tich phan 12 ly thuyet- bai tap dang cap

H thng bi tp gii tớch 12
(Phn 1)
Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:

Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x0 đà chØ ra:
a) y = x2 + x
x0 = 2
1
x
x −1
c) y =
x +1

b) y =

x0 = 2
x0 = 0

Bµi2: Dùa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R)
a) y = x - x
b) y = x3 - x + 2
c) y = x3 + 2x

c) y =

2x − 1
x −1

Bµi3: TÝnh f'(8) biết f(x) = 3 x
Bài4: Cho đờng cong y = x3. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong ®ã, biÕt:

a) TiÕp ®iĨm lµ A(-1; -1).
b) Hoµnh ®é tiÕp ®iĨm b»ng 2.
c) TiÕp tun song song víi ®êng th¼ng y = 3x + 5.
d) TiÕp tun vu«ng gãc víi đờng thẳng y = -

x
+1
12

Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2) (x + 2004).
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:

Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = (x 2 − 3x + 4 ) (x 3 − 2x 2 + 5x − 3)
2) y = ( 2x + 1) ( 3x + 2)( 4x + 3) ( 5x + 4 )

(x 3 − 3x 2 + 3x + 1)2 − 2( x − 1) 3
4) y = ( 2x + 1) 4 + ( 3x + 2) 4 − (x 2 − 4x + 3)3
3) y =

5) y = ( x + 1) 2 ( x + 2) 3 ( x + 3) 4
7) y =

2
6) y = 2x − 5x + 6

− 3x + 4

x3 − x

8) y =

3

x + x +1

4
4
9) y =  2x + 1  +  1 + x 





 x−1 

11) y = ( 1 + x )

10) y =

1 − x

2+x

23

3+x

3

( x + 1) 3
x2 − x + 1

x + x2 + 1
2

1+x −x

3
12) y = 1 + x 3

1−x

1

+

x2 + 1 − x
x + 1+x

2


13) y =

3
4

x − 15 x − 3

x − 26 x − 6

14) y =

15) y = sin[ sin( sin x ) ]

16) y =

sin x − cos x
sin x + cos x

(

)

2
1 − x 2
 −x
1+x
sin x −
cos x e

2
 2


2
17) y = 3 1 − 3 1 + x 2  + 3 ln 1 + 3 1 + x 2

2







Bài2: Tính các đạo hàm của các hµm sè sau:
1) y = x ln x
3) y =
5) y =

2x

2) y =
4) y =

 1 +x 2 





x

x +x

x

x

sin x cos x
+x

x

x

x

1 + x3 3 + x4 2 + x
5
x 47 x 5

III) đạo hàm một phía và điều kiện tồn tại đạo hàm:
x

Bài1: Cho f(x) = 1 + x . TÝnh f'(0)
Bµi2: Cho f(x) =

x x +2 .

TÝnh f'(0)

 1 − cos x


Bµi3: Cho f(x) = 
x
 0

nÕu x ≠ 0
nÕu x = 0

1) XÐt tính liên tục của f(x) tại x = 0.
2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0.
2
Bài4: Cho hµm sè: f(x) = x − 2 x + 3 .

3x 1

Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = -3 nhng không có đạo hàm tại x = -3.

 ( x + 1) e − x nÕu x > 0
Bài5: Cho f(x) =
. Tìm a để f'(0)
2
- x - ax + 1 nÕu x ≤ 0

 a cos x − b sin x nÕu x ≤ 0
Bµi6: Cho f(x) = 
nÕu x > 0
 ax + b + 1
IV) đạo hàm cấp cao:

Bài1: Cho f(x) =
Bài2: Cho f(x) =

2

x − 3x + 2
2

2x + x − 1

.

2

− 3x + 4 x − 8
3

2

x − 6x + 11x − 6

TÝnh: f(n)(x)
.

TÝnh: f(n)(x)

2


Bµi3: Cho f(x) =
Bµi4: Cho f(x) =

3

2

2x + x − 4 x − 9
4

2

x − 7 x + 10
2

3x − 5 x − 11
4

2

x − 9 x + 18

Bµi5: Cho f(x) = cosx.
Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b).
Bµi7: Cho f(x) = x.ex.
Bµi8: Cho f(x) = x 3 ln x .
Bµi9: Cho f(x) = ln( ax + b ) .

.

.

TÝnh: f(n)(x)

Tính: f(n)(x)

Tính: f(n)(x)
Tính: f(n)(x)
Tính: f(n)(x)
Tính: f(n)(x)
Tính: f(n)(x)

V) đẳng thức, phơng trình, bất phơng trình với các phép toán đạo hàm:
1
Bài1: Cho y = ln
.

CMR: xy' + 1 = ey

1+x

Bµi2: Cho y = e −x sin x .
CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx).
CMR: y + xy' + x2y" = 0
Bµi4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)
Bµi5: Cho f(x) =

1 2 x +1
5
; g(x) = 5 x + 4x ln 5 .
2

Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)

2
Bài6: Cho y = x + x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1

2

2

CMR: 2y = xy' + lny'
IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn:

Tìm các giới hạn sau:
3

3

2

2
3
1) A = lim x + x + 1 − x + 1
x
x→ 0

2) lim

1 + 2x − 3 1 + 2x
3) lim
2

1 − 2x + 1 + sin x
4) lim

x→0

x

x →0

x →0

3 x − cos x
x2

3x + 4 − 2 − x

Kh¶o sát hàm số và các ứng dụng
I) Tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu:
2)

Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1)
Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2
®ång biÕn trªn (- ∞ ; -1] ∪ [2; + ∞ )

3


3
Bài3: Tìm m để hàm số: y = mx + 2( m − 1) x 2 + ( m − 1) x + m

3

đồng biến trên (- ; 0) [2; + )
Bài4: Tìm m để hàm số: y =

m−1 3
2
x + mx + ( 3m − 2) x đồng biến trên R
3

Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng thoả
mÃn: 1

x

2

2) Phơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:

Bài1: Cho phơng trình: x2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mÃn: x > 1.
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mÃn: x > 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mÃn: x < 2.
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1).
Bài2: Tìm a để phơng tr×nh: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm (0;1)
Bài3: Tìm m để phơng trình:

9

2x 2 x

m .6

2x 2 x

+ ( 3m − 8 ) 4

2x 2 − x

=0

cã nghiệm thoả mÃn:

x



1
2

Bài4: Tìm m để phơng trình: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 x ) = m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 cã nghiÖm
 π 3π 
x∈ ;
2 2

Bài6: Tìm m để phơng trình:

[

log 2 x + log 2 x + 1 − 2m − 1 = 0
3
3

]

cã Ýt nhÊt mét nghiÖm

x ∈ 1;3 3
Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm:
1) ( x − 1)( x − 2) (x 2 − 3x + m ) = 2
2) x 4 − 2mx 3 + ( m + 4) x 2 − 2mx + 1 = 0
2
Bài8: Tìm a để: 3x 1 = 2x − 1 + ax cã nghiÖm duy nhÊt

2x 1

Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) ≥ m nghiƯm ®óng víi x
Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 ( 4 − x )( 2 + x ) ≤ x2 - 2x + a - 18 nghiƯm ®óng víi ∀x
[-2; 4]
x 2 + 3x 3

Bài11: Tìm m để:
Bài12: Tìm m để

1
( m 1)

2

9

2x 2 − x

2

− cos x

+ 21 + sin

− ( 2m + 1) .6

2x 2 − x

2

x

+ 2m

+ m4

< 0 x

2x 2 x

0 nghiệm đúng với x thoả mÃn: x

1
2

Bài13: Tìm m để bất phơng trình: mx − x − 3 ≤ m + 1 cã nghiÖm
3) Sử dụng phơng pháp hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng
trình, hệ bất phơng trình:

4


Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau:
1) x + 9 > 5 − 2x + 4
2)

(

log 2  x 2 − 5x + 5 + 1  + log 3 x 2 − 5x + 7





)≤2

 3x 2 + 2x 1 < 0
Bài2: Giải hệ bất phơng trình:
x 3 3x + 1 > 0

()

 log 2 x − log 2 x 2 < 0
2

Bài3: Giải hệ bất phơng trình:
13 2
x − 3x + 5x + 9 > 0
3
 x = y3 + y2 + y 2


3 2
Bài4: Giải hệ phơng trình: x = z + z + z − 2

3
2
z= x + x + x − 2

4) Chứng minh bất đẳng thức:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2

2

4

2

2

24

1) 1 − x < cos x < 1 − x + x

2

n

2

∀x > 0

n!

2) e x > 1 + x + x + ... + x

∀x > 0; ∀n ∈ N*

2
≤ 1-x+ x

3) 1 - x ≤

e −x

4) 1 - x ≤

e −x
≤
1 +x

∀x ∈ [0; 1]

2

2

5) ln( 1 + x ) > x − x

1-x+

4

x
2( 1 + x )

2

∀x > 0

2

6) ln x <

∀x ∈ [0; 1]

x −1
x

∀x > 1

II) cực trị và các ứng dụng:

Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:

2
1) y = x3 + 4x2) y = x + 4x + 5

x+2

x
−x
3) y = e + e

2

4) y = x3(1 - x)2

Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
1) y = x3 - 2ax2 + a2x
Bµi3: Chøng minh r»ng hµm sè: y =

2) y = x - 1 +
x 2 + 2x + m
x2 + 2

5

a
x 1

luôn có một cực đại vµ mét cùc tiĨu víi mäi m.


giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
1) y = sinx(1 + cosx)
2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1
6
6
1 + sin x + cos x
 π π
3) y = 5cosx - cos5x víi x ∈ − ; 
4) y =
4
4
 4 4
1 + sin x + cos x
Bài2: Cho phơng trình: 12x2 - 6mx + m2 - 4 +

12
m2

=0

3
Gäi x1, x2 lµ nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S = x 1 + x 3
2

 a2 b2  a b
− 2 + 2+ +


b4 a4  b
a  b a

y
x
Bµi4: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1. T×m Max, Min cđa: S = y + 1 + x + 1

Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y =

a4

+

b4

x

y

Bµi5: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1. T×m Min cđa: S = 1 − x + 1 y
Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin6x + cos6x + asinx.cosx
IV) tiệp cận:

Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
1) y =
4) y =

x 2 + 3x + 2

2) y =

2

2x + x − 1

2+x

3) y =

2

x +1

x
2 −x

x ( 2 x − 1)

6) y = x 2 + 1
( 2 x) 2
Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham sè m)
1) y =

9−x

2

x2 − 4
2

x − mx + 1

5) y =

x3 + x + 1

2) y =

x+2
2

x − 2mx + 3

2
Bµi3: Cho (C): y = ax + ( 2a + 1) x + a + 3 , a ≠ -1; a ≠ 0. Chøng minh r»ng tiƯm cËn xiªn của (C)

x2

luôn đi qua một điểm cố định
2
Bài4: Cho đồ thÞ (C): y = f(x) = 2x − 3x + 2

x 1

1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi.
2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:

Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = 2x3 + 3x2 - 1
2) y = x3 + 3x2 + 3x + 5
3) y = x3 - 3x2 - 6x + 8

4) y = -x3 + 3x2 - 4x + 3
5) y = - x

3

3

- x2 + 3x - 4

6


Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = x4 - 2x2
2) y = -x4 + 2x2 - 1
3) y = x4 +

3 2
x +1
10

4) y = − x

4

- x2 + 1

2

Bµi3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y =

2x 4
x +1

2) y =

2x + 1
x 3

Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
2
1) y = x + 3x + 3

2
2) y = x

2
3) y = x + 2x

2
4) y = − x + 6x + 13

x+2

x 1

x +1

2x + 1

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1
4

1
3

4
3
2
1) y = x − x − x +

3) y =
5) y =

5
3

2x 2 + 4 x + 5

2) y =
4) y =

2

x +1
x 2 + 2x + 1

2

2x − 8 x + 11
2

x − 4x + 5
x 2 − 9x + 14
2

x − 15 x + 50

6) y = x +

2x 2 − 2 x

2

2x + 1

VI) phÐp biÕn ®ỉi đồ thị:

Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =

x 2 − x +1
x +1

3) y =

x 2 − 3x + 3
x −2

5) y =
7)

2) y =

4) y =

2

x +x
2 x −1

(

y = x −1 x 2 + x − 2

x2 − 2 x + 9
x −2

6) y =

)

x 2 − 5x + 5
x −1

x +1
x −1

VII) tiÕp tuyÕn:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bài1: Cho hµm sè: y = x3 - 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để
tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y = x 2 + 2x + 4 + cos x tại giao điểm của đờng cong
với trục tung.

7


Bµi3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1
a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

(C) : y = f ( x ) = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2
Bµi4: Cho 2 ®å thÞ 
 (P) : y = g( x ) = 2x 2 + m
1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P).
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

1 4
5
x - 3x2 +
2
2

1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x M = a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C)
là nghiệm của phơng trình: ( x − a ) 2 (x 2 + 2ax + 3a 2 − 6 ) = 0
2) T×m a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
2
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = ( 3m + 1) x − m + m víi trơc Ox tiÕp tun cđa (C) song

x+m

song víi (∆): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.
Bài7: Cho (C) : y =

2x − 1
vµ M bÊt kú thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp
x 1

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: SIAB không đổi
3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
2
Bài8: Cho (C): y = 2x − 3x + m (m ≠ 0, 1)

x m

Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có
tung độ b»ng 1
2
Bµi9: Cho (C): y = − 3x + mx + 4

4x + m

Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
2
Bài10: Cho đồ thị (C): y = x + 2x + 2

x +1

1) §iĨm M ∈ (C) với xM = m. Viết phơng trình tiếp tuyến (tm) tại M.
2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mÃn yêu cầu bài toán và hai
tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm
cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí
điểm M trên (C).

8


2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc

Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x 3 - 3x2 biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng góc với đờng
thẳng: y =

1
x.
3

4
Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) = x - x3 - 3x2 + 7

2

T×m m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx
2
Bài3: Cho (C): y = x + 3x + 3 . ViÕt phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng thẳng

x+2

(): 3y - x + 6 = 0
2
x
Bài4: Viết phơng tr×nh tiÕp tun cđa (C): y = 2x − 3x 1 vuông góc với đờng thẳng: y = -

4x + 3

3

+2
2
Bài5: Cho đồ thị (C): y = x + 2x 1

x 1

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng
tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố định
của (Cm) có hoành độ dơng.
2
Bài7: Cho đồ thị (Ca): y = x + 3x + a

x +1

Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất của hệ
toạ độ.
2
Bài8: Cho (C): y = 2x x + 1 . CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó

x +1

có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450.
3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị

19
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A ;4 ®Õn ®å thÞ (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 5


12
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến ®i qua A(0; -1) ®Õn (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1
Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2
23
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A ;2 đến (C).


9

2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x3 + 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài5: Cho ®å thÞ (C): y = f(x) = x4 - x2 + 1
Tìm các điểm A Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

9


Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =

2x + 1
x +1

ViiI) ứng dụng của đồ thị:
1) Xét số nghiệm của phơng trình:

Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3
Bài2: Tìm m để phơng trình: x3 - 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài3: Tìm a để phơng trình: x3 - 3x2 - a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm
lớn hơn 1.
Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phơng trình: x4 -2x2 - 2b + 2 = 0
Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 vµ so sánh các
nghiệm đó với -3 và -1
Bài6: Tìm m ®Ó −2x 2 +10x −8 = x2 - 5x + m có 4 nghiệm phân biệt.
2) Sự tơng giao của hai đồ thị hàm số:

Bài toán về số giao điểm
2
Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y = x + 4x + 3 tại hai điểm phân biệt.

x+2

Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x + 3x + mx + 1 c¾t đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt.
Bài3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2)

Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài4: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - (m2 - 1)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài5: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - (m3 + 1)
T×m m để (Cm) cắt Ox tại đúng một điểm.
Bài6: Tìm m ®Ĩ (Cm): y = x3 + m(x2 - 1) c¾t Ox tại 3 điểm phân biệt
3

Bài7: Tìm m để (Cm): y =

2

1 3
x - x + m cắt Ox tại ba điểm phân biệt
3

Bài8: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 - 9x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - 1 cắt Ox tại đúng 1 điểm
Bài toán về khoảng cách giữa các giao điểm
Bài1: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt đờng thẳng y = x tại ba điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
Bài2: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x 3 - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập thành
cấp số cộng.
Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x 4 - 5x2 + 4 t¹i A, B, C, D phân biệt
mà AB = BC = CD

10


3) Các điểm đặc biệt:

Bài1: Tìm điểm cố định của (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)
Bµi2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết
phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
Bài3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng.
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
2
Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y = x 2mx + m + 2

xm

Tìm các điểm trên Oy mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua.
2
Bài5: Cho họ (Cm): y = x − 2mx + m + 2

x−m

T×m các điểm Oxy mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua
Bài6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + 6. CMR: trªn Parabol (P): y = x 2 + 14 có 2 điểm
mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua.
2
2
Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y = x + mx m

xm

Tìm các điểm Oxy có đúng 2 đờng cong của họ (Cm) đi qua.
2
Bài8: Tìm M (C): y = x + x 1 có toạ độ là các số nguyên.

x+2

4) quỹ tích đại số:

Bài1: Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 (C): y = x3 + 2x2 + 7
CMR: (Cm) luôn cắt (C) tại A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung ®iĨm I cđa AB
2
Bµi2: Cho (C): y = x + 4x + 3 và đờng thẳng (D): y = mx + 1.

x+2

Tìm m để (D) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
2
Bài3: Tìm m để (Cm): y = x ( 2m + 3) x + 6 có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu.

x2

Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y =

2

2

x ( 2m + 1) x + m − m
2

2

x + m + 4m + 5

. Tìm quỹ tích giao điểm của (C m) với các

trục Ox, Oy khi m thay đổi.
Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 và đờng thẳng d: y = mx. Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phâm biệt
A, O, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
2
Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiĨu cđa y = x + mx − m − 1

x +1

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m - 1
5) tâm đối xứng, trục đối xøng:

11


Bài1: Tìm m 0 để (C): y = - x

3

m

+ 3mx2 - 2 Nhận I(1; 0) là tâm đối xøng.

Bµi2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + 4 Tìm m để trên (Cm) có một cặp điểm đối xứng nhau qua
gốc toạ độ.
2
5
Bài3: Tìm trên (C): y = x + x + 2 các cặp điểm ®èi xøng nhau qua I  0; 



x −1
 2
Bµi4: CMR: đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y =

x 1
x +1

2
Bài5: Cho hàm số: y = x

x 1

Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng th¼ng: y = x - 1

12


Tích phân
I) nguyên hàm:
1) Xác định nguyên hàm bằng công thøc:
x

Bµi1: CMR hµm sè: F(x) = x − ln( 1 + x ) là một nguyên hàm của hsố: f(x) = 1 + x
Bµi2: CMR hµm sè: y =

x 2
a
x + a + ln x + x 2 + a
2

2

víi a 0

là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = x 2 + a
Bài3: Xác định a, b, c ®Ĩ hµm sè: F(x) = (ax 2 + bx + c )

2x 3

là một nguyên hàm của hàm số:

2
f(x) = 20x 30x + 7

2x 3

Bài4: Tính các nguyên hàm sau đây:
2

4 x 5 3x 4 1

1 
1) ∫  x +
dx

3 

2)

∫

3
 x + 1  dx
3) ∫ 


x

4)

∫(



5)

∫(

3

x

)

4

1
7) ∫  x 2 +  dx



9)

∫ (ax

)

2

10)

+ b dx

11) ∫ x ( x + a )( x + b ) dx
13)
15)

∫ (2
∫

x

)2

e +e

-x

∫

x4 + x−4 + 2

x3

dx

12) ∫ 2 x e x dx

− e x dx

x

)3

x + 23 x dx

2
8) ∫ x + 4x dx
x

x

3

dx

3
 x + 1  dx
6) ∫ 


x

x + 1 ( x - x + 2 ) dx



x4

14)

− 2dx

∫

16) ∫

x-1

dx
17) ∫
x +1

e x + e - x + 2dx
e 2-5x + 1
ex

dx

18) ∫ 1 - cos2xdx

2

19) ∫ 4sin x dx
1 + cosx
2) Phơng pháp đặt ẩn phụ:

Tính các nguyên hàm sau ®©y:

13


∫ xlnx

dx

5) ∫ x x + 1dx

9)

∫
∫

x
1+ x

dx
2

x3
x 2 − 2x + 1

11) ∫

12) ∫x

15) ∫ x 2x - 1dx

∫

cos 2 x

x + x −1
x

dx

)3

+ 1 dx
x+4

2

x − 2x + 1

x

2

dx

+1dx

16) ∫

)3 x 2dx

dx
2

2

sin xcos x
x 3 dx

(x 4 − 4)2

18) ∫ sin 5 x cos xdx

19) ∫ tg 3 xdx
21)

2

14) ∫

13) ∫cos 4 xdx

e tgx

∫

x − 4x + 2
2x

x +1

( x + 1) 3

+1

∫ (e

dx

2

dx
10) ∫
x −2

dx

xdx

17) ∫ (2x 3

∫

8)

3)

∫

6)

4
∫ ( 3x + 1) dx

7)

2x − 4

2)
4)

1)

20)
22)

dx

∫
∫

1
e
x
1

x

2

dx

ln

1− x
dx
24) ∫
x ln x . ln( ln x )

23) ∫ x 3 3 1 + x 2 dx

1+ x
dx
1− x

25) ∫ x x - 1dx
3) Phơng pháp nguyên hàm từng phần:

Tính các nguyên hàm sau đây:
1)

( 2x + 1) cos xdx

2) ∫ x 2 e x dx

3) ∫ ln xdx

4) ∫ e x sin xdx

5) ∫ cos( ln x ) dx

6) ∫ xe x dx

1 
 1
−
dx
2
ln x 
 ln x
1+ x
9) ∫ x ln

dx
1 − x 

8) ∫ e 2 x sin 2 xdx

7)

4) Nguyên hàm hàm hữu tû:

14

Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:
1)



3)



5)



x2
x2 + 1
x

2)

2

x + x+1
dx

dx

15)

∫
∫

x3 − 1
4x 3 − x

(x

x7
4

+1

)

∫

8)

∫

dx
x2 + x + 1
dx
x2 − a2
x2 + x + 1
2

x − 3x + 2
dx

dx

x3 − 1

10) ∫
12)

∫

14)

dx

2

∫

6)

x 2 − 3x + 2
x +1
dx (a ≠ 0)
7) ∫ 2
2
x −a
x+1
dx
9) ∫ 3
x −1
x+1
dx

11) ∫ 2
x ( x - 1)
13)

∫

4)

dx

∫

dx
4

x + 4x 2 + 3

dx
2

x + 2x - 3
xdx
4

x − 3x 2 + 2

dx

3x 2 + 3x + 3

Bµi2: 1) Cho hµm sè y =

x 3 3x + 2

a) Xác định các hằng số A, B, C ®Ĩ:
A

y=

2

+

B
C
+
( x − 1) x + 2

( x 1)
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho
3x + 1

( x + 1)

3

=

A

( x + 1)

3

+

B

( x + 1) 2

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hµm cđa hµm sè : f(x) =

3x + 1

( x + 1) 3

5) Nguyên hàm hàm lợng giác:

Tính các nguyên hàm sau đây:

dx

1)
3)

cosx

5)

2) sin 2 xdx

sin x. cos x

∫ 4sinx + 2cosx + 5

dx

x
2

4) ∫ cos x . cos dx

dx

6) ∫

15

dx
2

2

sin x + 2sinxcosx - cos x


7) ∫ cos 6 xdx

8) ∫ tg 5 xdx

dx

∫

dx

10)

∫

dx
cos 2 x.sin 2 x
13) ∫ sin2x.cos3xdx

12)

∫

15) ∫ cos 3 x . sin 8 xdx

16) ∫ cos 2 xdx

17) ∫ sin 3 xdx

18) ∫ tg 2 xdx

9)

11)

6

cos x
cos2x

∫

19) ∫ sin 2 x.cosxdx

sin 6 x
dx

sin 2 x. cos 2 x
14) ∫ cosx.cos2x.sin4xdx

20)

∫

tgx
cos 3 x

dx

2
21) ∫ 4 cos x + 1
sin x + 3 cos x

6) Nguyên hàm hàm vô tỷ:

Tính các nguyên hàm sau đây:
dx

1)
3)

4 x

dx

2)
x +1 x 1

2

dx
x ( x + 2)

∫

4)
6)

x + 1 dx
5) ∫ 3

x-1 x +1

∫x

∫
∫

7)

∫

dx
x+1+3 x+1

8)

9)

∫

4 − x 2 dx

10)

11)

∫

dx
1- x
x+1+2

( x + 1) 2 − x + 1

dx

dx
x +1+ x +1

∫

− 4x − x 2 dx

dx
− 3x 2 + 4 x − 1

II) tÝch ph©n :
1) Dùng các phơng pháp tính tích phân:

Bài1: Tính các tÝch ph©n sau:
π

π
2

2) cos 2x (cos 4 x + sin 4 x )dx
∫

4

1) ∫ cos xdx
0

0

16


π
2

π

3
4) ∫ x cos x cos 5xdx

3) sin x + 7 cos x + 6 dx
∫ 4 sin x + 3 cos x + 5
0

0

π
2

π
4

5) cos 3 x sin 2 xdx
∫

6) sin 4 xdx
∫

0

Bµi2: Cho f(x) =

0

sin x
sin x + cos x

cos x − sin x 
1) T×m A, B sao cho f(x) = A + B 


 cos x + sin x 

2) TÝnh: I =

π
3

∫ f ( x ) dx

0

Bµi3: Cho hµm sè: h(x) =

sin 2x

( 2 + sin x ) 2

1) Tìm A, B để h(x) =

A cos x

( 2 + sin x )

2

+

B
2 + sin x

0

∫ h( x ) dx
2) TÝnh: I = π
2

Bµi4: Cho hµm số: f(x) = 4cosx + 3sinx
1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
2) TÝnh: I =

;

g(x) = cosx + 2sinx

π
4 g( x )

∫ f ( x ) dx

0

Bµi5: Tính các tích phân sau:
1

1)
0

2

x +1

0

e

5)
1

x

e x 1

4) ∫

0

x

e x dx

1

2

e

)5

3 4
2) ∫ x x − 1 dx

2
3) ∫ x 4 − x dx
4

(

1

xdx

e

6) ∫

dx

1

1 + ln x
dx
x

Bµi6: Tính các tích phân sau:
1)


2



cos x

0 ( 1 + sin x )

4

π
2

3) cos 5 xdx
∫
0

5)

π

4

∫

dx

π
2

2) sin 3 x cos xdx
∫
0

4)

π
4

∫ tg

0 1 + sin

xdx

0

dx
2

6

6)
x

π
2
0

17

dx

∫ 2 + sin x


7)

π
4

∫

0a

2

dx
2

1

cos 2 x + b 2 sin 2 x
1 − x2

9) ∫2

x2

2
8) ∫ 4 − x dx
0

dx

π
2

10)

cos xdx
2 + cos 2x



0

2

Bài7: Tính các tích phân sau:

4


2

1) x (2 cos 2 x − 1)dx
∫

2) e 2x sin 3xdx
∫

0

0

e

1

2x
3) ∫ ( x + 1) 2 e dx

4) ∫ ( x ln x ) 2 dx

0

1

π
2

5) ∫ x ln(x + 1)dx
1

2

6) cos x ln( 1 + cos x ) dx
∫

0
e

0

1
9

ln x

dx
∫
7) 1 ( x + 1) 2

8)  5 3x +
∫
0

e

x

2

sin ( 2x + 1)

+5


dx
4x 1

1

2) Tính phân và đẳng thức:
a

Bài1: CMR: Nếu f(x) là hàm lẻ liên tục trên [-a; a] th×: I = ∫ f ( x ) dx = 0
−a

1

3

2

VD: TÝnh: I = ∫  ln x + x + 1   dx
 

 
−1
a

a

Bµi2: CMR: NÕu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I = ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx
−a

a

Bµi3: CMR: NÕu f(x) lµ hµm chẵn liên tục trên R thì: I =

a

2

VD: Tính: I = ∫

−2

4

0

f ( x ) dx
b

x

+1

a

= ∫ f ( x ) dx
0

2

x + 2x + 1
2x + 1

dx
π

π

π

Bµi4: Cho f(x) là hàm số liên tục trên [0; 1]. CMR: ∫ xf ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x ) dx
2
0

π

VD: TÝnh: I = ∫

x sin x

2
0 9 + 4 cos x

0

dx

Bài5: (Tổng quát hoá bài4)
b

a +b

b

Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) th× I = ∫ xf ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx
2 a
a
b

Bµi6: NÕu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) th×: I = ∫ f ( x ) dx = 0
a

18


π
2

π
4

VD: TÝnh: I = ∫ ln 1 + sin x dx



 1 + cos x 
0

J = ∫ ln( 1 + tgx ) dx
0


2



0

0


2
Bài7: Nếu f(x) liên tục trên 0;  th×: f ( sin x ) dx = f ( cos x ) dx
 2
∫
∫


π
2

π
2

n

cos xdx

VD: TÝnh: I = ∫

0 cos

n

sin n xdx

J= ∫

x + sin n x

0 cos

n

x + sin n x
a +T

T

a

0

Bài8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì: f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

VD: TÝnh: I =

2004 π

∫

1 − cos 2xdx

0

3) TÝch phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Bài1: Cho các hµm sè: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + 1 ;
1) Giải bất phơng trình: f(x) g(x).

g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 1

2

2) TÝnh: I = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
−1

Bµi2: Tính các tích phân sau:
3

1)

2

x 3 2x 2 + xdx

2) ∫ 1 + sin xdx

0

0

1

x
Bµi3: Cho I(t) = ∫ e − t dx

víi t ∈ R.

0

1) TÝnh: I(t).
2) Tìm minI(t).
Bài4: Tính các tích phân sau:
2

1)

5

x 2 + 2x − 3 dx

(

)

2
2
2) ∫ x − 4x + 3 + x 4x dx

0

0

Bài5: Tính các tích phân sau:
2

1) I = ∫

2

x 2 − 4 x + 4m dx

2
2) ∫ x − ( m + 2) x + 2m dx

0

1

4) Bất đẳng thức tích phân:

Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau:
1

<
1)
2
8
02+x+x

2)

dx

1
2

2) <

6



3
dx
2 3
<
<
2
3
3
0 cos x + cos x + 1

19

0

dx
2

1−x −x

3

<

π 2
8


Bµi2: CMR:

2
e

2

2

< ∫e

x −x 2

dx < 24 e

0

Bµi3: Cho hµm sè: f(x) =

3

x2

5
9 2
. CMR: < ∫ f ( x ) dx <
2
2 2
4
x 1
5) Tích phân truy hồi:

Bài1: Cho In =

π
4

∫ tg

2n

xdx

0

1) CMR: In > In + 1
2) ThiÕt lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1
3) TÝnh In theo n.
π
2

Bµi2: Cho In = sin n xdx

0

1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 2
π
2

2) TÝnh In. ¸p dơng tÝnh I11 = ∫ sin 11 xdx
0

1

(

)n

2
Bµi3: Cho In = ∫ 1 − x dx
0

1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In vµ In - 1

2) TÝnh In.
1

n
Bµi4: Cho In = ∫ x 1 − xdx
0

1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hƯ giữa In và In - 1
2) Tính In.
Bài5: Tính các tÝch ph©n sau:
π
4

π
2

1) In = tg 2n xdx
∫

2) In = x n cos xdx
∫

0

0

III) øng dơng cđa tÝch ph©n:
1) TÝnh diện tích hình phẳng:

Bài1: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đờng sau đây:

1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x

 y = sin 2 x cos 3 x; y = 0

2) 
π
x = 0; x =


2
20


 y = x 2
3) 
 x = − y 2

2

x
2
y = x ; y =

8
4) 
y = 8
 x


x+ y= 0
5) 
2
 x − 2x + y = 0

 y = x 2 − 1
6) 
 y = x + 5

Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x3 - 3x + 2 (C)
1) Viết phơng trình tiÕp tun (d1) víi (C) t¹i A cã xA = 2. Viết phơng trình tiếp tuyến (d2)
với (C) tại điểm n cđa (C).

 (C), (d1 )
2) TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn bởi:
x= 1
(C)
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(d1 )và(d 2 )
Bài3: Cho hàm số: y =

x2
x2 +1

(C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đờng thẳng y = 1, x = 0, x =
b bằng

.
4

Bài4: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
1) Elíp (E):
Elíp (E1):

x2

+

a2

x2
a2

+

y2
b2

y2
b2

2) Hypebol (H):

=1

=1

và Elíp (E2):

x2

+

b2

y2
c2

=1

Bài5: Tính diện tích phần chung của hai Elíp:
(E1):

x2
a2

+

y2
b2

=1

và (E2):

x2

b2

+

y2
a2

=1

2) Tính thÓ tÝch vËt thÓ:

21

x2
a2

−

y2
b2

=1


Bài1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn

y = x .e x ; y = 0
bëi c¸c ®êng: 
 x = 0; x = 1
y= 0

Bµi2: Gäi (D) là miền giới hạn của các đờng:
. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo
2
y = 2x − x
thµnh do ta quay D
1) Quanh Ox

b) Quanh Oy

 y = − 3x + 10
Bµi3: Gäi (D) lµ miền giới hạn của các đờng:
. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc
2
y = 1; y = x
tạo thành do ta quay D quanh Ox.
Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đờng tròn (C): x2 + y2 = 8 vµ Parabol (P): y2 =2x
1) TÝnh diƯn tÝch S cđa miỊn D.
2) TÝnh thĨ tÝch V sinh ra bëi A khi quay quanh Ox.
Bµi5: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh ra khi ta quay ElÝp (E):

22

x2
a

2

+

y2

b

2

=1

quanh Ox.