bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH





Nguyễn Tăng Vũ




BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO






Chuyênngành : Toán Giải Tích
Mãsố : 60.46.01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn













Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN


ĐầutiêntôixinđượcbàytỏlòngbiếtơnsâusắcnhấtđếnPGS.TSNguyễnAnhTuấn,
mặcdùbậnrấtnhiềuviệcnhưngđãtậntâmhướngdẫnvàtạođiềukiệntốiđađểtôicóthể
hoànthànhluậnvăn.Nhânđâyemcũngxinlỗithầyvìđãlàmthầythấtvọngvềmìnhtrong
thờigianlàmluậnvăn,vàmongthầyluôncósứckhỏetốtvàthànhcôngtrongcôngviệc.
TôixingửilờicảmơnđếnQuýThầyCôtrongHộiđồngchấmluậnvănđãgiànhthời
gianđọc,chỉnhsửavàđónggópýkiếngiúpchotôihoànthànhluậnvănnàymộtcáchhoàn
chỉnh.
TôixincảmơnBanGiámHiệu,PhòngKHCN-SauĐạihọccùngtoànthểthầycôkhoa
Toán-TinhọctrườngĐạihọcSưPhạmTP.HồChíMinhđãgiảngdạyvàtạomọiđiềukiện
tốtnhấtchotôitrongsuốtthờigianhọctậpvànghiêncứutạitrường.
Tôicũngchânthànhcảmơngiađình,cácanhchịđồngnghiệpvàbạnbèthânhữuđã
độngviên,giúpđỡtôihoànthànhluậnvănnày.
Cuốicùng,trongquátrìnhviếtluậnvănnàykhótránhkhỏinhữngthiếusót,rấtmong

nhậnđượcsựgópýcủaQuýThầyCôvàbạnđọcnhằmbổsungvàhoànthiệnđềtàihơn.
Xinchânthànhcảmơn.
      TPHồChíMinhtháng10năm2010



DANH MỤC KÍ HIỆU




,
I a b
 

n
R
làkhônggianvectơnchiềuvớivectơcột
 
1
n
i
i
x x


trongđó
i
x R



Trên
n
R
tatrangbịchuẩn:
1
n
i
i
x x





n n
R

làkhônggiancácmatrậncấp
n n


 
, 1
n
ik
i k
X x



trongđó


, 1,2, ,
ik
x R i k n
 
vớichuẩn:
, 1
n
ik
i k
X x





 


1
: 0; 1, ,
n
n n
i i
i
R x R x i n



   
,
 


, 1
: 0; , 1, ,
n
n n n
ik ik
i k
R x R x i k n



   

 Nếu
,
n
x y R

và
,
n n
X Y R


thì:
,

n n n
x y y x R X Y Y X R

 
       

 Nếu
 
n
n
i
i
x x R
 
và
 
, 1
n
n n
ik
i k
X x R


 
thì:





 
 
1
1 , 1
, , sgn sgn
n n
n
i ik i
i
i i k
x x X x x x

 
  




;
n
C I R
khônggiancácvectơhàmliêntục
:
n
x I R

vớichuẩn





max :
C
x x t t I
 


C

với
0


làkhônggiancáchàmliêntục

-tuầnhoàn
:
u R R

vớichuẩn:




max :
C
u u t t R

 







1
0;
n
C


làkhônggiancáchàm


: 0;
u R


khảviliêntụccấp(n–1)với
chuẩn
 
 
 
 
 


1
1
0;

1
max :0
n
n
k
C
k
u u t t





  

   

1
n
C


làkhônggiancáchàmkhảviliêntụccấp


1
n

,


-tuầnhoànvớichuẩn
 
1
1
1
n
n
k
C
C
k
u u










1
n
C


làkhônggiancáchàm
1
n

u C



với


1
n
u

làliêntụctuyệtđối.





0;
L

làkhônggiancáchàmkhảtíchLebesgue


: 0;
u R


vớichuẩn
    
 

 
 
0;
0
L
u u t dt




 



;
n
L I R
khônggiancácvectơhàmkhảtích
:
n
x I R

vớichuẩn
   
 
b
L
a
x x t dt





L

làkhônggiancáchàm
:
u R R

,

-tuầnhoàn,khảtíchLebesguetrên


0;

với
chuẩn
 
0
L
u u s ds






MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Lýthuyếtbàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânthườngvàphươngtrìnhvi
phânhàmrađờitừthếkỷ18,songđếnnayvẫnđượcnhiềungườiquantâmnhờcácứng
dụngrộngrãicủanótrongcáclĩnhvựcvậtlý,cơhọc,kinhtế,nôngnghiệp,….Đặcbiệt,bài
toánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàmđạtđượcnhiềukếtquảbắtđầutừnăm
1995nhờcáckếtquảcủacáctácgiảnhưI.Kiguradze,B.Puzachohệphươngtrìnhviphân
hàmtổngquát.Cáckếtquảvềphươngtrìnhviphânhàmbậccaocũngđượcnghiêncứumột
cáchrộngrãivàcũngđạtđượcnhiềukếtquảđángchúý.Vìvậychúngtôichọnđềtàinày
làmnộidungnghiêncứucủaluậnvănnhằmhọctậpvàpháttriểnđềtàicủamìnhtheohướng
củacáctácgiảtrên.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiêncứutínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàm
bậccao.Từđó,ápdụngcáckếtquảđạtđượcchophươngtrìnhviphânđốisốchậm,đốisố
lệch.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lýthuyếtbàitoánbiên,giảitíchhàm,lýthuyếtphươngtrìnhviphânhàm.Lýthuyết
bàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàmbậccao.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luậnvănlàtàiliệuthamkhảochotấtcảmọingườiquantâmđếnbàitoánbiêntuần
hoànchophươngtrìnhviphânhàmbậccao.
5. Cấu trúc luận văn
 Nộidungchínhcủaluậnvăngồm2chương
Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến
Nộidungchínhcủachươnglànghiêncứusựtồntạinghiệmđốivớibàitoánbiêncho
hệphươngtrìnhviphânhàmphituyến.
Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao
Chươngnàynghiêncứutínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhvi
phânhàmbậccaovàápdụngcáckếtquảchophươngtrìnhviphânđốisốlệch,đốisốchậm.
Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN



1.1 Giới thiệu bài toán
Cho




: ; ;
n n
f C I R L I R

và


: ;
n n
h C I R R

làcáctoántửliêntụcthỏavớimọi


0;

 
thì:
  





 
 
 
 
sup . : ; , ;
sup : ; ,
n
C
n
C
f x x C I R x L I R
h x x C I R x


  
   

Xéthệphươngtrìnhviphânhàmphituyến:


  
dx t
f x t
dt

 (1.1)
vớiđiềukiệnbiên  


0

h x

      (1.2)
Định nghĩa 1.1
Nghiệmcủacủabàitoán(1.1),(1.2)làcácvectơhàmliêntụctuyệtđối
:
n
x I R

,
thỏa(1.1)hầukhắpnơitrên
I
vàthỏa(1.2).
  Trongphầnhaitanghiêncứucácđiềukiệnđủchosựtồntạinghiệmcủaphươngtrình
(1.1),(1.2).Trongphầnba,tathiếtlậpcáctiêuchuẩnchosựtồntạinghiệmcủabàitoán
biên:
    


 
 
0
,
dx t
f t x t
dt

    (1.3)











1 2 0
x t x A x x t x c
 
    (1.4)
trongđó
0
:
n n
f I R R
 
làvectơhàmthỏađiềukiệnCaratheodory,
0
n
c R


và


: ;
n
i

t C I R I

và


: ;
n n n
A C I R R


làtoántửliêntục.
1.2Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)
Định nghĩa 1.2
Cặptoántử


,
p l
với






: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và





: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
đượcgọilànhấtquánnếuthỏacácđiềukiệnsau:
i) Vớimỗi


;
n
x C I R

cốđịnh,toántử
 




,. : ; ;
n n
p x C I R L I R

và
 



,. : ;
n n
x C I R R

làtuyếntính.
ii) Vớimọi


, ;
n
x y C I R

vàhầuhết
t I

tacócácbấtđẳngthức:






, ,
C C
p x y t t x y


,





0
,
C C
x y x y


,
trongđó
0
:
R R

 

làhàmkhônggiảmvà
:
I R R

 
 
khảtíchtheođốisố
thứnhấtvàkhônggiảmtheođốisốthứhai.
iii) Tồntạisốthựcdương

saochovớimọi


;

n
x C I R

,


;
n
q C I R

và
0
n
c R

,
và với mọi nghiệm bất kỳ y của bài toán biên:


      
0
, , ,
dy t
p x y t q t x y c
dt
  

   (1.5)
thỏa



0
C L
y c q

 
      (1.6)
Định lý 1.3
Giảsửtồntạisốdươngρvàcặpnhấtquán


,
p

với






: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và





: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
làcáctoántửliêntục
saocho


0;1

 
mọinghiệmcủabàitoán


        
, ,
dx t
p x x t f x t p x x t
dt

  
 
 
 (1.7)







, ,
x x x x h x

 
 
 
 
    (1.8)
thỏa  
C
x


       (1.9)


Khiđóbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm.
Chứng minh
Gọi
0
,
 
và

làcáchàmvàcácsốtrongđịnhnghĩa1.2.Tađặt:
      





     
 
 
0 0
2 ,2 sup : ; , 2
2 2 sup : ; , 2
n
C
n
C
t t f x t x C I R x
t h x x C I R x
   
   
   
   

   
1 khi 0
2 khi 2 1
0 khi 2
s
s
s s s
s

   


  



     





     (1.10)














,
C
q x t x f x t p x x t

 
 
 

     (1.11)








0
,
C
c x x x x h x

 
 
 


Khiđódođịnhnghĩacủafvàαtacó




0
; ,t L I R
 
  
vàvớimỗi



;
n
x C I R

tacó




0 2 , 1 2
C C C
x x x x
   
     
nênvớihầuhết
t I

,tacóbấtđẳngthức:








0 0
,q x t t c x
 

 
    (1.12)
(do




0 2
C
q x t x

  
)
Cốđịnh


;
n
x C I R

,xétbàitoánbiêntuyếntính


         
0
, , ,
dy t
p x y t q x t x y c x
dt
  

 (1.13)
Theođiềukiện(iii)củađịnhnghĩa1.2thìbàitoánthuầnnhất


    
, , , 0
dy t
p x y t x y
dt
 

   (1.13
0
)
chỉcónghiệmtầmthường.Theođịnhlý1.1([5])từđiềukiện(i),(ii)củađịnhnghĩa1.2và
(1.13
0
)chỉcónghiệmtầmthườngnênbàitoán(1.13)cónghiệmduynhất.
Mặtkhác,từcácđiềukiện(ii),(iii)củađịnhnghĩa1.2vàcácbấtđẳngthứctrong(1.12),
nghiệmycủabàitoán(1.13)thỏa




*
0
,
C
y y t t
 


 
 hầuhết
t I

 (1.14)
trongđó








*
0 0 0 0
, ,
L
t t t
        
   

Đặt




: ; ;
n n

u C I R C I R

làtoántửđặttươngứngmỗi


;
n
x C I R

vớinghiệm
y
trong
bàitoán(1.13).Từhệquả(1.6)(hệquảcủađịnhlývềtínhxấpxỉnghiệmcủabàitoánbiên
củahệphươngtrìnhviphânhàmtuyếntínhtrong[5]),thìtoántửuliêntục.Mặtkhác,từcác
bấtđẳngthức(1.14)tacó:
         
*
0
,
t
C
s
u x u x t u x s d
   
  

vớis, t∈I.
Đặt





0
0
; :
n
C
C x C I R x


  
,khiđóulàtoántửliêntụctừ
0
C

vàotậpconcompact
củachínhnó,nêntheonguyênlýSchauder,tồntại
0
x C


saocho






u x t x t


vớit∈I.
Theođẳngthức(1.11),xrõrànglànghiệmcủabàitoán(1.7),(1.8)với


C
x
 

     (1.15)
Chúngtacầnchứngminhxthỏa(1.9).Giảsửngượclại,khiđósẽxảyrahaitrườnghợp
 
2
C
x
 
 
     (1.16)
Hoặc  
2
C
x


      (1.17)
Nếubấtđẳngthức(1.16)thỏamãn,thìtheo(1.10)và(1.15)thì


0,1



.Tuyvậy,theođiều
kiệncủađịnhlýtacó(1.9)nênmâuthuẫnvới(1.16).
Nếu(1.17) thỏa. Khi đótheo (1.10) và (1.15) thì
0


, suy rax là nghiệmcủa bài toán
(1.13
0
).Điềunàylàkhôngthểvì(1.13
0
)chỉcónghiệmtầmthường.
Từcácđiềutrêntathấyxthỏa(1.9).
Dođó,từ(1.9),(1.10),(1.15)rõràng
1


,suyraxlànghiệmcủabàitoán(1.1),(1.2). 


Định nghĩa 1.4
Cho






: ; ; ;
n n n

p C I R C I R L I R
 
và




: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
bấtkì,và




0
: ; ;
n n
p C I R L I R

và


: ;
n n
C I R R

làcáctoántửtuyếntính.Chúngtanóirằng
cặp



0 0
,
p

thuộcvềlớp
,
n
p l

nếutồntạidãy


 
; 1,2,
n
k
x C I R k 
saochovớimỗi


;
n
y C I R

cácđiềukiệnsauđượcthỏamãn:
 
    
0

0 0
lim ,
t t
k
k
p x y s ds p y s ds


 
đềutrênI




0
lim ,
k
k
x y y


 


Định nghĩa 1.5
Tanóicặptoántửliêntục







: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và




: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
,thuộclớp
0
n
O
nếu:
i) Vớix cốđịnhthuộc


;
n
C I R
thìtoántử
 





,. : ; ;
n n
p x C I R L I R

và
 


,. : ;
n n
x C I R R

làcáctoántửtuyếntính.
ii’)Vớibấtkìxvàythuộc


;
n
C I R
vàhầuhết
t I

,cácbấtđẳngthức
  









0
, , ,
C C
p x y t t y x y y
 
 


 thỏamãn,trongđó
:
I R



làkhảtíchvà
0
R




iii’)Vớimỗi


0 0
,

n
pl
p


,bàitoán


    
0 0
, 0
dy t
p y t y
dt
 

    (1.18)
 chỉcónghiệmtầmthường.
Hệ quả 1.6
Giảsửtồntạisốdương

vàcặptoántử


0
,
n
p O



saochovớimỗi


0,1

 ,mọi
nghiệmcủabàitoán(1.7),(1.8)thỏa(1.9).Khiđóbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm.
Chứng minh
Theobổđề2.2của[6],nếu


0
,
n
p O


thì


,
p

lànhấtquán,nêntừđịnhlý1.3tacó
điềucầnchứngminh.
Định nghĩa 1.7
Toántử





0
: ; ;
n n
p C I R L I R

đượcgọilàbịchặnmạnhnếutồntạimộthàmkhả
tích
:
I R



saochovớimọi


;
n
y C I R

thìbấtđẳngthức






0
C
p y t t y



thỏa
mãnvớihầuhết
t I

.
Hệ quả 1.8
Giảsửtồntạisốnguyêndươngρ,mộttoántửtuyếntínhbịchặnmạnh




0
: ; ;
n n
p C I R L I R

vàmộttoántửtuyếntínhbịchặn


0
: ;
n n
C I R R

saochobài
toán(1.18)chỉcónghiệmtầmthườngvàvớimỗi



0,1


nghiệmbấtkìcủabàitoán



              
0 0 0 0
,
dx t
p x t f x t p x t x x h x
dt
 
    
   
   
 

thỏa(1.9).Khiđóbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm.
Chứng minh
Đặt













0 0
, , ,
p x y t p y t x y y
 
 
. Rõ ràng do
0
p
 là toán tử tuyến tính bị
chặnmạnhvà
0

làtoántửtuyếntínhbịchặn,theođịnhnghĩa1.7thì




,
p x y t
và


,
x y

thỏađiềukiện(i)và(ii’)củađịnhnghĩa1.5.

Mặtkhác,tathấy


0 0 ,
,
n
p l
p


,(do




, , ,
p x y x y

khôngphụthuộcx)và


0 0
,
p

thỏa
điều kiện (1.18) chỉ có nghiệmtầm thường, suy ra


0 0

,
p

thỏa điều kiện (iii’) của định
nghĩa1.5.
Dođó


0
,
n
p O


.Từđótheohệquả1.6thìbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm.

1.3 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.3), (1.4)
Trongbàitoán(1.3),(1.4)thìtaxétvectơhàm
0
:
n n
f I R R
 
thỏađiềukiện
Caratheodory,cáctoántử


 
: ; 1,2
n

i
t C I R I i 
và


: ;
n n n
A C I R R


làtiêntục.
Đặt
 




0 1
: ;
n
I t x x C I R 

   


0
max : , 1
n
A x A x y y R y
  



Định lý 1.9
Giảsửtồntạicáchàmkhảtích
1 2
: , :
g I R g I R

 
vàmộtsố


0,1


saocho:








0 0 1 2
, .sgn
f t x t t x g t x g t
 
  
 

với
0 0
, ,
n
t I t I x R
  
 (1.19)
và
 
 


   
 
 
2
1
1 2 1
0
exp .sgn
t x
t x
g t dt t x t x A x

 
 
 
 
 


với


;
n
x C I R

 (1.20)
Khiđóbàitoán(1.3),(1.4)cónghiệm.
Chứng minh
Vớimỗi


, ,
n
x y C I R

,đặt








0
,
f x t f t x t


,












1 2 0
h x x t x A x x t x c
  
,



















1 1 1
, sgn , ,
p x y t g t t t x y t x y y t x
 
  
 


Tachứngminhtoántử






: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và




: ; ;

n n n
C I R C I R R
 

làcáctoántửliêntụcvàcặptoántử


,
p

lànhấtquán.Thậtvậy,
(i) Rõràngdocáchxácđịnhhàm
i
t
mà






: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
,





: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
vàvớicáchđặtnhưtrênthì
,
p

tuyếntínhtheođối
sốthưhai.
(ii) Tacó






, , ,
p x y t x y

thỏa(ii)củađịnhnghĩa1.5với
1 0
, 1
L
g
 
 

(iii) Vớimọi



;
n
x C I R

,


;
n
q C I R

và
0
n
c R

.
Đặt
     
 
 
1
1 1
sgn
t
t x
R t g s s t x ds
 


.Khiđónghiệmcủabàitoán(1.5)trongđịnh
nghĩa1.3là
 
 
 
   
 
1
0
t
R t R s R t
t x
y t c e q s e ds
 
 


Chọn
 
1
1
L
g
e b a

  
khôngphụthuộcvào
0
, ,
x q c

thì


0
C L
y c q

 

Vớibấtkì


0,1


,taxétbàitoán


     
 
   
 
1 1 0
1 sgn ,
dx t
g t t t x x t f t x t
dt
 
 
   

 
,










1 2 0
x t x A x x t x c

 
 
 

Gọixlànghiệmbấtkỳcủabàitoántrênứngvới


0,1


.Đặt





u t x t

,
Tachứngminh








sgn
u t x t x t
 

hầukhắpnơitrênI.Thậtvậy,
giảsử










1 2
, , ,

n
x t x t x t x t

khiđótacó
     
 
sgn
i i i
x t x t x t



hầukhắpnơitrên
I.Dođó
         
 
 
 
 
 
1 1
sgn sgn
n n
i i i
i i
u t x t x t x t x t x t x t
 

 


  
   
 
 
 
 
hầukhắpnơi
trênI.
Từ(1.19)và


x t
lànghiệmcủabàitoántrênnên:














         
 
 

 
 
 
       
 
 
 
 
1 1
1 0 1
1 0 1
sgn sgn sgn
1 sgn , sgn sgn
1 , sgn
u t t t x x t x t t t x
g t x t x t f t x t t t x x t
g t x t f t x t t t x x t
 
 
 
  
   
 
   
 









     
1 2
1 2
g t x t g t
g t u t g t
 
 
(Do


2
0
g t

)

với
t I

          (1.21)
Mặtkhác,từ











1 2 0
x t x A x x t x c

 
 
 

tasuyra
 










1 2 0
0
u t x A x u t x c
 
    (1.22)
Từbấtđẳngthức(1.21)tacó
 

     
 
 
 
 
1
1 1 1 1
exp sgn
t
t x
u t g s s t x ds u t x

 
 
  
 
 
 

 (1.23)
trongđó


1 1 2
exp
L L
g g


.

Thay


2
t t x

vào(1.23),vàtừ(1.20)và(1.22)thì:
 
 
   
 
 


 
 
   
 
 
 
   
 
 
2
1
2
1
2 1 1 1 1
1 1 2 0 1
0

exp sgn
exp sgn
t x
t x
t x
t x
u t x g s s t x ds u t x
g s s t x ds A x u t x c


 
 
  
 
 
 
 
 
   
 
 
 



   
 
 
 
   

 
   
 
 
 
 
 
 
2
1
2
1
1 1 2
0
1 1 0 1
2 1 1
exp sgn
exp sgn
exp
t x
t x
t x
t x
o
L
g s s t x ds A x u t x
g s s t x ds c
u t x g c

 

 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  



Suyra 




2 2
u t x


      (1.24)
với 
 
2 0 1 1
1

exp
1
L
c g
 

 
 
 

.
Từ(1.20),tacũngcó
   
 


   
 
 
2
1
1 2 1 1
0
exp .sgn exp
t x
L
t x
A x g t dt t x t x g
 
 

 
   
 
 
 


Từbấtđẳngthứctrênvàtừ(1.22)–(1.24)tasuyra
x
thỏabấtđẳngthức(1.9),với




0 1 2 0 1
exp 2
L
g c
   
  
làhằngsốdươngkhôngphụthuộc

vàx 






Chương 2. NGHIỆM TUẦN HOÀN CHO

PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN HÀM BẬC CAO

2.1 Giới thiệu bài toán 
Chosốtựnhiên
2
n

và
0


,
1
:
n
f C L
 


làtoántửliêntục.Taxétphươngtrình
viphânhàm:
   


    
n
u t f u t

(2.1)
với

f
thỏa








*
. sup . :
r
f f u u r L

  
với
0
r


 (2.2) 
Định nghĩa 2.1
Mộthàm

1
n
u C




đượcgọilà nghiệm

-tuầnhoàncủabàitoán(2.1)nếuthỏa
phươngtrình(2.1)hầuhếttrên
R
.
Trườnghợpđặcbiệtcủaphươngtrình(2.1)là:



   
 
 
 


 
 


1
1 2
, , , ,
n n
n
u t g t u t u t u t
  




(2.3)
trongđó
:
n
g R R R
 
làhàmthuộclớpCaratheodory,tuầnhoàntheobiếnthứnhất,tứclà
thỏađẳngthức
  




1 1
, , , , , ,
n n
g t x x g t x x

 
   (2.4)
hầuhết
t R

,mọi


1 2
, , ,
n

n
x x x R

.Cáchàm


: 1,2, ,
k
R R k n

 

đođượctrênmọi
khoảnghữuhạnvà






k k
t t
  

 
làmộtsốnguyên


1, ,
k n


  (2.5)
Trongchươngnàytasửdụngmộtsốkíhiệunhưsau:
 
2
1
0, , 2 , 1
2 2
n k
k n
v k n v
 

 

 
   
 
 
  (2.6)
 


0 0
_
0
2
x x
khi x
x

x khi x



 

 

   (2.7)






min :0u u t t
 
  
với
u C


  (2.8)
Trướckhiđivàocácđịnhlýchính,tacócácbổđềsau.

2.2 Một số bổ đề quan trọng
2.2.1 Bổ đề đánh giá tiên nghiệm
Bổ đề 2.2 Nếu
1
n

u C



,thì
   
 


1
0
n
C
C
u u v u




 
   (2.9)
   




 
1
1, , 1
k n

k
C C
u v u k n
 

  
 (2.10)
Chứng minh
Talấy


0
0;
t


saocho




0
u u t


     (2.11)
Đặt  







0
t u t u t

 
     (2.12)
Thì












0 0 0 0 0 0
0, 0
t u t u t t u t u t
   
       
.
Dođó 
     
     

0 0
0 0
,
t t
t t
t t
t t
t s ds s ds
t s ds s ds
 
  
  
 
 
 
 
 
 
 
    (2.13)
với
0
t

 
         
Cộnghaibấtđẳngthứctrong(2.13)tacó
  
   
0

0
2
t
t
t s ds

 




 với
0
t

 
  (2.14)
Dođó  
 
0
0
1
2
t
C
t
s ds


 





    (2.15)
Hơnnữa 


C C
u u
 
 
 
(Vì






0
u t t u t

 
)
và 
   
0
0
0

t
t
s ds u s ds




 

 

(do(2.12)và
1
n
u C



)  (2.16)Từ(2.15),
(2.16)

       
1
1
2
2
2
0 0
1 1
2 2

C
u u u s ds u u s ds

 
  
 
 
 
   
 
 
 
 (2.17)
Mặtkhác,theobấtđẳngthứcWirtinger,
 
 
 
 
2 4 2 4
2 2
2
1 1
0 0
2 2
n n
n n
C
u s ds u s ds u

 

 

 
 
 
   

 
   
   
 
 (2.18)
Từ(2.17),(2.18),
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2 3
2
2
1
2
2 4
2
1

1
0
1
2
2
2 2
n
n
C
n
C
n
n
C
n
C
u u u
u u
u v u





 

 










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Chứngminhtươngtựvới


1
k
n k
u C

 

và





 
0 1, ,
k
u k n

 
thìtacó(2.10)■
Bổ đề 2.3
Cho
1
n
u C




và
   
1
1
0
0
n
n k
k
C C
k

u c u
 



 


   (2.19)
với
0
c
và


0, , 1
k
k n
 

làcáchằngsốkhôngâm.Hơnnữa
  
1
0
1
n
k k
k
v




 


      (2.20)
Khiđó


   
 
1
1
0 0
1
n
C
u c u

 


   
    (2.21)
 
     
 
1
1
1

0 0
0
1
n
n
k
C
k
u u c u v

  




   


  (2.22)
Chứng minh
Theobổđề2.2,hàm
u
thỏacácbấtđẳngthức(2.9),(2.10).Từ(2.19),tacó
   
1
1
0
0
n
n k

k
C C
k
u c u
 



 



 
1
0 0
1
n
k
k
C
C
k
c u u




  

 


 
   
1
1 1
0 0 0 0
1
n
n n
k k
C C
k
c u v u v u
 


 

   

  

 
 
1
1
0 0
0
n
n

k k
C
k
c u v u





 
  
 
 
 

 

 


1
0 0
n
C
c u u

 

  


Suyra
 


 
 
1
0 0
1
n
C
u c u

 

   
vàdo
1 0

 
nên(2.21)thỏa.
Hơnnữa,
 
 
   
 
 
     
 
 

1
1 1 1
0
2 2
1
1
0
1
1
0 0
0

1
do2.21
n
n n
k n n
k
C C
C C C
k k
n
n
k
C
k
n
k
k
u u u u v u v u

u u v
u c u v
 
  



  

  
 






    
 
   
 




Vậy(2.22)thỏa,bổđềđượcchứngminh. ■


Bổ đề 2.4
Cho

1
n
u C



thỏa
 
 
1
,
n
C
u u

 

 

 
 
     
(2.23)
   
1
1
0
1
n
n k

k
C C
k
u c u
 



 


   
(2.24)
với




: 0; 0;

  
làhàmkhônggiảm,


0
0, 0 1, , 1
k
c k n
   


và
  
1
1
1
n
k k
k
v



 


      (2.25)
Khiđó 
1
0
n
C
u r



       (2.26)
với  
 



 
1
1 1
0 0 0
0
1 1
n
k
k
r c c v
  

 

   

  (2.27)
Chứng minh
Với
0
0


,từcácbấtđẳngthức(2.23),(2.24),(2.25)suyracácbấtđẳngthức
  
   
1
1
0
0

n
n k
k
C C
k
u c u
 



 


và
1
0
1
n
k k
k
v



 


.
Ápdụngbổđề2.3tacócácbấtđẳngthứcsau



   
 
 
 
1
1
0 0
1
0 0
1
1 do 0
n
C
u c u
c

 




  
  


  (2.28)
Và 
     
 

1
1
1
0 0
0
1
n
n
k
C
k
u u c u v

  




   


  
   
1
1
0
0
1
n
k

k
u c v
 



  

    (2.29)
Mặtkhác,do

khônggiảmnêntừ(2.28)tacó:
 
 
 


1
1
0
1
n
C
u u c

   


 
  

 
 
   (2.30)
Từ(2.29),(2.30)tacó
 


 
1
1
1 1
0 0
0
0
1 1
n
n
k
C
k
u c c v
r

  


 

   




với
0
r
đượcxácđịnhbởi(2.27)■
Bổ đề 2.5 Cho
1
n
u C



và
 
 
   
1
1
0 0
0
,
n
n k
k
C C
k
u c u c u
 





  


  (2.31)
với


0
0, 0 0, , 1
k
c k n
   

.Hơnnữanếu(2.20)thỏa,khiđóbấtđẳngthức(2.26)thỏa,
với
 
 
1
1
0 0 0
0
1 1 1
n
k
k
r v c





 
   
 
 
 


   (2.32)
Chứng minh
Từ(2.29)và(2.20),ápdụngbổđề2.3tacó
     
 
 
 
 
 
1
1
1
0 0
0
1
1
0 0 0 0
0
0
1

1
do
n
n
k
C
k
n
k
k
u u c u v
c c c v
u c

  









   
   







 
 
1
1
0 0
0
0
1 1 1
n
k
k
v c
r




 
   
 
 
 




với
0

r
đượcxácđịnhbởi(2.32).■
2.2.2 Bổ đề về sự tồn tại nghiệm
Trongphầnnàytaxâydựngmộtsốbổđềvềtínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuần
hoànbậccaotrongtrườnghợptổngquát.
Xétphươngtrìnhviphânhàmbậcn
   


    
n
u t f u t

     (2.33)
Vớiđiềukiệnbiêntuầnhoàn


 


   
1 1
0 1,2, ,
i i
u u i n

 
 
 (2.34)
trongđó









1
: 0; 0;
n
f C L
 


làtoántửliêntụcvàthỏađiềukiệnCaratheodory
    
 
 


 
 
1
0;
. .
sup : 0;
n
r
C

f f u u r L



  
 (2.35)
vớimỗi
0
r

.
Khiđótừhệquả1.8tanhậnđượckếtquảsau:
Bổ đề 2.6
Giảsửtồntạitoántửtuyếntínhbịchặn








1
: 0; 0;
n
p C L
 


vàmộthằngsố

dương
0
r
saochophươngtrìnhviphântuyếntính


    
n
u t p u t

     (2.36)
vớiđiềukiệntuầnhoàn(2.34)chỉcónghiệmtầmthườngvàvớibấtkỳ


0;1


mỗinghiệm
củaphươngtrìnhviphân
  


         
1
n
u t p u t f u t
 
  
  (2.37)
thỏađiềukiện(2.34)vàthỏa  

   
 
 
1
0
0;
n
C
u r



     (2.38)
Khiđóbàitoán(2.33),(2.34)cónghiệm.
Ápdụngkếtquảtrênchotoántử




0
p u au
tacókếtquảsau:
Bổ đề 2.7
Cho
1
:
n
f C L
 



làtoántửliêntụcthỏađiềukiện(2.2).Hơnnữa,tồntạihằngsố
0
a

và
0
0
r

saochovớibấtkỳ


0;1


,mỗinghiệm

-tuầnhoàncủaphươngtrìnhvi
phânhàm
  


        
0 1
n
u t au f u t
 
  
   (2.39)

thỏa(2.25).Khiđóbàitoán(2.1)cónghiệm

-tuầnhoàn.
Chứng minh
Vớicáchằngsố
1
, ,
n
c c
bấtkỳ,bàitoán
 


 


 


   
2 1 1
0, 0 0, 1, ,
n i i
i
y t y y c i n

 
   
 (2.40)
cónghiệmduynhất.Khiđótađặt



1
, , ,
n
y t c c
lànghiệmcủabàitoántrên.
Với




1
0;
n
u C



,đặt
        


 


 


1 1

; 0 , , 0
n n
z u t u t y t u u u u
 
 
   
với
0
t

 

(2.41)
Vàmởrộngtuầnhoàn




.
z u
lên
R
vớichukỳ

.
Tathấy


1 1
: 0,

n n
z C C


 

làtoántửtuyếntínhbịchặn.
Giảsử  










f u t f z u t

    (2.42)
Xétphươngtrình(2.33),(2.34).
- Nếuhàm
u
làmộtnghiệm

-tuầnhoàncủabàitoán(2.1)thìtaxét
u
làhạnchếcủa
u

lên


0;

,khiđó
u
thỏa(2.34)tứclà


 


  
1 1
0 1,2, ,
i i
u u i n

 
 
,từ(2.40)tacó
0
y

,từ(2.41)suyra







z u t u t

và
u
thỏa(2.1)nênthỏa(2.33).Vậy
u
lànghiệm
của(2.33),(2.34).
- Ngượclại,nếu
u
lànghiệmcủabàitoán(2.33),(2.34)thìmởrộngcủa
u
lên
R
thành
mộthàmω-tuầnhoànthìđólànghiệm

-tuầnhoàncủabàitoán(2.1).
Dođóđểchứngminhbổđềnày,tacầnchứngminhbàitoán(2.33),(2.34)cónghiệm.
Theođẳngthức(2.41),(2.42)vàđiềukiện(2.2),









1
: 0; 0;
n
f C L
 


làtoántửliên
tục,thỏađiềukiện(2.35)vớimọi
0
r

.
Mặtkhác,nếu






0
p u t au
,thìbàitoán(2.33),(2.34)chỉcónghiệmtầmthường.Theo
cácđiềukiệncủabổđề(2.6),bàitoán(2.33),(2.34)cónghiệmvớimọi


0;1


.

Giảsử
u
lànghiệmcủabàitoán(2.34),(2.37)với


0;1


.Khiđómởrộngtuầnhoànlên
R
vớichukỳ

lànghiệmcủabàitoán(2.39)vàthỏa(2.26)nênthỏa(2.38)■
2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1)
2.3.1 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (2.1)
Trongphươngtrình(2.1)tagiảsửtoántử
f
thỏamộttrongcácđiềukiệnsautrong
khônggian
1
n
C


:
    
 
 
 
 

1
1
1
0
sgn 0
n
k
k
C
k
f u s ds u h u u c


 


 
 
  
 
 



với


0
u




(2.43)
    
 
 
 
1
2
1
. 0
x
n
n
k
C
k
t
f u s ds h u u c t x

 


     


 
 (2.44)
Hayđiềukiện
    

 
0
sgn 0 0
f u s ds u


 
 

 
 

với


0
u c


    (2.45)
  
 
1
0
0
x
n
k
k
C

k
t
f u s ds c u



 



với
0
t x

  
   (2.46)

Định lý 2.8
Giảsửtồntạihàmsốtăng




: 0; 0;h
  
vàhằngsố
0
c

,



0 1,2; 1, , 1 , 1
ik
i k n
    
 
và


1;1

 
saocho


h x
 
khi
x
 
,
 
1
1 2
1
. 1
n
k k k
k

v


 

  
      (2.47)
vàcácbấtđẳngthức(2.43),(2.44)thỏa.
Khiđóbàitoán(2.1)cónghiệm

-tuầnhoàn.
Chứng minh
Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiảsử


0 0
h

,theođiềukiện(2.47),tacóthể
chọnhằngsốa(đủnhỏ)saocho
0
a


vàcácsố


1 2
1, , 2
k k k

k n
   
  
và
1 1 1 2 1 0
n n n
v a

  
  
  
 (2.48)
thỏa(2.20)tứclà
 
 
1 2
1 2 1 1 2 1 0 1
0 0
1
n n
k k k k k n n n
k k
v v v a v

 
  
 
     
 
    


Đặt






0
min ,
h x a x h x


       (2.49)
Tathấyvớimọi
,
x y
và
x y

thì
a x a y
 

và




h x h y


nên




0 0
h x h y

.
Dođó




0
: 0; 0;h
  

tăngnghiệmngặtnêntồntạihàmngược,đặt
1
0
h

làhàmngược
của
0
h
và
 

1
1
0 1 0
1
, 2
n
k k
k
x h v x c c c




 
 
 
  
 
 
 
 
 


  (2.50)
Vì
0
h
tăng,suyra
1

0
h

tăngvà
1
1
1
0
n
k k
k
v





nên




: 0, 0,

  
cũnglàhàmtăng.
Gọi
0
r
làhằngsốđượcchobởiđẳngthức(2.27).Theobổđề2.7đểchứngminhđịnhlý,ta

chỉcầnchứngminhvớibấtkỳ


0;1


thìmọinghiệm-tuầnhoàncủa(2.39)thỏabấtđẳng
thức(2.26)