Đề thi giải tích 1 2014 2015 đại học cần thơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Bộ môn Toán

Môn thi: GIẢI TÍCH 1 - TTK
Mã số môn học: TN155
Học kỳ I - Năm học: 2014 – 2015
Thời gian làm bài: 90 phút

NỘI DUNG
(Đề thi gồm 08 câu được in trên 02 trang)

Câu 1. (2,00 điểm)
a. Tính giới hạn L1 = lim
x→0

ln cos x
.
x2

2x
b. Viết khai triển Maclaurin của hàm số f ( x ) = ( x + 1) .e − 1 − 3x . Từ đó, tính giới

hạn L2 = lim
x →0

( x + 1) .e2 x − 1 − 3x .
x2

Câu 2. (2,00 điểm) Chứng minh định lý Cauchy được phát biểu sau đây
“Giả sử f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn [a, b] , khả vi trong khoảng ( a, b ) và g ′( x) ≠ 0

trong ( a, b ) . Khi đó, tồn tại số c ∈ ( a, b ) thỏa mãn đẳng thức
Câu 3. (1,00 điểm) Tính giới hạn L3 = lim
n →∞

f (b) − f (a ) f ′(c )
=
.”
g (b) − g (a ) g ′(c)

1 n i −1
.
∑
n i =1 n

Câu 4. (1,00 điểm) Miền phẳng (D) (Xem Hình 1) nằm bên dưới đường cong y =

ln x
và phía
x2

trên trục hoành, x ≥ 1 . Dùng tích phân suy rộng hãy tính diện tích của miền (D) đó.

Hình 1

Câu 5. (1,00 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol x =
y = x −1.

1

1 2

y − 3 và đường thẳng
2


Câu 6. (1,00 điểm) Vật thể (S) (Xem Hình 2) có đáy là hình tròn đơn vị x 2 + y 2 ≤ 1 . Tất cả mặt
phẳng vuông góc với trục Oy với −1 ≤ y ≤ 1 đều cắt (S) theo thiết diện là tam giác
vuông cân với cạnh góc vuông tựa trên mặt đáy của (S). Hãy tính thể tích của (S).

Hình 2

Câu 7. (1,00 điểm) Cho miền phẳng (D) (Xem Hình 3) được giới hạn bởi đường cong
y=

π
sin 3 x.cos x
và đường thẳng y = 0 với 0 ≤ x ≤ . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo
2
x

thành khi quay miền (D) quanh trục tung.

Hình 3

Câu 8. (1,00 điểm)
a. Chứng minh rằng −1 ≤

2x
≤ 1.
1 + x2

2
b. Cho F ( x ) = ln ( 1 + x ) . Chứng minh rằng với mọi số thực a , b ( a ≠ b ) ta đều có

F (b) − F (a ) ≤ b − a .

Cần Thơ, ngày 11 tháng 5 năm 2015
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

2