Phương pháp đại số giải phương trình schrodinger cho nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HCM
KHOA VẬT LÝ

BÁO CÁO TỔNG KẾT

Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp cơ sở

PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO
TRONG TỪ TRƢỜNG VỚI CƢỜNG ĐỘ BẤT KỲ

Mã số: CS.2004.23.59
Chủ nhiệm đề tài: TSKH. Lê Văn Hoàng
Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, ĐHSP tp.. HCM
Công tác viên: Lê Trần Thế Duy
Khoa Vật lý: ĐHSP tp. HCM
Thời gian thực hiện: tháng 5 năm 2003 đến tháng 5 năm 2004

1


Algebraic method for solving the Schrodinger equation of Hydrogen-like atom
in a magnetic field with arbitrary strength
Abstract: The connection between anharmonic oscillator and two dimensinal hydrogenic donor states in a magnetic field is established via
Levi-Civita transfor mation that permits us to use the operator method for
obtaining exact numerical solutions (energy levels and wave functions) for
the last s ystem. New anal ytical solution is obtained too for the ground stale
by using the asymptotic behaviour of wave functio ns. We also establish the
basis formulations to extend the obtained results both for the case of three
dimensional Hydrogen -like atom in a magnetic field and the case of presence

of screening potential.
Tóm tắt: Bằng phép biến đổi Levi -Civita mối liên hệ gi ữa bài toán
tƣơng tác điện tử l ỗ trống trong từ trƣờng với dao động tử điều hòa đƣợc xây
dựng. Trên cơ sở đó phƣơng pháp toán tử đƣợc áp dụng để nhận đƣợc lời giải
chính xác bằng số (năng lƣợng và hàm sóng) cho bài toán này. Nghiệm giải
tích cũng đƣợc xây dựng cho trạng thái cơ bản dựa vào biểu hiện tiệm cận c ủa
hàm sóng. Ngoài ra chúng tôi còn xây dựng các công thức cơ bản cho việc
phát triển các kết quả thu đƣợc cho trƣờng hợp có thể màn ch ắn và trong
trƣờng hợp nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trƣờng.

2


MỤC LỤC

I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ .................................................................................................... 4
II. TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO ............................ 6
III . PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER .................. 10
IV. NGHIỆM GIẢI TÍCH.................................................................................................... 18
V. TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN ..................................................... 21
VI . PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: ......................................... 22
VII. KẾT LUẬN .................................................................................................................. 23
VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 24

3


I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ
Nguyên tử Hydro trong từ trƣờng là vấn đề rất cơ bản trong vật l ý
nguyên tử nói riêng và trong cơ học lƣợng tử nói chung. Trong tất cả các sách

giáo khoa về cơ học lƣợng tử, hiệu ứng Zeeman bình thƣờng hay dị thƣờng đã
đƣợc nêu ra nhƣ một ví dụ kinh điển v ề bài toán chuyển động của điện tử
trong trƣờng Coulomb và từ trƣờng đều [I]. Tuy nhiên các công trình nghiên
cứu về vấn đề này vẫn xuất hiện đều đặn cho đến hiện nay trên các tạp chí vật
lý hàng đầu của thế giới (ví dụ [2-10]). Điều này liên quan đến các phát kiến
mới trong lĩnh vực vật l ý học thiên thể, kỹ thuật đo đạ c quang phổ, vật l ý các
hệ thấp chiều, công nghệ Nano, công nghệ vật liệu mới ... (xem bài tổng quan
[11]).
Các số liệu đo đạ c quang phổ từ các sao lùn trắng [12], nơi mà từ
trƣờng rất lớn, lên đến cờ 10 l0 testla, cần những nghiên cứu lý thuyết về
chuyển động nguyên tử trong từ trƣờng cực mạnh. Việc tạo ra các hệ thấp
chiều trong công nghệ vật liệu mới (khí điện từ hai chiều trong bán dẫn nhiều
lớp GaAs/AIGaAs, ống carbon kích cỡ nano [13 -14]) đòi hỏi giải quyết bài
toán trạng thái kích thích exiton trong trƣờng từ nhƣ một hệ hai chiểu. Đặt
biệt khi mà kích cỡ cấu trúc vật chất ở mức nano thì tƣơng tác Coulomb trở
nên có thể so sánh đƣợc với năng lƣợng từ trƣờng. Lúc này không thể sử dụng
lý thuyết nhiễu loạn truyền thống cho bài toán này đƣợc, mặt dù không ít
công trình vẫn sử dụng gần đúng trong đó trƣờng từ đƣợc xem là rất mạnh so
với tƣơng tác Coulomb (ví dụ[15]). Nhu c ầu về phƣơng pháp tính toán mới
đáp ứng cho bài toán này vì vậy rất lớn. Công trình này có mục đích là xây
dựng phƣơng pháp đ ại số cho các tính toán liên quan đến bài toán nguyên tử
hydro trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ.
Phƣơng pháp đại số đƣợc xây dựng còn liên quan đến sự phát triển của
các công cụ tính toán dựa trên biểu tƣợng trong thập niên gần đây. Khởi đầu
là ngôn ngữ Reduee đƣợc biên soạn cho các tính toán phức tạp và đồ sộ trong
vật l ý năng lƣợng cao , bƣớc phát triển tiếp theo là Mable và hiện nay, thế hệ
thứ ba là Matlav và đặc biệt là Mathematica [16]. Đây là một trong ngôn ngữ
lập trình bậc cao cho phép ta thiết lập các tính toán giữa các biểu thức, đặt
biệt là các tính toán đồ sộ và lập đi lập lại. Matheinatica cho phép ta đ ịnh
nghĩa các phép toán trên các đối tƣợng không có t ính giao hoán và vì vậy rất

thuận tiện cho việc lập các quy tắc tính toán đại số. Nhƣ vậy ta

4


có thể cho máy tính làm một phần các công việc của nhà nghiên cứu chứ
không đơn thuần là xử l ý các số liệu bằng số cuối cùng. Đề tài cấp cơ sở này
là một phần trong công trình nghiên cứu của tác giả: tự động hóa các tính
toán vật l ý nguyên tử (xem công trình tổng quan mới nhất của tác giả về đề
tài này [17]). Với phạm vi của một đề tài cấp cơ sở, bài toán vật l ý cụ thể
đƣa ra giải quyết là trạng thái Exiton của khí điện tử hai chiều tạo ra trong
hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs với sự có mặt của từ trƣờng đều.
Cơ sở quan trọng của phƣơng pháp đại số sử dụng trong công trình này
là mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử đồng dạng Hydrô hai chiều với bài
toán dao động tử điều hòa [18 -19]. Chính nhờ phép biến đổi Levi -Civita [18]
mà phƣơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa có thể chuyển về
phƣơng trình này cho nguyên tử đồng dạng Hydro hai chiều. Nhƣ vậy bài
toán nguyên tử Hydro hai chiều trong từ trƣờng có thể đƣa về bài toán dao
động từ phi đi ều hòa. Từ đây biểu diễn biến động lực qua các toán tử sinh
hủy Dirac có thể đƣợc áp dụng một cách thuận tiện cho bài toán đang xét.
Cân nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy
trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, trong đó có một phƣơng
pháp giải bằng cách đƣa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà
trạng thái cơ bản chính là trạng thái chân không, còn các trạng thái kích
thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên hàm chân không. Biểu diễn toán
tử sinh hủy của bài toán Hydro trong từ trƣờng cho phép ta ứng dụng phƣơng
pháp toán tử [20] để giải phƣơng trình Schrodinger. Phƣơng pháp toán tử nà y
đƣợc xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài
toán vật l ý nguyên tử (xem ví dụ [ 21]). Các nét cơ bản của phƣơng pháp sẽ
đƣợc trình bày thông qua bài toán cụ thể trong phần III của đề tài. Trong

phần IV sẽ phát triển phƣơng pháp toán tử để nhận đƣợc nghiệm giải tích cho
bài toán với độ chính xác ổn định trong toàn miền biến đồi từ trƣờ ng. Phần V
và phần VI dành để trình bày các bƣớc cơ bản để sử dụng kết quả thu đƣợc
cho trƣờng hợp có tính đến thế màn chắn và để phát triển cho trƣờng hợp ba
chiều. Phần kết luận dành để trình bày các kết quả thu đƣợc và nêu hƣớng
phát triển của đề tài.

5


II. TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO
Một trong những hƣớng nghiên cứu quan trọng trong việc chế tạo vật
liệu mới với các tính chất định sẵn là vấn đề tạo ra các hệ thấp chiều. Trong
mối liên quan đó, bài toán chuyển động của khí điện tử trong cấu trúc tinh
thể hai chiều đƣợc nghiên cứu rộng rãi ở những năm gần đây [7 -10, 22-24].
Trong các nghiên cứu này, đƣợc sử dụng nhiều nhất là loại tinh thể nhiều lớp
bán dẫn, trong đó vùng ch ứa GaAs hoạt động nhƣ là hố thế năng trong khi
vùng Al x Ga x - 1As (x 045) đóng vai trò các bức tƣờng thế. Những thành tựu
mới trong kỹ thuật cấy tinh thể hiện nay cho phép tạo ra các lớp bán dẫn
GaAs rất mỏng, đủ để khí điện tử chuyển động trong hố thế có thể đƣợc mô
tả với giới hạn hai chiều [8]. Nhiều hiện tƣợng v ật l ý mới liên tục đƣợc phát
hiện liên quan đến chuyển động của khí điện tử hai chiều trong từ trƣờng
[23-24]. Vì vậy một trong n hững bài toán đƣợc quan tâm rất nhiều cho đến
hiện nay và có ứng dụng thực tiễn là chuyển động khí điện tử hai chiều trên
mặt phẳng x-y, trong đó điện tử dẫn tƣơng tác Coulomb với lỗ trống, trong từ
trƣờng với véctơ cƣờng độ hƣớng theo chiều z.
Phƣơng trình Schrodinger: Bỏ qua tƣơng tác giữa các điện tử,
phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái liên kết điện tử -lỗ trống trong từ
trƣờng đƣợc viết nhƣ sau:


H (r)  E(r)

(1)

1 
  1  
  1
1
H   2  2   iy  x     2  x 2  y2  
2  x y  2  y x  8
r


2

2

(2)

trong hệ đơn vị nguyên tử. Ký hiệu m * ,  lần lƣợt là khối lƣợng hiệu
dụng của điện tử và hằng số điện môi, khi đó đơn vị năng lƣợng sẽ làhằng số
Rydberg hiệu dụng R* = m* e 4 / 2h 2  2 , đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu
dụng a* =  h 2 / e 2 m*. Cƣờng độ từ trƣờng không thứ nguyên đƣợc xác định
bằng biểu thức  = h  c /2R*, trong đó  c = B/m*c là tần số chuyển động xoáy
ốc với B là cƣờng độ từ trƣờng,. Để đánh giá độ lớn tƣơng đối của từ trƣờng
so với tƣơng tác Coulomb ta đƣa ra phép so sánh nhƣ sau. Thang năng lƣợng
từ trƣờng đƣợc đặc trƣng bởi giá trị h  c = heB/ m*c trong khi thang năng
lƣợng tƣơng tác Coulomb đƣợc đặc trƣng bởi hằng số R ydberg hiệu dụng

6


R*. Nhƣ vậy hệ số so sánh giữa hai thang năng lƣợng là  = h  c /2R*. Từ đây ta có
thể gọi từ trƣờng yếu ứng với giá trị  << 1 và từ trƣờng mạnh ứng với  >> 1.
Trong phần lớn các thí nghiệm với việc sử dụng chất bán dẫn GaAs/ AlxGa1-x As
và từ trƣờng ở điều kiện phòng thí nghiệm thì hai thang năng lƣợng sẽ nằm trong
vùng so sánh đƣợc với nhau. Nói khác hơn, ngay từ đầu cho đến bây giờ đối tƣợng
đang đƣợc nghiên cứu rộng rãi [7-10] là trƣờng hợp trƣờng có giá trị trung bình  l.
Nhƣ vậy, để mô tả các thí nghiệm thực tế, xuất hiện nhu cầu giải phƣơng trình
Schrodinger (l)-(2) cho miền biến đổi giá trị  rộng hơn, không chỉ giới hạn trong
miền từ trƣờng yếu. Rõ ràng là các phƣơng pháp truyền thống trên cơ sở sử dụng lý
thuyết nhiễu loạn khó có thể sử dụng trực tiếp.
Thời gian gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến việc giải phƣơng trình (l) -(2)
cho toàn miền biến đổi cƣờng độ từ trƣờng bằng các phƣơng pháp khác nhau. Trong
số đó cần kể đến là phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp phân tích theo chu ỗi 1 /N
với N là số chiều của không gian, phƣơng pháp đánh giá xấp xỉ hai điểm Pade [7-10].
Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả thì vấn đề này còn cần đƣợc nghiên cứu triệt
để hơn nữa. Vì vậy, trong công trình này ở phần III chúng tôi sẽ đƣa ra lời giải chính
xác phƣơng trình (l)-(2) bằng phƣơng pháp toán tử (OM). Phƣơng pháp này đƣợc đƣa
ra đầu tiên trong công trình [20] nhƣ là một phƣơng pháp không nhiễu loạn giải
phƣơng trình Schrodinger, cho phép xét các bài toán cơ học lƣợng tử với cƣờng độ
trƣờng ngoài có giá trị bất kỳ và đã đƣợc sử dụng hiệu quả cho một loạt các bài toán
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của lý thuyết nguyên tử, vật lý chất rắn, lý thuyết
trƣờng lƣợng tử (xem bài viết tổng quan [21]). Việc sử dụng phƣơng pháp toán tử
giải phƣơng trình (l)-(2) còn chỉ ra một thế mạnh nữa. Đó là phƣơng pháp này không
những cho phép tìm giá trị năng lƣợng mà còn có th ể xây dựng hàm sóng của hệ
trong toàn miền thay đổi tham số từ trƣờng.
Mối liên hệ với bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều . Bài
toán (I)-(2) sẽ trở thành đơn giản hơn nhiều qua cách biếu diễn mới, đƣợc đƣa ra

trong công trình [19].

7


Thật vậy, qua phép biến đổi Levi -Civita [18]:
𝑥 = 𝑢2 − 𝑣 2
(3)
𝑦 = 2𝑢𝑣
Ta có dxdy=4(u 2 + v 2 )dudv, r= 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑢2 + 𝑣 2 . Từ đây suy ra tích vô
hƣớng vectơ trạng thái trong không gian (x,y) liên quan đến tích vô hƣớng
vectơ trạng thái trong không gian (u,v) thông qua biểu thức liên hệ sau:
𝜓 𝑥, 𝑦 |𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝜓 𝑥, 𝑦 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑑𝑢𝑑𝑣4(𝑢2 + 𝑣 2 )𝜓(𝑢, 𝑣)𝜑(𝑢, 𝑣)
(4)
2
2
Sự xuất hiện trọng số 4(u + v ) trong (4) dẫn đến hệ quả: nếu  là
toán tử hermit trong không gian (x,y) thì sẽ tƣơng ứng với à = 4(u 2 + v 2 ) Â
là toán tử hermite trong không gian (u,v).
Nhƣ vậy, để bảo toàn tính hermit của Hamiltonian khi chuyển về không
gian (u,v), phƣơng trình ( 1 ) cần viết l ại nhƣ sau:
𝑟 𝐻−𝐸 𝜓 𝑟 =0
Sau phép biến đổi Levi -Civita, phƣơng trình này có dạng:
𝐻 𝜓 𝑢, 𝑣 = 𝜓(𝑢, 𝑣)

(5)

với Hamiltonian
1

𝐻 = −8

𝛿2

𝛿2

𝛾

+ 𝛿𝑣 2 − 𝐸 + 2 𝐿2
𝛿𝑢 2

𝛾

𝑢2 + 𝑣 2 + 8 (𝑢2 + 𝑣 2 )3

(6)

hermit trong không gian (u,v). Dễ dàng nhận thấy (6) có dạng toán tử
Hamilton cho bài toán dao dộng tử phi điều hòa trong không gian hai chiều
(uv). Nhƣ vậy từ bài toán chuyển động của điện tử trong điện từ trƣờng phức
tạp ta đã đƣa về bài toán đơn giản và đƣợc nghiên cứu nhiều trong cơ học
lƣợng tử.
Trong phƣơng trình (5) -(6), năng lƣợng E chỉ đóng vai trò tham số. Vì
vậy để có

8


dạng phƣơng trình tìm trị riêng ta viết lại (5) nhƣ sau :
𝑯𝝍 𝒖, 𝒗 = 𝒁 𝝍 (𝒖, 𝒗)

(5)
với Z đóng vai trò trị riêng của phƣơng trình Schrodinger (5’)-(6). Sau khi
giải phƣơng trình này ta tìm đƣợc Z nhƣ một hàm phụ thuộc vào tham số E. Vì giá
trị của Z luôn bằng đơn vị nên phƣơng trình:
Z(E) = 1
(7)
cho ta nghiệm chính xác E
Để tìm nghiệm hoàn chỉnh của một phƣơng trình động học chúng ta cần xác
định các bất biến của hệ. Trong trƣờng hợp phƣơng trình (5') ta dễ dàng kiểm chứng
rằng toán tử hình chiếu mô men xung lƣợng lên trục z: 𝑳𝒛 giao hoán với Hamiltonian
(6). Điều này tƣơng ứng với việc hình chiếu mô-men quỹ đạo là đại lƣợng bảo toàn
với chuyển động trong trƣờng Coulomb và trƣờng từ. Nhƣ vậy hàm sóng cần tìm
thỏa mãn phƣơng trình.
𝑳𝒛 𝚿 𝒖, 𝒗 = 𝒎𝚿(𝒖, 𝒗)
(8)
𝝏

𝝏

Với 𝑳𝒛 = 𝒖 𝝏𝒗 − 𝒗 𝝏𝒖 đƣợc viết trong không gian (u,v) và trị giá riêng của nó
sẽ tìm đƣợc các phần tiếp theo nhƣ sau: m = 0 ± 1, ± 2,… Dựa vào đây, chúng ta sẽ
giải phƣơng trình ( 5 * ) cùng với điều kiện (8). Ngoài ra, chúng ta có thể thay thế
toán tử L z bằng trị riêng của nó trong các phƣơng trình tƣơng ứng.

9


III . PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRÖDINGER
P h ƣơ n g p h á p l u ậ n : Nhìn chung (5) -(6) là dạng phƣơng trình

Schrodinger cho chuyển động điện tử trong trƣờng Coulomb và trƣờng từ,
Hamiltonian có th ể viết dƣới dạng tổ ng quát sau:
𝐻 = 𝑇 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝑀
Trƣờng hợp trƣờng từ yếu  <<1 dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ngƣời ta
chọn 𝐻𝑜 = 𝑇 + 𝑉𝐶 Còn tƣơng tác từ trƣờng 𝑉𝑀 có thể xem nhƣ nhiễu loạn. Vì
bài toán chuyển động trong trƣờng Coulomb có nghiệm chính xác ta có thể
tìm nghiệm riêng của 𝐻𝑜 và sau đó dung l ý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ
chỉnh bậc cao. Tƣơng t ự nhƣ vậy, trong trƣờng hợp từ trƣờng mạnh 𝛾 ≫
1 ngƣời ta chọn 𝐻𝑜 = 𝑇 + 𝑉𝑀 còn nhiễu loạn sẽ là 𝑉𝐶 . Trƣờng hợp khó nhất là
khi từ trƣờng không mạnh cũng không yếu 𝛾 ≈ 1. Lúc này phƣơng pháp chủ
yếu là biến phân và vì phƣơng pháp này chỉ hiệu quả cho trạng thái cơ bản
cho nên để sử dụng cho các trạng thái kích thích thấp cũng đòi hỏi những cải
tiến đáng kể [8 -10]. Ý tƣởng chủ yếu của phƣơng pháp toán tử là làm sao
tách Hamiltonian thành hai phần:
𝐻 = 𝐻𝑜 + 𝑉I
Sao cho: 1) 𝐻𝑜 chứa một phần tƣơng tác Coulomb và một phần tƣơng tác từ .
(2) 𝐻𝑜 có trị riêng chính xác.
(3) 𝑉 “đủ nhỏ” để có thể xem nhƣ là nhi ễu loạn với mọi giá trị 𝛾.
Chúng ta sẽ thực hiện các ý tƣởng trên qua việc giải phƣơng trình (5') (6) bằng phƣơng pháp toán tử. Ta cần thực hiện các bƣớc sau.
Bƣớc một: Trƣớc hết chúng ta chuyển phƣơng trình (5') -(6) từ biểu
diễn tọa độ (u,v) qua biểu diễn bằng các toán tử sinh hủy. Các toán tử này
đƣợc định nghĩa bằng các

10


biểu thức:

trong đó tọa độ phức đƣợc định nghĩa 𝜉 = 𝑢 + 𝑖𝑣. 𝜉 ′ = 𝑢 − 𝑖𝑣. Dễ dàng ki ểm chứng các
toán tử sinh hủy (9) thỏa mãn hệ thức giao hoán

(các giao hoán tử khác bằng không). Kh i định nghĩa các toán t ử sinh hủy (9)
chúng ta đƣa vào m ột tham số tự do 𝜔 (𝜔 > 0). Tham số này tạm thời chƣa
xác định và chúng ta sẽ thấy ở phần tiếp theo rằng việc đƣa tham số tự do này
vào sơ đồ OM là để tối ƣu hóa tốc độ hội tụ của quá trình tính toán. Sau phép
biến đổi (9), phƣơng trình (5 ’ )-(6) có dạng

Bƣớc hai: Ta tách Hamiltonia ở phƣơng trình (11) thành hai thành phần nhƣ sau:
𝐻 = 𝐻𝑜 + 𝛽𝑉
Trong đó Hamiltonian 𝐻𝑜 chỉ chứa thành phần giao hoán với các toán tử 𝑎+𝑎 và
𝑏+𝑏

Còn 𝑉 = 𝐻 − 𝐻𝑜 có thể xem nhƣ toán tử "nhiễu lo ạn". Nghiệm gần đúng
bậc zero của phƣơng trình ( 1 1 ) chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử
𝐻𝑜 , còn các bổ

11


chính bậc cao hơn ta có thể tính theo chuỗi của toán tử 𝛽𝑉 dựa vào l ý thuyết
nhiễu loạn. Thừa số 𝛽 đƣa vào trƣớc toán tử 𝑉 trong (12) để chỉ rằng toán tử
này "nhỏ" hơn toán tử 𝐻𝑜 một bậc; ta gọi là tham s ố nhiễu loạn và trong k ết
quả cuối cùng ta s ẽ cho 𝛽 = 1. Chúng ta có thể chọn tham số 0) sao cho

đƣợc thỏa mãn, đây chính là đi ều kiện để phƣơng pháp l ý thuyết nhiễu loạn
có thể sử dụng hiệu quả. Nghĩa là tham số tự do 𝜔 đƣợc chọn sao cho việc
tách Hamiltonian ra hai thành phần nhƣ (12) là có ý nghĩa.
Bƣớc ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc zero bằng cách giảiphƣơng trình
𝐻𝑜 |𝜓(𝑜) = 𝑍 𝑜 |𝜓(𝑜)
(14)

Dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm riêng của 𝐻𝑜 cũng là nghiệm riêng của
các toán tử 𝑎+𝑎 và 𝑏 +𝑏. Hay nói khác hơn nghiệm của (14) là hàm song của
dao động từ điều hòa hai chiều với các véc tơ trạng thái có dạng chuẩn hóa
nhƣ sau:
|𝑛1 𝑛2 =

1
𝑛 1 !𝑛 2 !

𝑎+

𝑛1

𝑎+

𝑛1

𝑏+

𝑛2

|0(𝜔)

(15)

Ở đây n 1 , n 2 là hai số nguyên không âm, còn trạng thái chân không
đƣợc xác định bởi các phƣơng trình:
𝑎 𝜔 | 0 (𝜔) = 0, 𝑏 𝜔 | 0 (𝜔) = 0.
(16)
Chú ý rằng hệ đang xét bảo toàn hình chiếu mô men quỹ đạo, nghĩa là

cần đòi hỏi (15) thỏa mãn phƣơng trình (8). Mà phƣơng trình này khi chuyển
về biểu diễn toán tử có dạng nhƣ sau:
𝑎+𝑎 − 𝑏 +𝑏 | = 2𝑚|𝜓
cho nên dễ dàng nhận thấy rằng chỉ có các trạng thái
|𝑛(𝑚) =

1
𝑛−𝑚 !(𝑛+𝑚 )

𝑎+

𝑛−𝑚

𝑏+

𝑛+𝑚

12

|0(𝜔)

(17)


Thỏa mãn yêu cầu của chúng ta với n = 0, 1, 2… là số lƣợng từ chính và là số lƣợng
tử từ - n ≤ m ≤ n. Để sử dụng trong các tính toán cụ thể ta có thể chứng minh các công thức
sau:

Dựa vào các hệ thức giao hoán (10) và các phƣơng trình định nghĩa trạng thái chân
không (16). Thế vec tơ trạng thái (17) vào (11) đồng thời bỏ các thành phần không giao hoán

(0)

với toán tử trung hòa trong phƣơng trình (11), từ điều kiện 𝑍 (𝑜) 𝐸𝑛𝑚 = 1 ta thu đƣợc biểu
thức để xác định năng lƣợng riêng tƣơng ứng:

Tham số 𝜔 trong biểu thức năng lƣợng có thể xác định từ điều kiện:
(0)
𝜕𝐸𝑛𝑚 |𝜕𝜔 = 0
(20)
Tiêu chí để chọn giá trị 𝜔 theo phƣơng pháp toán tử đã đƣợc thảo luận trong một loạt
các công trình (xem [25] và đã chỉ ra rằng điều kiện (2) cho ta kết quả tƣơng đối chính xác ở
gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Với bài toán chúng ta đang xét, điều
kiện (2) dẫn tới phƣơng trình để xác định 𝜔 nhƣ sau:

Phƣơng trình (21) có một nghiệm thực dƣơng. Thế nghiệm thực dƣơng này vào (19)
ta có thể tìm đƣợc nghiệm giải tích gần đúng cho bài toán đang xét. Để minh họa cho sự hính
𝑜
2
xác lời giải ở gần đúng bậc thấp của OM, trong bảng 1 đƣa ra kết quả 𝐸𝑛𝑚
𝛾 + ∆𝐸𝑛𝑚
(𝛾)
và so sánh với lời giải chính xác OM cho trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích.
Ở đây ta ký hiệu các mức năng lƣợng nhƣ sau: ns - ứng với m=0, np+  m = 1; np-  m = 2;
nd-  m = -2;… Đối với các trạng

13


thái kích thích bậc cao và với trƣờng hợp từ trƣờng cực mạnh, điều kiện chọn tham
số 03 theo (20) cho kết quả bậc zero OM tƣơng đối không đƣợc chính xác. Lúc này

ta có thể sử dụng điều kiện hội tụ chuỗi gần đúng nhiễu loạn
(𝒐)

(𝒐)

|𝑬𝒏𝒎 | >> |𝑬𝒏𝒎 |
để xác định tham số 𝝎. Ở đây

(22)
(𝟐)
∆𝑬𝒏𝒎

=

𝟐𝝎

+𝒙
𝒌= 𝒎 𝒌≠𝒏

𝟐𝒏+𝟏

𝑯𝒏𝒌

𝟐

/𝑯𝒌𝒌 là bố chính bậc hai

(𝟏)

vào năng lƣợng (bố chính bậc một ∆𝑬𝒏𝒎 = 0 ) với các yếu tố ma trận đƣợc đƣa ra

trong công thức (26).
Bảng 1: So sánh năng lượng gần đúng bậc hai OM với giá trị chính xác

Cần chú ý là trong biểu thức của các yếu tố ma trận (26) có chứa số hạng
năng lƣợng vì vậy ta cần thay các số hạng này bằng giá trị năng lƣợng ở gần đúng
bậc zero (19). Điều kiện (22) nâng cao đáng kể độ chính xác của kết quả. Cũng trong
bảng 1 ta thấy rằng: trong miền từ trƣờng yếu và trung bình kết quả thu đƣợc bằng
OM ở gần đúng bậc hai rất chính xác tuy nhiên với cƣờng độ từ trƣờng cực lớn độ
chính xác này giảm đi đáng kể. Trong khi đó phƣơng pháp biến phân đƣa ra trong
công trình [8] cho kết quả với độ chính xác ở cả trƣờng yếu và trƣờng từ mạnh là
nhƣ nhau. Do vậy, để có thề thu đƣợc kết quả tƣơng đối chính xác một cách đều đặn
trong toàn miền thay đổi từ trƣờng ở gần đúng bậc thấp, ta cần xét đến biểu hiện
tiệm cận của hàm sóng khi từ trƣờng lớn 𝜸 ≫ 𝟏 nghĩa là ta cần đƣa thêm vào hàm
sóng thừa số:
𝒆−∝(𝒙

𝟐 +𝒚𝟐

)

14


Với a là tham số biến phân. Lời giải nhƣ thế ta sẽ thảo luận ở phần IV, trong phần
tiếp theo ở bƣớc bốn. chúng ta sẽ đƣa ra sơ đồ OM trên cơ sở lý thuyếtt nhiễu loạn
để tìm lời giải bằng số với độ chính xác cho trƣớc bất kỳ.
Bƣớc 4: Phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm hằng số.
Vì các vectơ trạng thái (17) tạo thành một bộ hàm số cơ sở đầy đủ nên lời giải
chính xác của hàm sóng có thể viết dƣới dạng chuỗi của c ác vectơ trạng thái đó nhƣ
sau:

|𝚿𝒏(𝒎) = 𝒏 𝒎) +

𝟏
𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 𝑪𝒌 |𝒌(𝒎)

(23)

Với các hệ số thực Ck )k = |m|, |m| + 1,…; k ≠ 𝑛). Đem (23) thế vào phƣơng trình
(11) sau đó so sánh các hệ số trƣớc mỗi vec tơ trạng thái với nhau, ta đƣợc hệ phƣơng trình:
+𝒙
𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 𝑪𝒌 𝜷𝑯𝒏𝒌
𝐻𝑛 )𝐶1 = 𝜷𝑯𝒎 + +𝒙
𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 𝑪𝒌 𝜷𝑯𝒋𝒌

Zn = 𝐻𝑚 +

(Zn )j = |m|, |m| + 1,…; j ≠ 𝒏 (25)
Ở đây yếu tố ma trận 𝑯𝒌𝒋 (k≠ 𝒋) trong (2$) – (25) ta đƣa tham số nhiễu loạn 𝜷 vào.
Điều này dựa trên cơ sở là 𝑯𝒌𝒌 = (𝑯𝟎 )kk với mọi k, 𝑯𝒌𝒋 = 𝑽𝒌𝒋 với mọi k≠ 𝒋 trong khi
đó Hamiltonian (12) hệ số 𝜷 chỉ có trƣớc thành phần toán tử nhiễu loạn. Bằng các
phép biến đổi đại số dựa vào các công thức (18), các yếu tố ma trận của toán tử 𝑯
đối với chuyển đổi giữa các trạng thái (17) dễ dàng tính đƣợc nhƣ sau:
𝜔 2𝐸 + 𝑚𝑦
𝛾2
𝐻𝑚 =
−
2𝑛 + 1 +
(2𝑛 + 1)(5𝑛2 + 5𝑛 + 3 − 3𝑚2 )
3
4

4𝜔
32𝜔
𝐻𝑛.𝑚 −1

𝜔 2𝐸 + 𝑚𝑦
3𝛾 2
= − −
+
(5𝑛2 + 10𝑛 + 6 − 3𝑚2 )
3
4
4𝜔
64𝜔

3𝛾 2

𝐻𝑛.𝑚 .2 = 64𝜔 3 2𝑛 + 3
𝛾2

𝐻𝑛.𝑚 ,2 = 64𝜔 3

𝑛+2

2

− 𝑚2 . (𝑛 + 1)2 − 𝑚2

(𝑛 + 1)2 − 𝑚2 .

(𝑛 + 3)2 − 𝑚2

15

(𝑛 + 1)2 − 𝑚2
(26)


Dựa vào tính đối xứng 𝐻𝑛𝑘 = 𝐻𝑘𝑛 , ta tính đƣợc tất cả các yếu tố ma trận khác không còn lại.
Bây giờ ta giải hệ phƣơng trình (24)-(25) bằng cách phân tích theo chuỗi tham số nhiễu loạn
𝛽.
(𝑜)

𝑍𝑛 = 𝑍𝑛 +
−(𝑜)

C1 = 𝐶1

+

(𝑥)
+𝑥
𝑥
𝑥−1 𝛽 ∆𝑍𝑛 (27)
(𝑥)
+𝑥
𝑥
(j=
𝑥−1 𝛽 ∆𝐶𝑗

|m|, |m|+1,…; j≠ n)

(28)

Thế (27)-(28) vào (24) – (25), sau đó tách ra và so sánh các hệ số theo từng bậc 𝛽 𝑥
với nhau, ta thu đƣợc:
(0)

(1)

(0)

(𝑥−1)
𝑛+3
𝑘=|𝑚 |𝑘≠𝑛 ∆𝐶𝑘
(0)
𝐻𝑗𝑛 𝑍𝑛 − 𝐻𝑗𝑖

𝑍𝑛 = 𝐻𝑚 ; ∆𝑍𝑛 = 0 ; ∆𝑍𝑛 =
Với:
∆𝐶1+ 𝑥 =

+(0)

𝐶𝑗

=0;

𝑖−3
𝑘=𝑛𝑖 ,𝑘≠𝑛,𝑘≠𝑗

+(1)

∆𝐶𝑗

𝐻𝑗𝑘
(0)
𝑍𝑛 −𝐻𝑖𝑗

=

− ∆𝐶𝑘+ 𝑥−1 −

𝑥 −𝑖−1

𝑥−1 ∆𝑍𝑛
𝑖=1
0
𝑍𝑛 −𝐻𝑖𝑗

𝐻 𝑛𝑘 (𝑠 ≥ 2) (29)

∆𝐶𝑗 1 ; (𝑠 ≥ 2)

(30)

(0)

Từ (29) ta suy ra đƣợc năng lƣợng 𝐸𝑛𝑚 ở gần đúng bậc zero nhƣ kết quả (19). Hệ thức truy
toán (29) và 930) cho phép ta xác định giá trị riêng và hàm sóng ở bậc gần đúng (s) bất kỳ
(cho 𝛽 = 1):

(𝑠)
(𝑘)
(𝑥)
+(𝑘)
𝑍𝑛 = 𝐻𝑛𝑚 + 𝑥𝑘=2 ∆𝑍𝑛 ; 𝐶𝑘 = 𝑥𝑘=1 ∆𝐶𝑘
(𝑘)

Với mỗi bậc gần đúng s thế 𝑍𝑛 vào phƣơng trình (7) ta tìm ra giá trị năng lƣợng
(𝑥)
𝐸𝑛𝑚 tƣơng ứng. Chú ý rằng mặc dù phƣơng trình (7) đa nghiệm chúng ta có thể chọn một giá
trị thực duy nhất theo quy trình sau. Với trƣờng hợp  = 0, 7) với điều kiện (29) là phƣơng
trình đơn giản có một nghiệm thực E duy nhất. Với ≠0, trƣớc tiên ta chọn dãy số: 0 <  < 
<… <M = , trong đó M đủ lớn để các giá trị I (I = 1, 2.., M) tƣơng đối gần nhau. Sau đó
giải phƣơng trình (7) bằng phƣơng pháp vòng lặp ứng với các giá trị i này để tìm nghiệm
E(i) tƣơng ứng. Chú ý rằng chỉ chọn nghiệm thực E(i) gần nhất với nghiệm đã có trƣớc đó
E(i 1). Lần lƣợt giải nhƣ vậy cho đến khi

16


i = M ta sẽ thu đƣợc nghiệm thực E ứng với giá trị  ≠ 0. Các kết quả cụ thể
đƣợc đƣa ra trong các bảng 2 cho ta thấy dãy các giá trị thu đƣợc:
(𝑜)

(1)

(2)

(𝑥)

𝐸𝑛𝑚 ; 𝐸𝑛𝑚 ; 𝐸𝑛𝑚 ; … 𝐸𝑛𝑚
𝑇
Hội tụ rất nhanh về giá trị 𝐸𝑛𝑚
, giá trị này vì thế chính là nghiệm bằng
số chính xác của phƣơng trình đang xét. Các kết quả bằng số đƣợc đƣa ra qua
bảng 2 nhằm mục đích minh họa phƣơng pháp.
B ả ng 2 : Nă n g lư ợn g ch í n h xá c t ín h b ằ n g O M

Các số liệu cũng đƣợc đƣa ra dƣới dạng đồ thị sau:

Đồ t hị : Ph ụ th u ộ c m ức n ă n g lư ợn g ch ín h xá c và o cườn g đ ộ t ừ t rư ờn g a ) trạ n g th á i
1 s và 2 s (đ ư ờn g ch ấ m c h ỉ kết q u ả g ầ n đ ú n g b ậ c h a i OM ) b ) cá c t rạ n g t h á i 1 s, 2 s, 2 p , 2 p ’
và 3 s và o c ư ờn g đ ộ từ t r ư ờn g c ) cá c t rạ n g n g á i 3 s, 3 p , 3 d và 3 d .

17


N h ƣ v ậ y, p h ƣ ơ n g p h á p đ ƣ a r a t r o n g c ô n g t r ì n h n à y c h o p h é p t a đ ã
t h u đ ƣ ợ c l ờ i g i ả i c h í n h x á c c h o b à i t o á n t r ạ n g t h á i l ỗ t r ố n g d ạ n g h yd r ô
t r o n g t ừ t r ƣ ờ n g v ớ i c ƣ ờ n g đ ộ b ấ t k ỳ. Đ i ề u đ á n g k ể l à k ế t q u ả đ ƣ a r a
không những là số liệu chính xác của các mức năng lƣợng mà mà còn là
hàm sóng chính xác cho bài toán dƣới dạng (23) cho phép sử dụng thuần
t ú y p h ƣ ơ n g p h á p đ ạ i s ố t r o n g t í n h t o á n c á c đ ặ c t r ƣ n g c ủ a h ệ . C ần n h ấ n
mạnh rằng khi tính toán các mức năng lƣợng kích thích bậc cao chúng
ta không nhất thi ết phải sử dụng điều kiện (20) hoặc (22) để xác định 
mà đơn giản có thể chọn bằng phƣơng pháp thử sao cho quá trình tính
toán có tốc độ hội tụ cao nhất.

IV. NGHIỆM GIẢI TÍCH
T r o n g p h ầ n I I I l ờ i g i ả i g ầ n đ ú n g b ậ c zero t h u đ ƣ ợ c b ằ n g p h ƣ ơ n g

pháp toán tử tƣơng đối chính xác và thực ra khi cần thiết chúng ta có
thể sử dụng nó nhƣ là nghiệm giải tích. Tuy nhiên phân tích cho thấy từ
trƣờng càng lớn nghiệm này lại càng có sai số lớn. Trong khi chúng ta
muốn có một nghiệm gần đúng mà sai số của nó không phụ thuộc nhiều
vào so sánh giữa năng lƣợng từ trƣờng và tƣơng tác Coulomb. Đ ể đạt
đƣợc điều đó ta hãy xem tiệm cận của h àm sóng trong trƣờng hợp từ
trƣờng mạnh. Cụ thể là khi  » 1 hàm sóng có dạng tiệm cận:
𝟏

𝟐

𝟐

~ 𝑬−𝟒𝜸 𝒙 +𝒚
(31)
t r o n g k h i n g h i ệ m g ầ n đ ú n g b ậ c z e r o ( 1 9 ) k h ô n g c ó c h ứ a t h à n h p h ầ n n à y.
M ặ t k h á c q u a p h é p b i ế n đ ổ i L e v i - C i v i t a t a c ó x 2 + y 2 = (u 2 + v 2 ) 2 , , v ì
vậy nghiêm của phƣơng trình ( 1) có tính đến biểu hiện tiệm cận đƣợc
𝟐
𝟐 𝟐
x é t n h ƣ s a u : 𝚿(𝒖, 𝒗) = 𝒆−𝜶(𝒖 +𝒗 ) 𝚿(𝒖, 𝒗) v ớ i 𝜶 l à t h a m s ố s ẽ đ ƣ ợ c x á c
định sau theo nguyên lý phƣơng pháp phi ếm hàm. Chúng ta có thể xem
𝚿(𝒖, 𝒗) l à h à m s ó n g , n g h i ệ m r i ê n g c ủ a p h ƣ ơ n g t r ì n h :
𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝒆−𝜶 𝒖 +𝒗
𝑯 − 𝒁 𝒆−𝜶 𝒖 +𝒗 𝝍(𝒖, 𝒗)
Sauk hi biến đổi ta thu đƣợc phƣơng trình:
𝒆𝟐𝜶

𝒖𝟐 +𝒗𝟐

𝟐

𝑯 − 𝒁 𝝍(𝒖, 𝒗)

(32)
(33)

18


Ở đây ta chú ý rằng do thừa số (31) giao hoán với toán tử hình chiếu
mômen qu ỹ đạo, cho nên hàm sóng 𝝍 𝒖, 𝒗 v ẫ n t h ỏ a m ã n l à là nghiệm riêng
của toán tử này: 𝐿𝑧 𝝍 𝒖, 𝒗 = 𝒎𝝍 𝒖, 𝒗 v ớ i g i á t r ị r i ê n g m = 0 ± 1 , ± 2 , …
C h í n h v ì v ậ y t r o n g p h ƣ ơ n g t r ì n h p ( 3 3 ) t a đ ã t h a y t h ế t t o á n t ử 𝐋𝐳 bằng trị
riêng của nó. Ngoài ra, ta đã nhân thừa số (31) vế phía bên trái hai vế
phƣơng trình (1) để nhận đƣợc phƣơng trình (32). Điều này nhằm thu đƣợc
(33) có dạng phƣơng trình tìm trị riêng với toán tử vế trái có tính chất
hermit. Bản thân Hamiltonian dễ dàng đƣa về dạng toán tử H (a+, ab+, b) ta
chỉ cần xét thừa số dạng hàm mũ:
−𝜶 𝒖𝟐 +𝒗𝟐

𝟐

𝒌𝟐

+𝜶
𝒅𝒌𝒆𝟖𝒂
−𝜶
𝟐 𝟐𝜶𝝅
𝟏

𝟐

𝟐 𝟐

𝐴= 𝒆
=
𝒆𝒕𝒌 𝒖 +𝒗
Ở đây ta đã dùng phân tích Furier để có thể đƣa về dạng chuẩn thừa số
có chứa các toán tử sinh hủy dạng mũ, nghĩa là đƣa về dạng mà toán tử sinh
bên trái, toán tử hủy bên phải, thuận tiện cho các tính toán đại số. Ta có

Trên nguyên tắc, chúng ta có thể khảo sát phƣơng trình (33) bằng các
phƣơng pháp khác nhau. Trong phần tiếp theo sau phƣơng pháp toán tử
sẽ đƣợc ứng dụng và nghiệm gần đúng bậc zero có th ể xem nhƣ là
nghiệm giải tích cần tìm E(; α; ). Nghiệm này sẽ có độ chính xác đều
trong toàn miền thay đổi từ trƣờng bởi vì tính chất tiệm cận đã đƣợc tính
đến khi xây dựng phƣơng trìn h (33). Năng lƣợng thu đƣợc tất nhiên sẽ
phụ thuộc vào tham số 𝛼, ta sẽ xác định tham số này từ điều kiện
𝜕𝐸 𝛾; 𝛼, 𝜔 / 𝜕𝜔 = 0
(34)

19


Đây là phƣơng trình đa ngh iệm nhƣng t ừ điều kiện tiệm cận khi 𝛾 ≫ 1
thì 𝛾 = 4𝛼, ta có thể xác định giá trị thực dƣơng duy nh ất. Ngoài ra nhƣ trong
phần III đã đề cập tới tham số 𝜔 đƣợc xác định bằng phƣơng trình:

Phƣơng trình (34) xu ất phát từ chuyện tham số 𝛼 tƣơng tự nhƣ tham số
trong phƣơng pháp biến phân, trong khi phƣơng trình (35) xuất phát từ suy
nghĩ rằng năng lƣợng của hệ không thể phụ thuộc vào một tham số mang ý
nghĩa thuần túy biểu diễn.
Kết quả cụ thể cho trạng thái cơ bản: Để minh họa, xét rạng thái cơ
bản ta thu đƣợc:

trong đó ta thay tham số mới bằng định nghĩa x =  2 / α, còn I(x) là
tích phân có thể đƣa về dạng tích phân sai số (error integral) nhƣ sau:
𝐼 𝑥 =

1
𝜋

+𝑥
0

𝑒𝑖

2

𝑑𝑙 𝑥+𝑙 2 =

1

𝜋

2

𝑥

𝑒 𝑥 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥

Đem thế vào (34) và (35) ta thu đƣợc hai phƣơng trình:

Dùng để xác xác định hai tham số x, . (36)-(37)-(38) là biểu thức giải
tích cho năng lƣợng của exciton trong từ trƣờng ở trạng thái cơ bản. Giải
bằng số các phƣơng trình trên và so sánh với kết quả chính xác bằng số cho
thấy độ chính xác của nghiệm giải tích của chúng ta là rất cao tro ng toàn
miền biến đổi từ trƣờng.

20


Nhƣ vậy trong phần này chúng ta đã đƣa ra đƣợc cách tính yếu tố tiệm
cận của hàm sóng để phát triển phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm giải tích.
Kết quả cụ thể nhận đƣợc cho trạng thái cơ bản có độ chính xác cao trong
toàn miền thay đổi từ trƣờng. Các công thức cơ bản cho phép về nguyên tắc
tìm nghiệm giải tích cho bất cứ trạng thái kích thích nào. Lời giải cụ thể cho
các trạng thái kích thích sẽ đƣợc đƣa ra trong các công trình nghiên cứu tiếp
theo.
B ản g 3 . S o sá n h n g h i ệm g iả i tích g ầ n đ ú n g v ớ i n g h iệm ch ín h xá c

V. TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN
Trong bán dẫn trạng thái exciton thƣờng có bán kính lớn hơn nhiều lần
hằng số mạng, ngƣời ta gọi loại exciton này là Mott -Wannier [26]. Lúc này
thế năng của mạng tinh thể sẽ tác động đáng kể lên chuyển động của điện tử
vì vậy khối lƣợng hiệu dụng của điện tử sẽ giảm và năng lƣợng tƣơng tác
Coulomb rất nhỏ so với nguyên tử hydro, khoản chừng 0.1 eV. Đặt biệt, lúc
này thế màn chăn không thể bỏ qua đối với tƣơng tác Coulomb. Hamiltonian
của hệ sẽ có dạng nhƣ sau:

với  là là hằng số dƣơng. Hằng số này có thể xác định sao cho phổ năng
lƣợng thu đƣợc bằng tính toán l ý thuyết phù hợp tốt nhất với số liệu thực
nghiệm. Chúng ta có thể sử dụng phƣơng pháp nhƣ trình bày trong chƣơng
III để khảo sát trƣờng hợp này. Điểm khác biệt và có thể gây khó khăn khi
tính toán ở đây là toán tử dạng hàm mũ 𝐴 = 𝑒 −𝜆𝑟 .

21


Tuy nhiênqua biểu diễn toán tử ta có:

Và có thể đƣa về dạng chuẩn nhƣ sau:

Nghĩa là toán tử sinh bên trái và toán tử hủ y bên phải, vì vậy rất thuận tiện cho
việc tính toán đại số. Các yếu tố ma trận (26) lúc này sẽ có thêm thành phần

Với 𝛼 =  /2; F1 (n,m, 𝛼) đƣợc định nghĩa nhƣ sau

Dễ dàng kiểm chứng rằng j!F 1 (n, m, α)= 2 F 1 (-n+m, -n-m; j+1; α 2 ) là
hàm suy biến [27]. Bài toán có thể màn chắn nhƣ vậy không làm phát sinh
thêm khó khăn nguyên tắc nào và sẽ đƣợc khảo sát cụ thể trong những công

trình tiếp theo.

VI . PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU:
Nhƣ chúng ta đã thấy trong các phần trên, việc sử dụng hiệu quả
phƣơng pháp đại số cho bài toán chính là nhờ phép biến đổi Le vi-Civita tạo
ra mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro hai chiều và bài toán dao động
tử điều hòa. Câu hỏi đƣợc đặt ra là có thể phát triển cho bài toán nguyên tử
Hydro ba chiều trong từ trƣờng hay không? Câu trả lời nằm trong phép biến
đổi Kustaanheimo-Stiefel [28]:

(39)

22


với 𝜎𝜆 𝜆 = 1, 2, 3 là các ma trận Pauli; tọa độ phức 𝜉1 với chỉ số chạy s = 1,2
đƣợc dùng do thu ận tiện trong ký hi ệu để mô tả không gian th ực 4 chiều.
Phép biến đổi (39), khác với nguyên gốc bởi ký hiệu phức này và bởi có đƣa
thêm vào t ọa độ góc 𝜙 (xem thêm trong [29]), có thể sử dụng để đƣa phƣơng
trình Schrodinger cho nguyên tử Hydro b a chiều về bài toán dao động từ hai
chiều phức. Mối liên hệ này đƣợc nghiên cứu rất nhiều (xem công trình [30]
và trích dẫn trong đó) và chúng ta có thể ứng dụng để đƣa bài toán nguyên tử
hydro trong từ trƣờng về bài toán dao động tử phi điều hòa. Tiếp the o việc sử
dụng phƣơng pháp toán tử hoàn toàn tƣơng tự nhƣ đã nêu trong phần III của
công trình này. Nghiên cứu cụ thể sẽ công bố trong những công trình kế tiếp.

VII. KẾT LUẬN
Nhƣ vậy trong công trình này, bằng phƣơng pháp toán tử chúng tôi đã
đƣa ra đƣợc lời giải chính xác bằng số cho bài toán nguyên tử hydro hai
chiều trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ không nhũng cho trạng thái cơ

bản mà cả cho các trạng thái kích thích. Ở đây lời giải chính xác bao gồm cả
năng lƣợng và hàm sóng, còn bài toán Hydro hai chiều chính là mô hình
tƣơng tác điện tử lỗ trống của khí điện tử hai chiều tạo ra do bán dẫn nhiều
lớp GaAs/AIGaAs. Nghiệm giải tích cho trạng thái cơ bản cũng đƣợc đƣa ra
và các công thức cần thiết để nhận đƣợc lời giải cho các trạng thái kích thích
cũng đƣợc xây dựng. Trong công trình đƣa r a các yếu tố cơ bản để phát tri ển
kết quả cho trƣờng hợp có thế màn chắn và cho nguyên tử h ydro ba chiều
trong từ trƣờng.
Các kết quả đã đƣợc công b ố trên tạp chí khoa học của Viện hàn lâm
khoa học Belarus [31], n ơi mà tác giả có dịp tham gia vào xây dựng phƣơng
pháp toán tử giải phƣơng trình Schrodinger; công bố trên tạp chí khoa học
của trƣờng ĐH Sƣ Phạm Tp. HCM [32], báo cáo ở Hội nghị Vật Lý l ý thuyết
Việt nam lần thứ 29 [33] (báo cáo này đã đƣợc nhận đăng vào tạp chí
Communication in Physics). Ngoài ra trong quá trình nghiên cứu đề tài này
tác giả hƣớng dẫn 3 luận văn tốt nghiệp.
Tác giả chân thành cám ơn các đồng nghiệp Khoa Lý ĐH Sƣ Phạm TP.
HCM đã tham gia seminar thảo luận và góp ý về đề tài này. Tác giả xi n chân
thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Lý, Phòng Khoa học và công nghệ trƣởng
ĐH Sƣ Phạm TP,HCM đã tạo mọi điều kiện để đề tài đƣợc đăng ký và hoàn
thành.

23


VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.
12.

Seigfried Flugge. Practical Quantum Mechanics , Springer-Verlag Pub.,
1999.
Calvin Stubbins, Kunal Das, Y. Shiferaw, J. Phys. B 37 (2004) 2001-2209.
Low-lying energy levels of the hydrogen atom in a strong magnetic
field.
V. Yakhontov, Phys. Rev. Lett. 91 (2003)093001-4.
Relalivistic linear response wave functions and dynamic scattering
tensor for nsl/2 slates in hydrogenlike atom.
Jianguo Rao, K.T. Taylor, J. Phys. B 35 (2002)2627-2641.
The closed orbits and the photo -excitation scaled spectrum of the
hydrogen atom in crossed fields.
Saikat Ghosh, S.H. Patil, J. Phys. B 34 (2001) 3535-3542. Wavefunctions
for a hydrogen atom in a magnetic field based on some local

properties.
K. Nilsson, A. Blom, V.V. Shlyapin, Sol. Stat. Comm. 132 (2004) 187-191.
Calculation of bound and resonant donor states of GaAs in a magnetic
field.
M. Pacheco, A. Leon, Z. Barticevic, Phys. Stat. Sol. (b) 235 (2003) 146-150.
Far-infrared optical spectrum of donor impurities in quantum dots in a
magnetic field.
R. Pino, V.M. Villalba, Phys. Stat. Sol. (b) 211 (1999)641-649.
Scales Variational Computa tion of the Energy Spectrum of a Two dimensional Hydrogenic Donor in a Magnetic Field of Arbitrary
Strength.
Victor M Villalba, R. Pino. Physica B 315 (2002) 289-296.
Energy spectrum of a t wo-dimensional screened donor in a constant
magnetic field of arbitrary strength.
10.A.H. MacDonald, D. S. Ritchie, Phys. Rev. B 33 (1986) 8336-8344.
Hydrogenic energy levels in two dimensions at arbitrary magnetic
fields.
Mark A Torinka, Robert M Westervelt, Eric J Heller, Physics Today.
December 2003, 47-52. Imaging Electron Flow.
S. Jordan, S. Friedrich.ArXiv:astro-ph/0201122, 1 (9 Jan 2002).

24


13.
14.

15.

16.
17.

18.
19.
20.
21.

22.

23.

24.

Search for variations in circular -polarization spectra of the magnetic
white drarfLP 709-29*.
Ying-Zhong Ma, Leonas Valkimas, Sergei M. Bachilo, Graham R. lemina, J. Phys.
Chem. B Lett. 109 (2005) 15671-15674.
Exciton binding energy in semiconducting single-walled carbon nanotube.Shik,
Quantum wells physics and electronics of two dimensional systems, World Scientfic
Pub. (1997).
Nguyen Manh Cuong, Nguyen Ai Viet. Proc" 28th Nat. Conf. Thcor. Phys." (Sam
son, 12-14 Aug. 2004) 75-79.
The binding energy of exciton in semi-conductor carbon nanolubes.
R. Maeder, Programming in Mathematical 2-nd edition, Addison-Wesley Pub. Co.,
(1991).
Le Van Hoang, In Etude on Theor. Phys. Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific,
Singapore (2004) 231-249. Algebraic method with the use of many-particle Coulomb
Green function for atomic calculation.
T. Levi-Civita, Operc Matematiche 2 (1956) 1901-1907. Sur la resolution qualitative
du problem restraint des trios corps.
Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang. J. Phys. A 26 (1993)1409-1418.

The algebraic method for two-dimensional quantum atomic systems.
I. D. Feranchuk, L. I. Komarov, Phys. Lett. A 88 (1982) 212-214.
The operator method of approximate solution of the Schrodinger equation.
.I. D. Feranchuk, L. 1. Komarov, I. V. Nichipor, A. P. Ulyanenkov, Ann. Phys. 238
(1995) 370-440. Operator Method in the problem of Quantum Anharmonic
Oscillator.
A. B. Dzubenko, Phys Rev. B 65 (2001) 035318.
Charged hydrogen ic problem in a magnetic field: Noncommutative translations,
unitary transformations, and coherent states. 9
.Zudov M.A., Du R.R., Simmons J.A., Reno J L. Phys. Rev. Lett B 90 (2003) 46807.
Zudov M A. arXiv:cond-mat/0306508 . 1 (2003) 1-5. On the phase of oscillatory
microwave pholoresistance and zero-resistance states.
Studenikin S A, Potemski M, Coleridge P T, Sachrajda A, Wasilewski Z R.
arXiv:cond-mal/0310347. 1 (2003) 1-4. Microwave radiation induced magneto-

25