chuyên đề vecto hình học 10

Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

Bài 1: Khái niệm về vectơ. Hai vectơ bằng nhau

uuur uuur
Bài 1: Cho 2 vectơ AB; AC cùng phương. Kết luận gì về 3 điểm A; B; C

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC.
uuur uuur
a) Ta có AB = AC đúng hay sai?
uuur
uuur
b) Các vectơ nào cùng hướng với AB ? Các vectơ nào ngược hướng với BC
c) Các vectơ nào bằng nhau?
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên AB và điểm N trên CD sao cho AM = CN.
uuur uuuur uuuur uuur

Chứng minh rằng AN = MC ; MD = BN
Bài 4: Cho tam giác ABC đều. Các đẳng thức sau đúng hay sai?
uuur uuur
a) AB = AC

uuur uuur
b) AB = BC

uuur uuur uuur
c) AB = BC = CA

Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB; BC; CA. Tìm trên hình vẽ các
uuur uuur
uur

vectơ lần lượt bằng các vectơ JK ; BJ và IJ
Bài 6: Cho tam giác ABC có D; E; F lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. Tìm các vectơ bằng
nhau và chứng minh
r
Bài 7: Cho điểm M và a . Dựng điểm N sao cho
uuuur r
uuuur
r
r
a) MN = a
b) MN cùng phương với a và có độ dài bằng a
ur
Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O. Hãy liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác O ) nhận đỉnh và
tâm của hình vuông là điểm đầu và điểm cuối
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; BC. CMR
uuuur uuur
uuuur uuur
a) Nếu MN = AB và MN = DC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
uuur uuur
uuur uuur
b) Nếu AB = DC thì AD = BC
uuur uuur
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ rằng AE = BD
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho
uuur uuuur
uuuur uuur
AM = CN. Chứng minh rằng AN = MC và MD = BN
Bài 12: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
uuur
a) Tìm các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với OA

uuur uuur
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB; OE

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A; B; C; D; O
uuur uuur
a) Bằng vectơ AB; OB
uuur
b) Có độ dài bằng OB

Bài 14: Cho tam giác đều ABC. Đẳng thức sau đúng hay sai?
uuur uuur

a) AB = BC

uuur

uuur

b) AB = − AC

uuur

uuur

c) AB = AC

Bài 15: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; DA. Chứng
minh rằng
uuuur uuur
uuur uuuur

a) MN = QP
b) NP = MQ
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi I là
uuuur uuur uuur uur
giao điểm của AM và BN; K là giao điểm của DM và CN. CMR AM = NC ; DK = NI

Ths: Nguyễn Dương Thịnh


Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

Bài 17: Cho tam giác ABC. Gọi H; O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
uuur uuuur
ABC; B’ là điểm đối xứng với B qua O. CMR AH = B ' C

Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M; N lần lượt là trung điểm của BC và AD
uuur
uuuur uuuur
uuur uuur
uuur
a) Tìm tổng của 2 vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC
uuuur uuur uuur uuur
b) Chứng minh rằng AM + AN = AB + AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur
Bài 2: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng OA + OB + OC + OD + OE + OF = O
uuur uuur uuur uuur
Bài 3: Cho 5 điểm A; B; C; D; E phân biệt. Tính tổng AB + BC + CD + DE
Bài 4: Cho tam giác ABC; các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur

a) Tìm hiệu AM − AN ; MN − NC ; MN − PN ; BP − CP
uuuur uuur
uuuur
b) Phân tích AM theo 2 vectơ MN ; MP

uuur uuur uuur uuur

Bài 5: Cho 4 điểm A; B; C; D. Chứng minh rằng AB − CD = AC − BD
Bài 6: Cho hai điểm A; B phân biệt. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
uuur uuur ur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
a) MA − MB = BA
b) MA − MB = AB
c) MA + MB = O
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Bài 7: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F tùy ý. Chứng minh rằng AC + BD + EF = AF + BC + ED
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là điểm tùy ý. CMR
uuur uuur uuur
uuur uuuur uuuur uuur
a) AB + OA = OB
b) MA + MC = MD + MB
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur ur
a) AD + MB + NA = O
b) CD − CA + CB = O
Bài 10: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F. CMR (bằng nhiều cách)
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur
a) AB + CD = AD + CB
b) AB − CD = AC + BD
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur ur
c) AB − AD = CB − CD
d) AB + BC + CD + DA = O
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
e) AD + BE + CF = AE + BF + CD
f) AC + DE − DC − CE + CB = AB
Bài 11: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; BC;
uuuur uuur uuur ur
CA. Chứng minh rằng GM + GN + GP = O
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur ur
a) CD − OB = BA
b) AB − BC = DB
c) DA − DB + DC = O
Bài 13: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ; BCPQ; CARS. Chứng
uuur uur uuur ur

minh rằng RJ + IQ + PS = O
Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm là O. CMR
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur uuur
a) OA + OC + OE = O
b) AB + AO + AF = AD

uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
c) MA + ME + MC = MB + MD + MF (Với M tùy ý)
Bài 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uur uuur ur
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB − AF + CD − CB + EF − ED = O
Bài 16: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AB: AC; BC. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
với điểm O bất kỳ ta có: OA + OB + OC = OM + ON + OP
Ths: Nguyễn Dương Thịnh


Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

Bài 17: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua
B; C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỳ ta có:
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC '

Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O; trực tâm H, vẽ đường kính AD.
uuur uuur uuur
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
uuur uuur uuur uuuur
b) Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '
uuur uuur

Bài 19: CMR AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau
uuur r uuur r

uuur uuur uuur uuur

r r

Bài 20: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt AO = a; BO = b . Tính AB; BC ; CD; DA theo a; b
uuur uuur uuuur ur

Bài 21: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho MA − MB + MC = O

Chuyên đề: Vectơ và các phép toán về vectơ
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ
Hướng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng; quy tắc hiệu
uuur uuur uuur uuur
Bài 1: Cho 4 điểm A; B; C; D. Chứng minh rằng AB − CD = AC − BD
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F tùy ý. Chứng minh rằng AC + BD + EF = AF + BC + ED
Bài 3: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F. CMR (bằng nhiều cách)
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) AB + CD = AD + CB
b) AB − CD = AC + BD
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur ur
c) AB − AD = CB − CD
d) AB + BC + CD + DA = O
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

e) AD + BE + CF = AE + BF + CD
f) AC + DE − DC − CE + CB = AB
Bài 4: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uur uuur ur
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB − AF + CD − CB + EF − ED = O
Hướng 2: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng; quy tắc hiệu kết hợp với tính chất hai vectơ bằng
nhau trong hình bình hành, trong lục giác đều.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur ur
a) CD − OB = BA
b) AB − BC = DB
c) DA − DB + DC = O
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là điểm tùy ý. CMR
uuur uuur uuur
uuur uuuur uuuur uuur
a) AB + OA = OB
b) MA + MC = MD + MB
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur ur
a) AD + MB + NA = O

b) CD − CA + CB = O
uuur uuur
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm thỏa mãn CE = BD . Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB + BC + CD = AB + CE
b) AC + BD + CB = BD + CE + BC
Bài 5: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ; BCPQ; CARS. Chứng
uuur uur uuur ur

minh rằng RJ + IQ + PS = O

uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur

Bài 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng OA + OB + OC + OD + OE + OF = O
Bài 7: Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm là O. CMR
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur uuur
a) OA + OC + OE = O
b) AB + AO + AF = AD
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
c) MA + ME + MC = MB + MD + MF (Với M tùy ý)
Ths: Nguyễn Dương Thịnh


Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

Hướng 3: Các bài toán sử dụng quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm
Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; BC;
uuuur uuur uuur ur

CA. Chứng minh rằng GM + GN + GP = O
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AB: AC; BC. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
với điểm O bất kỳ ta có: OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B;
C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỳ ta có:
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC '

Bài 4: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến; D là trung điểm của AM. CMR
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur
uuur
a) 2DA + DB + DC = O
b) 2OA + OB + OC = 4.OD (Với O tùy ý)
uuur uuur uuuur
uuuur
Bài 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. CMR MA + MB + MC = 3.MG (Với M bất kỳ)
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. CMR
uuur uuur
uuur
AB + CD = 2.MI

uur uuur uuur uuur uuur

Bài 7: Gọi I; J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. CMR 2IJ = AC + BD = AD + BC
uuur uuur uuuur
uuuur
Bài 8: CMR nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của ∆ ABC và ∆ A’B’C’ thì AA ' + BB ' + CC ' = 3.GG '
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi E; F là trung điểm của AB; CD và O là trung điểm của EF. Chứng

minh rằng
uuur

uuur uuur uuur uuur ur
1 uuur uuur
AC + BD
b) OA + OB + OC + OD = O
2
uuur uuur uuuur uuuur
uuuur
c) MA + MB + MC + MD = 4.MO (Với M là điểm bất kỳ)

a) EF =

(

)

Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. CMR
uuuur uuur uuur ur
AM + BN + CP = O

Bài 11: Cho 4 điểm A; B; C; D. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD. CMR
uuur uuur uuur uuur
uuuur
AD + BD + AC + BC = 4.MN

Bài 12: Cho 4 điểm A; B; C; D; I; F lần lượt là trung điểm của BC; CD. CMR
uuur
1 uuur uur uuur uuur

AB + AI + FA + DA = 3.DB
2

(

)

Hướng 4: Các bài toán liên quan tới đường tròn; tính chất của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O; trực tâm H, vẽ đường kính AD.
uuur uuur uuur
c) Chứng minh rằng HB + HC = HD
uuur uuur uuur uuuur
d) Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh rằng tứ giác HCDB là hình bình hành
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b) Chứng minh HA + HD = 2 HO ; HA + HB + HC = 2 HO ; OA + OB + OC = OH
uuur uuur
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR OH = 3OG từ đó có kết luận gì về 3 điểm O; H;
G
Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ
uuur uuur

uuur uuur

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a; AC = 2a.Tính AB + AC và AB − AC
Ths: Nguyễn Dương Thịnh

Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

uuur uuur

uuur uuur

Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB + BC và CA − CB

uuur uuur

uuur uuur

µ = 60o . Tính AB + BC và AB − AC
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và B
uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

Bài 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính AB + AC ; AB + BH và AB − AC
uuur uuur

uuur uuur

Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính BC + AB ; AB − AC theo a.
·
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và BAD
= 60o . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính

uuur uuur

uuur uuur

a) AB + AD

b) BA − BC

uuur uuur

c) OB − DC

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a và O là giao điểm của hai đường chéo. Tính
uuur uuur

uuur uuur

a) OA − CB

b) AB + DC

uuur uuur

c) CD − DA

Dạng 3: Tìm một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
uuur uuur ur
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3KA + 2 KB = O
Bài 2: Cho tam giác ABC.
uur uur ur

a) Tìm điểm I sao cho IA + 2 IB = O
uuur uuur uuur ur
b) Tìm điểm O sao cho OA + OB + OC = O
uuur uuur uuur
c) Tìm điểm K sao cho KA + 2 KB = CB
uuur uuur uuuur ur
d) Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = O
uuur uuur uuur uuur ur
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho OA + OB + OC + OD = O
Bài 4: Cho tam giác ABC.
uur uur ur
a) Tìm điểm I sao cho 2 IB + 3IC = O
uur uur uuur ur
b) Tìm điểm J sao cho JA − JB − 2 JC = O
uuur uuur uuur uuur
c) Tìm điểm K sao cho KA + KB + KC = BC
uuur uuur uuur uuur
d) Tìm điểm K sao cho KA + KB + KC = 2 BC
uur uuur uuur ur
e) Tìm điểm L sao cho 3LA − LB + 2 LC = O
uuur uuur ur
Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết 2 MA − 3MB = O
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC
= 2NA.
uuur uuur
uuur ur
a) Xác định điểm K sao cho 3 AB + 2 AC − 12 AK = O
uuur uuur
uuur ur
b) Xác định điểm D sao cho 3 AB + 4 AC − 12 KD = O

Bài 7: Cho các điểm A; B; C; D; E. Xác định các điểm O; I; K sao cho
uuur uuur uuur ur
a) OA + 2OB + 3OC = O
uur uur uur uur ur
b) IA + IB + IC + ID = O
uuur uuur uuur

(

uuur uuur

)

ur

c) KA + KB + KC + 3 KD + KE = O

Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M; N sao cho
uuur uuur ur
uuur uuur uuur
a) MA + 2MB = O
b) NA + 2 NB = CB
uuur uuur uuur uuuur
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn AB + AC + AD = 3 AM
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ths: Nguyễn Dương Thịnh


Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

uuur

uuur uuur ur

Bài 1: Cho 4 điểm O; A; B; C sao cho 3OA − 2OB − OC = O . Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng
hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên
1
3
uuur uur
uuur uuur
a) Phân tích BK ; BI theo hai vectơ BA; BC

cạnh AC sao cho AK = AC

b) Chứng minh ba điểm B; I; K thẳng hàng.
1
4

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho CI = AC và J là điểm thỏa mãn
uuur 1 uuur 2 uuur
BJ = AC − AB
2
3
uur 3 uuur uuur
a) Chứng minh rằng BI = AC − AB
4

b) Chứng minh ba điểm B; I; J thẳng hàng
uuur uuur uuur

Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho BD = DE = EC
uuur uuur uuur uuur
a) Chứng minh AB + AC = AD + AE
uuur uuur uuur uuur uuur
uur
b) Tính vectơ AS = AB + AD + AC + AE theo AI
c) Suy ra ba điểm A; I; S thẳng hàng.
uuur r uuur r
Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt AB = u; AC = v
r r
uuur
a) Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính AP theo u; v
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
uuur uuur
r r
b) Gọi Q và R là hai điểm định bởi AQ = AC ; AR = AB . Tính RP; RQ theo u; v
2
3

c) Suy ra P; R; Q thẳng hàng
uur uur ur uur uur uuur ur
Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I; J sao cho 2 IA + 3IC = O ; 5 JA + 5 JB + 3 JC = O
a) Chứng minh rằng M; N; J thẳng hàng (với M; N lần lượt là trung điểm của AB và BC
b) Chứng minh rằng J là trung điểm của BI
uur uur uur uuur ur
Bài 7: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Lấy các điểm I; J thỏa mãn IA = 2 IB ; 3 JA + 2 JC = O .
Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
uuur uuur ur uuur uuur ur uuur uuur
Bài 8: Cho tam giác ABC. Lấy 3 điểm M; N; P thỏa mãn MA + MB = O; 3 AN − 2 AC = O; PB = 2 PC .
Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I; J thỏa mãn
uur uuur uuur ur uur uur uuur ur
3 JA + 2 JC − 2 JD = O; JA − 2 JB + 2 JC = O . Chứng minh I; J; O thẳng hàng (với O là giao điểm của

AC và BD)
uuur uuuur ur uuur uuur uuur uuur ur
Bài 10: Cho tam giác ABC. Lấy điểm M; N; P sao cho MB − 3MC = O; AN = 3NC ; PA + PB = O .
Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng
uuuur uuur uuur
Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn AM = 3 AB − 2 AC . Chứng minh rằng 3 điểm M; B;
C thẳng hàng
Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB; AC sao cho
AM =

uuur uuur ur
1
MB; AN = 3NC và điểm P xác định bởi hệ thức 4 PB + 9 PC = O ; K là trung điểm của MN
2

Ths: Nguyễn Dương Thịnh


Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
uuur 1 uuur 3 uuur
a) Chứng minh rằng AK = AB + AC
6
8

b) Chứng minh ba điểm A; K; P thẳng hàng.
uuur uuur ur

Bài 13: Cho tam giác ABC. Hai điểm M; N được xác định bởi các hệ thức BC + MA = O ;
uuur uuur uuur ur
AB − NA − 3 AC = O . Chứng minh rằng MN // AC
Dạng 5: Biểu diễn một vectơ qua các vectơ không cùng phương.
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA;
uur uuur uuur uuur

AB và I là giao điểm của AD và EF Hãy phân tích các vectơ AI ; AG; DE; DC theo hai vectơ
uuur uuur
AE; AF

uuur

uuuur

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC . Hãy phân tích vectơ
uuur uuur
uuuur
AM theo hai vectơ AB; AC .

uuuur

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ AM
uuur uuur
theo hai vectơ AB; AC .

uuur uuur uuur

Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB; BC; CA
uuur uuuur

theo hai vectơ AK ; BM
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG; K là điểm trên cạnh
1
5

uur uuur uur uuur

uuur uuur

AB sao cho AK = AB . Hãy phân tích AI ; AK ; CI ; CK theo CA; CB
Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.
uuur uuur
uuur
a) Hãy phân tích vectơ AD theo hai vectơ AB; AF
r 1 uuur 1 uuur
u
b) Tính độ dài = AB + BC theo a
2
2

uuur uuur

uuuur

Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích AM theo hai vectơ AB; AC
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB; N là điểm trên cạnh AC sao cho NA =
uuur

uuur uuur

2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ AK theo AB; AC
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC =
2NA. Gọi K là trung điểm của MN
uuur uuur
uuur
a) Phân tích AK theo hai vectơ AB; AC
uuur 1 uuur 1 uuur
b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng KD = AB + AC
4
3

Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P là trung điểm của BC; CA; AB. Tính các vectơ
uuur uuur uuur
uuur uuur
AB; BC ; CA theo BN ; CP

uuur

uuur uuur

Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích AE theo hai vectơ AD; AB
Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn
uuur uuur uuuur

uuur uuur

các vectơ AH ; BH ; MH theo các vectơ AB; AC (Với M là trung điểm của BC)
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm của BO và G là trọng tâm của tam
uuur r uuur r

uur uuur

r r

giác OCD) đặt AB = a; AD = b . Hãy tính các vectơ AI ; BG theo a; b

Ths: Nguyễn Dương Thịnh


Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm, B1 là điểm đối xứng với B qua G, M là trung điểm
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur

của BC. Hãy biểu diễn các vectơ AM ; AG; BC ; CB1; AB1; MB1 qua hai vectơ AB; AC

Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài
sao cho 5 JB = 2 JC .
uur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uur uuur
a) Tính AI ; AJ theo hai vectơ AB; AC . Từ đó biểu diễn AB; AC theo AI ; AJ
uur uuur
uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo AI ; AJ

Ths: Nguyễn Dương Thịnh