Ngân hàng đề thi Giải tích 1.pdf

1
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc


NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: GIẢI TÍCH 1

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc
Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU
( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)


A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I)

1. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị hàm số
( ) 2
x
f x
x
 
.
2. Tính đạo hàm của hàm số
3

(sin )( ln )y x x x x  
.
3. Tính đạo hàm của hàm số
3 2
sin( )y x x 
.
4. Tính đạo hàm của hàm số
2
ln
2
x
y
x
 

 
 

 
.
5. Tính đạo hàm của hàm số
 
sin ln(cos )y x
.
6. Tính đạo hàm của hàm số
 
sin
ln
x
y e x 

.

7. Tính đạo hàm của hàm số


2
ln 1y x x   .

8. Tính đạo hàm của hàm số
 
2
arctg
x
y x e 
.

9. Cho hàm số
( ) 2 1y f x x  
, tính đạo hàm
'(5)f
.
10. Tính tích phân sau
cotg
sin
x
I dx
x


.

11. Tính tích phân sau
2
1 sin 2
sin
x
I dx
x



.
2
12. Tính tích phân sau
tg
cos
x
I dx
x


.
13. Tính tích phân sau
3
0
arctgI x xdx

.
14. Tính tích phân sau
2
16

x
x
e
I dx
e



.
15. Tính tích phân sau
ln 2
0
1
x
I e dx 

.
16. Tính tích phân sau
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x



.
17. Tính tích phân sau

arctg
2
1
1
x
e
I dx
x




.
18. Tính tích phân sau
2
x
I xe dx



.
19. Tính
2
1
cos sin
t
d x x
dx
dt
x



20. Tính tích phân sau
2
ln
e
e
dx
x x



B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II)

1. Tìm giới hạn
2
lim( 2)cotg3( 2)
x
L x x

  
.
2. Tìm giới hạn
2
1
ln
lim
2
x
x

L
x x


 
.
3. Tìm giới hạn
 
tg
0
lim 1 cos
x
x
L x

 
.
4. Tìm giới hạn
 
1
2
0
lim
x
x
x
L x e

 
.

5. Tìm giới hạn
4
0
1 1
lim
4
1
x
x
L
x
e

 
 
 

 
.
3
6. Tìm giới hạn
3
0
lim
sin
x
x
L
x x





7. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
sin 3 3
x
L
x x

 
 
 
 

8. Tìm giới hạn sau
2
4
3 2
0
211
lim
xx
xx
x




.
9. Tìm giới hạn sau
1
sin 2
0
lim( cos )
x
x
x x


.
10. Tìm giới hạn sau
x
xx
x
2
3
0
sin
coscos
lim


.
11. Cho hàm số
ln( 1) ln(1 )
khi 1, 0
( )
khi 0

x x
x x
f x
x
a x
  

 







Tìm hằng số
a
để hàm số liên tục tại
0x 
.
12. Cho hàm số
khi 0
( )
khi 0
ax bx
e e
x
f x
x
c x



 






Tìm hằng số c để hàm số liên tục tại x = 0 .
13. Cho hàm số
2
1
sin khi 0
( )
0 khi 0
x x
f x
x
x








. Hàm số có khả vi tại
0x 

không? Nếu khả vi hãy
tìm
'(0)f
.
14. Một tấm bìa hình vuông có chiều dài mỗi cạnh 12cm. Cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau
để dựng thành hình hộp như hình vẽ sau. Tình thể tích lớn nhất của hình hộp.




15. Cho hàm số
2
1
1
x
y


, hãy tính
(2004)
(0)y
.
16. Tính vi phân hàm số
x
x
y
ln


17. Chứng minh

1
x
e x 
,
0x


4
18. Chứng minh
2
1
2
x
x
e x  
,
0x

19. Tính vi phân hàm số
1
ln
2
x a
y
a x a




20. Tính

( )
( )
n
y x
, biết
2
siny x



C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III)

1. Cho hàm số
2
2
1
x
y
x




a. Tính dy tại x=1
b. Tìm cực trị của hàm số.
2. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên đoạn
 
a,0

a. Chứng minh rằng
0
( ) ( )
a a
o
f x dx f a x dx 
 

b. Dùng kết quả trên, hãy tính
4
0
ln(1 tg )x dx




3. Cho hàm số
1 cos khi 0
( )
ln( 1) khi 0
x x
f x
x x x
 



  


a. Tìm
'(0)f

b. Chứng minh rằng không tồn tại
"(0)f
.
4. Cho hàm số xxy
2
ln
a. Tính vi phân tại x = e với
1,0x
.
b.Tìm cực trị của hàm số.
5. Một quả cầu có bán kính 5 cm với sai số
0,01cm
. Ước lượng sai số tối đa của thể tích quả cầu.
6. Cho hàm số
1
2


x
x
y

a. Tính dy tại
0x 
.
5

b. Tính
( )
( )
n
y x
.
7. Cho tích phân suy rộng
2
1
arctg x
dx
x



a. Chứng minh tích phân đã cho hội tụ.
b. Tính tích phân đó.
8. Cho tích phân suy rộng
2
3
0
x
x e dx




a. Chứng minh tích phân đã cho hội tụ.
b. Tính tích phân đã cho.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

1
2
 xy ,
2
2
1
xy 
và
5y
.
10. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2 2
6 5 0x y y   
quanh trục Ox.
11. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường

2
2 xxy  và
0y
quanh trục Ox.
12. Tính tích phân suy rộng
4
5
4
4
1
dx
x




.
13. Cho tích phân suy rộng
2
2
1
dx
x x




a. Chứng minh rằng tích phân hội tụ
b. Tính tích phân đã cho.
14. Tính các tích phân sau
a.
2
cos (1 cotg )
dx
x x


b.


3
3
3
2
3

1xx
dx

15. Tìm giá trị bé nhất, lớn nhất của hàm số
x
b
x
a
y


1
22
, với
0,0,10  bax