Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN - TIN HỌC

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ
MÃ SỐ: B.2007-19-18

MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN - TIN HỌC

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ
MÃ SỐ: B.2007-19-18

MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN - TIN HỌC

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ
MÃ SỐ: B.2007-19-18

MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2008


2

Tham gia thực hiện đề tài:
GS.TS. Bedrich Puza .
Trƣờng Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech.


3

MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................................. 3
TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 4
SUMMARY ............................................................................................................................... 6

NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO.................................................................................................... 8
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 19
PHỤ LỤC................................................................................................................................. 21


4

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ
Tên đề tài: Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm.
Mã số:B2007-19-18.
Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn.
Tel: 08.330124. E-Mail:
Cơ quan chủ trì đề tài: Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh.
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện:
Giáo sƣ,Tiến sỹ Bedrich Puza, bộ môn toán giải tích, khoa khoa học, trƣờng Đại học
tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech.
Thời gian thực hiện: tƣ tháng 4/2007 đến tháng 4/2009.
1.Mục tiêu nghiên cứu:
- Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải đƣợc của hệ phƣơng trình vi phân hàm hoặc
phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng
phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm.
2.Nội dung chính:
- Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho
hệ phƣơng trình vi phân thƣờng với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng
phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm.
- Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc giải đƣợc của hệ phƣơng trình vi phân
với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm.
- Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phân
hàm bậc cao với điều kiện biên đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên

nghiệm.
- Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm cho phƣơng
trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng
pháp đáng giá tiên nghiệm.
3. Kết quả chính:
Kết quả chính của đề tài thu nhận đƣợc gồm bốn bài báo sau:
1).B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a bounảary value problem for system of
ordinary differential equatons, East-west Journal of Matematics,Vol.6. No.2 (2004), 139151.
2).Nguyen Anh Tuan, An effective crỉterion of solvability of boundary value
problems for a system of ordinary differential


5

equations. East-west Journal of Matematics,Vol.7. No. 1 (2005), 69-77.
3) Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao, Tạp
chí KHOA HỌC.ĐHSP.TP.HCM, số 4(38), 2004. 51-59.
4) Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên cho
phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí KHOA HỌC. ĐHSP.TP.HCM, số 8(42),2006 6269.


6

SUMMARY

Project Title: A class of boundary value problems for functional differential equations.
Code number: B.2007-19-18.
Coordinator: Nguyen Anh Tuan. Assoc.Prof,Ph.D., Department of Mathematics-Computer
science.
Implementing Institution: Ho Chi Minh City University of Pedagogy.

Cooperating Institution: Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science,
Masaryk University. Individuals attend the subject:
Bedrich Puza, Prof.Ph.D., Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science,
Masaryk University.
Duration: From April, 2007 to April, 2009.
1)Objectives:
Studying sufficient conditions of solvability of boundary value problem for system of
ordinary differential equations or for functional differential equations of n-th order with
functional boundary conditions constructed by method of priori estimates.
2) Main contents:
-Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solutions of
boundary value problem for systems for ordinary differential equations with functional
boundary conditions constructed by method of priori estimates.
-Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for
system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by
method of priori estimates.
-Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solution of
boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional
boundary conditions constructed by method of priori estimates.


7

- Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for
functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions
constructed by method of priori estimates.
Results obtained:
The main results had got as follows:
1) B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary valueproblem for system of
ordinary differentiaỉ equations, East-west Journal of Matematics,Vol.6. No.2 (2004), 139151.

2) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value
problems for a system of ordinary differential equations. East-west Journal of
Matematics,Vol.7. No. 1 (2005) 69 - 77.
3) Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem functional differential equations
of n-th order, Journal of science, Ho Chi Minh city university of Pedagogy, Vol 4. (38) (122004).51-59.
4) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value
problems functional differential equations of n-th order. Journal of science, Ho Chi Minh
City university of Pedagogy, Vol.8.(42) (7-2006).62-69.


8

NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO
I.Tính cấp thiết và tổng quan về đề tài:
Lý thuyết bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18 nhƣ một
công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên đến nay nó còn phát triển mạnh
nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống nhƣ: vật lý,
cơ học, kỹ thuật công nghệ, nông nghiệp, sinh học và kinh tế…
Song nghiên cứu và phát triển theo hƣớng này thực sự phát triển mạnh và thu đƣợc
nhiều kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do nhóm các nhà toán học Grudia và Cộng hòa Czech
dƣới sự dẫn dắt của giáo sƣ viện sỹ I.Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi. Các công
trình khai phá cho hƣớng nghiên cứu này đƣợc trình bày trong các công trình nhƣ [1],[2],[3],
...[10]...
Bài toán biên cho phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm trong các năm
gần đây đã đạt đƣợc một số kết quả trong [10], [11 ],....
II. Nội dung chính của đề tài.
Nội dung chính của đề tài gồm hai phần: bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân và
bài toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao với cùng điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây
dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. Xét bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi
phân:

với điều kiện biên:
Trong đó với mỗi i ∈{1,...,n} hàm fi :[a,b] x Rn→R thỏa điều kiện Caratheodory, Φi là
phiếm hàm tuyến tính không giảm trên không gian C([a,b]) và tập trung trên đoạn [ai,bi]
[a,b] (có nghĩa là giá trị của hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp với đoạn [ai,bi] và đoạn
này có thể suy biên thành một điểm) và φi là hàm số liên tục trên không gian Cn([a,b]).
Trƣờng hợp đặc biệt của điều kiện (2) là:
Điều kiện biên nhiều điểm

hay đặc biệt hơn là điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoletti


9
Các bài toán (1), (5) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17],... Bài toán (1), (3) đã đƣợc nghiên
cứu trong [16], [17]. Tƣơng tự bài toán (1), (4) đã đƣợc nghiên cứu trong [17],....
Các kết quả chính cho bài toán biên (1), (2) đƣợc đăng tải trong các bài báo [14], [15]. Sau
đây ta nhắc lại một số kết quả chính mà tác giả đạt đƣợc trong bài báo [14].
Định nghĩa 1. Giả sử G= (gi)ni=1 : C([a,b]) → Rn ,
là toán tử
thuần nhất dƣơng không giảm. Ta nói

nếu hệ bất phƣơng trình vi phân

với điều kiện biên

chỉ có nghiệm tầm thƣờng.
Định lý 1. Giả sử
đƣợc thực hiện

Và

Với mọi

và các bất đẳng thức sau


10
Trong đó ωi: [a, b] xR+→ R+ là hàm số đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với
biên thứ hai,ri : R+ → R+ là hàm số không giảm và thỏa:

Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 2. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện :

với

với

Trong đó

thỏa điều kiện (6).

Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Để chứng minh các định lý 1, 2 ta dựa vào
bổ đề đánh giá tiệm cận sau:
Bổ đề 1. Giả sử điều kiện (6) đƣợc thực hiện. Khi đó với mỗi hằng số dƣơng ro > 0, ωo ∈
L([a,b],R+) và với mỗi X ∈ ACn ([a,b]) thỏa các bất đẳng thức sau :

với điều kiện biên


11

đều tồn tại hằng số dƣơng p > 0 sao cho đánh giá sau xẩy ra:

Trong bài báo [15] ta sẽ xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả đề bài toán (1), (2) là giải đƣợc.
Các kết quả chính của bài báo gồm các định lý sau:
Định lý 3. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có:

và trên Cn ([a,b]) ta có

Trong đó

ωi: [a, b] x R+ → R+, ri :R+ → R+ (i=1,... ,n) thỏa các điều kiện trong định lý l. và bán kính
phổ của ma trận S=(Sij)ni,j=1’

bé hơn 1. Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 4. Giả sử trên [a,b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện:


12

và trên Cn([a,b]) có

Trong đó
thỏa các điều kiện của
định lý 3. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm.
Định lý 5. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có:

và trên Cn ([a,b]) ta có

Trong đó

thỏa các điều kiện trong
định lý 1 và là các phiếm hàm không giảm, thuần nhất dƣơng. Hơn nữa bán kính phổ của các
ma trận


13
và

có bán kính bé hơn 1. Trong đó.

(i=1,...,n).
Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 6. Giả sử trên [a, b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện:

và trên Cn([a,b]) có

Trong đó hij, Ψij,gi (i,j=1,...,n) thỏa các điều kiện của định lý 5.
Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm.
Trong phần hai của đề tài chúng ta nghiên cứu tính giải đƣợc của phƣơng trình vi phân hàm
bậc cao với điều kiện biên nhƣ trên.
Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao sau :


14
với điều kiện biên dạng hàm:

Trong đó toán tử f: C(n-1)([a,b]) →L([a,b]) , (i = l,2,...,n) thỏa mãn điều kiện Carathéodory.
Với mỗi i ∈ {l,....,n} phiếm hàm Φi trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong không
gian C([a, b]) và tập trung trong đoạn [ai,bi]

[a,b] (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φi chỉ

phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một
điểm).
Ta luôn có thể giả thiết Φi (1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm φi. (i= 1, 2,..., n) là
liên tục trong không gian Cn-1 ([a, b]).
Các trƣờng hợp riêng của điều kiên biên (25) là:
Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti
hay điều kiện biên dạng tuần hoàn
Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n-1) liên tục tuyệt đối trên
đoạn [a,b] và thỏa phƣơng trình (24) hầu khắp nơi trên đoạn [a,b] và thỏa điều kiện biên (25).
Định nghĩa 2 : Giả sử

là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) ∈ L([a,b]) Nếu hệ bất phƣơng
trình vi phân

với điều kiện

chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng:
Sản phẩn chính của phần này là các kết quả sau đây:


15
Định lý 7: Giả sử
(g,fo, Ψ1, , Ψn) ∈ Nic ([a, b], a1,...,an, b1,..., bn)
và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thực hiện các điều kiện sau :

với mọi an ≤ t ≤ b, u ∈ Cn-1 ([a,b])

với mọi a < t < bn, u ∈ Cn-1 ([a,b])

với mọi u ∈ Cn-1 ([a,b]) , (i = 1,2 ...n).
Trong đó hàm số ω : [a, b] x R+ →R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm
đối với biến thứ hai, hàm số r: R+→R+ là không giảm và thỏa

Khi đó bài toán biên (24), (25) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 8: Giả sử điều kiện (28) đƣợc thực hiện và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thỏa các
điều kiện sau :

với an ≤ t ≤ b , u,v ∈ Cn-1 ([a,b])

(321)

với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ Cn-1 ([a,b])

(322)


16

với mọi u,v ∈ Cn-1([a, b])

(33)

Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm.
Định lý 9 . Giả sử các điều kiện sau là đƣợc thực hiện:

và

Trên C(n-l)([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực hiện

Trong đó r , rij (i,j=l,2,...,n) là các số thực không âm ω:[a,b] x R+ → R+ là hàm đo đƣợc đo đối
với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai và thỏa điều kiện (31).

(i=l,2,...,..n) là đơn điệu và


17

Trong đó

Và

Khi đó bài toán (24), (25) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 10. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện:

và trong C(n-1)([a,b])


18

Trong đó các hàm số hi, ki và các hằng số rịj ,Si Và δi (i,j=l,2,...,n) thỏa các điều kiện trong
định lý 9.
Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm.
Các kết quả trên đƣợc chứng minh đầy đủ trong hai bài báo sau [12], [13] đƣợc đăng
trên tạp chí khoa học của trƣờng.Tuy nhiên các kết quả còn đúng hay không cho bài toán biên
dạng vall-Pussil hay bài toán biên không chính qui đến nay vẫn còn chƣa đƣợc tiếp tục xem
xét. Các kết quả trên cho phƣơng trình vi phân cũng đƣợc tác giả xem xét trong [10], [11].

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. I.Kiguradze and B.Puza, On boundary value problems for systems of linear
functional differential equations. Czechslovak. Math, J, 47 (1997) , No.2, 341- 373.
2. I.Kiguradze and B.Puza, Conti -Opial type theorems for systems of functional
differential equations (Russian). Differentsialnye Uravneniya, 33 (1997), No.2, 185 - 194.
3. I.Kiguradze and B. Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems
for fuctional differential equations .Georgian Math, J, 5 (1998) No. 3251- 262.
4. E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.Puza. A not on the theorem on dịfferential inequalities,
Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627 - 631.
5. R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations,
Georgian Math, J, (1999), No.5, 429 - 440.
6. R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear functional
differential equations, E.LQualitative Theory of Diff. Equ. (1999) No.10, 1-16.
7. R.Hakl, I.Kiguradze, B.Puza, Upper and lower solutions of boundary value
problems for functional differenial equatons and theorems on functional differential
inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.3. 489 - 512.
8. R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear
functional differential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth & Appl. 49(2002), 929 - 945.
9. I.Kiguradze, B.Puza, On boundary value problems for functional differential
equations. Mem. Differential Equutions Math. Phy. 12 (1997), 106 -113.
10. Nguyễn Anh Tuấn, On one class of sovable boundary value problems for ordinary
differential equation of n-th order, Comment. Univ. Carolin. 35, 2. (1994), 299 - 309.
11. Nguyễn Anh Tuấn, On an effective criterion of solvability of boundry value
problems for ordinary differential equation of n-th order. Arch. Math 41 (2005). No. 451460.


20

12. Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao,
Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004.
13. Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên
cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 8 (42),
2005.
14. B. Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem for system of
ordinary differential equations, East-west Journal of Matematics, Vol 6 No.2 (2004), 139151.
15. Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value
problems for a system of ordinary differential equations. East-west Journal of
Matematics,Vol.7. No. 1 (2005), 69-77.
16. I.Kiguradze, Some singular boudary value problem for ordinary dif-ferential
equations, (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975.
17. I.Kiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential
equations. (in Russian), Sovremennye Problemy matem., T30 (Itogi nauki I tech.,VINITI,
ANSSR, Moskva, 1987, 3-203).


21

PHỤ LỤC


EAST - WEST
JOURNAL 0F MATHEMATICS
Volume 6 • Number 2 • December 2004

Executive Editors:
SOMPONG DHOMPONGSA
Chiang Mai University

DINH VAN HUYNH
Ohio University

Chiang Mai 50200 Thailand
sompongd@ chiangmai.ac.th
SURENDER K. JAIN
Ohio University
Athens, OH 45701, USA

Athens, OH 45701, USA

MARION SCHEEPERS
Boise State Uniyersity
Boise, Idaho, USA





Managing Editor:
NGUYEN VAN SANH
Mahidol Univerity
Bangkok 10400,Thailand
frnvs @ mahidol. ac. th

BANGKOK - KHON KAEN
THAI LAND

ISSN 1513-489X

East - West J.of Mathematics : Vol. 6, No 2 (2004)pp. 139-151

ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR
A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS
̇̌
Department of Mathematics
Masaryk University.
JanáCkovo nám. Sa, 662950 Brno, Czech Republic.
Department of Mathematics
University of Education
280 An Duong Vuong, Ho Chi Minh City, Viet Nam.

Abstract
New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the so-lution of a boundary problem for a
system of ordinaxy differential equa-tions with certain functional boundary conditions are constructed by the
method of a priori estimates.

Introduction
In this paper we give new sufficient conditions for the existence and the unique-ness of the
solution of the problem

where for each i ∈{1,…,n} fi:

xRn → R satisfies the Carathéodory conditions, Φoi - the

linear nondecreasing continuous functional on C((a,b)) is concentrated on ai, bi
(i.e. the value of Φoi depends only on functions

Key words: boundary value problem with functional condition, functional differential equation, method of
priori estimates, differential inequalities.
2000 AMS Mathematics Subject Classification: 34A15, 34B10.

139