Đề thi cuối kì vi tích phân a1 2011 2012 đại học cần thơ

1
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Ngày thi: 29/11/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 1

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2 )
ex − e−x − 2x
.
x→0
x3

Câu 1. Tính giới hạn sau: lim

Câu 2. Một trang chữ của một quyển sách giáo khoa có diện tích 384cm2 , lề trên và lề dưới 3
cm, lề phải và lề trái là 2 cm. Tính kích thước của trang giấy sao cho diện tích của nó là
nhỏ nhất.
Câu 3. Thể tích của hình trụ tròn xoay đang là 60cm3 và đang tăng với tốc độ 2 cm3 /phút tại
thời điểm bán kính đáy đang là 5 cm và đang tăng với 1 cm/phút. Tìm tốc độ biến thiên
của chiều cao hình trụ tại thời điểm đó.
Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 và đường thẳng y = x + 2.
√
1
Câu 5. Tính độ dài cung y = (3 − x) x với 0 ≤ x ≤ 3.

3
∞

Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
n=1
∞

Câu 7. Tính tổng chuỗi lũy thừa:
n=0

1
n2

x−1
x+1

n

x2n
trong khoảng hội tụ (−1; 1) của chuỗi.
n+1
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

Thang điểm: 1,00 điểm/câu.
Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011. Điểm chữ được
nhập vào tài khoản sinh viên và được dán ở VP. BM. Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011. Phúc
khảo bài thi: từ 08 giờ đến 11 giờ ngày 06.12.2011 tại VP. BM. Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.

1

2


2
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Ngày thi: 29/11/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 1

ĐÁP ÁN
Câu 1. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có:
ex − e−x − 2x
ex + e−x − 2
=
lim
2
x→0
x→0
x3
3x−x
x
e −e

= lim
x→0
6x
1
ex + e−x
= .
= lim
x→0
6
3
lim

Câu 2.

• Gọi x, y (x, y > 0) là kích thước của trang chữ sách giáo khoa. Suy ra, kích thước
trang giấy là x + 6 và y + 4.
384
Diện tích trang chữ xy = 384 =⇒ y =
.
x
2304
• Diện tích trang giấy (x + 6)(y + 4) = 4x +
+ 408.
x
2304
+ 408. Ta tìm x để S(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
• Đặt S(x) = 4x +
x
2304
S (x) = 4 − 2 . S (x) = 0 ⇐⇒ x = 24 =⇒ y = 16.

x
1
4608
S (x) = 3 =⇒ S (24) = > 0
x
3
Suy ra, S(x) đạt cực tiểu và cũng là giá trị nhỏ nhất tại x = 24.
• Kích thước trang sách là 30cm × 20cm thì diện tích của nó đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3. Gọi r(t), h(t) và V (t) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và thể tích hình trụ tại thời
điểm t.
• Ta có, V (t) = πr 2 (t).h(t) =⇒ h(t) =

V (t)
πr 2 (t)

(1).

• Tại thời điểm t0 ta có: V (t0 ) = 60, V (t0 ) = 2, r(t0 ) = 5 và r (t0 ) = 1. Ta cần tính
h (t0 ).
V (t).r(t) − 2r (t).V (t)
22
.
Suy
ra:
h
(t
)
=
−

.
0
πr 3 (t)
25π
22
(cm/phút).
• Vậy chiều cao của hình trụ đang giảm với tốc độ
25π

• Từ (1) ta có: h (t) =

Câu 4.

• Hoành độ giao điểm: x2 = x + 2 ⇐⇒ x = −1; x = 2.
• Diện tích:

2

(x + 2 − x2 )dx =

S=
−1

9
đvdt.
2


3
Câu 5.

√
1 √
1
• y = (3 x − x x) =⇒ y =
3
2
• 1+y2 =

√
1
√ + x
x

1
2

2

√
1
√ − x .
x

.

• Độ dài cung:
3

l=

• Đặt t =

√
√
1
√ + x dx = 2 3 đvcd.
x

0

0

Câu 6.

3

1
1 + y 2 dx =
2

x−1
với t = 1 ta có chuỗi
x+1

∞

n=1

1 n

t
n2

(2).

1
an+1
=⇒
l
=
lim
= 1.
n→∞ an
n2
Suy ra, bán kính hội tụ của chuỗi (2) là r = 1 và khoảng hội tụ (−1; 1).
∞
(−1)n
là chuỗi hội tụ.
Khi t = −1 ta có chuỗi
n2
n=1

Ta tìm miền hội tụ của chuỗi (2). Ta có an =

Do đó, miền hội tụ của chuỗi (2) là [−1; 1).
• Ta có, −1 ≤ t < 1 ⇐⇒ x ≥ 0. Suy ra, miền hội tụ của chuỗi đã cho là [0; ∞).
∞

Câu 7.

• Với x ∈ (−1; 1) đặt S(x) =
∞

và H(t) =
n=0

n=0

x2n
.
n+1

tn
với t = x2 và t ∈ [0; 1).
n+1
∞

H1 (t) = t.H(t) =
• Ta có, H1 (t) =

n=0
∞
n

tn+1
n+1

t =

n=0

1
.
1−t

u

• H1 (t) =

H1 (u)du = − ln(1 − t) + H1 (0).
0

Vì H1 (0) = 0 nên H1 (t) = − ln(1 − t).
ln(1 − t)
−
khi t = 0
• Vì H(0) = 1 nên H(t) =
t
1
khi t = 0

 ln(1 − x2 )
−
khi x = 0
2
• Kết luận, S(x) = H(x2 ) =
x
 1
khi x = 0

4
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Ngày thi: 29/11/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 2

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu3 được in trên 01 trang4 )
Câu 1. Tính giới hạn: lim cot x −
x→0

1
.
x

Câu 2. Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc độ là 0, 01
cm/phút. Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là
50 cm. Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 52 cm.
Câu 3. Cho hàm số y =

3 − 2x2
. Tính y (n) .
2x2 + 3x − 2

+∞

Câu 4. Tính tích phân suy rộng I =

2

xe−x dx.
0

Câu 5. Tính thể√tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường
x
y = e− 2 . sin x, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π quanh trục Ox.
∞

Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
n=1
∞

Câu 7. Tính tổng của chuỗi
n=1

2n
xn+1 .
n(n + 1)

n n
x trong khoảng hội tụ (−2; 2) của chuỗi.
2n
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

Thang điểm: 1,00 điểm/câu.
Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011. Điểm chữ được
nhập vào tài khoản sinh viên và được dán ở VP. BM. Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011. Phúc
khảo bài thi: từ 08 giờ đến 11 giờ ngày 06.12.2011 tại VP. BM. Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
3

4


5
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Ngày thi: 29/11/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 2

ĐÁP ÁN
Câu 1. Áp dung nguyên lý thay vô cùng bé tương đương và quy tắc L’Hospital ta có:
lim cot x −

x→0

Câu 2.

1
x

x cos x − sin x
x→0
x2
cos x − x sin x − cos x
= lim
x→0
2x
1
= − lim sin x = 0
2 x→0
= lim

• Gọi r(t) và S(t) lần lượt là bán kính và diện tích bản kim loại.
Ta có: S(t) = πr 2 (t) (1).
Tại t0 ta có: r(t0 ) = 50 và r (t0 ) = 0, 01. Ta tính S (t0 ).
Từ (1) ta có: S (t) = 2πr(t).r (t) suy ra: S (t0 ) = π.
Vậy diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ πcm2 phút.
• Gọi ∆t là khoảng thời gian để bán kính bản kim loại tăng lên đến 52 cm. Khi đó:
S(t0 + ∆t) = π522 . Ta có:
∆t =

S(t0 + ∆t) − S(t0 )
= 204phút
S (t0 )

Vậy cần 204 phút để bán kính bản kim loại tăng lên đến 52 cm.
Câu 3.

• Ta có

1
1
3 − 2x2
= −1 +
+
.
2
2x + 3x − 2
x + 2 2x − 1

1
• Vì
x+2
• Suy ra:

(n)

n!
= (−1)
và
(x + 2)n+1
n

y (n) = (−1)n n!

1
2x − 1

(n)

= (−1)n 2n

1
1
n
+
2
(x + 2)n+1
(2x − 1)n+1

Câu 4. Ta có,
+∞

b
−x2

xe

dx =

2

xe−x dx

lim

b→+∞
0

0

−b2

=

n!
(2x − 1)n+1

1
lim
2 b→+∞

e−t dx
0

1
−b2
= − lim e−t 0
2 b→+∞
1
1
2
= − lim e−b − 1 =
2 b→+∞
2

6
π

Câu 5.

• Thể tích vật thể: V = π

e−x sin xdx.
0

π

e−x sin xdx. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:

• Đặt I =
0

π

π

e−x d(− cos x) = − e−x . cosx

I =
0

0

e−x d sin x = e−π + 1 − e−x sin x

Do đó, 2I = e−π + 1 =⇒ I =
• Vậy V =
Câu 6.

e−x cos xdx

−
0

π

= e−π + 1 −

π
0

π −π
e + 1 (đvtt).
2

π
0

+ I = e−π + 1 − I

1 −π
e +1 .
2

2n+1
2n
, an+1 =
.
n(n + 1)
(nn + 1)(n + 2)
an+1
Suy ra, l = lim
= 2.
n→∞
an
1
Bán kính hội tụ của chuỗi: r = và khoảng hội tụ
2

• Ta có an =

1
1
• Khi x = ta có chuỗi
2
2
Vì

∞

1
1
< 2 và

n(n + 1)
n

n=1

∞

n=1

1
n(n + 1)

1 1
.
− ;
2 2

(1)

1
hội tụ nên chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
n2
∞

1
(−1)n
1
ta có chuỗi −
(2)
2

2 n=1 n(n + 1)
(−1)n
1
Vì
=
và chuỗi (1) hội tụ nên chuỗi (2)hội tụ.
n(n + 1)
n(n + 1)
1 1
• Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: − ;
2 2

• Khi x = −

∞

Câu 7.

• Với x ∈ (−2; 2) đặt S(x) =
x

• Ta có

∞

S1 (t)dt =
0

n=1

n=1

1 n
x =
2n

n n
x và S1 (x) =
2n
∞

n=1

x
2

n

=

x

d
• Suy ra: S1 (x) =
dx

S1 (t)dt =
0

2x

• Vậy S(x) =
(x − 2)2

2
.
(x − 2)2

∞

n=1

x 1
.
2 1−

x
2

n n−1
x
Suy ra: S(x) = x.S1 (x).
2n
=

x
.
2−x