Câu hỏi trắc nghiệm môn công nghệ chế tạo máy 1 có lời giải

 

Các phương Pháp tính giới hạn hàm số biên soạn Đặng Nhật
const  lim  const
 DangVo Dinh

Sơ đồ tư duy: Nhìn giới hạn  thay điểm dần tới vào   

0 
Thường là bài toán sẽ rơi vào trường hợp số 2 là các dạng vô định :  ; ;0.,1 ;00 ;   ; . 
0 



Sau đây tôi sẽ trình bày 1 số phương pháp tính giới hạn thường dùng :
I, Phương pháp liên hợp
Như chúng ta đã biết , các giới hạn cấp 3 chỉ dùng phương pháp liên hợp, nhưng lên đại học đây
lại là các bài toán khá tầm thường và phương pháp của chúng là sử dụng các hằng đẳng thức để
tạo ra các nhân tử sau đó là khử dạng vô định.

x

2

VD1: Tính giới hạn : lim
x2

 
 4  sin  x 
4 
x2

Như hướng phân tích ta sẽ thay 2 vào biểu thức trong dấu lim , sau khi thay ta được một kết quả
là

2

2

 4  sin
22


2  0 và 0 là 1 dạng vô định, với phương pháp liên hợp ta sẽ khử được dạng vô
0
0

định này.
Để ý rằng trên tử có x2  4 là 1 hằng đẳng thức ta sẽ phân tích thành  x  2 x  2 và sẽ thu gọn
được cho mẫu ,

Từ đó ta sẽ có giới hạn lim
x 2
VD2: Tính giới hạn : lim
x 4

x

2



 4  sin 
4
x2



x
x  2  sin

  lim
2 3
x2
1

x 2
x  5x  4
2

Tương tự ví dụ trên khi thay 4 vào ta cũng nhận được dạng vô định

0
nhưng khác cái là ta
0

không nhìn thấy hằng đẳng thức đâu, câu hỏi đặt ra là hằng đẳng thức nó ở đâu??? Thế thì nhìn
xuống mẫu thức là 1 ta thức bậc 2 ta có thể phân tích thành các nhân tử
lim
x 4

x 2

x 2
 lim
và để ý rằng x - 4 lại là 1 hằng đẳng thức
x  5 x  4 x4  x  1 x  4 
2

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

Từ đó ta có giới hạn :
lim
x 4

x 2
x 2
 lim
 lim
x

4
x  5x  4
 x  1 x  4 x4  x  1
2



x 2
x 2



x 2



 lim
x 4

1

 x  1 

x 2





1
12

Đó là 2 giới hạn với bậc 2 thế thì câu hỏi đặt ra là bậc 3 4 5,… bậc n thì sao hay là bậc 2 xen lẫn
3 thì sao, câu trả lời vẫn thế đó là tạo ra các nhân tử bằng phương pháp nhóm. Sau đây tôi sẽ
đưa ra một số ví dụ về nhóm :
VD1: lim
x 0

1  2x  3 x2  1

vẫn với bước đầu là thay 0 vào , ta lại nhận được dạng vô định
2x

Ta thấy trên tử các bậc của căn không giống nhau và đương nhiên ta sẽ không tạo ra hằng đẳng
thức được, vậy thì theo hướng phân tích ta sẽ tạo ra các nhân tử bằng cách them bớt, và giới
hạn sẽ được tính 1 cách dễ dàng như sau :





1  2 x 1  3 x2  1 1
1  2 x  3 x2  1
lim
 lim
x 0
x 0
2x
2x




2



 1
2x
x

1
x
  lim 

 lim 


x 0
 2 x 1  2 x  1 2 x  3 x 2  1 2  3 x 2  1  1  x 0  1  2 x  1 2  3 x 2  1 2  3 x 2  1  1  2


 

 












Đó là 1 ví dụ điển hình về khác căn, tuy nhiên những giới hạn này quá tầm thường và không
nằm trong chương trình thi học kì, vậy cho nên tôi sẽ không đề cập đến bài tập của nó, nhưng
chúng ta vẫn phải đọc vì nó là tiền đề của những cái về sau.
II, Phương pháp thay thế tương đương :

Trong chương trình học đại học, các thầy cô sẽ đề cập đến các đại lượng tương đương, thế thì
đặt ra câu hỏi nó làm cái gì, tương đương làm gì, sao không sử dụng liên hợp như cấp 3 đi, câu
trả lời là chúng ta nên chọn con đường ngắn nhất, dễ nhất mà đi. Vậy thì để lí giải cho con
đường siêu ngắn đó là các đại lượng tương đương. Sau đây tôi xin rình bày phương pháp này
một cách ngắn gọn nhất
Các bạn có biết rằng x  sin x khi nào không, khi x=0 nhỉ, vậy tại sao ta không thay sinx=x luôn,
điều này khoàn toàn hợp lí khi thay sinx=x . ứng dụng điều đó ta sẽ tính được giới hạn
lim
x 0

sin x
x
 lim  1
x

0
x
x

Và mỗi phép hay như thế ta gọi là thay thế vô cùng bé gọi tắng là (VCB)
Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

Vậy thì tôi xin đưa ra một số các vô cùng bé như sau :
khi x  0;
x  sin x  arcsin x  tan x  arctan x  ln  x  1  e x  1

Thế đặt ra 1 câu hỏi khi khi x  2; các đại lượng kia có bằng nhua hay không, câu trả lời là

không vì giá trị thay thế vào nó không bằng nhau. Mà phải là :
khi x  2;
x  2  sin  x  2   arcsin  x  2   tan  x  2   arctan  x  2   ln   x  2   1  e x 2  1

Đối với hàm hợp thì cũng như thế các bạn ạ
khi x  0;
x  tan x  etan x  1  ln  tan x  1  ln  sin x  1

Và từ đó ta có thể liệt kê ra rấ nhiều các đại lượng vô cùng bé tương đương nhau.
Đó chỉ là 1 mớ lí thuyết thế còn bài tập thì sao ? nó có gì đặc sắc không, câu trả lời là có
VD1: lim
x 1

sin  e x 1  1
ln x

đương nhiên là chẳng ông thầy nào dại mà cho thay số vào ra kết quả

Vậy thì ta thay thử 0 vào xem thế nao, thật là kì diệu nó ra 0/0 luôn,
sin  e x 1  1 ~ e x 1  1 ~ x  1

Thay 1 vào ta thấy khi x  1; 


ln x  ln  x  1  1 ~ x  1

từ đó ta có giới hạn

sin  e x1  1 VCB
x 1

lim
 lim
 1 thật là hay khi 1 dòng là xong hehe!
x 1
x 1 x  1
ln x

VD2: lim
x 0

e

x

 1  cos x  1
x3

vẫn thay 0 vào ta ra dạng vô định từ đó ta có thể thay thế các VCB

 e x  1 ~ x

2
x  0; 
 x2
 x
2 x
cos x  1  2sin   ~ 2   
2
2
2



Từ đó ta có giới hạn : lim
x 0

e

x

 1  cos x  1 VCB
 lim
x 1
x3

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

x.

 x2
2  1 lại 1 dòng xong =))))
3
x
2


 

Đến đây mình lại nghĩ ra 1 câu hỏi là khi nào được thay, thay thế có được điểm tối đa không?
Trả lời là có được điểm tối đa, chúng ta nên thay VCB vào những phân thức có dạng tích , ít
nên thay dạng tổng vì nhiều người thay dễ sai.

Phần này có thì không, câu trả lời là có nhưng là sẽ không hay, chỉ áp dụng cho phần sau.
Bài tập về phần này mình sẽ đề cập sau hehe!
III, Quy tắc lôpitan (Del ‘Lhopsital) và ứng dụng
Đặt câu hỏi phân thức là gì, phân thức là những hàm có dạng A/B , ở đây tôi quan niện phân
thức là hế , C+A/B không gọi là phân thức .
Vậy thì khi thay điểm dần tới vào phân thức có các dạng vô định ta được quyền sử dụng quy
tắc (L)
0 
Các dạng vô định:  ; ;0.,1 ;00 ;   ; . 
0 



Cách sử dụng: khi biết thức có 1 trong số các dạng trên ta lần lượt đạo hàm cả tử và mẫu
lim

x  xo

f  x L
f ' x
 lim
g  x  x xo g '  x 

Ta tiếp tục thay điểm dần tới vào, ở đây không nhất thiết là điểm x0 mà nó có thể là vô cùng
Nếu thay vào vẫn có dạng vô định ta tiếp tục đạo hàm tiếp và cứ thế đạo hàm đến khi nào hết
dạng vô định ta sẽ được kết quả:
f  x L
f ' x L
f ''  x  L
f '''  x  L

f n  x 
lim
 lim
 lim
 lim
 lim  n 
x  xo g  x 
x  xo g '  x 
x  xo g ''  x 
x  xo g '''  x 
x  xo g
 x

Tuy nhiên đạo hàm các hàm có thể gặp rắc rối vì thế ta nên sử dụng các đại lương VCB để thay
thế và sau đó đạo hàm rất dễ dàng =))
VD1; lim
x 1

ln x
thay 1 vào 0/0 thật thế thì L thôi
x  x2
2

1
 ln x  '  lim x  1
ln x
lim 2
 lim 2
x 1 x  x  2
x 1 x  x  2 '


 x1 2 x  1 3
L

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

VD2:
1
1
2
tan x  x
cos
x
lim
 lim
x  0 sin x  x
x  0 cos x  1
1
1  cos 2 x

1
2
2
1  cos x 1  cos x   lim 1  cos x   2
C1 : lim cos x
 lim cos x  lim
x  0 cos x  1

x  0 cos x  1
x 0
x 0
cos 2 x
 cos x  1 cos 2 x
L

1
 sin 2 x
2x
1 L
VCB
2
4
4
2
C2 lim cos x
 lim cos x  lim cos x lim
2
x  0 cos x  1
x  0  sin x
x 0
x

0
x
cos 4 x

VD3
1 

3 x  3sin x VCB
3 x  3sin x
3 x  3sin x
 1
lim 
   lim
 lim
 lim
x  0 sin 3 x
x 0
x 0
3 x  x 0 3 x .sin 3 x
3 x.3 x
9 x2

L
3  3cos x L
3sin x
 lim
 lim
0
x 0
x

0
18 x
18

VD4: lim
x 0

lim

e

 x2
2

x 0

L

 lim

xe

e
 lim
x 0

 cos x
nhìn phát dự đoán là loopitan 4 lần đúng ko, thật vậy kiểu gì chả ra
x4
 x2
2

 cos x
 xe  sin x
e
 lim

 lim
4
3
x 0
x 0
x
4x
L

 x2
2

x 0

L

e

 x2
2

 x2
2

 2 xe

 x2
2

 x2

2

 x2
2

 x e  cos x
12 x 2
2

 x2
2

 x e  sin x
12 x
2
2
x
 x2
 x
2
2
2
2
 x e  2e  x e 2


12
3

L

x
x

2
4
  3x e 2  x e 2  cos x
1


4
2

2

Tuy nhiên câu này làm thế dài, về sau ta sử dụng khai triển maclaurin để làm thì 2 dòng là ok
Tuy nhiên chúng ta sẽ gặp rắc rối ở phần mũ, khi gặp hàm mũ ta phải sử dụng 1 số giới hạn đặc
biệt và tính chất của loga:
Loại toán mũ này sẽ có hai cách làm và sẽ có nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên mình sẽ đề cập 2
dạng hay thi thôi.
Dạng 00 va 1
Sau đây là cách làm và 3 ví dụ điển hình :
Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

 

lim ln Ax

lim Ax  e xx0

x x0

lim ln  x. A

 e xx0

Và bài toán lại quay về tính giới hạn : xlim
ln  x. A rồi e mũ lên là ra kết quả
x
0

x

1
1
Cộng với ta phải nhớ giới hạn : lim 1    lim 1  x  x  e
x 
 x  x

VD1: lim  cos x  sin
x 0

1
2

dạng 1 mũ vô cùng

2x

Ta sẽ đặt A=  cos x  sin

1
2

2x

Tính limln A rồi e mũ lên là dc kết quả vì lim Ax  e
x x
x 0
0

1

lim  cos x  sin 2 2 x
x 0

1

Dat  cos x  sin 2 2 x  A
1
ln cos x


lim ln A  lim ln   cos x  sin 2 2 x   lim
 tinh chat log a 
x 0
x 0

x  0 sin 2 x


ln cos x VCB
ln cos x L
 tan x 1
tan x
lim
 lim
  lim

vi lim
1
2
2
x  0 sin x
x 0
x 0
x 0
x
2x
2
x

Vay lim  cos x  sin
x 0

1
2

2x

e

1
2

VD2
x3

 x4  4x  3 
2x  2 

lim  4
  lim
1  4

x  x  2 x  5
x 
 x  2x  5 


2x  2 

Ta Co lim 1  4

x 
 x  2x  5 
2x  2
lim 4

.x 3  2
x  x  2 x  5

x4  2 x 5
2 x2

e

x3

 x4  4x  3 
2
vay lim  4
 e
x  x  2 x  5



Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

x4  2 x 5 2 x 2
.
. x3
2 x  2 x4  2 x 5

 

lim ln Ax

x x0

lim ln  x. A

 e xx0


 



lim cos x  lim cos x
x

x 0

x 0



Dat cos x

VD3 :



1
x



1
x

A

 sin x
ln cos x
 sin x
lim ln A  lim
 lim 2 x .cos x  lim
x 0
x 0
x 0
x 0 2 x .cos
x
1
x
L

VCB

 x
1
1
 lim

x 0 2 x .cos x
x 0 2 cos
x 2

 lim

1

Vay lim x cos x  e 2
x 0

Phần IV: Một số câu giới hạn được sưu tầm trong cac đề thi và sáng tác

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

1.

e
lim

2x

 1  cos x  1

sin x.ln  2 x  1

x 0

2

1

2. lim  cos x  tan
x 0
3. lim
1  e
x 0

2

2x



2 x tan x
1

4. lim 1  2 x  x
x 0
5. lim x cot 5x
x 0

x2  4
arctan  x  2 
tan x  x
7. lim
x 0 sin x  x
ln  cos x 
8. lim
x 0 ln 1  x 2
 

6. lim
x 2

9. lim
x 0

x2

41. lim
1  2 x4 sin
x 0

1  x sin x  cos x
24. lim
x 0
x
sin 2
2
tan x  sin x
25. lim
x 0
x3
cos x  1
26. lim
x 0
x2
1  tan x  1  sin x
27. lim
x 0

arctan 3 x

 sin x  x sin x
43. lim


x 0
 x 
sin x  a
44. lim
x a
xa
2 cos x  1
45. lim 2
ln  x  1
x

1  x2  4 1  2 x
11. lim
x 0
x  x2
arcsin x
12. lim
x 0 x  2 x 2
e x sin x  x
13. lim
x 0
x2
 x 1


1
14. lim



x 2  x  2
ln  x  1 

e x  sin x  1
15. lim
x 0
x tan x
3

16. lim  5  2 x 

tan

x
4

x 2

cos 2 x  1
2 x2  x4
x2  1
18. lim
x 1 x ln x
e x  e x
19. lim

x  0 arcsin x
ln x
20. lim
x 0 1  2ln sin x
x
21. lim  sin x 

17. lim
x 0

x 0

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

42. lim
x 1

x 2

28. lim

x 

1  cos x  arcsin x

x tan 2 2 x
arcsin 3x  sin 2 x
10. lim 2
x 0 tan x  ln 1  x 

1

 x2  4 
22. lim


x  x 2  4


23. lim  x  2  cot 3  x  2 

1
x

e 1
1
x

sin x

4

x   2 arctan x 2 
46. lim
x 
e x  cos 2 x
47. lim
x 0
x2
2

2

49. lim
x 0

33. lim  sin x 

sin 3x  cos 4 x  1

ln 1  x3   arcsin 5 x


50. lim

x 0

1
1 
 
 sin 3 x 3 x 

51. lim
 cos x 
x 0
52. lim
x 0

x 0

cot x

e x cos x  1  x
x3
2x

tan x

53. lim

2

ln 1  x   sin x
34. lim
x 0
x sin x

54. lim
x 1

 arcsin tdt

x 0



1
x

sin 2 x

sin 2  4 x 

ln cos  4 x 

1
55. lim 1  2 
x 
 x 

35. lim  x

tan 2 x
e x  e x  2
36. lim
x  0 1  cos 2 x
3
3x  2  x  2
37. lim
x 0
x2  x  2
cot x  cot 5
38. lim
x 5
x 5
39. lim sin x  2  sin x

 arctan tdt

x

x 0

2x

40. lim
x 2 sin
x 0

ln x
x  x2
2

1

1

x 

2x

48. lim
1  3tan 2 x  ln15 x 
x 0

 cos x  x2
29. lim


x 0 cos 2 x



3
x
30. lim
x  0 x  sin x
cos x  3 cos x
31. lim
x 0
tan 2 x
cot x
32. lim 1  2 x 
x

2

5x

1

56. lim
 x  ex 2x
x 0
1

57. lim  sin x  cos x  x
x 0

58. lim
 x2 1 sin
x 1



3

59. lim
x 0


x 1

1  3 x  cos x
x sin x
2


 

Phần V lời giải

e

 1  cos x  1 VCB
2 x  cos x  1
 cos x  1 L lim  sin x  1
 lim
 lim
2
x 0
x 0

x 0
sin x.ln  2 x  1
x .2 x
x2.
2x
2

Câu 1: lim
x 0

2x

2

Câu 2:
1

lim  cos x  tan 2 2 x
x 0

ln  cos x  VCB
ln  cos x  L
 tan x 1

lim
 lim

2
2
x 0

x 0
x 0
tan x
x
2x
2

1

Dat  cos x  tan 2 2 x  A  lim ln A  lim
x 0

1

vay lim  cos x  tan 2 2 x  e

1
2

x 0

Câu 3 :
lim 1  e2 x 

tan x

x 0

lim 1  e2 x 

tan x

x 0

Dat 1  e2 x 

2e2 x
ln 1  e  VCB
ln 1  e  L
2x
 A  lim ln A  lim
 lim
 lim 1  e  
x 0
x 0
x 0
x 0
tan x
x
1
2x

tan x

vay lim 1  e2 x 

tan x

x 0

0

Câu 4:
1

lim 1  2 x  x
x 0

1

lim 1  2 x  x
x 0

1

ln 1  2 x  VCB
2 x
 lim
2
x 0
x

0
x
x

Dat 1  2 x  x  A  lim ln A  lim
x 0

1

vay lim 1  2 x  x  e2
x 0

Câu 5:
x VCB
x 1
 lim 
x 0 tan 5 x
x 0 5 x
5

lim x cot 5 x  lim
x 0

Câu 6:
Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

2x


 
VCB
 x  2 x  2  lim x  2  4
x2  4
x2  4
lim
 lim
 lim



x 2 arctan  x  2 
x 2 x  2
x 2
x2
x2

Câu 7:

1  cos x 1  cos x 
1
1
2
tan x  x VCB
1  cos x
cos 2 x
lim
 lim cos x
 lim
  lim
 2
x 0 sin x  x
x 0 cos x  1
x 0
x 0 cos 2 x
cos x  1
Câu 8:
ln  cos x  VCB
ln  cos x  L
 tan x 1


lim
 lim

2
x 0 ln 1  x 2
x 0
x

0
x
2x
2
 

lim

Câu 9:

1  cos x  arcsin x VCB
1  cos x  x  lim 1  cos x  L lim sin x  1

lim
2
x 0
x 0
x 0
x 0 8 x
x tan 2 2 x
4x2

8
x  2x 

lim

Câu 10:
3

 sin 2 x
2
arcsin 3x  sin x VCB
1

9
x
lim
 lim
3
x 0 tan 2 x  ln 1  x 
x 0
2 tan x
1

cos 2 x x  1
2

1



1

4 4 1  2 x  L 1
3 3 1  x 2 
1  x2  4 1  2 x L
lim
 lim

x 0
x 0
x  x2
1 2x
12
2

3

3

Câu 12
L
arcsin x VCB
x
1
 lim
 lim
1
2
2
x 0 x  2 x

x 0 x  2 x
x 0 1  4 x

lim

Cau 13
e x sin x  x L
e x sin x  e x cos x  1 L
e x sin x  e x cos x  e x cos x  e x sin x

lim

lim
1
x 0
x 0
x 0
x2
2x
2

lim

Cau 13
Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

1



L
 x 1





 x  1 ln  x  1  x  2  lim ln  x  1  1  1  lim
1
1
x 1
lim 

 cau15
  lim

 x 2 

x2 x  2
x

2
x

2
1
1
ln  x  1 

2

  x  2  ln  x  1 
 ln  x  1  x  2 

2
x 1 
x  1  x  1

e x  sin x  1 VCB
e x  sin x  1 L
e x  cos x L
e x  sin x 1
 lim

lim

lim

x 0
x 0
x 0
x 0
x tan x
x2
2x
2
2

lim

Cau 16
lim  5  2 x 

tan

x
4

x2

Dat  5  2 x 

tan

x

A

4

x

tan

lim ln  5  2 x  4
x2


Vay lim  5  2 x 

tan

x 2

2
L
ln
5

2
x

  lim 5  2 x  8

  lim
x2
x  2 
x
1

cot
.

x
4
4 sin 2
4
x
4

e

8



Cau 17
cos 2 x  1 L
2sin 2 x L
4cos 2 x

lim
 lim
 1
2
4
3
x 0 2 x  x
x 0 4 x  4 x
x 0 4  12 x 2

lim

Cau 18
x2 1 L
2x
 lim
2
x 1 x ln x

x 1 ln x  1
x 2  1 VCB
x2 1
x 1
cach 2 lim
 lim
 lim
2
x 1 x ln x
x 1 x  x  1
x 1
x
cach 1 lim

Cau 19
e x  e  x VCB
e x  e x L
e x  e x
 lim
 lim
2
x 0 arcsin x
x 0
x 0
x
1

lim

Cau 20

1
ln x
tan x 1
lim
 lim x  lim

x 0 1  2ln sin x
x 0 2cot x
x 0
2x
2
L

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

Cau 21
lim  sin x 

x

x 0

Dat  sin x   A
x

ln  sin x  L
cot x

 x 2 VCB
 x2
 lim
 lim
 lim
0
x 0
x 0 1
x 0 tan x
x 0 x
1
x
x2

lim ln  sin x   lim  x ln  sin x    lim
x

x 0

x 0

Vay lim  sin x   e0  1
x

x 0

Cau 57

e x cos x  1  x L
e x cos x  e x sin x  1 L

e x cos x  e x sin x  e x sin x  e x cos x
2e x sin x VCB
2e x x 

lim

lim

lim

lim

x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x3
3x 2
6x
6x
6x

lim

cau
2x

 arcsin tdt

lim
x 0

x

tan 2 x



v  t
2x
2 x
dt  dv
1
2tdt
2x

dat 

2 xarc sin 2 x  x arcsin x  1  4 x 2  1 
1   arcsin tdt  t .arcsin t  x  
2
du

arcsin
t

u
2 x 1 t


x

1 t2

2 xarc sin 2 x  x arcsin x  1  4 x 2  1  x 2

x 0
x2
4x
x
8 x
2 x
2arc sin 2 x 
 x arcsin x 


2
2
2
1 4x
1 x
1  x2
2 1  4 x 
lim
x 0
2x
1
2arc sin 2 x  arcsin x 
1  x2  1
lim

x 0
2
2
lim

Cau 22:
x2

 x2  4 
8 

lim  2
 lim 1  2


x  x  4
x 
 x 4



x2  4 8 x2
.
8 x2  4

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

 e8

 

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145