε > 0 là số tùy ý và R1 > R . Nếu z > R1 , vì do
z →∞

zn ≤ R và wn ∈  \ G ⊂ B(0, R)
Ta có

zn − wn
2R

≤
z − wn
R1 − R
cho nên nếu chọn R1 > R sao cho 2 R < δ ( R1 − R) với δ nào đó thỏa 0 < δ < 1 thì (2.4.2)

 z − wn 
thỏa với z ≥ R1 và ∀n ≥ 1 . Đặc biệt, Re En  n
 > 0 với mọi n và z ≥ R1
 z − wn 
Do đó đẳng thức sau có nghĩa
=
f ( z) −1 e

 ∞
z −w 
 L og En ( n n ) 

z − wn 
 n=1

∑

−1

(2.4.3)

z n =z −

z2
+ ...

2

Xét khai triển chuỗi của Log (1 + z ) tại 0
∞

( −1)

1

n

Log (1 + z ) =∑

n −1

có bán kính hội tụ bằng 1
Log (1 + z )
z z2
1
1 z
2
1−
= − + ... ≤
z + z + ... =
Ta có
2 3
2
2 1− z
z

(

Nếu xét z <

)

1
Log (1 + z ) 1
thì 1 −
≤ , do đó
2
2
z
1
3
z ≤ Log (1 + z ) ≤ z (2.4.4)
2
2

Từ (2.4.2) và (2.4.4) có
 zn − wn  ∞ 3
 zn − wn 
 zn − wn  ∞
LogE
LogE
≤
 ≤ ∑ En 
 −1
 ∑
∑

n
n
=
n 1=
 z−w  n 1=
 z − wn  n 1 2
 z − wn 
∞

∞
3
3 δ2
≤ ∑ δ n +1 = với z ≥ R1
2 1− δ
n =1 2


Nếu ta hạn chế δ để e w − 1 < ε khi w <

3 δ2
thì (2.4.3) cho f ( z ) − 1 < ε khi
2 1− δ

z ≥ R1 . Vậy lim f ( z ) = 1
z →∞

Bây giờ cho G1 là một tập mở tùy ý trong  với {α j } là một dãy điểm phân biệt
trong G1 mà không có điểm giới hạn và cho {m j } là một dãy các số nguyên. Khi đó nếu
B (a, r ) là một đĩa trong G1 sao cho α j ∈ B(a, r ) ∀j ≥ 1 , ta xét phép biến đổi phân tuyến

tính T ( z ) =

1
1
(α j )
=
a j T=
. Đặt G = T (G1 ) thì G thỏa điều kiện 2.4.1 với
αj −a
z−a

Theo chứng minh trên có hàm f trong O(G ) với không điểm tại mỗi a j với bội m j và
không có không điểm nào khác sao cho lim f ( z ) = 1 . Khi đó g ( z ) = f (T ( z )) là hàm
z →∞

chỉnh hình trên G \ {a} với a là điểm bất thường bỏ được. Hơn nữa g có các không
điểm tại α j với bội m j . 
Một trong các kết quả thú vị suy ra từ kết quả trên là
Hệ quả 2.15: Nếu f là hàm phân hình trong miền G thì có các hàm g và h chỉnh hình
trong G sao cho f =

g
h

Chứng minh: Cho

{a } là một dãy các cực điểm của f
j

và giả sử {m j } là cấp của

cực điểm tại a j . Khi đó theo định lý 2.14 có một hàm chỉnh hình h chỉ nhận a j là các
không điểm bội m j . Như vậy hf có các điểm bất thường bỏ được tại mỗi a j . Suy ra
g = hf là hàm chỉnh hình trong G 

Định lý 2.16: Để hàm f hữu tỉ trên  , cần và đủ là f là hàm phân hình trên 
và tồn tại lim f ( z ) ∈  ∞ .
z →∞

Chứng minh:


(Theo nguyên lý không điểm cô lập suy ra rằng tập P( f ) các điểm cực của f gồm
những điểm cô lập. Do tính chất compact nên mỗi hình tròn đóng B(0, n) chỉ chứa
hữu hạn phần tử của P( f ) .)

( ⇒ ) Nếu f là hàm hữu tỉ thì
a0 z m + a1 z m −1 +  + am
, a0 ≠ 0, b0 ≠ 0.
=
f ( z)
b0 z n + b1 z n −1 +  + bn

Khi đó rõ ràng f là phân hình và tồn tại lim f ( z ) .
z →∞

( ⇐ ) Ta đi xét các trường hợp:
Trường hợp 1: lim f ( z ) hữu hạn, khác 0. Khi đó tồn tại số n0 để P( f ) ⊂ B(0, n0 )
z →∞

(bởi vì nếu trái lại thì với mọi n tồn tại sn ∈ P( f ) để sn > n , do sn là cực điểm nên
tồn tại zn ∈ B( sn ,1) để f ( zn ) > n , khi đó zn → ∞, f ( zn ) → ∞ ta gặp mâu thuẫn). Vì
trong B(0, n0 ) chỉ có hữu hạn điểm cực của f nên
P( f ) = { z1 , z2 , , zm } .

Bây giờ giả sử f phân hình trên  chỉ có một số hữu hạn các cực điểm z1 , z2 , , zm
với bậc p1 , p2 , , pm . Khi đó hàm
m

=
g ( z ) f ( z )∏ ( z − z j )

pj

j =1

chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, tức là một hàm nguyên.
Bởi vì lim f ( z ) ≠ 0 nên lim g ( z ) =
∞. Do đó theo định lý 1.11, g là một đa thức. Từ
z →∞

z →∞

đó
f ( z) =

g ( z)
m

∏ (z − z )

pj

j

j =1

là một hàm hữu tỉ. ( f là hàm phân hình và lim f ( z ) ≠ 0 thì f là một hàm hữu tỉ).
z →∞


Trường hợp 2: lim f ( z ) = 0 , ta xét ϕ=
( z ) f ( z ) + 1 . Vì ϕ là hàm phân hình và
z →∞

lim ϕ ( z ) = 1 nên ϕ là hàm hữu tỉ, và do đó f=
( z ) ϕ ( z ) − 1 là hàm hữu tỉ.
z →∞

Trường hợp 3: lim f ( z ) = ∞ , ta xét ϕ ( z ) =
z →∞

lim ϕ ( z ) = 0 nên ϕ là hàm hữu tỉ. Từ đó f =
z →∞

1

ϕ

1

.Vì ϕ là hàm phân hình và
f ( z)

là hàm hữu tỉ.


Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH

Năm 1847 nhà toán học Gotthold Eisenstein đã giới thiệu định lý về chuỗi
hàm lượng giác
∞

1

∑ ( z + v)

v = −∞

k

,

k = 1, 2,

mà ngày hôm nay được mang tên của ông ấy . Chuỗi Eisenstein là một ví dụ đơn
giản về chuỗi hội tụ chuẩn tắc của hàm phân hình trong  . Trong mục 3.1 chúng
ta sẽ tìm hiểu các khái niệm tổng quát của chuỗi hội tụ compact và chuẩn tắc của
các hàm phân hình. Trong mục 3.2 chúng ta sẽ tìm hiểu về sự phân tích của hàm

1

z

∞

+∑
π cot π z =
1

2z
1 ∞  1
1 
=
+ ∑
+

2
2
z −v
z 1  z +v z −v 

thành phân thức từng phần. Nó là một trong những khai triển chuỗi hiệu quả nhất
trong phân tích cổ điển. Trong mục 3.3 bằng cách so sánh các hệ số từ chuỗi
Taylor của

∞

∑z
1

2

2z
1
và π cot π z − tại 0 chúng ta khẳng định đồng nhất thức
2
z
−v

Euler nổi tiếng
1
n −1 ( 2π )
1, 2,
B2 n , n =
( −1)
∑1 v 2n =
2 ( 2n ) !
∞

2n

Trong mục 3.4 chúng ta phác họa sự tiếp cận của Eisenstein về hàm lượng giác.