Vi tích phân a1 lý thuyết chuỗi

VI TÍCH PHÂN A1

Lý Thuyết chuỗi
Giảng viên: Lê Hoài Nhân

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

1/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

1 / 31


Chương 4. Lý thuyết chuỗi

1

Chuỗi số
Định nghĩa
Một số tiêu chuẩn hội tụ

2

Chuỗi hàm
Khái niệm
Chuỗi lũy thừa

Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

2/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

2 / 31


Định nghĩa
Định nghĩa (Chuỗi số)
Một tổng vô hạn các số thực u1 + u2 + . . . + un + . . .
là một chuỗi số.

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

3/ 31

(1) được gọi

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 31

Định nghĩa
Định nghĩa (Chuỗi số)
Một tổng vô hạn các số thực u1 + u2 + . . . + un + . . .
là một chuỗi số.

(1) được gọi

un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

3/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 31


Định nghĩa
Định nghĩa (Chuỗi số)
Một tổng vô hạn các số thực u1 + u2 + . . . + un + . . .
là một chuỗi số.

(1) được gọi

un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Sn = u1 + u2 + . . . + un được gọi là tổng riêng thứ n.

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

3/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 31


Định nghĩa
Định nghĩa (Chuỗi số)
Một tổng vô hạn các số thực u1 + u2 + . . . + un + . . .
là một chuỗi số.

(1) được gọi

un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Sn = u1 + u2 + . . . + un được gọi là tổng riêng thứ n.
Nếu lim Sn = S hữu hạn thì ta nói chuỗi (1) hội tụ và có tổng là S.
n→∞

Khi đó, ta ký hiệu S =

∞
n=1

un . Nếu dãy {Sn } không có giới hạn hoặc

có giới hạn vô cùng thì ta nói chuỗi (1) phân kỳ.

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

3/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 31


Định nghĩa
Định nghĩa (Chuỗi số)
Một tổng vô hạn các số thực u1 + u2 + . . . + un + . . .
là một chuỗi số.

(1) được gọi

un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Sn = u1 + u2 + . . . + un được gọi là tổng riêng thứ n.
Nếu lim Sn = S hữu hạn thì ta nói chuỗi (1) hội tụ và có tổng là S.
n→∞

Khi đó, ta ký hiệu S =

∞
n=1

un . Nếu dãy {Sn } không có giới hạn hoặc

có giới hạn vô cùng thì ta nói chuỗi (1) phân kỳ.
Nếu chuỗi (1) hội tụ thì S − Sn =

∞
n=1

un − Sn = rn được gọi là phần

dư thứ n của chuỗi (1). Khi đó, ta có lim rn = 0.
n→∞

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

3/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 31


Chuỗi hình học

Chuỗi hình học là chuỗi có dạng
∞

u.q n−1

u + uq + uq 2 + . . .u q n + . . . =

(1)

n=1

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

4/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 31


Chuỗi hình học

Chuỗi hình học là chuỗi có dạng
∞

u.q n−1

u + uq + uq 2 + . . .u q n + . . . =

(1)

n=1

Chuỗi hình học (1) hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1 và có tổng là
u
S=
.
1−q

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

4/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 31


Chuỗi hình học

Ví dụ
Chuỗi 1 +

1 1 1
1
+ + + . . . + n + . . . là chuỗi hội tụ và có tổng là 2.
2 4 8
2

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

5/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

5 / 31


Chuỗi hình học

Ví dụ
1 1 1
1
+ + + . . . + n + . . . là chuỗi hội tụ và có tổng là 2.
2 4 8
2
∞ 2n
∞ 1
2 n
Chuỗi
=
.
là chuỗi hội tụ và có tổng là
n+1
3
n=0 3
n=0 3

1 1
.
= 1.
3 1 − 32
Chuỗi 1 +

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

5/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

5 / 31


Chuỗi hình học

Ví dụ
Hãy viết số thập phân vô hạn x = 0, 14141414 . . . = 0, (14) thành phân số.

Giải
Ta có x =

∞
14
14
14
+

+
+ ... =
14.
2
3
100 100
100
n=1

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

6/ 31

1
100

n

=

14
99

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 31

Chuỗi điều hòa

Chuỗi điều hòa là chuỗi có dạng
1
1 1
1 + + + ... + + ... =
2 3
n

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

7/ 31

∞

n=1

1
.
n

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 31


Chuỗi điều hòa

Chuỗi điều hòa là chuỗi có dạng
1
1 1
1 + + + ... + + ... =
2 3
n

∞

n=1

1
.
n

Chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ.

Email: ()

Lý Thuyết chuỗi

7/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 31


Điều kiện cần
Định lý

Nếu chuỗi

∞

un hội tụ thì lim un = 0.

n=1

Email: ()

n→∞

Lý Thuyết chuỗi

8/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 31


Điều kiện cần
Định lý
Nếu chuỗi

∞

un hội tụ thì lim un = 0.

n=1

n→∞

Hệ quả
∞

Nếu lim un khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi
n→∞

Email: ()

un phân kỳ.
n=1

Lý Thuyết chuỗi

8/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 31


Điều kiện cần
Định lý
Nếu chuỗi

∞

un hội tụ thì lim un = 0.

n=1

n→∞

Hệ quả
∞

Nếu lim un khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi
n→∞

un phân kỳ.
n=1

Ví dụ
1
n
= nên chuỗi
n→∞ 3n − 1
3

Vì lim

Email: ()

n
phân kỳ.
n=1 3n − 1
∞

Lý Thuyết chuỗi

8/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 31


Điều kiện cần
Định lý
Nếu chuỗi

∞

un hội tụ thì lim un = 0.

n=1

n→∞

Hệ quả
∞

Nếu lim un khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi
n→∞

un phân kỳ.
n=1

Ví dụ
1
n
= nên chuỗi
n→∞ 3n − 1
3

Vì lim

n
phân kỳ.
n=1 3n − 1
∞

Vì lim cos n không tồn tại nên chuỗi
n→∞

Email: ()

∞

cos n phân kỳ.

n=1
Lý Thuyết chuỗi

8/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 31


Tiêu chuẩn tích phân
Định lý
Nếu f (x) là hàm số dương, liên tục và giảm trên khoảng [N, ∞), với N là

số dương nào đó thì

∞

n=N

Email: ()

∞

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

f (n) và

N

Lý Thuyết chuỗi

9/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

9 / 31

Tiêu chuẩn tích phân
Định lý
Nếu f (x) là hàm số dương, liên tục và giảm trên khoảng [N, ∞), với N là

số dương nào đó thì

∞

∞

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

f (n) và

n=N

N

Ví dụ (Tính hội tụ của chuỗi điều hòa tổng quát)
Xét sự hội tụ của chuỗi

Email: ()

1
.
s
n=1 n
∞

Lý Thuyết chuỗi

9/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

9 / 31


Tiêu chuẩn tích phân
Định lý
Nếu f (x) là hàm số dương, liên tục và giảm trên khoảng [N, ∞), với N là

số dương nào đó thì

∞

∞

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

f (n) và

n=N

N

Ví dụ (Tính hội tụ của chuỗi điều hòa tổng quát)
Xét sự hội tụ của chuỗi

1
.
s
n=1 n
∞

Ví dụ
Xét sự hội tụ của chuỗi

Email: ()

1
.
2
n=2 n ln n
∞

Lý Thuyết chuỗi

9/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

9 / 31


Tiêu chuẩn So sánh 1
Định lý
Xét hai chuỗi số dương

∞
n=1

1

2

Nếu chuỗi
Nếu chuỗi

∞
n=1
∞

∞

un và

n=1

vn thỏa un ≤ vn . Khi đó,
∞

vn hội tụ thì chuỗi

un hội tụ.

n=1

un phân kỳ thì

n=1

Email: ()

∞

vn phân kỳ.

n=1

Lý Thuyết chuỗi

10/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

10 / 31


Tiêu chuẩn So sánh 1
Định lý
Xét hai chuỗi số dương

∞
n=1

1

2

Nếu chuỗi
Nếu chuỗi

∞
n=1
∞

∞

un và

n=1

vn thỏa un ≤ vn . Khi đó,
∞

vn hội tụ thì chuỗi

un hội tụ.

n=1

un phân kỳ thì

n=1

∞

vn phân kỳ.

n=1

Ví dụ
Xét sự hội tụ của chuỗi

Email: ()

n+2
.
3
n=1 n + 1
∞

Lý Thuyết chuỗi

10/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

10 / 31


Tiêu chuẩn So sánh 1
Định lý
Xét hai chuỗi số dương

∞
n=1

1

2

Nếu chuỗi
Nếu chuỗi

∞
n=1
∞

∞

un và

n=1

vn thỏa un ≤ vn . Khi đó,
∞

vn hội tụ thì chuỗi

un hội tụ.

n=1

un phân kỳ thì

n=1

∞

vn phân kỳ.

n=1

Ví dụ
n+2
.
3
n=1 n + 1
∞
n−1
Xét sự hội tụ của chuỗi
n=1 3n + 1
Xét sự hội tụ của chuỗi

Email: ()

∞

Lý Thuyết chuỗi

n

.

10/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

10 / 31


Tiêu chuẩn So sánh 2

Định lý
∞

∞

un và

Xét hai chuỗi số dương
n=1

vn và lim
n=1

n→∞

un
= A. Khi đó,
vn

∞
1

Nếu 0 ≤ A < ∞ và chuỗi

Email: ()

∞

vn hội tụ thì chuỗi
n=1

Lý Thuyết chuỗi

un hội tụ.
n=1

11/ 31

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

11 / 31