Tài liệu xác suất thống kê lê anh vũ

Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

CHƯƠNG 1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
Nội dung
‰

Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố.

‰

Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ).

‰

Các cơng thức tính xác suất:
•

Cơng thức cộng xác suất.

•

Xác suất có điều kiện và cơng thức nhân xác suất.

•

Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes.

•

Cơng thức Bernoulli.

1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ
1.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1.1.1. HAI VÍ DỤ KINH ĐIỂN
Ví dụ 1.1.
Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc khơng thể xảy ra:
• Mặt sấp xuất hiện.
• Mặt ngửa xuất hiện.
• Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện.
• Khơng mặt nào xuất hiện.
Chúng còn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét.
Ví dụ 1.2.
Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó cũng là một phép thử. Sinh ra bởi phép thử này có thể kể một vài biến cố dưới đây.
• Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6).
• Mặt có số chấm lẻ xuất hiện.
• Mặt có số chấm chẵn xuất hiện.
• Mặt có số chấm khơng q k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6).
• Mặt có số chấm lớn hơn 6 xuất hiện.
• Mặt có số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện.

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.1

Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

1.1.2. MÔ TẢ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
‰

‰

Phép thử là một hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm
nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phép thử ln được thực hiện trong một
nhóm các điều kiện nào đó hồn tồn xác định. Ta thường đồng nhất phép thử
với nhóm điều kiện xác định nó.
Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay
kết cục) nhất định. Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và có thể xẩy ra,
cũng có thể khơng xẩy ra sau khi phép thử kết thúc. Các biến cố sẽ đặc trưng
cho phép thử.

1.2. CÁC LOẠI BIẾN CỐ
1.2.1. BIẾN CỐ CHẮC CHẮN
Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép
thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U.

1.2.2. BIẾN CỐ KHÔNG THỂ CÓ
Biến cố khơng thể có là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.
Biến cố khơng thể có được ký hiệu là ∅.

1.2.3. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể khơng xẩy ra
khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đốn

nhưng khơng thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của biến cố đó.
Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C…
Ví dụ 1.3.
• Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử.
Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố khơng thể có. Biến
cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
“bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc
chắn.
• Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó
trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải
khuyến khích, khơng trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
vé số đó hoặc trúng giải, hoặc khơng trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến
cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa khơng trúng giải nào là biến cố khơng
thể có.
Ví dụ 1.4.
Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc. Hãy kể các
biến cố chắc chắn, khơng thể có và BCNN.

2. PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
2.1. TỔNG CỦA CÁC BIẾN CỐ
•

Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra
khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được
thực hiện. Như vậy
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.2

Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

(A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra).
•

n

Tổng của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu

∑A =
i =1

i

A1 + A2 + … + An (hay

n

∪ A ),
i

là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố Ai nào

i =1

đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
n

( ∑ Ai xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, hoặc A2 xẩy ra, …, hoặc An xẩy ra).
i =1

2.2.

TÍCH CỦA CÁC BIẾN CỐ

•

Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra
khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
(AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra).

•

Tích của n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu

n

∏ Ai = A1A2 … An (hay
i =n

n

∩ A ), là
i

i =1

biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra sau khi phép

thử được thực hiện.
n

( ∏ Ai xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … và An xảy ra).
i =n

2.3. BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIẾN CỐ ĐỐI LẬP
•

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng khơng thể cùng
xảy ra khi phép thử được thực hiện. Tức là
A.B = ∅.
• Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết
phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia. Biến cố đối lập của A là được ký
hiệu là A . Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định có một và chỉ một
trong hai biến cố A hoặc A xảy ra. Tức là
⎧⎪ A + A = U ;
⎨
⎪⎩ AA = ∅.
Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai.
Ví dụ 1.5.
Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh
viên đó đậu mơn Tốn cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu mơn Kinh tế lượng. Hãy
biểu diễn các biến cố sau qua T, K:
a) Sinh viên đó đậu ít nhất một mơn.
b) Sinh viên đó đậu cả hai mơn.
c) Sinh viên đó bị trượt mơn Tốn cao cấp.
d) Sinh viên đó bị trượt cả hai mơn.
e) Sinh viên đó chỉ đậu mơn Kinh tế lượng.
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.3


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

f) Sinh viên đó chỉ đậu một mơn.
g) Sinh viên đó đậu khơng q một mơn.
Giải
Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có
a) A = T + K (= T K + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K );
d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B ).

2.4. BIẾN CỐ SƠ CẤP - KHÔNG GIAN
NHÓM ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ

CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP

–

Biến cố sơ cấp là biến cố khơng thể phân tích được qua các biến cố nào khác ∅
và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi
là khơng gian các biến cố sơ cấp. Khơng gian mẫu các biến cố sơ cấp thường
được ký hiệu là Ω. Cũng có khi dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để
ký hiệu.
Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An được gọi là một nhóm (hay hệ) đầy đủ
các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, có một và chỉ một trong các biến cố
đó xẩy ra. Tức là

⎧ Ai A j = φ , 1 ≤ i ≠ j ≤ n;
⎨
⎩ A1 + A2 + + An = U .

•

•

{ }

Nói riêng, A, A là một nhóm đầy đủ gồm hai biến cố. Ngược lại , mỗi nhóm đầy
đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập.
Ví dụ 1.6.
Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc. Đặt
• Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện, i = 1,6 .

• C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện.
• L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện.
Khi đó A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 là tất cả các biến cố sơ cấp. Khơng gian các biến cố
sơ cấp là Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 }.
⎧C = A2 + A4 + A6 ;
Các biến cố C, L khơng là biến cố sơ cấp vì: ⎨
⎩ L = A1 + A3 + A5 .

2.5. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
•

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay khơng xẩy
ra của biến cố nào trong chúng đều khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của
biến cố còn lại.

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.4


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

•

PGS-TS. Lê Anh Vũ

Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi là độc lập tồn phần nếu A2 độc lập với
A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1.

Ví dụ 1.7.
Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi mơn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là
biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau.
Chú ý
Hai biến cố đối lập thì khơng thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định
sự xẩy ra của biến cố kia.

2.6. VÀI TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
1) Tính giao hốn: A + B = B + A và A.B = B. A .

2) Tính kết hợp: A + (B + C ) = ( A + B ) + C và A.(B.C ) = ( A.B ).C .

3) Tính phân phối: A.(B + C ) = A.B + A.C và A + (B.C ) = ( A + B )(
. A + C).
4) A + A = A ;

A. A = A ;

(A ) = A .

5) Luật DeMorgan:
•

A1 + A2 +

•

A1 A2 ... An = A1 + A2 + ... + An .

+ An = A1 . A2

An .

3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
3.1. NHẬN XÉT – Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT
‰

‰

‰

‰

Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể khơng
xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta
khơng thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra

hay khơng. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này
dễ xẩy ra hơn, còn biến cố kia khó xẩy ra hơn. Nói một cách khác, khả
năng (dễ hay khó) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nói chung là khác
nhau
Ta muốn lượng hóa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố
bởi một con số. Con số đó gọi là xác suất của biến cố đang xét. Nói rõ
hơn, xác suất của một biến cố A nào đó là một số, ký hiêu P(A), dùng để
đo khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của biến cố A. Xác suất P(A) càng nhỏ
thì biến cố A càng khó xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng
dễ xảy ra.
Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra
hay khơng xẩy ra của các biến cố chứ dường như khơng mấy quan tâm
đến bản chất thực tế của biến cố. Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau
nhưng có xác suất bằng nhau, tức là chúng có khả năng xẩy ra như nhau
thì về một mặt nào đó, có thể xem là chúng tương đương với nhau.
Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)?
Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A). Chú ý rằng dù xác
định xác suất như thế nào thì nó cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển
nhiên như sau
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.5


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

•

P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1;

•

0% = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = 100%, với mọi biến cố ngẫu nhiên A.

3.2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN
Giả sử sau khi thực hiện phép thử ta có tất cả n trường hợp đồng khả năng, trong đó
có đúng mA trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy ra. Khi đó xác suất P(A) của A được
định nghĩa như là tỷ số của số trường hợp thuận lợi và số tất cả các trường hợp. Tức là
P( A) =

mA
n

Nhận xét
• Định nghĩa cổ điển của xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính tốn.

•

Tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp dụng được khi số tất cả các trường hợp đồng
khả năng sau phép thử là một số hữu hạn.

Ví dụ 1.8.
Tung một con xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang.
Tính khả năng (xác suất) để
a) Mặt 6 chấm xuất hiện ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất hiện.
Giải
Vì con xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ 1 đến 6 nên sau khi
gieo (tức là thục hiện xong phép thử), có đúng 6 trường hợp đồng khả năng.

Ta đặt tên các biến cố như sau :

Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 1,6 ;
C là biến cố mặt có số chấm chẵn xuất hiện .
Theo u cầu đề bài, ta cần tính P(A6) và P(C). Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho
A6 và C xẩy ra lần lượt là m6 = 1 và mC = 3. Do đó
1
3 1
a) P( A6 ) = ;
b) P (C ) = = ( = 0, 5 = 50%).
6
6 2
Nhận xét
• Để dễ trực cảm được khả năng xẩy ra của biến cố, xác suất của biến cố
thường được để dưới dạng phần trăm.
1
• P( Ai ) = ; i = 1, 2,..., 6 ; P(L) = 50% ( L là biến cố mặt có số chấm lẻ xuất
6
hiện).

3.3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM THỐNG KÊ
Giả sử ta thực hiện một phép thử τ nhiều lần (trong những điều kiện hồn tồn
giống nhau) và quan sát để đếm số lần xẩy ra của biến cố A.
‰

Nếu trong n lần thực hiện phép thử τ có m lần xuất hiện biến cố A, thì tỷ số
m
f n ( A) =
được gọi là tần suất xuất hiện A trong n lần thử, m được gọi là tần số
n

xuất hiện biến cố A.
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.6


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất
‰

PGS-TS. Lê Anh Vũ

Khi số lần thử đủ lớn, tần suất fn(A) sẽ dao động xung quanh một giá trị ổn định
nào đó. Giá trị đó được gọi là xác suất của biến cố A. Một cách chính xác, ta định
nghĩa
P (A) = lim f n ( A) .
n →+∞

Nhận xét
• Định nghĩa thống kê của xác suất cũng đơn giản, dễ hiểu. Định nghĩa theo cách
này khơng cần phải đòi hỏi sau khi thực hiện phép thử số tất cả các trường hợp
phải hữu hạn và đồng khả năng như là định nghĩa cổ điển nữa. Tuy nhiên rất
khó dùng cách này để tính xác suất một cách chính xác. Hơn nữa, muốn tính
xác suất nhờ định nghĩa thống kê cần phải tốn thời gian và có thể cả kinh phí.
• Người ta thường xun áp dụng định nghĩa này khi xác định xác suất của nhiều
sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn. Tuy nhiên, thay cho tính tốn chính xác, ta
xấp xỉ P(A) với chính tần suất fn(A) của A khi n (số lần lặp phép thử) đủ lớn.
Ví dụ 1.9.
Khi tung nhiều lần một đồng tiền cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang
thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động quanh giá trị 0,5.
– Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp là 2.048, tần suất là 0,5080.

– Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp là 6.019, tần suất là 0,5016.
– Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp là 12.012, tần suất là 0,5005.
Như vậy, xác suất để xuất hiện mặt sấp là 0,5 = 50%.

3.4. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM HÌNH HỌC
Trong nhiều trường hợp, ta có thể dùng hình học để xác định xác suất. Ta sẽ giới
thiệu định nghĩa này thơng qua một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1.10. (Bài tốn hai người gặp nhau)
Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h. Mỗi
người đến (và chắc chắn đến) địa điểm đã hẹn trong khoảng thời gian đó một cách độc
lập, chờ 20 phút, nếu khơng gặp người kia thì bỏ đi. Tính khả năng ( xác suất ) để hai
người gặp nhau.
Giải
Gọi G là biến cố hai người gặp nhau; X, Y là thời điểm đến của mỗi người. Rõ ràng X,
Y đều là một điểm ngẫu nhiên trong đoạn [20; 21]. Để G xẩy ra, tức là hai người gặp
1
nhau, ta phải có X − Y ≤ 20 (phút) = (giờ).
3
Xem cặp (X, Y) như là một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó ta được hai miền
phẳng
(D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất cả các trường hợp;
1
(G) = { (X, Y) ∈(D) / X − Y ≤ }: biểu diễn các trường hợp thuận lợi cho biến
3
cố G xẩy ra.

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.7

Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

Rõ ràng miền (G) càng to so với (D) thì khả năng gặp nhau của hai người càng lớn. Do
đó sẽ là rất hợp lý khi ta định nghĩa P(G) chính là tỷ số diện tích của hai miền (G) và (D),
tức là
5
S (G ) 9 5
= = .
P(G) =
S ( D) 1 9

4. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT
4.1.
•

TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ XUNG KHẮC

Cho hai biến cố A, B là hai biến cố xung khắc. Ta có cơng thức cộng xác suất
như sau
P( A + B) = P( A) + P ( B)

•

4.2.

Cho n biến cố A1, A2,…,An xung khắc từng đơi, ta có cơng thức cộng xác

suất như sau
P( A1 + A2 + ... An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An )
TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ BẤT KỲ

Với A, B, C là các biến cố bất kỳ (khơng nhất thiết xung khắc). Ta có cơng thức
cộng xác suất tổng qt như sau
P( A + B) = P( A) + P( B) − P( A.B) ;

P ( A + B + C ) = P( A) + P ( B) + P(C ) − P( AB) − P( BC ) − P(CA) + P( ABC ) .

4.3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI LẬP
Cho biến cố A trong phép thử τ, A có biến cố đối lập là A . Ta có cơng thức

P ( A) = 1 − P( A) .
Ví dụ 1.11.
Theo thống kê của Bộ nơng nghiệp Hoa kỳ, diện tích tồn bộ các nơng trại tại nước
này được cho bởi bảng sau

Diện tích (ha)

Tần suất

Biến cố

Dưới 10

0,087

A

10-49

0,192

B

50-99

0,156

C

100-179

0,173

D

180-259

0,098

E

260-499

0,143

F

500-999

0,085

G

1.000-1999

0,040

H

Từ 2.000

0,026

I

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.8


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

trở lên

Chọn ngẫu nhiên một nơng trại. Sử dụng bảng thống kê trên, hãy tính xác suất để

nơng trại được chọn có diện tích:
a) Từ 100 đến 499 ha.
b) Nhỏ hơn 2.000 ha.
c) Khơng dưới 50 ha.
Giải
Gọi J, K, L lần lượt là các biến cố nơng trại được chọn thỏa mãn u cầu của các câu
a, b, c. Ta cần tính các xác suất P(J), P(K), P(L). Từ bảng đã cho ta thấy:

J = D + E + F; K = I ; L = A + B .
Vì các biến cố đã cho trong bảng từng đơi xung khắc nên ta có:
a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4%.
b) P(K) = P( I ) = 1 – P(I) = 1 – 0,026 = 0,974 = 97,4%.
c) P(L) = P( A + B ) = 1 – P(A+B)
= 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1%.
Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1%.
Ví dụ 1.12.
Tại một câu lạc bộ âm nhạc, thăm dò 100 người thì thấy có 80 người thích nhạc Văn
Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Cơng Sơn; 60 người thích nhạc của cả hai nhạc sỹ trên.
Chọn ngẫu nhiên một người trong số họ. Tính xác suất để người này thích nhạc của ít
nhất một trong hai nhạc sỹ trên.
Giải
Đặt C là biến cố người được chọn thích nhạc Văn Cao.
S là biến cố người được chọn thích nhạc Trịnh Cơng Sơn.
T là biến cố người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên.
Do C, S khơng xung khắc nên áp dụng cơng thức xác suất cộng
P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS)
= 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90%.
Kết luận: Xác suất để người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ
trên là 90%.

5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN
XÁC SUẤT
5.1. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT KHI CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
•

Với A, B là hai biến cố độc lập, ta có cơng thức nhân xác suất như sau
P( A.B) = P( A).P( B)

•

Cho n biến cố A1, A2…, An độc lập tồn phần. Cơng thức nhân xác suất đối
với chúng như sau
P(A 1 A 2 ... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P (A n )
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.9


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

Ví dụ 1.13.
Tung con xúc xắc 3 lần. Tính xác suất mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần.
Giải
Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở lần tung thứ i, i= 1,2,3.
Gọi A là biến cố mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Ta cần tính P(A). Rõ ràng là
A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

Do đó

(
)
= P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ).

P ( A ) = P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Vì các biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung độc lập với nhau nên ta có
1 1 5
5
P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × =
;
6 6 6 216
1 1 1
1
.
P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × =
6 6 6 216
2
Kết luận: P ( A ) =
.
27

5.2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG
KHI CÁC BIẾN CỐ KHÔNG ĐỘC LẬP

THỨC

NHÂN XÁC SUẤT

Cho A, B là hai biến cố tùy ý. Giả sử B đã xẩy ra rồi. Khi đó xác suất của biến cố A
(được tính trong điều kiện biết biến cố B đã xảy ra) được gọi là xác suất (có điều kiện)
của A trong điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu là P(A/B).
Cơng thức xác suất có điều kiện như sau
P( A.B)
P( B. A)
; P ( B A) =

.
P( A B) =
P( B)
P( A)
Do đó

P ( A.B) = P( A B) P( B) ; P ( A B ) =

P( B A) P( A)
.
P( B)

Rõ ràng là khi A, B độc lập thì P( A B ) = P( A) và P( B A) = P( B) .
Từ đây ta có thể tổng qt cơng thức nhân cho n biến cố bất kỳ A1, A2, … ,An (khơng
nhất thiết độc lập) như sau
P ( A1A 2 ... A n ) = P ( A1 ) P ( A 2 / A1 ) P ( A 3 / A1 A2 )… P ( An / A1 A2 ... An −1 ) .

Ví dụ 1.14.
Một lơ hàng có 20 sản phẩm, trong đó có hai sản phẩm xấu. Chọn lần lượt mỗi lần một
sản phẩm cho đến khi phát hiện đủ hai sản phẩm xấu thì dừng. Tính xác suất để dừng lại
ở lần chọn thứ 3 nếu
a) Chọn khơng hồn lại.
b) Chọn có hồn lại.
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.10


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

Giải

Đặt Xi là biến cố chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ i, i = 1,20 .

D là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ 3.
Ta cần tính P(D). Dễ thấy D = X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 (các biến cố này xung khắc với

nhau). Do đó P ( D ) = P ( X 1 X 2 X 3 ) + P ( X 1 X 2 X 3 ) .

a) Chọn khơng hồn lại. Các biến cố X 1 , X 2 , X 3 khơng độc lập. Do đó ta có:
‰

P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 / X 1 ) P( X 3 / X 1 X 2 )
=

‰

2 18 1
2
1
. . .=
=
..
20 19 18 20.19 190

P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 / X 1 ) P( X 3 / X 1 X 2 )

18 2 1

2
1
.
. . .=
=
20 19 18 20.19 190
2
1
Kết luận:
P( D) =
=
≈ 1, 05% .
190 95
b) Chọn có hồn lại. Các biến cố X 1 , X 2 , X 3 độc lập với nhau. Do đó ta có:
=

‰

P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 ) P( X 3 )

=
‰

2 18 2
× ×
= 0,9% .
20 20 20

P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 ) P( X 3 )

=
Kết luận:

18 2 2
. . . = 0,9% .
20 20 20
P ( D) = 2.0, 009 = 1,8% .

6. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC
BAYES
6.1. CÔNG THỨC XÁÙC SUẤT ĐẦY ĐỦ
Giả sử A1, A2…, An là một nhóm đầy đủ các biến cố và B là một biến cố bất kỳ. Khi
đó ta có cơng thức xác suất đầy đủ như sau
n

P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P( B / Ai ) = P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A2 ) P ( B / A2 ) +
i =1

+ P ( An ) P ( B / An ) .

6.2. CÔNG THỨC BAYES
Giả thiết hồn tồn như giả thiết của cơng thức xác suất đầy đủ. Ta có cơng thức
Bayes như sau
P( A ) P( B / Ak )
P( Ak ) P( B / Ak )
=
.
P ( Ak / B) = n k
P( B)
∑ P( Ai ) P( B / Ai )

i =1

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.11


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

Ví dụ 1.15.
Một nhà máy sản xuất bóng đèn có ba phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 25%, phân
xưởng II sản xuất 35%, phân xưởng III sản xuất 40% số bóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm hỏng
của mỗi phân xưởng trên tổng số sản phẩm do phân xưởng đó sản xuất lần lượt là 3%,
2%, 1%. Một người mua một bóng đèn do nhà máy sản xuất. Tính xác suất để
a) Sản phẩm này tốt.
b) Biết rằng sản phẩm này hỏng. Tính xác suất để nó do phân xưởng III sản xuất.
Giải
Đặt A là biến cố sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất.
B là biến cố sản phẩm này do phân xưởng II sản xuất.
C là biến cố sản phẩm này do phân xưởng III sản xuất.
T là biến cố sản phẩm này tốt.

Khi dó A, B, C là nhóm đầy đủ, còn T là biến cố sản phẩm này hỏng.
a) Ta cần tính P(T). Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có
P (T ) = P (T A) P( A) + P(T B ) P( B ) + P(T C ) P(C )
= 0,97 × 0.25 + 0,98 × 0,35 + 0,99 × 0, 4 = 0,9815 = 98,15%.
b) Ta cần tính P(C/ T ). Áp dụng cơng thức xác Bayes, ta có
P (C / T ) =

P (C ) P(T / C ) P(C ) P(T / C ) 0, 4 × 0, 01
≈ 21,62%.
=
1 − P(T ) 1 − 0,9815
P (T )

Ví dụ 1.16.
Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 bóng mới (chưa sử dụng) và 6 bóng cũ (đã
sử dụng). Lần đầu chọn ra 3 quả để sử dụng, sau đó bỏ vào lại. Lần hai chọn ra 3 quả.
a) Tính xác suất 3 quả bóng chọn lần hai là 3 bóng mới.
b) Biết rằng lần hai chọn được 3 bóng mới. Tính xác suất lần đầu chọn được 2 bóng
mới.
Giải

Gọi Mi là biến cố lần đầu chọn được i bóng mới, i = 0,3 . Khi đó Mo, M1, M2, M3 là
một nhóm đầy đủ các biến cố. Đặt B là biến cố lần hai chọn được 3 bóng mới.
a) Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ, ta có
P(B) = P(Mo)P(B/Mo) + P(M1)P(B/M1) + P(M2)P(B/M2) + P(M3)P(B/M3)
Ta có:
P(M o ) =

P( B / M o

3

1

2

2

1

3

C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 ;
1
2
3
3
3
3
3
C15
C15
C15
C15

)= C
C

3
9
3

P( B / M ) = C
C

;

1

15

3
8
3

; P( B / M 2

15

)= C
C

3
7
3

; P( B / M 3

15

)= C
C

3
6
3

.

15

Do đó

P ( B) =

1

(C )
3

2

(C .C
3

3

6

9

1

2

3

2

1

3

3

3

)

+ C 9C 6.C 8 + C 9C 6.C 7 + C 9.C 6 =

528
≈ 8, 93% .
5915

15

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.12


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

b) Áp dụng cơng thức Bayes, ta có
C73 C92C61
P( M 2 ) P( B / M 2 ) C153 C153
9
P( M 2 / B) =
=
=
≈ 40,91% .
528
P( B)
22
5915

7. CÔNG THỨC BEC-NU-LI (BERNOULLI)
7.1. DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI
Một dãy n phép thử (0 < n ∈ ) được gọi là một dãy các phép thử Bernoulli, nếu
chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
• Tất cả các phép thử đều độc lập với nhau.
• Trong mỗi phép thử biến cố A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p khơng
đổi.

7.2. CÔNG THỨC BERNOULLI
Kí hiệu
•
•

q = 1 – p = P( A ).
Pn(k; p) là xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử
Bernoulli (còn gọi là xác suất để có đúng k lần thành cơng trong n lần thử).
• Pn(k1, k2; p) là xác suất để A xuất hiện ít nhất k1 lần , nhiều nhất k2 lần

trong n phép thử Bernoulli (còn gọi là xác suất để trong n lần thử số lần
thành cơng ít nhất là k1, nhiều nhất là k2).
Ta có cơng thức Bernoulli như sau

Pn ( k , p ) = C nk p k q n − k ; 0 ≤ k ≤ n.
Pn (k1 , k2 ; p) =

k2

k2

k = k1

k = k1

∑ Pn (k ; p) = ∑ Cnk p k q n−k ; 0 ≤ k1 < k2 ≤ n

7.3. SỐ CÓ KHẢ NĂNG NHẤT
Số k0 sao cho Pn(k0; p) lớn nhất ( trong tất cả các Pn(k;p) ) được gọi là số có khả
năng nhất. Ta có
• Nếu np – q ngun thì k0 có hai giá trị là np – q hoặc np – q +1.
• Nếu np – q khơng ngun thì k0 = k0 = [np – q] + 1.
Ví dụ 1.17.
Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ ở mỗi lần bắn là 0,6. Biết rằng xác
suất mục tiêu bị diệt khi trúng 1, 2, 3 phát đạn lần lượt là 0,2 ; 0,5 ; 0,8. Còn nếu trúng 4
phát đạn thì chắc chắn bị diệt.Tìm xác suất mục tiêu bị diệt nếu xạ thủ đó bắn 4 phát đạn.
Giải
Gọi D là biến cố cần tìm xác suất. Theo đề bài, D phụ thuộc vào việc mục tiêu bị
trúng mấy phát đạn. Ta gọi biến cố mục tiêu trúng k phát đạn là Tk. Khi đó ta có một
nhóm đầy đủ là T0, T1, T2, T3, T4 . Theo cơng thức xác suất đầy đủ, P(D) được tính bởi

cơng thức :
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.13


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ
4

P(D) =

∑ P(T

K =0

K

)P(D/TK ) .

Từ đề bài suy ra P(D/T1) = 0,2 ; P(D/T2) = 0,5 ; P(D/T3) = 0,8 ; P(D/T4) = 1, còn
hiển nhiên P(D/T0) = 0.
___

Ta cần tính P(Tk), k = 0,4 .
Xạ thủ bắn 4 phát đạn một cách độc lập và xác suất bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần
khơng thay đổi. Do đó ta có dãy 4 phép thử Bernoulli với p = 0,6, q = 0,4. Áp dụng cơng
thức Bernoulli ta được
P(T0) = P4(0 ; 0,6) = C 40 p 0 q 4 = 0,44 = 0,0256 ;

P(T1) = P4(1 ; 0,6) = C 41 p 1 q 3 = 4.0,6.0,43 = 0,1536 ;
P(T2) = P4(2 ; 0,6) = C 42 p 2 q 2 = 6.0,62.0,42 = 0,3456 ;
P(T3) = P4(3 ; 0,6) = C 43 p 3 q 1 = 4.0,63.0,4 = 0,3456 ;
P(T4) = P4(4 ; 0,6) = C 44 p 4 q 0 = 0,64 = 0,1296 ;
Kết luận: xác suất mục tiêu bị diệt nếu xạ thủ bắn 4 phát đạn là :
P(D) = 0,0256.0 + 0,1536.0,2 + 0,3456.0,5 + 0,3456.0,8 + 0,1296.1 = 60,96%.
Ví dụ 1.18.
Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Có thể nói rằng cứ 10 người đến
bác sỹ đó chữa bệnh thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh được khơng ? Nếu khơng thì số
người khỏi có khả năng nhất là bao nhiêu ?
Giải
Câu khẳng định đó là sai. Ở đây có thể coi việc chữa bệnh cho 10 người là dãy 10
phepes thử Bernoulli với xác suất thành cơng trong mỗi lần thử là p = 0,8. Do đó q = 0, 2.
Từ đó , xác suất để trong 10 người đến chữa có đúng 8 người khỏi bệnh là
P10 (8;0,8) = C108 0,88.0, 22 ≈ 31, 08% .
Ở đây, vì np – q = 10 . 0, 8 – 0,2 khơng ngun nên số có khă năng nhất là
k0 = [np – q] + 1 = 8.
Kết luận: Khơng thể nói rằng cứ 10 người đến chữa thì chắc chắn 8 người khỏi bệnh. Chỉ
có thể nói rằng cứ10 người đến chữa bệnh thì nhiều khả năng nhất là 8 người khỏi.

7.4. HAI TRƯỜNG HP TÍNH GẦN ĐÚNG
Cơng thức Bernoulli khi n và k khá lớn thì tính tốn rất cồng kềnh phức tạp. Bởi thế
người ta tìm cách tính gần đúng. Cụ thể ta có hai trường hợp dưới đây.
• Nếu n rất lớn, trong khi p rất nhỏ ( p < 0, 1) ta có thể dùng xấp xỉ Poinsson
( n p ) k − np
.
e
k!
Nếu n lớn, trong khi p khơng q bé và khơng q lớn (0,1 < p < 0,9) ta có thể
dùng xấp xỉ Gauss và Moivre – Laplace

ϕ ( xk )
k − np
với xk =
;
Pn (k ; p ) ≈
npq
npq
Pn(k; p) ≈

•

Pn (k1 , k2 ; p ) ≈ φ ( x2 ) − φ ( x1 ) với xi =

ki − np
npq

; i= 1, 2.

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.14


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

ở đó ϕ ( x) là hàm Gauss (có thể tra từ bảng hàm Gauss), φ ( x) là hàm Laplace (có
thể tra được giá trị từ bảng hàm Laplace).
Ví dụ 1.19.

Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của một máy là 0,005. Tìm xác suất để trong
800 sản phẩm của máy đó có đúng 3 phế phẩm.
Giải
Đây là bài tốn áp dụng cơng thức Bernoulli vì hành động lặp lại (chọn 800 sản
phẩm). Rõ ràng n = 800 lớn, p = 0,005 q bé nên ta dùng xấp xỉ Poinsson với np = 4,
k = 3.

P800 (3;0, 005) ≈

43 −4
e ≈ 0,1954 = 19, 54%.
3!

Ví dụ 1.20.
Xác suất ném trúng rổ của một cầu thủ là 0,8. T ìm xác suất để trong 100 lần ném
của cầu thủ đó có
a) 75 lần trúng rổ;
b) khơng dưới 75 lần.
Giải
Đây là bài tốn áp dụng cơng thức Bernoulli vì hành động lặp lại (100 lần ném rổ). Rõ
ràng n = 100 khá lớn, p = 0,8 khơng q bé cũng khơng q lớn nên ta dùng xấp xỉ Gauss
và Moivre – Laplace với np = 80.
75 − 100.0,8
)
ϕ(
100.0,8.(1 − 0,8)
ϕ (−1, 25)
P100 (75;0,8) ≈
=
= 0, 04565 = 4, 565%.

4
100.0,8.(1 − 0,8)

P100 (75,100;0,8) ≈ φ (5) − φ (−1, 25) = φ (5) + φ (1, 25)) = 0,8943=89,43%.

8. LƯC ĐỒ GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Để giải một bài tốn xác suất, ta cần tn thủ lược đồ sau đây :
• Bước 1 Đọc đề bài và nhanh chóng phát hiện hành động (tức là phép thử) của
bài tốn. Căn cứ vào các kết cục có thể xẩy ra sau hành động để đặt tên các
biến cố và tóm tắt u cầu cần tính xác suất nào. Nếu thấy hành động được lặp
đi lặp lại nhiều lần thì nên dùng cơng thức Bernoulli và tính tốn ngay. Nếu
hành động khơng lặp thì chuyển sang bước tiếp theo.
• Bước 2 Xét quan hệ giữa biến cố cần tính xác suất và các biến cố đơn giản
hơn để quyết định cần dùng cơng thức nào trong các cơng thức cộng , nhân xác
suất đầy đủ hay Bayes. Rõ ràng khi gặp các biến cố tổng hay tích thì dùng các
cơng thức cộng, nhân xác suất. Còn khi thấy hành động được chia hai giai
đoạn, các kết cục của giai đoạn sau phụ thuộc vào từng kết cục của giai đoạn
đầu thì nói chung là dùng cơng thức xác suất đầy đủ hoặc Bayes.
• Bước3 Đọc kỹ các số liệu đã cho trong giả thiết của bài tốn để ráp vào các
cơng thức đã dùng và tính tốn đến đáp số.
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.15


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Vùng

[1] Bảng chấm cơng năm vừa qua của cơng ty Cudahey Masonry được thống kê thành
bảng dưới đây
Số ngày vắng
0
1
2
3
4
5
6
7
Số cơng nhân
4
2
14
10
16
18
10
6
Chọn ngẫn nhiên một cơng nhân. Tính xác suất cơng nhân đó nghỉ
b) Nhiều nhất 2 ngày?
c) Từ 1 đến 5 ngày?
a) 3 ngày?
e) Ít hơn 8 ngày?
d) 8 ngày?
[2] Theo số liệu thống kê của Digest of Education Statistics về mạng lưới hình thành

giáo dục ở Mỹ được cho bởi bảng phân phối tần số theo vùng, loại của các trường
như sau
Loại
Trường cơng lập
Trường tư
Cộng
Đơng-Bắc
266
555
821
Trung-Tây
359
504
863
Nam
533
502
1035
Tây
313
242
555
Cộng
1471
1803
3274
Chọn ngẫu nhiên một trường. Tính xác suất trường được chọn là
a) Trường cơng lập?
b) Ở vùng Trung-Tây?
c) Trường cơng lập và ở vùng Trung-Tây?

d) Trường cơng lập hay một trường ở vùng Trung-Tây?
e) Trường tư ở vùng Đơng-Bắc?
[3] Trong 100 người được phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A; 28 người
thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng cả 2 loại nước hoa A, B.
Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 người trên. Tính xác suất người này
a) Thích dùng ít nhất một loại nước hoa trên?
b) Khơng thích dùng loại nứơc hoa nào cả?
[4] Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất chọn được sản phẩm xấu?
b) Chọn ngẫu nhiên lần lượt (khơng hồn lại) hai sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm
chọn lần sau là sản phẩm xấu?
c) Chọn ngẫu nhiên lần lượt (có hồn lại) hai sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm chọn
lần sau là sản phẩm xấu?
[5] Một hộp phấn có 12 phấn trắng; 8 phấn xanh; 10 phấn vàng. Chọn ngẫu nhiên một
viên phấn. Tính xác suất viên phấn này màu trắng? Biết rằng viên phấn này khơng phải
màu vàng.

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.16


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

[6] Chọn lần lượt khơng hồn lại 3 sản phẩm từ một hộp chứa10 sản phẩm tốt, 5 sản
phẩm xấu. Tính xác suất chọn được sản phẩm tốt ở lần 1 và 2 còn lần 3 chọn sản phẩm
xấu?
[7] Chọn khơng hồn lại 3 bi từ một hộp chứa 10 bi trắng và 5 bi đỏ. Hãy tính xác suất

để chọn được bi trắng ở lần thứ nhất và lần thứ hai, còn lần thứ ba thì chọn được bi đỏ?
[8] Có hai hộp bi, hộp I có 1 bi trắng, 9 bi đen; hộp II có 1 bi đen, 5 bi trắng. Từ mỗi
hộp chọn ngẫu nhiên 1 bi, số bi còn lại trong mỗi hộp được bỏ chung vào hộp III. Sau đó
từ hộp III chọn ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất bi chọn từ hộp III là bi trắng.
[9] Đội tuyển bóng bàn Thành phố có ba vận động viên A, B, C mỗi vận động viên thi
đấu một trận, với xác suất thắng trận lần lượt là: 0,7; 0,8; 0,9. Tính
a) Xác suất đội tuyển thắng ít nhất một trận?
b) Xác suất đội tuyển thắng đúng hai trận?
c) Xác suất C thua? Biết rằng đội tuyển thắng hai trận.
[10] Một phân xưởng có 60 cơng nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ cơng nhân
nữ tốt nghiệp phổ thơng trung học là 15 %, còn tỷ lệ này với nam là 20%.
a) Gặp ngẫu nhiên một cơng nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để gặp cơng nhân
tốt nghiệp phổ thơng trung học?
b) Gặp ngẫu nhiên hai cơng nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để ít nhất gặp được
một cơng nhân tốt nghiệp phổ thơng trung học trong hai cơng nhân trên?
[11] Có 3 sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; sinh
viên B là 0,7 và sinh viên C là 0,6.
a) Tìm xác suất để có hai sinh viên làm được bài.
b) Nếu có hai sinh viên làm được bài thi. Tìm xác suất sinh viên A khơng làm được
bài thi?
[12] Một sinh viên thi 2 mơn. Xác suất để sinh viên này đạt u cầu mơn thứ nhất là
80%. Nếu sinh viên này đạt mơn thứ nhất thì xác suất đạt u cầu mơn thứ hai là 60%;
còn nếu khơng đạt mơn thứ nhất thì xác suất đạt u cầu mơn thứ hai là 30%. Tính xác
suất
a) Sinh viên này đạt u cầu cả 2 mơn?
b) Sinh viên này đạt u cầu mơn thứ hai?
c) Sinh viên này đạt u cầu ít nhất một mơn?
d) Sinh viên này khơng đạt u cầu cả hai mơn?
[13] Một lơ hàng có 40 sản phẩm loại A và 10 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 10 sản
phẩm từ lơ hàng để kiểm tra thì thấy cả 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra đều là loại A. Từ số

sản phẩm còn lại của lơ hàng chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một
sản phẩm loại B?
[14] Một phân xưởng có ba máy. Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản phẩm đạt tiêu
chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7. trong một giờ mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm.
Tính xác suất để trong một giờ cả ba máy sản suất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu
chuẩn kỹ thuật.
[15] Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém phẩm chất). Hộp thứ hai có 5
chai thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 chai.
a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt?
b) Tính xác suất lấy được 1 chai thuốc tốt và 1 chai thuốc kém phẩm chất?
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.14


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

c) Nếu lấy được 1 chai thuốc tốt và 1 chai thuốc kém phẩm chất. Tính xác suất để
chai thuốc kém phẩm chất là của hộp thứ nhất?
[16] Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Hộp thứ hai có 5 sản phẩm
loại I và 3 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ
hai, rồi từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm loại I. Tính xác
suất để sản phẩm lấy ra từ hộp thứ hai là sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ vào.
[17] Có hai lơ sản phẩm. Lơ thứ nhất có tỷ lệ sản phẩm loại I là 90%. Lơ thứ hai có tỷ lệ
sản phẩm loại I là 70%. Chọn ngẫu nhiên một lơ, rồi từ lơ đó lấy nhẫu nhiên 1 sản phẩm
thì được sản phẩm loại I. Trả lại sản phẩm đó vào lơ đã chọn, rồi cũng từ lơ đó lấy tiếp 1
sản phẩm nữa. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai là sản phẩm loại I.
[18] Có 3 hộp, mỗi hộp có 5 sản phẩm. Hộp thứ nhất có 1 sản phẩm loại B; hộp thứ hai

có 2 sản phẩm loại B; hộp thứ ba có 3 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra1
sản phẩm.
a) Tính xác suất để lấy được 3 sản phẩm loại B?
b) Nếu có 1 sản phẩm loại B trong 3 sản phẩm lấy ra. Tính xác suất để sản phẩm loại
B đó là của hộp thứ nhất?
[19] Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có 4 phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất
40%; Phân xưởng II sản xuất 30%; Phân xưởng III sản xuất 20%; Phân xưởng IV sản
xuất 10% sản phẩm của tồn xí nghiệp. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I; phân xưởng II;
phân xưởng III; phân xưởng IV tương ứng là 1%; 2%; 3%; 4%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1
sản phẩm do nhà máy sản xuất.
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm tốt?
b) Cho biết sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do
phân xưởng I sản xuất?
c) Nếu lấy được 1 phế phẩm, theo bạn sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất? Vì
sao?
[20] Gieo một cách ngẫu nhiên một điểm vào hình tròn bán kính R (R > 0). Tìm xác
suất sao cho điểm rơi vào
a) hình vng nội tiếp đường tròn.
b) tam giác đều nội tiếp đường tròn.
c) lục giác đều nội tiếp đường tròn.
d) đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.
[21] Có ba người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng lần lượt là
0,6 ; 0,7 ; 0,8. Tìm các xác suất sau đây:
a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng.
b) Có đúng một người bắn trúng.
c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt.
d) Có đúng hai người bắn trúng.
e) Cả ba người đều bắn trúng.
f) Khơng có ai bắn trúng.
g) Có ít nhất một người bắn trúng.

h) Có khơng q hai người bắn trúng.
i) Có ít nhất hai người bắn trúng.
[22] Một bài thi trắc nghiệm nhiều lựa chọn gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu có 5 phương án
trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Cho biết mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi
câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm. Một sinh viên khơng học bài nên đã làm bài bằng cách
chọn ngẫu nhiên 1 phương án trả lời trong từng câu hỏi. Tìm xác suất anh ta
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
I.15


Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất

PGS-TS. Lê Anh Vũ

a) được 13 điểm.
b) bị điểm âm.
[23] Một người bắn ba viên đạn. Xác suất để cả ba viên trúng vòng 10 là 0,008. Xác suất
để một viên trúng vòng 8 là 0,15. Xác suất để một viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tìm xác
suất để người đó đạt ít nhất 28 điểm.
[24] Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải, 2 động cơ ở cánh
trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1 ; ở cánh trái là 0,05. Các động cơ
hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an tồn trong các
trường hợp sau.
a) Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc.
b) Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó ít nhất một động cơ hoạt
động.
[25] Hai máy cùng sản xuất ra một loại chi tiết. Năng suất của máy thứ hai gấp đơi máy
thứ nhất. Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy thứ nhất là 65%, của máy thứ hai là 80%.
Lấy ngẫu nhiên một chi tiết từ lơ hàng do hai máy sản xuất.
a) Tìm xác suất lấy được chi tiết đạt tiêu chuẩn.

b) Nếu chi tiết đó là phế phẩm, tìm xác suất chi tiết đó do máy thứ hai sản
xuất.
[26] Có hai lơ hàng, lơ thứ nhất có 10 sản phẩm loại A, 2 sản phẩm loại B ; lơ thứ hai có
16 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B. Từ mỗi lơ ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Sau
đó, trong hai sản phẩm thu được lại lấy ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra
sau cùng là sản phẩm loại A.
[27] Có ba cái hộp đựng bút. Hộp thứ nhất có 5 bút đỏ, 10 bút xanh. Hộp thứ hai có 3
bút đỏ, 7 bút xanh. Hộp thứ ba có 3 bút đỏ, 4 bút xanh. Từ hộp thứ nhất lấy ra 1 cái bút,
từ hộp thứ hai lấy ra 2 cái, cùng bỏ vào hộp thứ ba.
a) Tìm xác suất để trong hộp thứ ba số bút đỏ nhiều hơn số bút xanh.
b) Từ hộp thứ ba lấy ra 2 cái bút. Tìm xác suất lấy được 2 bút cùng màu.
[28] Một tín hiệu vơ tuyến được phát đi 4 lần. Xác suất thu được ở mỗi lần phát đều
là 0,4.
a) Tìm xác suất để nơi thu nhận được tín hiệu đó.
b) Muốn xác suất thu được tín hiệu khơng bé hơn 95% thì phải phát tối thiểu
bao nhiêu lần ?
[29] Giả sử xác suất sinh con trai là 0,51. Một gia đình có 4 người con. Tìm xác suất để
gia đình đó có
a) hai con trai.
b) khơng q một con trai.
c) Nếu muốn có ít nhất một con trai với xác suất trên 80% thì gia đình đó
phải sinh tối thiểu mấy con ?
[30] Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích ở mỗi lần bắn là 0,7. Anh ta đã bắn 5 lần,
mỗi lần 1 viên đạn.
a) Tìm xác suất có 3 viên trúng đích.
b) Tìm xác suất có khơng q 3 viên trúng.
c) Trong 5 viên đạn đó khả năng mấy viên trúng là nhiều nhất ?
d) Muốn xác suất có ít nhất 1 viên đạn trúng đích khơng nhỏ hơn 99% thì xạ
thủ đó phải bắn tối thiểu bao nhiêu viên đạn ?

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

I.16