Giáo trình đồ thị và các thuật toán

Mu.c lu.c
`au
L`
o.i n´
oi d
¯ˆ

7

- a.i cu.o.ng vˆ
`e d
`o thi.
1 D
¯ˆ

9

1.1

1.2

1.3

- i.nh ngh˜ıa v`a c´ac kh´ai niˆe.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

9

1.1.1

- `ˆo thi. c´o hu.´o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D

9

1.1.2

- `ˆo thi. v`a ´anh xa. d¯a tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

10

1.1.3

- `ˆo thi. vˆo hu.´o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

10

1.1.4

C´ac d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Ma trˆa.n biˆe˙’u diˆ˜en d¯`ˆo thi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3

`e hay ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-d¯ı˙’nh . . . . . . . . . . . . .
Ma trˆa.n kˆ

17

1.2.4

C´ac biˆe˙’u diˆ˜en cu˙’a d¯`oˆ thi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

T´ınh liˆen thˆong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1

`en v`a chu tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dˆay chuyˆ

23

1.3.2

- u.`o.ng d¯i v`a ma.ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

24

1.3.3

T´ınh liˆen thˆong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1




1.4

1.5

1.6

1.3.4

`au, k−liˆen thˆong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cˆ

28

1.3.5

- `ˆo thi. liˆen thˆong ma.nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

31

Pha.m vi v`a liˆen thˆong ma.nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.1

Ma trˆa.n pha.m vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.2

`an liˆen thˆong ma.nh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T`ım c´ac th`anh phˆ

36

1.4.3

Co. so˙’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

- ˇa˙’ng cˆa´u cu˙’a c´ac d¯`ˆo thi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

41

1.5.1

1−d¯ˇa˙’ng cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.5.2

2−d¯ˇa˙’ng cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

C´ac d¯`oˆ thi. d¯aˇ. c biˆe.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.6.1

- `ˆo thi. khˆong c´o ma.ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

46

1.6.2

- `ˆo thi. phˇa˙’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

46

`o thi.
2 C´
ac sˆ
o´ co. ba˙’n cu˙’a d
¯ˆ

49

2.1

Chu sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2

Sˇa´c sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

C´ach t`ım sˇa´c sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.3

Sˆo´ ˆo˙’n d¯.inh trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.4

Sˆo´ ˆo˙’n d¯.inh ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.5

Phu˙’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.6

Nhˆan cu˙’a d¯`ˆo thi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.6.1

`e tˆ
`on ta.i v`a duy nhˆa´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C´ac d¯i.nh l´
y vˆ

69

2.6.2

Tr`o cho.i Nim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.2.1

2




`e d
3 C´
ac b`
ai to´
an vˆ
¯u.`
o.ng d
¯i
3.1

3.2

3.3

3.4

- u.`o.ng d¯i gi˜
D
u.a hai d¯ı˙’nh

75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.1.1

- u.`o.ng d¯i gi˜
D
u.a hai d¯ı˙’nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.1.2

- `ˆo thi. liˆen thˆong ma.nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

76

- u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t gi˜
D
u.a hai d¯ı˙’nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2.1

Tru.`o.ng ho..p ma trˆa.n tro.ng lu.o..ng khˆong ˆam . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2.2

Tru.`o.ng ho..p ma trˆa.n tro.ng lu.o..ng tu`
yy
´. . . . . . . . . . . . . . . . .

82

- u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t gi˜
D
u.a tˆa´t ca˙’ c´ac cˇa.p d¯ı˙’nh . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.3.1

Thuˆa.t to´an Hedetniemi (tru.`o.ng ho..p ma trˆa.n tro.ng lu.o..ng khˆong ˆam)

88

3.3.2

Thuˆa.t to´an Floyd (tru.`o.ng ho..p ma trˆa.n tro.ng lu.o..ng tu`
yy
´) . . . . . .

93

Ph´at hiˆe.n ma.ch c´o d¯ˆo. d`ai ˆam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Ma.ch tˆo´i u.u trong d¯`ˆo thi. c´o hai tro.ng lu.o..ng . . . . . . . . . . . . . .

96

3.4.1
ˆ
4 CAY

99

4.1

Mo˙’. d¯`ˆau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Cˆay Huffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3

99

4.2.1

C´ac bˆo. m˜a “tˆo´t” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.2

M˜a Huffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Cˆay bao tr`
um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.1

`eu rˆo.ng x´ac d¯.inh cˆay bao tr`
Thuˆa.t to´an t`ım kiˆe´m theo chiˆ
um . . . . . 107

4.3.2

`eu sˆau x´ac d¯i.nh cˆay bao tr`
Thuˆa.t to´an t`ım kiˆe´m theo chiˆ
um . . . . . 107

4.3.3

T`ım cˆay bao tr`
um du..a trˆen hai ma˙’ng tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . 108

4.3.4

Thuˆa.t to´an t`ım tˆa´t ca˙’ c´ac cˆay bao tr`
um . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.5

Hˆe. co. so˙’. cu˙’a c´ac chu tr`ınh d¯ˆo.c lˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3




4.4

4.5

Cˆay bao tr`
um tˆo´i thiˆe˙’u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4.1

Thuˆa.t to´an Kruskal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.2

Thuˆa.t to´an Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4.3

Thuˆa.t to´an Dijkstra-Kevin-Whitney

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B`ai to´an Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5 B`
ai to´
an Euler v`
a b`
ai to´
an Hamilton
5.1

127

B`ai to´an Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1

`en Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Thuˆa.t to´an t`ım dˆay chuyˆ

5.2

B`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a thu. Trung Hoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3

B`ai to´an Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1

`eu kiˆe.n cˆ
`an d¯ˆe˙’ tˆ
`on ta.i chu tr`ınh Hamilton . . . . . . . . . . . . 138
C´ac d¯iˆ

5.3.2

`eu kiˆe.n d¯u˙’ vˆ
`e su.. tˆ
`on ta.i chu tr`ınh Hamilton
C´ac d¯iˆ

5.3.3

`eu kiˆe.n d¯u˙’ vˆ
`e su.. tˆ
`on ta.i ma.ch Hamilton . . . . . . . . . . . . . 142
C´ac d¯iˆ

. . . . . . . . . . 139

- `ˆ
6 D
o thi. phˇ
a˙’ ng

149

6.1

- .inh ngh˜ıa v`a c´ac v´ı du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
D

6.2

C´ac biˆe˙’u diˆ˜en kh´ac nhau cu˙’a mˆo.t d¯`oˆ thi. phˇa˙’ng . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3

C´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a d¯`ˆo thi. phˇa˙’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4

Ph´at hiˆe.n t´ınh phˇa˙’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.4.1

Kiˆe˙’m tra t´ınh phˇa˙’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5

- ˆo´i ngˆa˜u h`ınh ho.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
D

6.6

- ˆo´i ngˆa˜u tˆo˙’ ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
D

7 Ma.ng vˆ
a.n ta˙’ i

173
4




7.1

Mo˙’. d¯`ˆau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.2

`ong l´o.n nhˆa´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B`ai to´an luˆ

7.3

7.4

7.2.1

`ong l´o.n nhˆa´t . . . . . . . . . . . . . . 180
Thuˆa.t to´an g´an nh˜an d¯ˆe˙’ t`ım luˆ

7.2.2

- `ˆo thi. d¯iˆ
`eu chı˙’nh luˆ
`ong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
D

7.2.3

`ong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Phˆan t´ıch luˆ

`ong l´o.n nhˆa´t . . . . . . . . . . . . . . . 183
C´ac ca˙’i biˆen d¯o.n gia˙’n cu˙’a b`ai to´an luˆ
7.3.1

`eu nguˆ
`on v`a nhiˆ
`eu d¯´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C´ac d¯`ˆo thi. c´o nhiˆ

7.3.2

C´ac d¯`ˆo thi. v´o.i r`ang buˆo.c ta.i c´ac cung v`a d¯ı˙’nh . . . . . . . . . . . . . 184

7.3.3

`e luˆ
`ong . . . . . . . . . . . . . . 185
C´ac d¯`ˆo thi. c´o cˆa.n trˆen v`a cˆa.n du.´o.i vˆ

`ong v´o.i chi ph´ı nho˙’ nhˆa´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Luˆ
7.4.1

7.5

Thuˆa.t to´an Klein, Busacker, Gowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Cˇa.p gh´ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.1

`e cˇa.p gh´ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
C´ac b`ai to´an vˆ

7.5.2

`an . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Cˇa.p gh´ep l´o.n nhˆa´t trong d¯`ˆo thi. hai phˆ

7.5.3

`an . . . . . . . . . . . . . . . 193
Cˇa.p gh´ep ho`an ha˙’o trong d¯`ˆo thi. hai phˆ

A Thu. viˆ
e.n Graph.h

197

T`
ai liˆ
e.u tham kha˙’ o

209

5




6




`au
L`
o.i n´
oi d
¯ˆ
Trong thu..c tˆe´ d¯ˆe˙’ miˆeu ta˙’ mˆo.t sˆo´ t`ınh huˆo´ng ngu.`o.i ta thu.`o.ng biˆe˙’u thi. bˇ`a ng mˆo.t h`ınh a˙’nh
`om c´ac d¯iˆe˙’m (c´ac d¯ı˙’nh)-biˆe˙’u diˆ˜en c´ac thu..c thˆe˙’-v`a v˜e c´ac d¯oa.n thˇa˙’ng nˆo´i cˇa.p c´ac d¯ı˙’nh biˆe˙’u
gˆ
diˆ˜en mˆo´i quan hˆe. gi˜
u.a ch´
ung. Nh˜
u.ng h`ınh nhu. thˆe´ thu.`o.ng go.i l`a c´ac d¯`oˆ thi.. Mu.c d¯´ıch cu˙’a
gi´ao tr`ınh n`ay cung cˆa´p nh˜
u.ng kiˆe´n th´

u.c co. ba˙’n d¯ˆe˙’ nghiˆen c´
u.u c´ac d¯`oˆ thi.. C´ac d¯`ˆo thi. xuˆa´t
`eu l˜ınh vu..c v´o.i c´ac tˆen go.i kh´ac nhau: “cˆa´u tr´
hiˆe.n trong nhiˆ
uc” trong cˆong tr`ınh xˆay du..ng,
.
.
.
`en thˆong”, “cˆa´u tr´
“ma.ch” trong d¯iˆe.n tu˙’ , “lu o. c d¯`oˆ quan hˆe.”, “cˆa´u tr´
uc truyˆ
uc tˆo˙’ ch´
u.c”
trong x˜a hˆo.i v`a kinh tˆe´, “cˆa´u tr´
uc phˆan tu˙’.” trong ho´a ho.c, vˆan vˆan.
`eu l˜ınh vu..c, c´o rˆa´t nhiˆ
`eu nghiˆen c´
Do nh˜
u.ng u
´.ng du.ng rˆo.ng r˜ai cu˙’a n´o trong nhiˆ
u.u
`an d¯aˆy; mˆo.t nhˆan tˆo´ chu˙’ yˆe´u g´op phˆ
`an th´
xung quanh l´
y thuyˆe´t d¯`oˆ thi. trong nh˜
u.ng nˇam gˆ
uc
.
.
.

˙
’
˙
’
˙
’
´
`
d¯aˆ y su. ph´at triˆen d¯o´ l`a xuˆa t hiˆe.n c´ac m´ay t´ınh l´o n c´o thˆe thu. c hiˆe.n nhiˆeu ph´ep to´an v´o.i
tˆo´c d¯oˆ. rˆa´t nhanh. Viˆe.c biˆe˙’u diˆ˜en tru..c tiˆe´p v`a chi tiˆe´t c´ac hˆe. thˆo´ng thu..c tˆe´, chˇa˙’ng ha.n c´ac
`en thˆong, d¯˜a d¯u.a d¯ˆe´n nh˜
ma.ng truyˆ
u.ng d¯`ˆo thi. c´o k´ıch thu.´o.c l´o.n v`a viˆe.c phˆan t´ıch th`anh
`eu v`ao c´ac thuˆa.t to´an “tˆo´t” c˜
cˆong hˆe. thˆo´ng phu. thuˆo.c rˆa´t nhiˆ
ung nhu. kha˙’ nˇang cu˙’a m´ay
t´ınh. Theo d¯o´, gi´ao tr`ınh n`ay s˜e tˆa.p trung v`ao viˆe.c ph´at triˆe˙’n v`a tr`ınh b`ay c´ac thuˆa.t to´an
d¯ˆe˙’ phˆan t´ıch c´ac d¯`oˆ thi..
C´ac phu.o.ng ph´ap phˆan t´ıch v`a thiˆe´t kˆe´ c´ac thuˆa.t to´an trong gi´ao tr`ınh cho ph´ep sinh
viˆen c´o thˆe˙’ viˆe´t dˆ˜e d`ang c´ac chu.o.ng tr`ınh minh ho.a. Gi´ao tr`ınh d¯u.o..c biˆen soa.n cho c´ac d¯oˆ´i
tu.o..ng l`a sinh viˆen To´an-Tin v`a Tin ho.c.
u. C d¯ˆe˙’ minh ho.a, tuy nhiˆen c´o thˆe˙’ dˆ˜e d`ang chuyˆe˙’n d¯ˆo˙’i
Gi´ao tr`ınh su˙’. du.ng ngˆon ng˜
`an c´o mˆo.t sˆo´ kiˆe´n th´
`e ngˆon ng˜
sang c´ac ngˆon ng˜
u. kh´ac; v`a do d¯´o, sinh viˆen cˆ
u.c vˆ
u. C. Ngo`ai
.

.
.
.
`au hˆe´t c´ac chu o ng tr`ınh thao t´ac trˆen cˆa´u tr´
ra, hˆ
uc d˜
u liˆe.u nhu danh s´ach liˆen kˆe´t, nˆen d¯`oi
.
y nˇang lˆa.p tr`ınh tˆo´t.
ho˙’i sinh viˆen pha˙’i c´o nh˜
u ng k˜
sau:

`om ba˙’y chu.o.ng v`a mˆo.t phˆ
`an phu. lu.c v´o.i nh˜
Gi´ao tr`ınh bao gˆ
u.ng nˆo.i dung ch´ınh nhu.

`e d¯`oˆ thi..
• Chu.o.ng th´
u. nhˆa´t tr`ınh b`ay nh˜
u.ng kh´ai niˆe.m cˇan ba˙’n vˆ
´ ngh˜ıa thu..c tiˆ˜en cu˙’a c´ac sˆo´ n`ay.
• Chu.o.ng 2 tr`ınh b`ay nh˜
u.ng sˆo´ co. ba˙’n cu˙’a d¯`ˆo thi.. Y
7

• Chu.o.ng 3 t`ım hiˆe˙’u b`ai to´an t`ım d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t.
´.ng du.ng cu˙’a cˆay Huffman trong n´en d˜
`e cˆay. U
• Chu.o.ng 4 d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n kh´ai niˆe.m vˆ
u.
.
liˆe.u. Ngo`ai ra xˆay du. ng c´ac thuˆa.t to´an t`ım cˆay bao tr`
um nho˙’ nhˆa´t.
• B`ai to´an Euler v`a b`ai to´an Hamilton v`a nh˜
u.ng mo˙’. rˆo.ng cu˙’a ch´
ung s˜e d¯u.o..c n´oi d¯ˆe´n
trong Chu.o.ng 5.
• Chu.o.ng 6 nghiˆen c´
u.u c´ac t´ınh chˆa´t phˇa˙’ng cu˙’a d¯`ˆo thi.; v`a cuˆo´i c`
ung
• Chu.o.ng 7 t`ım hiˆe˙’u c´ac b`ai to´an trˆen ma.ng vˆa.n ta˙’i.
`an phu. lu.c tr`ınh b`ay c´ac cˆa´u tr´
`an thiˆe´t d¯ˆe˙’
Ngo`ai ra, phˆ
uc d˜
u. liˆe.u v`a nh˜
u.ng thu˙’ tu.c cˆ
.
.
.
.
.
d¯o n gia˙’n ho´a c´ac d¯oa.n chu o ng tr`ınh minh ho.a c´ac thuˆa.t to´an d¯u o. c tr`ınh b`ay.
`an d¯`aˆu tiˆen nˆen khˆong tr´anh kho˙’i kh´a nhiˆ
`eu thiˆe´u s´ot. T´ac

Gi´ao tr`ınh d¯u.o..c biˆen soa.n lˆ
.
.
gia˙’ mong c´o nh˜
u ng d¯´ong g´op t`
u ba.n d¯o.c.
`eu ngu.`o.i m`a khˆong thˆe˙’ liˆe.t kˆe
Tˆoi xin ca˙’m o.n nh˜
u.ng gi´
up d¯o˜. d¯a˜ nhˆa.n d¯u.o..c t`
u. nhiˆ
hˆe´t, d¯ˇa.c biˆe.t l`a c´ac ba.n sinh viˆen, trong qu´a tr`ınh biˆen soa.n gi´ao tr`ınh n`ay.
- `a La.t, ng`ay 5 th´ang 3 nˇam 2002
D
.
PHA
. M Tiˆe´n So n

8




Chu.o.ng 1
- a.i cu.o.ng vˆ
`e d
`o thi.
D
¯ˆ
- i.nh ngh˜ıa v`

D
a c´
ac kh´
ai niˆ
e.m

1.1
1.1.1

- `ˆ
D
o thi. c´
o hu.´
o.ng

- `ˆo thi. c´o hu.´o.ng G = (V, E) gˆ
`om mˆo.t tˆa.p V c´ac phˆ
`an tu˙’. go.i l`a d¯ı˙’nh (hay n´
D
ut) v`a mˆo.t tˆa.p
.
.
.
.
.
.
E c´ac cung sao cho mˆo˜i cung e ∈ E tu o ng u
´ ng v´o i mˆo.t cˇa.p c´ac d¯ı˙’nh d¯u o. c sˇa´p th´
u. tu... Nˆe´u
c´o d¯u

´ng mˆo.t cung e tu.o.ng u
´.ng c´ac d¯ı˙’nh d¯u.o..c sˇa´p th´
u. tu.. (a, b), ta s˜e viˆe´t e := (a, b).
Ch´
ung ta s˜e gia˙’ su˙’. c´ac d¯ı˙’nh d¯u.o..c d¯a´nh sˆo´ l`a v1 , v2 , . . . , vn hay gia˙’n tiˆe.n, 1, 2, . . . , n,
trong d¯o´ n = #V l`a sˆo´ c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a d¯`ˆo thi..
Nˆe´u e l`a mˆo.t cung tu.o.ng u
´.ng cˇa.p c´ac d¯ı˙’nh d¯u.o..c sˇa´p th´
u. tu.. vi v`a vj th`ı d¯ı˙’nh vi go.i l`a
gˆo´c v`a d¯ı˙’nh vj go.i l`a ngo.n; cung e go.i l`a liˆen thuˆo.c hai d¯ı˙’nh vi v`a vj . Ch´
ung ta s˜e thu.`o.ng
k´
y hiˆe.u m = #E−sˆo´ ca.nh cu˙’a d¯`ˆo thi. G. C´ac ca.nh thu.`o.ng d¯u.o..c d¯´anh sˆo´ l`a e1 , e2 , . . . , em .
Mˆo.t c´ach h`ınh ho.c, c´ac d¯ı˙’nh d¯u.o..c biˆe˙’u diˆ˜en bo˙’.i c´ac d¯iˆe˙’m, v`a e = (vi , vj ) d¯u.o..c biˆe˙’u
diˆ˜en bo˙’.i mˆo.t cung nˆo´i c´ac d¯iˆe˙’m vi v`a vj .
Mˆo.t cung c´o gˆo´c tr`
ung v´o.i ngo.n go.i l`a khuyˆen.
`eu ho.n mˆo.t cung v´o.i gˆo´c ta.i vi v`a ngo.n ta.i vj th`ı G go.i l`a d¯a d¯`oˆ thi. v`a c´ac
Nˆe´u c´o nhiˆ
- o.n d¯`oˆ thi. c´o hu.´o.ng l`a d¯`oˆ thi. khˆong khuyˆen trong d¯o´ hai
´.ng go.i l`a song song. D
cung tu.o.ng u
`eu nhˆa´t mˆo.t cung (vi , vj ). Chˇa˙’ng ha.n, d¯`oˆ thi. trong H`ınh 1.1 c´o
d¯ı˙’nh bˆa´t k`
y vi v`a vj c´o nhiˆ
cung e8 l`a khuyˆen; c´ac cung e4 v`a e9 l`a song song do c`
ung tu.o.ng u
´.ng cˇa.p d¯ı˙’nh v3 v`a v4 .
9

e4

..
....................................................................................................
..................
..........
..........
......
......
..
.
.................................................................................................................................................................
.
....
.. ...........
.. ....
.........
.
..................
............ ....
.
.
.
...
.
.
.

.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
...............................................................

.
...
...
.
.
.
...
...
...
..
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
....
.
...
....
..
...

...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
.
....
.
.
.
...
..
...
...
..
..........
...
..
.........
...
...
..
..........
.
...

.
.
.
....
..
.
....
....
...
..
...
.....
...
...
...
........
...
..
........
...
..
...
.....
.
.
.
.
.
.
.

...
....
......
...
...
.....
....
...
...
......
......
...
...
...
......
.
.
.
...
.
.
....
...
...
.......
..
...
.......
...
..

...
.......
..
...
........
...
... ....
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... ...
.......................................................................................................................................................................
... ....
...
...
..
..
.
...
.
..
.
.......

...
...
.... ......
.......

v2
•

e3

v3
•

•v4

e9

e1

e2

•
v1

e6

e5

e7

• v5

e8

H`ınh 1.1: V´ı du. cu˙’a 2−d¯`ˆo thi. c´o hu.´o.ng.

1.1.2

- `ˆ
D
o thi. v`
a´
anh xa. d
¯a tri.

y hiˆe.u Γ(x) := {y ∈ V | (x, y) ∈ E}. Khi d¯´o ta c´o mˆo.t ´anh xa. d¯a tri.
V´o.i mˆo˜i x ∈ V, k´
Γ: V → 2V , x → Γ(x). K´
y hiˆe.u Γ−1 l`a ´anh xa. (d¯a tri.) ngu.o..c cu˙’a Γ.
Nˆe´u G l`a d¯o.n d¯`ˆo thi., th`ı d¯`ˆo thi. n`ay ho`an to`an d¯u.o..c x´ac d¯.inh bo˙’.i tˆa.p V v`a ´anh xa. d¯a
tri. Γ t`
u. V v`ao 2V . V`ı vˆa.y, d¯`oˆ thi. n`ay c`on c´o thˆe˙’ k´
y hiˆe.u l`a G = (V, Γ).
Nˆe´u xo´a cung e9 trong H`ınh 1.1 ta nhˆa.n d¯u.o..c d¯o.n d¯`oˆ thi. v`a do d¯o´ c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆ˜en
bo˙’.i ´anh xa. d¯a tri. Γ. Trong tru.`o.ng ho..p n`ay ta c´o
Γ(v1 ) = {v2 },

1.1.3

Γ(v2 ) = {v1 , v3 },

Γ(v3 ) = {v4 , v5 },

Γ(v4 ) = {v5 },

Γ(v5 ) = {v1 , v5 }.

- `ˆ
D
o thi. vˆ
o hu.´
o.ng

Khi nghiˆen c´
u.u mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu˙’a c´ac d¯`oˆ thi., ta thˆa´y rˇ`a ng ch´
ung khˆong phu. thuˆo.c v`ao
.
.
`an phˆan biˆe.t su.. kh´ac nhau gi˜
u.a c´ac d¯iˆe˙’m bˇa´t d¯`aˆu v`a
hu ´o ng cu˙’a c´ac cung, t´
u.c l`a khˆong cˆ
- iˆ
`eu n`ay d¯o.n gia˙’n l`a mˆo˜i khi c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t cung gi˜
u.a hai d¯ı˙’nh ta khˆong quan
kˆe´t th´
uc. D
.
.
ung.

tˆam d¯ˆe´n th´
u tu. cu˙’a ch´
V´o.i mˆo˜i cung, t´
u.c l`a mˆo˜i cˇa.p c´o th´
u. tu.. (vi , vj ) ta cho tu.o.ng u
´.ng cˇa.p khˆong c´o th´
u.
tu.. (vi , vj ) go.i l`a c´ac ca.nh. Tu.o.ng d¯u.o.ng, ta n´oi rˇa` ng ca.nh l`a mˆo.t cung m`a hu.´o.ng d¯a˜ bi. bo˙’
`e h`ınh ho.c, ca.nh (vi , vj ) d¯u.o..c biˆe˙’u diˆ˜en bo˙’.i c´ac d¯oa.n thˇa˙’ng (hoˇa.c cong) v`a khˆong
quˆen. Vˆ
c´o m˜
ui tˆen liˆen thuˆo.c hai d¯iˆe˙’m tu.o.ng u
´.ng hai d¯ı˙’nh vi v`a vj .
10




`e kha˙’o s´at tˆa.p E l`a
Nghiˆen c´
u.u c´ac t´ınh chˆa´t vˆo hu.´o.ng cu˙’a d¯`oˆ thi. G = (V, E) d¯u.a vˆ
.
.
.
.
`an tu˙’ m`a mˆo˜i phˆ
`an tu˙’ l`a mˆo.t cˇa.p hai d¯ı˙’nh
tˆa.p c´ac ca.nh, t´
u c l`a, mˆo.t tˆa.p h˜
u u ha.n c´ac phˆ

phˆan biˆe.t hay d¯`ˆong nhˆa´t cu˙’a V.
- a d¯`oˆ thi. vˆo hu.´o.ng l`a d¯`oˆ thi. m`a c´o thˆe˙’ c´o nhiˆ
`eu ho.n mˆo.t ca.nh liˆen thuˆo.c hai d¯ı˙’nh.
D
- `ˆo thi. go.i l`a d¯o.n nˆe´u n´o khˆong c´o khuyˆen v`a hai d¯ı˙’nh bˆa´t k`
`eu nhˆa´t mˆo.t ca.nh
D
y c´o nhiˆ
liˆen thuˆo.c ch´
ung.
e4
v...2................................................................e.......3.......................................................v.......3...........................................................................................................................................................
.. ..
•..............................
•... v4
...•.....
.........
...
............. ....
............................
..
...
...
.....................................................................
.
....
...
..
...
.

.
.
.
...
...
.
..
e9
....
...
..
..
...
.
...
...

e1

...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...
..
.
...
....
.
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
.
.
.
.
.....
..
...

....
...
....
...
...
...
.....
...
.....
...
...
.....
...
.
.
..
.
.
.
.
.
...
.....
....
...
.....
...
...
...
.....

...
..
......
...
...
..
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
......
...
....
...
......
...
...
...
......
...
.......
...

...
.......
.
...
.
.
..
.
.
.
.
.
.
... ...
.......
...
... ...
........
....................................................................................................................................................................
... .....
...
....
...
..
.....
..
..
...
..
...

.
.
.... .....
.......

e2

•
v1

e6

e5

e7

• v5

e8

- `ˆo thi. vˆo hu.´o.ng tu.o.ng u
´.ng d¯`ˆo thi. trong H`ınh 1.1.
H`ınh 1.2: D

1.1.4

C´
ac d
¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh

`e nhau nˆe´u ch´
Hai cung, hoˇa.c hai ca.nh go.i l`a kˆ
ung c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t d¯ı˙’nh chung. Chˇa˙’ng ha.n,
`e nhau. Hai d¯ı˙’nh vi v`a vj go.i l`a kˆ
`e nhau nˆe´u tˆ
`on ta.i
hai ca.nh e1 v`a e3 trong H`ınh 1.2 l`a kˆ
`e nhau (liˆen
ca.nh hoˇa.c cung ek liˆen thuˆo.c ch´
ung. V´ı du. trong H`ınh 1.2 hai d¯ı˙’nh v2 v`a v3 l`a kˆ
.
.
`
˙
’
˙
’
thuˆo.c bo i ca.nh e3 ), nhu ng d¯ınh v2 v`a v5 khˆong kˆe nhau.
Bˆ
a.c v`
a nu˙’.a bˆ
a.c
+
`am lˆa˜n) l`a sˆo´ c´ac cung
Bˆa.c ngo`ai cu˙’a d¯ı˙’nh v ∈ V, k´
y hiˆe.u d+
e´u khˆong so.. nhˆ
G (v) (hay d (v) nˆ
−
−

´
`am
c´o d¯ı˙’nh v l`a gˆoc. Bˆa.c trong cu˙’a d¯ı˙’nh v ∈ V, k´
y hiˆe.u dG (v) (hay d (v) nˆe´u khˆong so.. nhˆ
lˆa˜n) l`a sˆo´ c´ac cung c´o d¯ı˙’nh v l`a ngo.n.

Chˇa˙’ng ha.n, d¯`ˆo thi. c´o hu.´o.ng trong H`ınh 1.1 c´o d+ (v2 ) = 2, d− (v2 ) = 1.
11




Hiˆe˙’n nhiˆen rˇa` ng, tˆo˙’ng c´ac bˆa.c ngo`ai cu˙’a c´ac d¯ı˙’nh bˇa` ng tˆo˙’ng c´ac bˆa.c trong cu˙’a c´ac
d¯ı˙’nh v`a bˇ`a ng tˆo˙’ng sˆo´ cung cu˙’a d¯`oˆ thi. G, t´
u.c l`a
n
i=1

d+ (vi ) =

n

d− (vi ) = m.

i=1

Nˆe´u G l`a d¯`ˆo thi. vˆo hu.´o.ng, bˆa.c cu˙’a d¯ı˙’nh v ∈ V, k´
y hiˆe.u dG (v) (hay d(v) nˆe´u khˆong so..
`am lˆa˜n) l`a sˆo´ c´ac ca.nh liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh v v´o.i khuyˆen d¯u.o..c d¯ˆe´m hai lˆ
`an. V´ı du. d¯`ˆo thi. vˆo

nhˆ
.
.
hu ´o ng trong H`ınh 1.2 c´o d(v2 ) = 3, d(v5 ) = 5.

C´
ac cung (ca.nh) liˆ
en thuˆ
o.c tˆ
a.p A ⊂ V. C´
ac d
¯ˆ
o´i chu tr`ınh
Gia˙’ su˙’. A ⊂ V. K´
y hiˆe.u ω + (A) l`a tˆa.p tˆa´t ca˙’ c´ac cung c´o d¯ı˙’nh gˆo´c thuˆo.c A v`a d¯ı˙’nh ngo.n
thuˆo.c Ac := V \ A, v`a ω − (A) l`a tˆa.p tˆa´t ca˙’ c´ac cung c´o d¯ı˙’nh ngo.n thuˆo.c A v`a d¯ı˙’nh gˆo´c thuˆo.c
- ˇa.t
Ac . D
ω(A) = ω + (A) ∪ ω − (A).
Tˆa.p c´ac cung hoˇa.c ca.nh c´o da.ng ω(A) go.i l`a d¯ˆo´i chu tr`ınh cu˙’a d¯`oˆ thi..

- `ˆ
D
o thi. c´
o tro.ng sˆ
o´
- `ˆo thi. c´o tro.ng sˆo´ nˆe´u trˆen mˆo˜i cung (hoˇa.c ca.nh) e ∈ E c´o tu.o.ng u
´.ng mˆo.t sˆo´ thu..c w(e) go.i
D
l`a tro.ng lu.o..ng cu˙’a cung e.

- `ˆ
D
o thi. d
¯ˆ
o´i x´
u.ng
- `ˆo thi. c´o hu.´o.ng go.i l`a d¯ˆo´i x´
D
u.ng nˆe´u c´o bao nhiˆeu cung da.ng (vi , vj ) th`ı c˜
ung c´o bˆa´y nhiˆeu
cung da.ng (vj , vi ).
- `ˆ
D
o thi. pha˙’n d
¯ˆ
o´i x´
u.ng
- `ˆo thi. c´o hu.´o.ng go.i l`a pha˙’n d¯ˆo´i x´
D
u.ng nˆe´u c´o cung da.ng (vi , vj ) th`ı khˆong c´o cung da.ng
(vj , vi ).
12




- `ˆ
`ay d
D
o thi. d

¯ˆ
¯u˙’
- `ˆo thi. vˆo hu.´o.ng go.i l`a d¯`ˆay d¯u˙’ nˆe´u hai d¯ı˙’nh bˆa´t k`
`on ta.i mˆo.t ca.nh da.ng (vi , vj ).
D
y vi v`a vj tˆ
.
.
.
.
.
- o n d¯`oˆ thi. vˆo hu ´o ng d¯`ˆay d¯u˙’ n d¯ı˙’nh d¯u o. c k´
D
y hiˆe.u l`a Kn .

- `ˆ
D
o thi. con
- `ˆo thi. con d¯u.o..c sinh bo˙’.i tˆa.p A l`a d¯`ˆo thi. GA := (A, EA ) trong d¯´o c´ac d¯ı˙’nh l`a
Gia˙’ su˙’. A ⊂ V. D
.
`an tu˙’ cu˙’a tˆa.p A v`a c´ac cung trong EA l`a c´ac cung cu˙’a G m`a hai d¯ı˙’nh n´o liˆen thuˆo.c
c´ac phˆ
thuˆo.c tˆa.p A.
Nˆe´u G l`a d¯`oˆ thi. biˆe˙’u diˆ˜en ba˙’n d¯`ˆo giao thˆong cu˙’a nu.´o.c Viˆe.t Nam th`ı d¯`oˆ thi. biˆe˙’u diˆ˜en
- `a La.t l`a mˆo.t d¯`oˆ thi. con.
ba˙’n d¯`ˆo giao thˆong cu˙’a th`anh phˆo´ D

- `ˆ
D

o thi. bˆ
o. phˆ
a.n
- `ˆo thi. bˆo. phˆa.n sinh bo˙’.i tˆa.p U l`a d¯`ˆo thi. v´o.i tˆa.p d¯ı˙’nh V
X´et d¯`ˆo thi. G = (V, E) v`a U ⊂ E. D
v`a c´ac cung thuˆo.c U (c´ac cung cu˙’a E \ U bi. xo´a kho˙’i G).

- `ˆ
D
o thi. con bˆ
o. phˆ
a.n
- `ˆo thi. con bˆo. phˆa.n sinh bo˙’.i tˆa.p A v`a U l`a d¯`oˆ thi.
X´et d¯`oˆ thi. G = (V, E) v`a A ⊂ V, U ⊂ E. D
bˆo. phˆa.n cu˙’a GA sinh bo˙’.i U.

1.2

˜
`o thi.
Ma trˆ
a.n biˆ
e˙’u diˆ
en d
¯ˆ

1.2.1

Ma trˆ
a.n liˆ

en thuˆ
o.c d
¯ı˙’nh-cung

Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung cu˙’a d¯`oˆ thi. G = (V, E) l`a ma trˆa.n A = (aij ), i = 1, 2, . . . , n, j =
`an tu˙’. 0, 1 v`a −1, trong d¯o´ mˆo˜i cˆo.t biˆe˙’u diˆ˜en mˆo.t cung cu˙’a G v`a mˆo˜i
1, 2, . . . , m, v´o.i c´ac phˆ
`an tu˙’. cu˙’a cˆo.t k bˇa` ng
h`ang biˆe˙’u diˆ˜en mˆo.t d¯ı˙’nh cu˙’a G. Nˆe´u ek = (vi , vj ) ∈ E th`ı tˆa´t ca˙’ c´ac phˆ
khˆong ngoa.i tr`
u.
aik = 1, ajk = −1.
13




V´ı du. 1.2.1 Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung cu˙’a d¯`oˆ thi. trong H`ınh 1.3 l`a
e1 e2 e3 e4 e5

a +1 +1
0
0
0
b
0 +1 +1
0
 −1



.
c  0 −1 −1
0 +1 
d
0
0
0 −1 −1


a...............................................................................e.........1.............................................................................b...
.
•................
.
.....•
...... .....
......
......
...
......
......
...
......
......
.
.
.
.
.
......
.

...
......
......
e
...
4
......
......
.
.
.
.
..
.
...
...
...
......
......
......
...
......
......
..
......
......
......
......
...........
...... ............

...
........
.
.
...
.... ..........
.
.
.
.
.
...
......
...
........
......
...
........
.............
...
.........
.
.
.
.
.
.
...
.
.

.
.
......
....
.
.
...
.
.
.
.
.
.
......
....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
......
....
...
.
.
.

.
.
.
.
.
......
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ....
....
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................................................................................................................................................................

e3

e2

•
d

e5

•
c

H`ınh 1.3:

Nhˇa´c la.i rˇ`a ng, ma trˆa.n vuˆong go.i l`a unimodular nˆe´u d¯i.nh th´
u.c cu˙’a n´o bˇa` ng 1 hoˇa.c
−1. Ma trˆa.n A cˆa´p m × n go.i l`a total unimodular nˆe´u tˆa´t ca˙’ c´ac ma trˆa.n vuˆong con khˆong
suy biˆe´n cu˙’a A l`a unimodular.

`e 1.2.2 Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung cu˙’ a d¯`ˆo thi. G = (V, E) l`a total unimodular.
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
Ch´
u.ng minh. Ch´
uy
´ rˇa` ng ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung cu˙’a d¯`oˆ thi. G = (V, E) ch´
u.a d¯u
´ng
.
`an tu˙’ kh´ac khˆong trˆen mˆo˜i cˆo.t, mˆo.t bˇ`a ng 1 v`a mˆo.t bˇ`a ng −1. Do d¯´o ta c´o thˆe˙’ ch´
hai phˆ
u.ng
minh theo quy na.p nhu. sau: Hiˆe˙’n nhiˆen, tˆa´t ca˙’ c´ac ma trˆa.n vuˆong con khˆong suy biˆe´n cˆa´p 1
cu˙’a A l`a modular; gia˙’ su˙’. khˇa˙’ng d¯.inh d¯u
´ng cho mo.i ma trˆa.n con khˆong suy biˆe´n cˆa´p (k − 1).
`an tu˙’.
X´et ma trˆa.n vuˆong con A cˆa´p k cu˙’a A. Nˆe´u mˆo˜i cˆo.t cu˙’a A ch´
u.a d¯u
´ng hai phˆ
kh´ac khˆong th`ı det(A ) = 0 (thˆa.t vˆa.y, tˆo˙’ng tˆa´t ca˙’ c´ac h`ang cu˙’a A l`a vector khˆong, do d¯´o c´ac
`on ta.i mˆo.t cˆo.t cu˙’a A khˆong c´o phˆ
`an tu˙’. kh´ac khˆong th`ı
h`ang l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh). Nˆe´u tˆ
`on ta.i cˆo.t j cu˙’a A sao cho c´o d¯u
`an tu˙’. kh´ac khˆong
det(A ) = 0. Cuˆo´i c`
ung, nˆe´u tˆ
´ng mˆo.t phˆ

aij (bˇ`a ng 1, hay −1) th`ı det(A ) = ± det(A ), trong d¯o´ A l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p (k − 1)
u. A bˇa` ng c´ach xo´a h`ang i v`a cˆo.t j. Theo gia˙’ thiˆe´t quy na.p, det(A ) bˇ`a ng 1, −1
nhˆa.n d¯u.o..c t`
u.ng minh.
hay 0 v`a do d¯´o mˆe.nh d¯`ˆe d¯u.o..c ch´
14




1.2.2

Ma trˆ
a.n liˆ
en thuˆ
o.c d
¯ı˙’nh-ca.nh

X´et d¯`oˆ thi. vˆo hu.´o.ng G = (V, E). Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh cu˙’a d¯`ˆo thi. G l`a ma trˆa.n
`an tu˙’. 0 v`a 1, trong d¯´o mˆo˜i cˆo.t biˆe˙’u diˆ˜en
A = (aij ), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m, v´o.i c´ac phˆ
mˆo.t ca.nh cu˙’a G v`a mˆo˜i h`ang biˆe˙’u diˆ˜en mˆo.t d¯ı˙’nh cu˙’a G; ngo`ai ra, nˆe´u ca.nh ek liˆen thuˆo.c
`an tu˙’. cu˙’a cˆo.t k bˇa` ng khˆong ngoa.i tr`
hai d¯ı˙’nh vi v`a vj th`ı tˆa´t ca˙’ c´ac phˆ
u.
aik = 1,

ajk = 1.

V´ı du. 1.2.3 Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh cu˙’a d¯`oˆ thi. trong H`ınh 1.4 l`a

e1
a 1
b
 1

c 0
d 0

e2
1
0
1
0



e3
0
1
1
0

e4
0
1
0
1

e5


0
0


1
1

a.............................................................................e.......1.............................................................................b....
•................
..
......•
...... ....
......
......
......
......
....
......
......
.
.
.
.
......
...
.
......
e4...................
...
......

...
..
......
.
......
......
....
......
......
...
......
......
......
......
...
...... ...........
...
........
.
.
.
.
...
.
.... ..........
.
.
.
.
...

.
......
....
.
.
.
.
.
.
...
.
......
....
.
.
.
.
.
.
.
...
.
......
....
.
.
.
.
.
.

.
.
...
......
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
......
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
......
....
.
.
.

.
.
.
.
...
.
.
......
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
...
..........................................................................................................................................................................

e3

e2

•
d

•
c

e5

H`ınh 1.4:

Tr´ai v´o.i ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung, n´oi chung ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh khˆong
total unimodular. Chˇa˙’ng ha.n, trong v´ı du. trˆen, ma trˆa.n con




1 1 0


1 0 1
0 1 1
c´o d¯i.nh th´
u.c bˇa` ng −2.
- `ˆo thi. vˆo hu.´o.ng G = (V, E) go.i l`a hai phˆ
`an nˆe´u c´o thˆe˙’ phˆan hoa.ch tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh

D
.
V th`anh hai tˆa.p con r`o i nhau V1 v`a V2 sao cho d¯ˆo´i v´o.i mˆo˜i ca.nh (vi , vj ) ∈ E th`ı hoˇa.c
vi ∈ V1 , vj ∈ V2 hoˇa.c vj ∈ V1 , vi ∈ V2 .
15




a.....
•....................................

•b

.......
........... ..
....... .... ..
... ..... .......
....... ..... ...
..... .........
....... .........
...
...
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.....
.......
..
...
...
......
.......
.....
.....
...
...
.......
.......
.....
.....
........
.......
...
...
.....
.....
....... .............
.
.
.....
.
...

...
.
..........
...
.....
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.......
.....
...
....... .........
...
...
..... .............
.........
.
...
...
.

.
.
.
.
.
.
..... .......
... ............
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.......
...
...
...
.....
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.......
...
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
..... ....
....... ....
... .........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
........
.......

•
c

•
d

•
e

- `ˆo thi. hai phˆ
`an K2,3 .
H`ınh 1.5: D
`an.
V´ı du. 1.2.4 Dˆ˜e kiˆe˙’m tra d¯`oˆ thi. K2,3 trong H`ınh 1.5 l`a hai phˆ
`e 1.2.5 Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh cu˙’ a d¯`ˆo thi. vˆo hu.´o.ng G = (V, E) l`a total
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
`an.
unimodular nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u G l`a d¯`ˆo thi. hai phˆ
`an, th`ı ch´
Ch´
u.ng minh. (1) Nˆe´u d¯`oˆ thi. l`a hai phˆ
ung ta c´o thˆe˙’ ch´
u.ng minh theo quy na.p rˇa` ng
mo.i ma trˆa.n vuˆong con B cu˙’a ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh c´o d¯i.nh th´
u.c det(B) = 0, 1 hoˇa.c
.
.
- iˆ
`eu n`ay d¯u
´ng v´o.i c´ac ma
−1. D
´ng v´o i c´ac ma trˆa.n vuˆong con cˆa´p 1; gia˙’ su˙’ khˇa˙’ng d¯.inh d¯u
trˆa.n vuˆong con cˆa´p (k − 1). X´et ma trˆa.n vuˆong con B cˆa´p k.
`an tu˙’. bˇ`a ng 1 th`ı
Nˆe´u mˆo˜i cˆo.t B j cu˙’a B ch´
u.a d¯u

´ng hai phˆ
Bi =
i∈I1

Bi ,
i∈I2

trong d¯o´ I1 v`a I2 l`a c´ac tˆa.p chı˙’ sˆo´ tu.o.ng u
´.ng hai phˆan hoa.ch cu˙’a tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh V v`a Bi l`a
vector h`ang cu˙’a B. C´ac vector h`ang phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, nˆen det(B) = 0.
`on ta.i cˆo.t c´o d¯u
`an tu˙’. bˇ`a ng 1, chˇa˙’ng ha.n bij = 1, k´
y hiˆe.u C
´ng mˆo.t phˆ
Nˆe´u, ngu.o..c la.i, tˆ
.
.
.
`
l`a ma trˆa.n nhˆa.n d¯u o. c t`
u B bˇa ng c´ach xo´a h`ang i v`a cˆo.t j. Th`ı
det(B) = ± det(C) (= 0, 1 hoˇa.c − 1 theo quy na.p).
(2) Mˇa.t kh´ac, dˆ˜e d`ang ch´
u.ng minh rˇ`a ng ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh cu˙’a d¯`ˆo thi. l`a mˆo.t chu
`an 1.3) c´o d¯.inh th´
tr`ınh d¯oˆ. d`ai le˙’ (t´
u.c l`a sˆo´ ca.nh trˆen chu tr`ınh l`a le˙’-xem Phˆ
u.c bˇ`a ng ±2. Do
`an theo bˆo˙’ d¯`ˆe sau.
d¯o´ G khˆong ch´

u.a chu tr`ınh d¯oˆ. d`ai le˙’ v`a v`ı vˆa.y n´o l`a hai phˆ
- `ˆo thi. vˆo hu.´o.ng G l`a hai phˆ
`e 1.2.6 D
`an nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u G khˆong ch´
Bˆ
o˙’ d
¯ˆ
u.a chu tr`ınh c´o d¯ˆo.
d`ai le˙’ .
- iˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an. Do V d¯u.o..c phˆan hoa.ch th`anh V1 v`a V2 :
Ch´
u.ng minh. D
V = V2 ∪ V2 ,
16

V1 ∩ V2 = ∅.



`on ta.i mˆo.t chu tr`ınh c´o d¯ˆo. d`ai le˙’
Gia˙’ thiˆe´t tˆ
µ = {vi1 , vi2 , . . . , viq , vi1 }
`an, nˆen hai d¯ı˙’nh liˆen tiˆe´p trˆen
v`a khˆong mˆa´t t´ınh tˆo˙’ng qu´at, lˆa´y vi1 ∈ V1 . Do G l`a hai phˆ
chu tr`ınh µ pha˙’i c´o mˆo.t d¯ı˙’nh thuˆo.c V1 v`a d¯ı˙’nh kia thuˆo.c V2 . Do d¯o´ vi2 ∈ V2 , vi3 ∈ V1 , . . . ,
v`a tˆo˙’ng qu´at, vik ∈ V1 nˆe´u k le˙’ v`a vik ∈ V2 nˆe´u k chˇa˜n. M`a chu tr`ınh µ c´o d¯ˆo. d`ai le˙’ nˆen
- iˆ
`eu n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i V1 ∩ V2 = ∅.

viq ∈ V1 v`a bo˙’.i vˆa.y vi1 ∈ V2 . D
- iˆ
`eu kiˆe.n d¯u˙’. Khˆong mˆa´t t´ınh tˆo˙’ng qu´at gia˙’ thiˆe´t d¯`oˆ thi. G liˆen thˆong. Gia˙’ su˙’. khˆong tˆ
`on
D
ta.i chu tr`ınh c´o d¯oˆ. d`ai le˙’.
Cho.n d¯ı˙’nh bˆa´t k`
y, chˇa˙’ng ha.n vi v`a g´an nh˜an cho n´o l`a “ + ”. Sau d¯o´ lˇa.p la.i c´ac ph´ep
to´an sau:
Cho.n d¯ı˙’nh d¯a˜ d¯u.o..c g´an nh˜an vj v`a g´an nh˜an ngu.o..c v´o.i nh˜an cu˙’a vj cho tˆa´t ca˙’ c´ac
`e v´o.i d¯ı˙’nh vj .
d¯ı˙’nh kˆ
Tiˆe´p tu.c qu´a tr`ınh n`ay cho d¯ˆe´n khi xa˙’y ra mˆo.t trong hai tru.`o.ng ho..p:
`e nhau c´o nh˜an kh´ac nhau (mˆo.t
(a) Tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh d¯˜a d¯u.o..c g´an nh˜an v`a hai d¯ı˙’nh bˆa´t k`
y kˆ
´
´
mang dˆa u + v`a mˆo.t mang dˆa u −); hoˇa.c
`on ta.i d¯ı˙’nh, chˇa˙’ng ha.n vjk , d¯u.o..c g´an hai nh˜an kh´ac nhau.
(b) Tˆ
Trong Tru.`o.ng ho..p (a), d¯aˇ. t V1 l`a tˆa.p tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh d¯u.o..c g´an nh˜an “+” v`a V2 l`a tˆa.p tˆa´t
u.a c´ac cˇa.p d¯ı˙’nh c´o nh˜an
ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh d¯u.o..c g´an nh˜an “−”. Do tˆa´t ca˙’ c´ac ca.nh liˆen thuˆo.c gi˜
`an.
kh´ac nhau nˆen d¯`oˆ thi. G l`a hai phˆ
`en µ1 n`ao
Trong Tru.`o.ng ho..p (b), d¯ı˙’nh vjk d¯u.o..c g´an nh˜an “+” do.c theo mˆo.t dˆay chuyˆ
.
.

.
.
d¯o´, v´o i c´ac d¯ı˙’nh d¯u o. c g´an nh˜an “+” v`a “−” xen k˜e nhau xuˆa´t ph´at t`
u vi v`a kˆe´t th´
uc ta.i
.
.
.
.
.
`
vjk . Tu o ng tu. , d¯ı˙’nh vjk d¯u o. c g´an nh˜an “−” do.c theo mˆo.t dˆay chuyˆen µ2 n`ao d¯´o, v´o.i c´ac
d¯ı˙’nh d¯u.o..c g´an nh˜an “+” v`a “−” xen k˜e nhau xuˆa´t ph´at t`
u. vi v`a kˆe´t th´
uc ta.i vjk . Nhu.ng
nhu. thˆe´ chu tr`ınh d¯i do.c theo µ1 t`
u. d¯ı˙’nh vi d¯ˆe´n d¯ı˙’nh vjk sau d¯o´ d¯i ngu.o..c la.i do.c theo µ2
- iˆ
`e la.i vi c´o d¯ˆo. d`ai le˙’. D
`eu n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia˙’ thiˆe´t, v`a do d¯´o khˆong thˆe˙’ xa˙’y ra Tru.`o.ng
vˆ
- i.nh l´
y d¯u.o..c ch´
u.ng minh.
ho..p (b). D

1.2.3

`e hay ma trˆ
Ma trˆ

a.n kˆ
a.n liˆ
en thuˆ
o.c d
¯ı˙’nh-d
¯ı˙’nh

`eu nhˆa´t mˆo.t cung liˆen thuˆo.c hai d¯ı˙’nh bˆa´t k`
y vi
Gia˙’ su˙’. G = (V, E) l`a d¯`oˆ thi. sao cho c´o nhiˆ
`e hay ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-d¯ı˙’nh l`a ma trˆa.n vuˆong A = (aij ) cˆa´p n × n
v`a vj . Ma trˆa.n kˆ
17




`an tu˙’. 0 hoˇa.c 1:
v´o.i c´ac phˆ
aij :=

1
0

nˆe´u (vi , vj ) ∈ E,
nˆe´u ngu.o..c la.i.

`e cu˙’a d¯o.n d¯`oˆ thi. c˜
Trong tru.`o.ng ho..p d¯`oˆ thi. vˆo hu.´o.ng, ma trˆa.n kˆ
ung c´o thˆe˙’ d¯u.o..c d¯.inh

ngh˜ıa bˇ`a ng c´ach xem mˆo˜i ca.nh (vi , vj ) tu.o.ng u
´.ng hai cung (vi , vj ) v`a (vj , vi ). Trong tru.`o.ng
`e l`a d¯oˆ´i x´
ho..p n`ay, ma trˆa.n kˆ
u.ng.

1.2.4

˜
`o thi.
C´
ac biˆ
e˙’u diˆ
e n cu˙’a d
¯ˆ

- ˆe˙’ mˆo ta˙’ mˆo.t d¯`ˆo thi., ta c´o thˆe˙’ su˙’. du.ng mˆo.t sˆo´ c´ach biˆe˙’u diˆ˜en kh´ac nhau. V´o.i quan d¯iˆe˙’m
D
lˆa.p tr`ınh, n´oi chung c´ac biˆe˙’u diˆ˜en n`ay khˆong tu.o.ng d¯u.o.ng theo kh´ıa ca.nh hiˆe.u qua˙’ cu˙’a
thuˆa.t to´an.
`e hoˇa.c c´ac dˆa˜n xuˆa´t cu˙’a
C´o hai c´ach biˆe˙’u diˆ˜en ch´ınh: Th´
u. nhˆa´t, su˙’. du.ng ma trˆa.n kˆ
.
.
n´o; th´
u hai, su˙’ du.ng ma trˆa.n liˆen thuˆo.c hoˇa.c c´ac dˆa˜n xuˆa´t cu˙’a n´o.
`e
Su˙’. du.ng ma trˆ
a.n kˆ

`e cho ph´ep miˆeu ta˙’ hoˇa.c c´ac 1-d¯`ˆo thi. d¯.inh hu.´o.ng, hoˇa.c
Ch´
ung ta biˆe´t rˇ`a ng c´ac ma trˆa.n kˆ
`e, ta thˆa´y sˆo´ lu.o..ng thˆong
c´ac d¯o.n d¯`oˆ thi. vˆo hu.´o.ng. V´o.i c´ach biˆe˙’u diˆ˜en d¯`oˆ thi. qua ma trˆa.n kˆ
`om c´ac bit 0 v`a 1, cˆ
`an lu.u tr˜
tin, gˆ
u. l`a n2 . C´ac bit c´o thˆe˙’ d¯u.o..c kˆe´t ho..p trong c´ac t`
u.. K´
y
.
.
.
hiˆe.u w l`a d¯oˆ. d`ai cu˙’a t`
u (t´
u c l`a sˆo´ c´ac bit trong mˆo.t t`
u m´ay t´ınh). Khi d¯´o mˆo˜i h`ang cu˙’a ma
`e c´o thˆe˙’ d¯u.o..c viˆe´t nhu. mˆo.t d˜ay n bit trong n/w t`
trˆa.n kˆ
u. d¯ˆe˙’ lu.u tr˜
u. 1 . Do d¯o´ sˆo´ c´ac t`
u.
`e l`a n n/w .
ma trˆa.n kˆ
`an lu.u tr˜
`e cu˙’a d¯`oˆ thi. vˆo hu.´o.ng l`a d¯oˆ´i x´
u.ng, nˆen ta chı˙’ cˆ
u. nu˙’.a tam gi´ac trˆen
Ma trˆa.n kˆ

`an n(n − 1)/2 bit. Tuy nhiˆen, v´o.i c´ach lu.u tr˜
cu˙’a n´o, v`a do d¯o´ chı˙’ cˆ
u. n`ay, s˜e tˇang d¯ˆo. ph´
u.c
.
ta.p v`a th`o i gian t´ınh to´an trong mˆo.t sˆo´ b`ai to´an.
1
Trong tru.`o.ng ho..p c´ac ma trˆa.n thu.a (m
n2 v´o.i d¯`oˆ thi. c´o hu.´o.ng; m
n(n + 1) d¯ˆo´i
2
.
.
.
˙
’
˜
˜
`
v´o i d¯ˆo thi. vˆo hu ´o ng) c´ach biˆeu diˆen n`ay l`a l˜ang ph´ı. Do d¯o´ ta s˜e t`ım c´ach biˆeu diˆ˜en chı˙’ c´ac
`an tu˙’. kh´ac khˆong.
phˆ

- `ˆo thi. c´o
`e cho d¯`oˆ thi. c´o hu.´o.ng. D
V`ı mu.c d¯´ıch n`ay ta s˜e su˙’. du.ng mˆo.t ma˙’ng danh s´ach kˆ
.
.
.
.

.
hu ´o ng d¯u o. c biˆe˙’u diˆ˜en bo˙’ i mˆo.t ma˙’ng c´ac con tro˙’ V out[1], V out[2], . . . , V out[n], trong d¯o´
`an tu˙’. cu˙’a ma˙’ng V out[i]
´.ng v´o.i mˆo.t d¯ı˙’nh trong d¯`ˆo thi. c´o hu.´o.ng. Mˆo˜i phˆ
mˆo˜i con tro˙’ tu.o.ng u
u. mu.c d˜
u. liˆe.u cu˙’a n´
ut tu.o.ng u
´.ng d¯ı˙’nh vi v`a ch´
u.a mˆo.t con tro˙’
chı˙’ d¯ˆe´n mˆo.t n´
ut d¯`aˆu lu.u tr˜
1

K´
y hiˆe.u x l`a sˆo´ nguyˆen nho˙’ nhˆa´t khˆong b´e ho.n x.

18




`e (d¯ı˙’nh d¯u.o..c nˆo´i v´o.i vi theo hu.´o.ng t`
chı˙’ d¯ˆe´n mˆo.t danh s´ach liˆen kˆe´t cu˙’a c´ac d¯ı˙’nh kˆ
u. vi ra).
.
.
`e c´o hai tru `o ng:
Mˆo˜i n´
ut kˆ

`e; v`a
1. Tru.`o.ng sˆo´ nguyˆen: lu.u tr˜
u. sˆo´ hiˆe.u cu˙’a d¯ı˙’nh kˆ
`e n`ay.
2. Tru.`o.ng liˆen kˆe´t chı˙’ d¯ˆe´n n´
ut kˆe´ tiˆe´p trong danh s´ach kˆ
v1
v2
...
........
.................................................................................•
.
•
.
.
.
... .......
.. ...
..... .. ..
.. ....

.. .....
.... .... ....
.....
..
.....
... ...
.....
.....
...

... ...
.....
.....
...
.....
...
...
.....
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.........
.
.
.
.
.
.
.

...
...
.....
.
..............
.
.....
.
...
...
.
..
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.....
.
...
.
.
.
.

.
.
.
.....
...
...
.
...
.
.
.
.....
.
.
.
.
...
...
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
...
.....

...
.
...
.
.
.
.
.
..... ...................................
.
.
.
.
.
.......
.........
.
....
..
......
.
.
.
.
.
.
...
...
.....
....

.
...........
...
.....
.
.
.
...
...
.....
............... .....................................
.
.....
.
.
.
.
.
.
...
...
.....
...
.... ......
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.....
.
...
...
..
....
.....
...
...
....
....... .........
.....
...
.......
...
...
...
.....
.......
...
.....
...
.....
... ..............
...
.....

.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..
...
.........
............
... .................
........
...
..
.....
..
..... .
...
.........
.....

.....
....... ..... ....
...
.....
.....
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.
..... ..
.........
... .. .........
..... ...

.......
... .. .....
..... .. ..............
............
.............
..

v6 •

•
v3

•
v5

•
v4

H`ınh 1.6:
`e V out[] cu˙’a d¯`ˆo thi. c´o hu.´o.ng trong H`ınh 1.6 d¯u.o..c
C´ach biˆe˙’u diˆ˜en ma˙’ng danh s´ach kˆ
u. liˆe.u tu.o.ng u
cho tu.o.ng u
´.ng trong H`ınh 1.7 (gia˙’ su˙’. c´ac mu.c d˜
´.ng c´ac d¯ı˙’nh theo th´
u. tu.. l`a
A, B, C, D, E, F ).
N´
ut . d¯`ˆau
A

.
....
...
..
...
..

•

v4

..
...
..
...
...
..

•

v5

..
...
..
...
...
..

•............................................... NULL

V out[2].................................. B

.....
...
..
...
...

•............................................... v1

.....
...
..
...
...

•............................................... v3

.....
...
..
...
...

•............................................... NULL

V out[3].................................. C

..
...
..
...
....
.

•............................................... v3

..
...
..
...
....
.

•............................................... NULL

V out[4]................................. D

....
...
..
....
..

•................................................. v2

....
...

..
....
..

•................................................. v3

....
...
..
....
..

•................................................. NULL

V out[5]................................... E

..
...
..
...
...
.

•................................................ v3

..
...
..
...
...

.

•................................................ v6

..
...
..
...
...
.

•................................................ NULL

V out[6].................................. F

....
...
..
...
..

•............................................... v1

....
...
..
...
..

•............................................... NULL

V out[1]

..................................

...............................................

...............................................

`e V out[] tu.o.ng u
´.ng d¯`oˆ thi. trong H`ınh 1.6.
H`ınh 1.7: Danh s´ach kˆ
Thay v`ı con tro˙’ chı˙’ d¯ˆe´n mˆo.t danh s´ach c´ac d¯ı˙’nh t`
u. vi d¯i ra trong V out[i], ta tro˙’ d¯ˆe´n
danh s´ach c´ac d¯ı˙’nh d¯i d¯ˆe´n vi v`a do d¯o´ c´o thˆe˙’ lu.u tr˜
u. d¯`oˆ thi. thˆong qua ma˙’ng c´ac danh s´ach
19




`e V in[i]. H`ınh 1.8 minh ho.a ma˙’ng c´ac danh s´ach kˆ
`e V in[] cu˙’a d¯`oˆ thi. c´o hu.´o.ng trong H`ınh
kˆ
1.6.
- ˆe˙’ y
`e cu˙’a V out[] (tu.o.ng u
D
´ rˇ`a ng, c´ac sˆo´ trong n´
ut kˆ

´.ng, V in[]) l`a nh˜
u.ng chı˙’ sˆo´ cˆo.t
`e cu˙’a d¯`oˆ thi. m`a o˙’. d¯´o sˆo´ 1 xuˆa´t hiˆe.n. Ngo`ai ra, trong
(tu.o.ng u
´.ng, h`ang) trong ma trˆa.n kˆ
.
.
.
.
.
`e n`ay l`a tr`
tru `o ng ho. p d¯`ˆo thi. vˆo hu ´o ng, hai danh s´ach kˆ
ung nhau.
Khi d¯`oˆ thi. c´o tro.ng sˆo´, t´
u.c l`a nˆe´u mˆo˜i cung hoˇa.c ca.nh e ∈ E c´o mˆo.t tro.ng lu.o..ng w(e),
.
`an mo˙’ rˆo.ng cˆa´u tr´
`e bˇa` ng c´ach thˆem mˆo.t tru.`o.ng
ta chı˙’ cˆ
uc cu˙’a mˆo˜i n´
ut trong danh s´ach kˆ
lu.u tr˜
u. tro.ng lu.o..ng cu˙’a cung.
`e cu˙’a d¯`ˆo thi. c´o hu.´o.ng c´o thˆe˙’ d¯u.o..c c`ai d¯aˇ. t trong ngˆon
C´ach biˆe˙’u diˆ˜en bˇa` ng danh s´ach kˆ
.
.
- ˆe˙’ xˆay du..ng
ng˜
u lˆa.p tr`ınh C v´o i c´ac khai b´ao trong thu. viˆe.n Graph.h (xem Phu. lu.c A). D

`e V out[] v`a V in[] cho mˆo.t d¯`ˆo thi., ta c´o thˆe˙’ su˙’. du.ng c´ac thu˙’ tu.c
ma˙’ng c´ac danh s´ach kˆ
MakeV out() v`a MakeV in() tu.o.ng u
´.ng.
N´
ut . d¯`aˆu
V in[1] ................................... A

...
...
..
...
...

•............................................... v2

...
...
..
...
...

•............................................... v6

...
...
..
...
...

V in[2] .................................. B

..
...
..
...
....
.

•............................................... v4

..
...
..
...
....
.

•............................................... NULL

V in[3] .................................. C

....
...
..
...
...

•............................................... v2

....
...
..
...
...

•............................................... v3

V in[4] .................................. D

..
...
..
...
...
.

•............................................... v1

..
...
..
...
...
.

•............................................... NULL

V in[5] .................................. E

.....
...
..
...
...

•................................................. v1

.....
...
..
...
...

•................................................. NULL

V in[6] ................................... F

...
...
..
...
...
.

•................................................. v5

...
...
..

...
...
.

•................................................. NULL

....
...
..
...
...

•................................................. NULL

•................................................. v4

....
...
..
...
...

•............................................... v5

....
...
..
...
...

•............................................... NULL

`e V in[] tu.o.ng u
H`ınh 1.8: Danh s´ach kˆ
´.ng d¯`oˆ thi. trong H`ınh 1.6.
Su˙’. du.ng c´
ac ma trˆ
a.n liˆ
en thuˆ
o.c d
¯ı˙’nh-cung hoˇ
a.c d
¯ı˙’nh-ca.nh
Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung hoˇa.c d¯ı˙’nh-ca.nh cho ph´ep ch´
ung ta mˆo ta˙’ d¯`ˆay d¯u˙’ cˆa´u tr´
uc cu˙’a
.
`an tu˙’ kh´ac khˆong trong mˆo˜i
mˆo.t d¯a d¯`oˆ thi. khˆong c´o khuyˆen. Tuy nhiˆen, do chı˙’ c´o hai phˆ
.
.
.
˙
’
˙
’
˜
cˆo.t, nˆen c´o thˆe biˆeu diˆen thˆong tin o˙’ da.ng th´ıch ho. p ho n.
`eu m trong d¯o´ v´o.i mˆo˜i cung
Ch´

ung ta d¯.inh ngh˜ıa hai ma˙’ng tuyˆe´n t´ınh α[] v`a β[] chiˆ
hoˇa.c ca.nh ek , k = 1, 2, . . . , m, c´ac gi´a tri. α[k] v`a β[k] l`a c´ac chı˙’ sˆo´ cu˙’a c´ac d¯ı˙’nh m`a ek liˆen
20




v1
...........
..................................................................................................
...•
..................
. .
.....
... ... .. .........

...............
........
. .. ..
.............
........
... ... ...
............
........
... ... .....
...........
........
........
..........
...

...
...
........
..........
...
.
..
.
.
.
.............
........
...
..
.
..
.
.
..............
.
.
.
.
........
...
........
.
.
.
....

.
....
........
...
........
........
...
...
...
.......
........
.......
...
...
...
.
........
.......
...
........
.......
...
...
........
...
......
...
...
.
........

...
......
.
.
.
......
...
...
.
........
......
.......
..........
.
.............
.
......
...
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

......
.
.
........
...
.....
......
........
...
....
..
........
.....
.
...
.
.
.
.
.....
........
...
..
.....
........
..
.
.
...
........

.....
.
.
.
.
.
.
........
.....
...
........
.....
....
...
....
........
.....
.
...
.
.
...
........
.....
...
..
........
.
.....
.

.
........
.
...
.....
..
.
.
.
.
........
...
.
.
.....
..............................
.
.
.
.
.
.
.
.
........
......
... .. ..
.....
....
........

.....
....
...
... .. ..
........
...
.
...
.
.
.
... ... ...
.
.
.
........ .... .
...
... .. ...
........ .... ..
..
..........
.
..
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........
.
.
.
.
..........

.
.
.
.
.
...
...........
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............
.
.
..
...
........
.
.
.
..............
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
................
...
.....
................
...................
.....
......
...................
.........................
..............................
................................................................................................................................
..

e5

e1 e2

e3

e4

e6

•
v3

• v2

e8

e7

H`ınh 1.9:
ung ta quyˆe´t d¯i.nh α[k] l`a d¯ı˙’nh gˆo´c v`a β[k] l`a d¯ı˙’nh
thuˆo.c. Trong tru.`o.ng ho..p c´o hu.´o.ng, ch´
˙
’
ngo.n cua cung ek .
`e, c´ach biˆe˙’u diˆ˜en n`ay c˜
Ch´
uy
´ rˇ`a ng, tr´ai v´o.i ma trˆa.n kˆ
ung c´o thˆe˙’ d¯ˇa.c tru.ng cho c´ac d¯a
d¯`oˆ thi. c´o khuyˆen.
Chˇa˙’ng ha.n, d¯a d¯`ˆo thi. cu˙’a H`ınh 1.9 trong d¯´o c´ac cung d¯u.o..c d¯a´nh sˆo´, ta nhˆa.n d¯u.o..c
k

1

2

3

4

5

6

7

8

α

1

3

1

2

2

3

2

2

β

3

1

3

1

1

2

3

2

`an thˆem mˆo.t ma˙’ng w[] k´ıch thu.´o.c m lu.u
Trong tru.`o.ng ho..p d¯`oˆ thi. c´o tro.ng sˆo´, ta chı˙’ cˆ
tr˜
u. tro.ng lu.o..ng cu˙’a mˆo˜i ca.nh hoˇa.c cung v´o.i tu.o.ng u
´.ng mˆo.t-mˆo.t c´ac ma˙’ng α[] v`a β[].
`e c´ach kh´ac biˆe˙’u diˆ˜en hiˆe.u qua˙’ ho.n cu˙’a d¯`oˆ thi. vˆo hu.´o.ng su˙’. du.ng danh s´ach c´ac ca.nh
Vˆ
xem [43].
˜

Mˆ
o´i liˆ
en hˆ
e. gi˜
u.a c´
ac biˆ
e˙’u diˆ
en
`on ta.i c´ac thuˆa.t to´an d¯a th´
u.a c´ac kiˆe˙’u d˜
u. liˆe.u trˆen
Dˆ˜e d`ang thˆa´y rˇa` ng tˆ
u.c d¯ˆe˙’ chuyˆe˙’n d¯oˆ˙’i gi˜
d¯`oˆ thi.. H`ınh 1.10 minh ho.a c´ac kha˙’ nˇang c´o thˆe˙’ c´o.
- ˆe˙’ chuyˆe˙’n d¯oˆ˙’i gi˜
`eu n`ay (b`ai
`an c´ac chu.o.ng tr`ınh thu..c hiˆe.n d¯iˆ
D
u.a c´ac kiˆe˙’u d˜
u. liˆe.u, cˆ
.
.
˙
’
˙
’
`au. Chˇa˙’ng ha.n, d¯`ˆo thi. c´o
tˆa.p). C´ac biˆeu diˆ˜en n`ay c´o thˆe ca˙’i biˆen cho ph`
u ho. p v´o i yˆeu cˆ
21

`e d¯u.o..c kˆe´t theo h`ang
Ma trˆa.n kˆ
↑|
↑|
O(n2 )
↓|

O(m)
↓|

`e da.ng tu.`o.ng minh
Ma trˆa.n kˆ
↑|

`e d¯u.o..c kˆe´t theo cˆo.t
Ma trˆa.n kˆ
↑|

O(mn)
↓|

O(m)
↓|

Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung
hoˇa.c ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh

da.ng tu.`o.ng minh
↑|

Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung
hoˇa.c ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh
da.ng kˆe´t theo h`ang
↑|

O(mn)
↓|

O(m)
↓|

Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-cung
hoˇa.c ma trˆa.n liˆen thuˆo.c d¯ı˙’nh-ca.nh
da.ng kˆe´t theo cˆo.t
H`ınh 1.10: Mˆo´i liˆen hˆe. v`a d¯oˆ. ph´
u.c ta.p t´ınh to´an khi chuyˆe˙’n d¯oˆ˙’i gi˜
u.a c´ac biˆe˙’u diˆ˜en kh´ac
nhau trong d¯`ˆo thi..

tro.ng sˆo´ c´o thˆe˙’ d¯u.o..c biˆe˙’u diˆ˜en bo˙’.i mˆo.t ma trˆa.n tro.ng lu.o..ng (c`on go.i l`a ma trˆa.n chi ph´ı
`an tu˙’. (i, j) bˇ`a ng tro.ng lu.o..ng cu˙’a ca.nh hay cung
hay khoa˙’ng c´ach) cˆa´p n × n trong d¯´o phˆ
`an ch´
`eu vˆa´n d¯`ˆe phu. thuˆo.c v`ao biˆe˙’u diˆ˜en
(vi , vj ). Tuy nhiˆen, cˆ
uy
´ rˇa` ng, t´ınh hiˆe.u qua˙’ cu˙’a nhiˆ

.
.
cu˙’a d¯`ˆo thi.. Do d¯´o, viˆe.c cho.n lu. a c´ac cˆa´u tr´
uc d˜
u liˆe.u mˆo.t c´ach th´ıch ho..p l`a quan tro.ng.
22




1.3

T´ınh liˆ
en thˆ
ong

1.3.1

`en v`
Dˆ
ay chuyˆ
a chu tr`ınh

`en µ t`
Gia˙’ su˙’. v0 , vk l`a c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a d¯`ˆo thi. vˆo hu.´o.ng G := (V, E). Dˆay chuyˆ
u. v0 d¯ˆe´n vk d¯ˆo.
.
d`ai k l`a mˆo.t d˜ay xen k˜e (k + 1) d¯ı˙’nh v`a k ca.nh bˇa´t d¯`aˆu t`
u v0 v`a kˆe´t th´
uc ta.i vk ,

µ := {v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , . . . , vk−1 , ek , vk },
- ˆe˙’ gia˙’n tiˆe.n, ta thu.`o.ng viˆe´t
trong d¯o´ ca.nh ei liˆen thuˆo.c c´ac d¯ı˙’nh vi−1 v`a vi , i = 1, 2, . . . , k. D
µ := {e1 , e2 , . . . , ek }.
`an qua
`en d¯u.o..c go.i l`a d¯o.n gia˙’n (tu.o.ng u
´.ng, so. cˆa´p) nˆe´u n´o khˆong d¯i hai lˆ
Dˆay chuyˆ
.
.
.
˙
’
c`
ung mˆo.t ca.nh (tu o ng u
´ ng, d¯ınh).
`en trong d¯o´ d¯ı˙’nh d¯`aˆu tr`
Chu tr`ınh l`a mˆo.t dˆay chuyˆ
ung v´o.i d¯ı˙’nh cuˆo´i. Chu tr`ınh qua
`an go.i l`a d¯o.n gia˙’n. Chu tr`ınh l`a so. cˆa´p nˆe´u n´o d¯i qua mˆo˜i d¯ı˙’nh d¯u
´ng
mˆo˜i ca.nh d¯u
´ng mˆo.t lˆ
.
`e).
`an tr`
`an (mˆo.t lˆ
`an l´
mˆo.t lˆ
u d¯ı˙’nh d¯`ˆau tiˆen hai lˆ

uc xuˆa´t ph´at v`a mˆo.t l´
uc tro˙’. vˆ
- `ˆo thi. trong H`ınh 1.11 c´o
D
(a, e1 , b, e2 , c, e3 , d, e4 , b)
`en t`
l`a dˆay chuyˆ
u. d¯ı˙’nh a d¯ˆe´n d¯ı˙’nh b c´o d¯oˆ. d`ai bˆo´n. C´ac chu tr`ınh sau l`a so. cˆa´p
(b, e2 , c, e3 , d, e4 , b),

v`a (b, e5 , f, e7 , e, e6 , b).

e1 b
e2
a •.............................................•...................................................................................................................................................................................•... c
.......
. ...
...
.
.......
... ...
.......
e4.............................
....... e3
... ...
.......
.
.
.. ....
.

.
.
.
.
.
.
.......
.
...
....... .............
...
...
...
•....
...
...
....
..
.
d
e5 ......... ........ e6
...
.
...
...
...
...
...
..
.

...
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
.
....................................................................................................................................................................................

f• e •
7 e

e8

•g

H`ınh 1.11:
`eu nhˆa´t mˆo.t
Trong tru.`o.ng ho..p d¯`oˆ thi. khˆong c´o ca.nh song song (t´
u.c l`a hai d¯ı˙’nh c´o nhiˆ
.

.
.
`en µ d¯u o. c viˆe´t la.i
ca.nh liˆen thuˆo.c ch´
ung), d¯ˆe˙’ d¯o n gia˙’n dˆay chuyˆ
µ = {v0 , v1 , v2 , . . . , vk }.
23




1.3.2

- u.`
D
o.ng d
¯i v`
a ma.ch

- u.`o.ng d¯i µ t`
Gia˙’ su˙’. v0 , vk l`a c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a d¯`oˆ thi. c´o hu.´o.ng G := (V, E). D
u. v0 d¯ˆe´n vk d¯ˆo. d`ai
k l`a mˆo.t d˜ay xen k˜e (k + 1) d¯ı˙’nh v`a k cung bˇa´t d¯`ˆau t`
u. v0 v`a kˆe´t th´
uc ta.i vk ,
µ := {v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , . . . , vk−1 , ek , vk },
- ˆe˙’ gia˙’n tiˆe.n, ta c´o thˆe˙’ k´
trong d¯´o cung ei liˆen thuˆo.c c´ac d¯ı˙’nh vi−1 v`a vi , i = 1, 2, . . . , k. D
y
.

.
hiˆe.u d¯u `o ng d¯i µ l`a {e1 , e2 , . . . , ek }.
Do d¯o´ trong H`ınh 1.12 d˜ay c´ac cung
µ1 := {e6 , e5 , e9 , e8 , e4 }
µ2 := {e1 , e6 , e5 , e9 }
µ3 := {e1 , e6 , e5 , e9 , e10 , e6 , e4 }
l`a c´ac d¯u.`o.ng d¯i.
- u.`o.ng d¯i l`a d¯o.n gia˙’n nˆe´u khˆong ch´
`an. Suy ra c´ac d¯u.`o.ng d¯i
u.a cung n`ao qu´a mˆo.t lˆ
D
.
.
.
.
.
.
`an.
µ1 , µ2 l`a d¯o n gia˙’n, nhu ng d¯u `o ng d¯i µ3 khˆong d¯o n gia˙’n do n´o su˙’ du.ng cung e6 hai lˆ
- u.`o.ng d¯i l`a so. cˆa´p nˆe´u khˆong d¯i qua d¯ı˙’nh n`ao qu´a mˆo.t lˆ
`an. Khi d¯o´ d¯u.`o.ng d¯i µ2 l`a
D
.
.
.
.
.
so cˆa´p nhu ng c´ac d¯u `o ng d¯i µ1 v`a µ3 l`a khˆong so cˆa´p. Hiˆe˙’n nhiˆen, d¯u.`o.ng d¯i so. cˆa´p l`a d¯o.n
gia˙’n nhu.ng ngu.o..c la.i khˆong nhˆa´t thiˆe´t d¯u
´ng. Chˇa˙’ng ha.n, ch´

uy
´ rˇ`a ng d¯u.`o.ng d¯i µ1 l`a d¯o.n
gia˙’n nhu.ng khˆong so. cˆa´p, d¯u.`o.ng d¯i µ2 v`
u.a d¯o.n gia˙’n v`a v`
u.a so. cˆa´p, d¯u.`o.ng d¯i µ3 khˆong
.
.
d¯o n gia˙’n c˜
ung khˆong so cˆa´p.
`en l`a ba˙’n sao khˆong c´o hu.´o.ng cu˙’a d¯u.`o.ng d¯i v`a ´ap
Ch´
uy
´ rˇ`a ng, kh´ai niˆe.m dˆay chuyˆ
du.ng cho c´ac d¯`ˆo thi. m`a khˆong d¯ˆe˙’ y
´ d¯ˆe´n hu.´o.ng cu˙’a c´ac cung.
- u.`o.ng d¯i c˜
D
ung c´o thˆe˙’ d¯u.o..c biˆe˙’u diˆ˜en bo˙’.i d˜ay c´ac d¯ı˙’nh m`a ch´
ung d¯i qua trong tru.`o.ng
ho..p khˆong c´o cung song song (t´
u.c hai cung c´o c`
ung gˆo´c v`a c`
ung ngo.n). Do d¯o´, d¯u.`o.ng d¯i
.
µ1 c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆ˜en bo˙’ i d˜ay d¯ı˙’nh {v2 , v5 , v4 , v3 , v5 , v6 }.
Ma.ch l`a mˆo.t d¯u.`o.ng d¯i {e1 , e2 , . . . , ek } trong d¯o´ d¯ı˙’nh gˆo´c cu˙’a cung e1 tr`
ung v´o.i d¯ı˙’nh
.
.
ngo.n cu˙’a cung ek . Do d¯´o d¯u `o ng d¯i {e5 , e9 , e10 , e6 } trong H`ınh 1.12 l`a ma.ch.

1.3.3

T´ınh liˆ
en thˆ
ong

- `ˆo thi. vˆo hu.´o.ng go.i l`a liˆen thˆong nˆe´u tˆa´t ca˙’ c´ac cˇa.p d¯ı˙’nh vi v`a vj tˆ
`on ta.i dˆay chuyˆ
`en t`
u. vi
D
`on ta.i mˆo.t dˆay chuyˆ
`en nˆo´i hai d¯ı˙’nh vi
d¯ˆe´n vj . Quan hˆe. vi Rvj nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u vi = vj hoˇa.c tˆ
.
.
.
.
.
`au).
v`a vj l`a quan hˆe. tu o ng d¯u o ng (pha˙’n xa., d¯ˆo´i x´
u ng v`a bˇa´c cˆ
24




v2
•

...........
......... .....
........ .. .........
.....
.......... ....
.
.
.
.
.....
..... . ..
.....
..... ... ....
.....
..... ....
.....
....
.
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.....
....
..

....
.
.
.
........
.
.
.
.
...
.........
.
.
..........
.
.
.
.
.....
.
.
....
.
.
.
.
.....
.
.
.

...
..
....
.....
.
.
.
.
.
.
.....
..
..
....
.
.
.
.....
.
.
.
.
...
.
.....
....
.
.
.
.

.
.
.
..
.....
.
....
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
..
.....
......
....
.
.
.
.
.
...
.
.

....
....
..
.
............
.
.
..
........ .........
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
..
......
.. ...
.
.
.
...
.
.

.
.
....
.
.
.
.
.
....
.
... ....
...
....
.........
...
........
...
...
..
...
...
.........
...
...
........
... .. .................
...
...
...
.

.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.....
..........
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
....

.
.
.....
.
.
...... ...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
..
..
..
......
.
.
.
.
.
.
...
.

.
.
.
.
.
....
.
.
....
..
.........
.....
.... .....
...
...
.........
... ...
...
...
...
........
.
.
.
....... ................
.
...
........
........
.

.
...
.
..............
..
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
...
.....
..
....
.
.
.
.
.....
.
.
.
....
..
.....
.

.
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
.....
....
.....
...
.....
.....
...
...
.....
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.
.

.
.
.....
.
.
.
.
.
.
..........
.........
....
...
.......
.......
...
...
.....
.....
.....
...
.....
...
.....
... ..........
.
.....
.
.
.. .. ....

.....
..... ... .............
..... .. ........
..... .........
.......

e10

e1

v1 •
e2

• v3

e3

e7

v6 •

e6

e8

e4

e9

• v4

e5

•
v5

H`ınh 1.12:
L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen V x´ac d¯.inh bo˙’.i quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng R phˆan hoa.ch tˆa.p V
`an liˆen thˆong cu˙’a d¯`oˆ thi..
th`anh c´ac tˆa.p con r`o.i nhau V1 , V2 , . . . , Vp . Sˆo´ p go.i l`a sˆo´ th`anh phˆ
`an liˆen thˆong bˇ`a ng mˆo.t. C´ac
Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯`ˆo thi. liˆen thˆong nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u sˆo´ th`anh phˆ
.
`an liˆen thˆong
`
d¯oˆ thi. con G1 , G2 , . . . , Gp sinh bo˙’ i c´ac tˆa.p con V1 , V2 , . . . , Vp go.i l`a c´ac th`anh phˆ
`an liˆen thˆong l`a mˆo.t d¯`ˆo thi. liˆen thˆong.
cu˙’a d¯`ˆo thi.. Mˆo˜i th`anh phˆ
`an liˆen thˆong.
H`ınh 1.13 minh ho.a d¯`ˆo thi. c´o ba th`anh phˆ
v1
..
..............
.•
... .. .....

v5
•......
..
...

..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..

. .. ...
... .... .........
... .....
...
.....
...
....
.....
...
.....
..

...
.....
....
...
.....
.....
...
...
.....
...
...
.....
...
...
.....
.....
...
...
.....
...
.
.
.....
...
..
.....
.
...
.
.....

.
.
...
.....
.
.
.....
.
...
.....
...
....
.....
.
...
.
.....
...
..
.....
.
.....
... ...
.....
... ...
.....
.....
....
.

•
v2

•

v4

•
v7

v3
..
.......
.•
... ..

.. ....
...
...
...
...
...
..
.
...
...
...
..
.
...

.
.
...
.
...
...
.
...
..
.
...
..
.
...
..
...
.
.
...
.
.
...
...
.
...
..
.
...
..
...

.
..
...
.
...
..
.
...
.
.
.
...
...
..
.
...............................................................................................................

•
v8

•
v6

- `ˆo thi. c´o ba th`anh phˆ
`an liˆen thˆong.
H`ınh 1.13: D
`an liˆen thˆong cu˙’a d¯`ˆo thi. l`a mˆo.t trong nh˜
X´ac d¯.inh sˆo´ th`anh phˆ
u.ng b`ai to´an co. ba˙’n cu˙’a
`eu u

l´
y thuyˆe´t d¯`oˆ thi. v`a c´o nhiˆ
´.ng du.ng trong thu..c tiˆ˜en; chˇa˙’ng ha.n, x´ac d¯.inh t´ınh liˆen thˆong
cu˙’a ma.ch d¯iˆe.n, ma.ng d¯iˆe.n thoa.i, v.v.
Ch´
ung ta s˜e tr`ınh b`ay mˆo.t sˆo´ thuˆa.t to´an c´o th`o.i gian O(m) gia˙’i b`ai to´an n`ay v`ı n´o
25