Đề thi giải tích 1 2007 2008 đại học cần thơ

Đáp án môn Giải Tích 1 – TTK (TN050)
Ngày thi 20/12/2007
Câu 1. Chứng minh rằng:

( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B

Giải.
Cách 1:
Ta có
x ∈ A ∩ B
x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) ⇔  x ∈ A ∩ CB
 x ∈ CA ∩ B
 x ∈ A
 x ∈ A

 x ∈ A

 x ∈ B
x
∈
B
x
∈
A





 x ∈ A
x ∈ A

 x ∈ CA



⇔ 
⇔    x ∈ CB ⇔   x ∈ CA ⇔ 
⇔
⇔ x∈ A∪ B

  x ∈ CB

x ∈ A
x ∈ B


  x ∈ CA
 x ∈ B

  x ∈ B
x
∈
CA





x∈B




  x ∈ B
Vậy ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B (đpcm)
Cách 2.
Ta có, ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) = A ∩ ( B ∪ CB ) = A
Do đó,
( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B )
= A ∪ ( CA ∩ B )

= ( A ∪ CA ) ∩ ( A ∪ B )
= A∪ B
Vậy ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B (đpcm).
Câu 2. Chỉ ra điều kiện cần và đủ để hàm số sau đây có đạo hàm tại x = x0 .
x ≥ x0
ax + b
f ( x) = 
x < x0
cx + d
Giải.
Cách 1:
a( x0 + ∆x ) + b − ( ax0 + b )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
a∆x
Ta có, lim+
= lim+
= lim+
=a
∆x → 0
∆x → 0
∆x → 0 ∆x

∆x
∆x
'
Do đó, f + ( x0 ) = a
Suy ra, điều kiện cần và đủ để hàm số f ( x) có đạo hàm tại x = x0 là:

Trang 4


Đáp án môn Giải Tích 1 – TTK (TN050)
Ngày thi 20/12/2007
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆x
c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b )
⇔ a = lim−
∆x → 0
∆x
c∆x + ( cx0 − ax0 + d − b )
⇔ a = lim−
∆x → 0
∆x
 ( c − a ) x0 + d − b 
⇔ a = lim− c −

∆x → 0
∆x


f +' ( x0 ) = lim−
∆x → 0

Nếu ( c − a ) x0 + d − b ≠ 0 thì lim−
∆x → 0

( c − a ) x0 + d − b = ∞
∆x

(1)
suy ra a vô hạn vô lý.

(2) .
Vậy ( c − a ) x0 + d − b = 0
Khi đó, a = c . Từ (2) ta có b = d .
ax + b x ≥ x0
a = c
Vậy điều kiện cần và đủ để f ( x) = 
có đạo hàm tại x = x0 là 
b = d
cx + d x < x0
Cách 2:
♦ Điều kiện cần: f ( x) liên tục tại x = x0
Khi đó,
lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0 )
x → x0

x → x0

⇔ lim+ ( ax + b ) = lim− ( cx + d ) = ax0 + b
x → x0

x → x0

⇔ cx0 + d = ax0 + b
(1)
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
= lim−
♦ Điều kiện đủ: lim+
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
Điều này tương đương với điều kiện sau:
a ( x0 + ∆x) + b − ( ax0 + b )
c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b )
lim+
= lim−
∆x → 0
∆x →0
∆x
∆x
c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b )
⇔ a = lim−
∆x → 0
∆x
 ( c − a ) x0 + d − b 
⇔ a = lim− c −

∆x → 0
∆x



⇔a=c
do (1)
a
=
c
Thay
vào (1) ta được b = d
ax + b x ≥ x0
a = c
Vậy điều kiện cần và đủ để f ( x) = 
có đạo hàm tại x = x0 là 
b = d
cx + d x < x0

Trang 4


Đáp án môn Giải Tích 1 – TTK (TN050)
Ngày thi 20/12/2007
Câu 3. Hai chiếc xe X 1 , X 2 Cùng xuất phát tại một điểm G. Chiếc xe X 1 chạy về hướng nam,
còn chiếc xe X 2 thì chạy theo hướng đông. Khoảng cách giữa hai xe tăng theo tốc độ nào tại
thời điểm xe X 1 cách điểm G một khoảng là 10km và đang chạy với tốc độ 60km / h ; còn xe
X 2 cách G một khoảng 5km và đang chạy với tốc độ 25km / h
Giải.
Gọi s1 (t ) , s2 (t ) lần lượt là khoảng cách giữa xe X 1 , X 2 với G tại thời điểm t.
Do X 1 chạy về hướng nam, xe X 2 thì chạy theo hướng đông nên tam giác GX 1 X 2
vuông tại G. Suy ra, khoảng cách giữa X 1 , X 2 tại t là:
d (t ) =

[ s1 (t )] + [ s2 (t )]
2

2

Tốc độ biến thiên khoảng cách giữa X 1 , X 2 là:
d '(t ) =

s1, (t ) s1 (t ) + s2, (t ) s2 (t )

[ s1 (t )] + [ s2 (t )]
2

2

 s1 (t0 ) = 10  s2 (t0 ) = 5
Giả sử t0 là thời điểm đang xét. Ta có,  ,
, ,
 s1 (t0 ) = 60  s2 (t0 ) = 25
s1, (t0 ) s1 (t0 ) + s2, (t0 ) s2 (t0 ) 60.10 + 25.5
d
'(
t
)
=
=
= 29 5
0
Suy ra,

2
2
2
2
10
+
5
[ s1 (t0 )] + [ s2 (t0 )]
Vậy tại thời điểm t0 khoảng cách giữa hai xe X 1 , X 2 đang tăng với tốc độ 29 5km / h .
Câu 4. Một trạm bưu điện chỉ nhận những gói hàng dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình
vuông, tổng của chiều cao và chu vi đáy không vượt quá 120cm . Hãy cho biết gói hàng như vậy
được gởi với thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
Giải.
Gọi x , y lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của các gói hàng.
Theo đề bài ta có, 4 x + y ≤ 120 ⇒ y ≤ 120 − 4 x, 0 < x < 30
2
Thể tích của gói hàng là V = x 2 y ⇒ V ≤ x ( 120 − 4 x )
2
Xét hàm số, f ( x) = x ( 120 − 4 x ) , x ∈ ( 0;30 )

Ta có, f ( x) liên tục và có đạo hàm trên ( 0;30 )
Và

f '( x ) = 2 x ( 120 − 4 x ) − 4 x 2 = 2 x ( 120 − 6 x )

x = 0
f '( x ) = 0 ⇔ 
. Ta loại giá trị x = 0
 x = 20
f ( x) = lim− f ( x) = 0 và f (20) = 16000 > 0 nên f ( x) đạt giá trị lớn nhất trên

Vì xlim
→0+
x →30

( 0;30 )

và giá trị này đạt tại điểm dừng x = 20 . tức là f max = f (20) = 16000

Vì V ≤ f ( x), x ∈ ( 0;30 ) nên V ≤ f (20) = 16000, x ∈ ( 0;30 ) và dấu bằng đạt được khi
x = 20 , y = 40 .
Vậy kích thước gói hàng 20cm , 20cm , 40cm thì thể tích của nó lớn nhất.

Trang 4


Đáp án môn Giải Tích 1 – TTK (TN050)
Ngày thi 20/12/2007
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi:
1
y=
, y = 0, 0 ≤ x < +∞ .
2
( x + 1)
a) Tính diện tích của miền D.
b) Tính thể tích của vật thể được tạo nên khi quay miền D quanh trục Ox .
Giải.
a) Diện tích miền D được tính theo công thức:
+∞
b
1

1
1
1 

S= ∫
dx
=
lim
dx = − lim
= lim 1 −
÷ = 1 (đvdt)
2
2
∫
b →+∞
b →+∞ 1 + x
b →+∞
1
+
b


x
+
1
x
+
1
(
)

(
)
0
0
b) Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh trục Ox là
+∞
b

1
1
π
1  π
V =π ∫
dx
=
π
lim
dx = lim 1 −
÷ = (đvtt)
4
4
3
∫
b →+∞
b →+∞ 
÷ 3
3
x
+
1

x
+
1
1
+
b
(
)
(
)
(
)
0
0



Trang 4