đặc trưng của vành artin và vành noether

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH ARTIN
VÀ VÀNH NOETHER

Giáo viên hướng dẫn
TS. Lê Phương Thảo

Sinh viên thực hiện
Lê Thanh Hà
MSSV: 1110097
Lớp: SP Toán – Tin K37

Cần Thơ, 2015

0


KÝ HIỆU

Z
Z*
Zn
Q

N
N*
i = 1, 𝑛
M≅ N
f -1
f −1(A)
MI
M(I)
f.g,fg
𝑛

∑ 𝐴𝑖

Tập các số nguyên.
Tập các số nguyên khác 0.
Tập thương Z/nZ.
Tập các số hữu tỉ.
Tập các số tự nhiên.
Tập các số tự nhiên khác không.
Chỉ số i đi từ 1 tới n.
M đẳng cấu với N.
Ánh xạ ngược của f.
Tập tạo ảnh của A.
∏𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 Tích trực tiếp của các M môđun.
⊕i∈I M Tổng trực tiếp của các M môđun
Tích của hai ánh xạ (ñồng cấu).
Tổng các phần tử Ai với i đi từ 1 đến n.

𝑖=1

A⊃B
A⊇B
A⊂B
A⊆B
{Mi}i∈I
e

A chứa B và A ≠ B
A chứa B và A có thể trùng với B
A là tập con của B và A ≠ B.
A là tập con của B và A có thể trùng với B.
Họ các tập Mi .
Trung tâm của lũy đẳng.

1


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này bên cạnh nỗ lực của bản thân thì em cần phải được trang
bị đầy đủ những kiến thức cần thiết và sự giúp đỡ của thầy cô trong quá trình nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa sư phạm bộ môn toán trường đại học
Cẩn Thơ đã tận tình dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức bổ ích trong suốt bốn năm
đại học. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô Lê Phương Thảo đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Tuy đã được Cô hướng dẫn tận tình, và bản thân em cũng đã cố gắng rất nhiều, nhưng
do kiến thức vẫn còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Mong quý
thầy cô và các bạn đọc thông cảm và đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn!

Em xin chân thành cảm ơn!
Cần thơ, ngày 21 tháng 4 năm 2015

Sinh viên Lê Thanh Hà.

2


MỤC LỤC
Ký hiệu.......................................................................................................................1
Phần mở đầu..............................................................................................................6
Phần nội dung............................................................................................................8
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị ...............................................................................8
Chương 2: Vành Artin............................................................................................19
2.1 Mô đun Artin.......................................................................................................19
2.1.1
Định nghĩa...........................................................................................19
2.1.2
Định lí.................................................................................................19
2.1.3
Hệ quả.................................................................................................20
2.1.4
Hệ quả.................................................................................................20
2.2 Đặc trưng môđun Artin.......................................................................................21
2.2.1
Mệnh đề..............................................................................................21
2.2.2
Định nghĩa...........................................................................................21
2.2.3
Định lí................................................................................................22
2.3 Vành Artin...........................................................................................................23
2.3.1
Mệnh đề .............................................................................................23

2.3.2
Định lí.................................................................................................23
2.4 Sự phân tích nội xạ trên vành Artin....................................................................23
2.4.1
Định nghĩa...........................................................................................23
2.4.2
Định lí.................................................................................................23
2.5 Căn của vành Artin.............................................................................................24
2.5.1
Định lí.................................................................................................24
2.5.2
Định nghĩa...........................................................................................25
2.5.3
Mệnh đề..............................................................................................25
2.5.4
Mệnh đề..............................................................................................25
2.5.5
Hệ quả.................................................................................................25
2.5.6
Định nghĩa...........................................................................................26
2.5.7
Hệ quả.................................................................................................26
2.5.8
Định nghĩa...........................................................................................26
2.5.9
Mệnh đề..............................................................................................26
2.5.10
Định lí.................................................................................................26
2.5.11
Mệnh đề..............................................................................................27

2.5.12
Định lí..................................................................................................27
2.6 Các bài tập về vành Artin....................................................................................27
Chương 3: Vành Noether.......................................................................................31
3


3.1 Môđun Noether...................................................................................................31
3.1.1
Định nghĩa ..........................................................................................31
3.1.2
Định lí.................................................................................................31
3.1.3
Hệ quả.................................................................................................32
3.1.4
Hệ quả.................................................................................................32
3.1.5
Bổ đề...................................................................................................32
3.1.6
Ví dụ....................................................................................................32
3.2 Đặc trưng của môđun Noether............................................................................33
3.2.1
Định lí.................................................................................................33
3.3 Vành Noether......................................................................................................34
3.3.1
Định lí.................................................................................................34
3.3.2
Hệ quả.................................................................................................35
3.4 Căn của vành Noether.........................................................................................35
3.4.1

Mệnh đề..............................................................................................35
3.4.2
Mệnh đề..............................................................................................36
3.4.3
Mệnh đề..............................................................................................37
3.5 Sự phân tích nội xạ trên vành Noether................................................................37
3.5.1
Bổ đề...................................................................................................37
3.5.2
Hệ quả.................................................................................................38
3.5.3
Bổ đề...................................................................................................38
3.5.4
Định lí.................................................................................................38
3.6 Định lí Jordan – Hölder.......................................................................................39
3.6.1
Định nghĩa...........................................................................................39
3.6.2
Định lí.................................................................................................39
3.6.3
Mệnh đề..............................................................................................40
3.6.4
Định lí.................................................................................................41
3.6.5
Định nghĩa...........................................................................................41
3.6.6
Mệnh đề..............................................................................................41
3.6.7
Mệnh đề..............................................................................................43
3.6.8

Mệnh đề..............................................................................................43
3.7 Định lí cơ sở Hilbert...........................................................................................43
3.7.1
Định lí.................................................................................................43
3.7.2
Hệ quả.................................................................................................44
3.8 Tiêu chuẩn để một vành trở thành vành Noether. ..............................................44
3.8.1
Định lí.................................................................................................44
3.8.2
Hệ quả.................................................................................................45
3.8.3
Ví dụ....................................................................................................45
3.9 Vành nửa nguyên tố............................................................................................46
3.9.1
Định nghĩa...........................................................................................46
3.9.2
Định lí.................................................................................................46
4


3.9.3
Hệ quả.................................................................................................47
3.9.4
Mệnh đề..............................................................................................47
3.10 Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether.....................................................47
3.10.1

Định nghĩa...........................................................................................47

3.10.2

Bổ đề...................................................................................................47

3.10.3

Bổ đề...................................................................................................47

3.10.4

Định lí.................................................................................................48

3.10.5

Định lí.................................................................................................48

3.11 Các bài tập về vành Noether.............................................................................48
Kết luận....................................................................................................................55
Tài liệu tham khảo...................................................................................................56

5


PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Trong suốt bốn năm học Đại học thì những môn học về môđun và vành là những
môn học mà em yêu thích nhất, nó có sự cuốn hút với em bởi phong cách giảng dạy
của thầy cô và sự thú vị từ những kiến thức mới lạ mà môn học mang lại.
Với xu hướng ngày nay thì sinh viên phải tự học là chính do đó nó đòi hỏi sinh

viên phải tự nghiên cứu lí thuyết và giải bài tập áp dụng. Đối với môn học này thì
rất ít tài liệu được viết bằng tiếng việt và ít sách trình bày cụ thể phần bài tập cho
sinh viên tham khảo.
Được sự cho phép của giáo viên hướng dẫn, em chọn đề tài “ Đặc trưng vành Artin
và vành Noether” để làm luận văn nhằm tìm hiểu thật rõ những khái niệm, tính chất
cơ bản nhất, đặc trưng của vành Artin và Noether áp dụng vào giải các bài tập cơ
bản.
Với mong muốn của mình em hy vọng có thể giúp ích cho các bạn sinh viên mới,
bước đầu làm quen với các môn học về môđun và vành. Các bạn có thể tham khảo
thêm hệ thống các tính chất, đặc trưng và bài tập trong luận văn này, thông qua
những lời giải và chú ý các bạn có thể hiểu sâu và rộng thêm lí thuyết cũng như
những kĩ thuật chứng minh đa dạng qua các lời giải.
II. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những khái niệm, tính chất, định lí, đặc trưng
và bài tập cơ bản nhất về môđun, vành Artin, vành Noether.
II. Mục đích và nội dung nghiên cứu
Nhằm tìm hiểu thật kĩ những khái niệm, tính chất cơ bản, đặc trưng về vành Artin
và vành Noether và áp dụng các kiến thức đó để giải các bài tập.
Nội dung đề tài bao gồm 3 phần. Phần I là phần kiến thức chuẩn bị. Phần II là các
khái niệm, tính chất, đặc trưng và một số bài tập ứng dụng về vành Artin. Phần III
là các khái niệm, tính chất, đặc trưng và một số bài tập ứng dụng về vành Noether.
Hệ thống lí thuyết và bài tập này được em tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu khác
nhau và sắp xếp lại theo một trình tự.
VI. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là sưu tầm tài liệu, trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp và
hệ thống lại các kiến thức, bài tập liên quan đến môđun, vành Artin và vành Noether.
Cuối cùng là giải các bài tập liên quan và trình bày lời giải cụ thể, rõ ràng cho các
bài tập.
V. Các bước thực hiện
- Nhận đề tài, tìm tài liệu liên quan.

6


- Nghiên cứu tài liệu.
- Lập đề cương chi tiết.
- Xin ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
- Thực hiện đề tài.
- Trình bày luận văn.

7


PHẦN NỘI DUNG
Trong toàn bộ luận văn này khi nói tới vành thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị
1 ≠ 0. (ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt đã nêu trong luận văn)

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN
1.1 Định nghĩa môđun
Cho vành R. Nhóm Abel (M,+) được gọi là R-môđun hay môđun trên R nếu tồn tại
phép toán ngoài (⋅): R×M → M thoả các điều kiện sau:
(a, m) ↦ a.m = am
1/ ∀m ∈ M
1m = m (1 là phần tử đơn vị của R)
2/ ∀a,b ∈ R,∀m ∈ M
(a + b)m = am + bm
3/ ∀a,b ∈ R,∀m ∈ M

(ab)m = a(bm)

4/ ∀a ∈ R,∀m1,m2 ∈ M

a(m1 + m2 ) = am1 + am2

Ta thường gọi tắt là “R-môđun M” hay “M là R-môđun”.
Vành R được gọi là vành hệ tử của môđun.
1.2 Tính chất
Cho M là R-môđun. Khi đó :
0m = 0, a0 = 0
1/ ∀m ∈ M ,∀a ∈ R
(-a)m = a(-m) = -(am)
2/ ∀a ∈ R,∀m ∈ M
(a − b)m = am − bm
3/ ∀a,b ∈ R,∀m ∈ M
a(m1 − m2 ) = am1−am2
4/ ∀a ∈ R,∀m1,m2 ∈ M
1.3 Linh hóa tử
Cho M là R-môđun. Khi đó tập hợp Ann(M) ={a ∈ R | ax = 0,∀x ∈ M} được gọi là
linh hoá tử của môđun M.
Với x ∈ M tập Ann(x) ={a ∈ R |ax = 0} được gọi là linh hoá tử của x.
Ta có Ann(M) là một ideal của R và với x ∈ M thì Ann(x)là một ideal của Ann(M).
Xét phép toán ngoài R/Ann(M)×M → M
(𝑎, m) ↦ am
Khi đó ta có thể kiểm tra được M là R/Ann(M)-môđun và Ann(M) ={0}.
M được gọi là R-môđun trung thành nếu Ann(M) ={0}.
Như vậy M là R/Ann(M)-môđun trung thành.
MÔĐUN CON – MÔĐUN THƯƠNG

1.4 Định nghĩa môđun con

8


Cho M là R-môđun và N là tập con khác rỗng của M. N được gọi là R-môđun con
của M hay môđun con của M nếu hai điều kiện sau thoả :
1/ ∀n1, n2 ∈ N
ta có n1+ n2 ∈ N
2/ ∀n ∈ N,∀a ∈ R ta có
an ∈ N
Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau :
∀n1, n2 ∈ N, ∀a1, a2 ∈ R ta có a1n1 +a2n2 ∈ N
Khi N là môđun con của M thì ta kí hiệu N ≤ M .
1.5 Tính chất
Cho M là R-môđun. Khi đó:
1/ Nếu N ≤ M và P ≤ N thì P ≤ M
2/ Nếu N ≤ M và P ⊂ N và P ≤ M thì P ≤ N
3/ Giao của một họ tuỳ ý các môđun con của M là môđun con của M.
Chú ý
Hợp của một họ tuỳ ý khác rỗng các môđun con của M chưa chắc là môđun con
của M.
Một số tính chất của linh hóa tử
Cho các R-môđun M và N. Khi đó:
1/ Nếu M ≤ N thì Ann(N) ⊲ Ann(M)
2/ Ann(M + N) = Ann(M) ∩
Ann(N)
3/ Ann(M) = ⋂𝑥∈𝑀 𝐴𝑛𝑛(𝑥).
4/ Nếu M ≅ N thì Ann(M) = Ann(N).
5/ Nếu I là Ideal của R thì Ann(R/I) = I .

1.6 Định nghĩa (Môđun con sinh bởi một tập)
Giả sử X là một tập con của R-môđun M. Xét họ tất cả các môđun con chứa X. Khi
đó giao của tất cả các môđun con chứa X là một môđun con chứa X và môđun này
chính là môđun con bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa X. Môđun này được gọi
là môđun con sinh bởi tập X và X được gọi là tập sinh hay hệ sinh. Kí hiệu là 〈X〉
hay (X). Nếu 〈X〉 = M thì M được gọi là môđun sinh bởi X. Một môđun có thể có
nhiều tập sinh.
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là R-môđun hữu hạn sinh.
Nếu M không có một hệ sinh hữu hạn nào thì được M được gọi là môđun vô hạn
sinh.
Đặc biệt khi M có hệ sinh gồm một phần tử thì M được gọi là môđun xyclic.
1.7 Mệnh đề
Giả sử X ={xi}i∈I là một tập con của R-môđun M. các mệnh đề sau là tương đương:
1/ N là môđun con sinh bởi tập X.
2/ N = {∑𝑖 ∈ 𝐼 𝑎𝑖 𝑥𝑖 | 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, 𝑎𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 ℎầ𝑢 ℎế𝑡 𝑖 ∈ 𝐼 }
9


1.8 Định nghĩa
Giả sử {Mi}𝑖 ∈𝐼 là một họ tuỳ ý các môđun con của R-môđun M. Khi đó môđun con
sinh bởi tập ⋃𝑖 ∈ 𝐼 𝑀𝑖 được gọi là tổng của họ các môđun con {Mi}i∈I và được kí hiệu
là ∑𝑖 ∈ 𝐼 𝑀𝑖 .
Như vậy : ∑𝑖 ∈ 𝐼 𝑀𝑖 = 〈 ⋃𝑖 ∈ 𝐼 𝑀𝑖 〉 = {∑𝑖 ∈ 𝐽 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐽, với J ⊂ I và J hữu
hạn}.
Nếu tổng của họ môđun con hữu hạn {𝑀1 , 𝑀2 , … , 𝑀𝑛 } thì ta kí hiệu là ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 .
1.9 Môđun thương
Cho M là R-môđun và N là một môđun con của M. Khi đó (N,+) là nhóm con chuẩn
tắc của nhóm Abel (M,+). Do đó nhóm thương M/N hoàn toàn được xác định là một
nhóm cộng Abel.
Phép cộng này là (+): M / N×M / N → M / N

(x + N, y+ N) ↦ (x + N)+(y+ N) = (x + y)+ N
Ta định nghĩa phép toán ngoài sau (⋅): R×M / N → M / N
(a, x + N) ↦ a.(x + M) = ax + M
Ta có thể dễ dàng kiểm tra định nghĩa phép toán trên hoàn toàn đúng đắn và thoả
mãn các điều kiện của một R-môđun. Vậy M/N là một R-môđun và được gọi là
môđun thương của M theo môđun con N, hay gọi tắt là môđun thương.
1.10
Mệnh đề
Các điều kiện sau là tương đương với A – môđun M:
(a) M là tổng của các môđun con đơn giản.
(b) M là môđun nửa đơn.
(c) Bất kỳ môđun con N của M là một tổng trực tiếp trong M, ….Tức là tồn tại
một môđun con N’ ⊂ M sao cho M = N ⊕ N’.
Hơn nữa, bất kỳ môđun con và bất kì môđun thương của môđun nửa đơn là môđun
nửa đơn.
ĐỒNG CẤU MÔĐUN
1.11

Định nghĩa

Cho M, N là các R-môđun. Một ánh xạ f :M → N được gọi là đồng cấu R-môđun
hay R-đồng cấu (nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể gọi tắt là đồng cấu) nếu thoả các
điều kiện sau :
1/ ∀m1, m2 ∈ M
f(m1 + m2 ) = (m1)+f(m2)
2/ ∀a ∈ R,∀m ∈ M f(am) = af(m).
Chú ý: Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:
∀a,b ∈ R, ∀m1, m2 ∈ M f(am1 + bm2 ) = af(m1)+ bf(m2 ).
Nếu đồng cấu f: M → M thì f được gọi là tự đồng cấu.
10

Đồng cấu R-môđun f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn
ánh, song ánh).
Cho M, N là các R-môđun . Nếu ta có một R-đẳng cấu f: M → N thì ta nói M và N
đẳng cấu với nhau và kí hiệu là M ≅ N.
Quan hệ đẳng cấu giữa các môđun là quan hệ tương đương.
1.12
Một số đồng cấu thông dụng
1/ Cho M, N là các R-môđun. Khi đó xét R- đồng cấu f: M → N
m↦0
đồng cấu này được gọi là đồng cấu tầm thường hay là đồng cấu không. Kí hiệu 0 .
2/ Cho M ≤ N khi đó ánh xạ i: M → N là đơn cấu.
m↦m
đơn cấu này được gọi là phép nhúng tự nhiên.
đặc biệt khi M ≡ N thì ánh xạ i chính là ánh xạ đồng nhất lM và lM chính là tự đẳng
cấu. Ta gọi là đồng cấu đồng nhất.
3/ Cho N ≤ M . Xét môđun thương M / N và ánh xạ p: M → M / N
m↦m+N
Khi đó p là một toàn cấu và toàn cấu này được gọi là toàn cấu chính tắc hay là phép
chiếu tự nhiên của môđun M lên môđun thương M / N .
1.13
Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu
Cho M, N là các R-môđun, f :M → N là R-đồng cấu. Khi đó:
1/ Nếu M′ là môđun con của M thì f(M′) là môđun con của N.
2/ Nếu N′ là môđun con của N thì f -1(N′) là môđun con của M.
Tập Imf = f(M) ={n ∈ N | ∃ m ∈ M: f(m) = n} là một môđun con của N, được gọi là
ảnh của đồng cấu f. đồng cấu f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = N
Tập Kerf = f -1(0) ={x ∈ M | f(x) = 0} là một môđun con của M, được gọi là hạt
nhân của đồng cấu f. Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf ={0}.

1.14
Một số tính chất của đồng cấu
1/ Nếu f : M → N là một đồng cấu thì f(0) = 0 và f(-x) = -f(x), ∀x ∈ M
2/ Tích của hai đồng cấu R-môđun là một đồng cấu R-môđun.
3/ Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
4/ Nếu g.f là toàn cấu thì g là toàn cấu. Nếu g.f là đơn cấu thì f là đơn cấu.
5/ Nếu g.f là đẳng cấu thì g là toàn cấu và f là đơn cấu.
6/ Nếu f : M → N là một đẳng cấu thì ánh xạ ngược f -1 cũng là một đẳng cấu.
7/ Nếu M ≤ N và phép nhúng tự nhiên i: M → N là đẳng cấu thì M = N .
8/ Nếu N ≤ M và toàn cấu chính tắc p: M → M / N là đồng cấu 0 thì M = N .
Chú ý:
Từ M ≤ N và M ≅ N ta không thể suy ra được M ≡ N.
1.15
Định lí đồng cấu môđun tổng quát
Cho M, N, P là các R-môđun. f: M → N là toàn cấu và g: M → P là đồng cấu Rmôđun. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương :
11


1/ Kerf ⊂ Kerg
2/ Tồn tại duy nhất một đồng cấu h: N → P sao cho h.f = g.
Chú ý: Trong định lý đồng cấu tổng quát trên thì
1/ Đồng cấu h là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf =
Kerg.
2/ Đồng cấu h là toàn cấu khi và chỉ khi g là toàn cấu.
Hệ quả
Giả sử f: M → N là đồng cấu. Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu
f: M/Kerf → Imf sao cho f = f.p với p là phép chiếu tự nhiên của môđun M lên
môđun thương M/Kerf . Đặc biệt nếu f là toàn cấu thì M/Kerf ≅ N.
1.16
Các định lí đồng cấu môđun

1/ Định lí 1
Cho M, N là các R-môđun X. Khi đó (M + N)/N ≅ M/(M ∩ N) .
2/ Định lí 2
Cho M là R-môđun và N ≤ M, P ≤ N . Khi đó M/N ≅ (M/N) (M/P).
3/ Định lí 3
Giả sử M1, M2, N là những môđun con của một A – môđun M với M1 ⊆ M2. Khi đó
ta có:
(𝑀2 + 𝑁)/(𝑀1 + 𝑁) ≅ 𝑀2 /(𝑀1 + 𝑀2 ∩ 𝑁).

1.17
Môđun các đồng cấu
Cho M, N là các R-môđun. Tập hợp tất cả các R- đồng cấu từ M đến N được ký hiệu
là HomR (M, N) (hoặc Hom(M, N) nếu không có gì nhầm lẫn).
Tập hợp tất cả các tự đồng cấu của M được ký hiệu là EndM .
Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của M được ký hiệu là AutM .
Do các đồng cấu là ánh xạ nên HomR (M, N) là nhóm Abel với phép cộng sau:
(+): HomR (M, N)×HomR (M, N) → HomR (M, N)
(f, g) ↦ f +g , trong đó (f +g)(x) = f(x)+g(x),∀x ∈ M
Xét phép toán ngoài (.): R×HomR (M, N) → HomR (M, N)
(a, f) ↦ af trong đó (af)(x) = af(x),

∀ x ∈ M.
Khi đó ta có thể kiểm tra được với phép toán này thì HomR (M, N) là một
R-môđun.
1.18
Mệnh đề
Cho M là R-môđun. Khi đó Hom(R,M) ≅ M.
TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP
12

1.19

Định nghĩa tích trực tiếp

Cho họ các 𝑅-môđun {𝑀𝑖}𝑖 ∈ 𝐼 . Khi đó tích Descartes ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 cùng với hai phép
toán :
Phép cộng : (+):∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 × ∏𝑖𝜖 𝐼 𝑀𝑖 → ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖
((mi) i∈ I , (m′i ) i∈ I) ↦ (mi + m′i ) i∈ I
Phép nhân : ( . ): R × ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 → ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖
(a, (mi )i∈ I ) ↦ a.(mi )i∈ I = (ami )i∈ I
Là một R-môđun.
Môđun ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 được gọi là tích trực tiếp của họ môđun {Mi}i∈I .
Trong trường hợp các Mi = M, ∀i ∈ I thì khi đó ta còn kí hiệu tích trực tiếp của họ
môđun {Mi} i∈ I là M I.
Nếu như tập chỉ số I ={1,2,..., n} với n ∈ 𝑁 ∗ thì ta có thể viết M1 ×M2 ×...×Mn thay
cho
∏𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 và nếu M1 = M2 = ...= Mn = M thì ta có thể kí hiệu là M n thay cho M I .
Với mỗi j ∈ I, ánh xạ pj : ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 → M j là một R-toàn cấu
(mi )i∈I ↦ mj
và được gọi là phép chiếu chính tắc chỉ số j (hay ngắn gọn là phép chiếu chính tắc)
Ánh xạ ij : M j → ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 là một R-đơn cấu.
𝑚 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑘
mk ↦ (mi )i∈I trong đó mi = { 𝑘
.
0 𝑛ế𝑢 𝑖 ≠ 𝑘
và được gọi là phép nhúng chính tắc chỉ số j (hay ngắn gọn là phép nhúng chính
tắc).
1.20
Định lí (Tính chất phổ dụng của tích trực tiếp)

Cho họ các R-môđun{Mi}i∈I . Khi đó với mọi R-môđun M và mọi họ các R-đồng cấu
{fi}i∈ I với fi: M → Mi ,∀i ∈ I thì tồn tại duy nhất một R-đồng cấu
f: M → ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 sao cho
fi = pi.f ,∀i ∈ I.(pi là các phép chiếu)
1.21
Tích trực tiếp các đồng cấu
Cho họ các R-môđun {Mi}i∈ I, {Ni}i∈ I và họ các R- đồng cấu {fi}i∈ I với fi : Mi → Ni
với i ∈ I
Khi đó tương ứng f : ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 → ∏𝑖𝜖𝐼 𝑁𝑖 là một R-đồng cấu.
(mi )i∈ I ↦ (fi (mi ))i∈ I
Đồng cấu này được gọi là tích trực tiếp của họ đồng cấu {fi}i∈ I và được kí hiệu
∏𝑖𝜖𝐼 𝑓𝑖 .
1.22
Định nghĩa tổng trực tiếp
Cho họ các R-môđun {Mi}i∈ I . Khi đó tập
13


M ={(mi )i∈ I ∈ ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 | mi = 0 với hầu hết i ∈ I} là một môđun con của ∏𝑖𝜖𝐼 𝑀𝑖 .
Môđun M được gọi là tổng trực tiếp (tổng trực tiếp ngoài) của họ môđun {Mi}i∈ I và
được kí hiệu là ⊕𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 .
Trong trường hợp các Mi = M, ∀i ∈ I thì khi đó ta còn kí hiệu tổng trực tiếp của họ
môđun {Mi}i∈ I là M(I).
Khi tập I là tập hữu hạn thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ môđun {Mi}i∈ I là
trùng nhau. Còn khi I là tập vô hạn thì chúng hoàn toàn khác nhau.
Nếu như tập chỉ số I ={1,2,...,n} với n ∈ 𝑁 ∗ thì ta có thể viết M1 ⊕ M2 ⊕...⊕ Mn
thay cho ⊕ni=1 Mi . Và nếu M1 = M2 = ...= Mn = M thì ta có thể kí hiệu là M n thay
cho M (I) .
Với mỗi k ∈ I , ánh xạ jk : Mk → ⊕𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 là một R- đơn cấu
𝑚 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑘

mk ↦ (mi )i∈ I trong đó, mi = { 𝑘
.
0 𝑛ế𝑢 𝑖 ≠ 𝑘
Và được gọi là phép nhúng chính tắc chỉ số k. Ta có thể thấy phép nhúng này giống
như phép nhúng trong tích trực tiếp.
Ánh xạ pk : ⊕𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 → Mk là một R-toàn cấu
(mi )i∈ I ↦ mk (hầu hết các mi = 0 )
Và được gọi là phép chiếu chính tắc chỉ số k.
1.23
Định lí ( tính chất phổ dụng của tổng trực tiếp)
Cho họ các R-môđun {Mi}i∈ I . Khi đó với mọi R-môđun M và mọi họ các R-đồng
cấu {fi}i ∈ I với fi: Mi → M,∀i ∈ I thì tồn tại duy nhất một R- đồng cấu
f : ⊕𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 → M sao cho fk = f.jk ,∀ k ∈ I .( jk là các phép nhúng)
1.24
Tổng trực tiếp các đồng cấu
Cho họ các R- môđun {Mi}i∈ I, {Ni}i∈ I và họ các R-đồng cấu {fi}i∈ I với fi :Mi → Ni
với i ∈ I
Khi đó tương ứng f : ⊕𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 → ⊕𝑖∈ 𝐼 𝑁𝑖 là một R- đồng cấu.
(mi )i∈ I ↦ (fi (mi ))i∈ I (hầu hết các mi = 0 )
Đồng cấu này được gọi là tổng trực tiếp của họ đồng cấu {fi}i∈ I và được kí hiệu là
⊕𝑖∈ 𝐼 𝑓𝑖 .
1.25
Định nghĩa tổng trực tiếp trong
Cho họ các môđun con {Mi}i∈ I của R- môđun M.
Nếu M = ∑i∈ I Mi và M j ∩ ∑i≠j Mi ={0} với ∀j ∈ I thì M được gọi là tổng trực tiếp
trong của họ môđun con {Mi}i∈ I .
1.26
Mệnh đề
R- môđun M là tổng trực tiếp trong của họ môđun con {Mi}i∈I khi và chỉ khi ánh xạ
14

f : ⊕𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 → M là đẳng cấu.
(mi )i∈ I ↦ ∑𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 (hầu hết các mi = 0 )
Do mệnh đề trên nên ta có thể xem tổng trực tiếp trong như là một tổng trực tiếp.
Như vậy, sau này ta chỉ gọi đơn giản là tổng trực tiếp và kí hiệu là ⊕𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 . Tùy
trường hợp mà ta hiểu theo nghĩa tổng trực tiếp ngoài hay tổng trực tiếp trong.
Hệ quả
1/ Cho họ các môđun con {Mi}i∈ I của R- môđun M và M = ∑i∈ I Mi . Khi đó M =
⊕𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 khi và chỉ khi ∑𝑖∈ 𝐼 𝑚𝑖 ∈ ∑𝑖∈ 𝐼 𝑀𝑖 (với hầu hết các mi = 0 ) sao cho
∑𝑖∈𝐼 𝑚𝑖 = 0 thì mi = 0 với ∀i ∈ I .
2/ Cho họ các môđun con {Mi}i∈ I của R-môđun M. Khi đó M = ⊕𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 khi và chỉ
khi mỗi phần tử x ∈ M được viết duy nhất dưới dạng x = ∑𝑖∈𝐼 𝑚𝑖 , mi ∈ Mi và hầu
hết các mi = 0.
1.27
Định nghĩa
Cho M là R- môđun và N ≤ M . Khi đó N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu
tồn tại N′ ≤ M sao cho M = N ⊕ N′ và kí hiệu là N | M . N′ được gọi là môđun con
phụ của N trong M hay là phần bù của N trong M.
1.28
Đặc trưng của hạng tử trực tiếp
Cho M là R-môđun và N ≤ M . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
1/ N | M.
2/ Tồn tại f ∈ EndM sao cho f 2 = f và N = Imf .
3/ Tồn tại g ∈ Hom(M, N) sao cho g(n) = n với ∀n ∈ N.
1.29
Mệnh đề
Cho M là A – môđun tùy ý. Khi đó:
𝑟𝑎𝑑(⊕𝛼∈ 𝐼 𝑀𝛼 ) = ⊕𝛼∈ 𝐼 𝑟𝑎𝑑𝑀𝛼
1.30

Định lí
Cho các đồng cấu R-môđun f: M → N và g: N → P . Khi đó nếu gf là đẳng cấu thì
Imf và Kerg là hạng tử trực tiếp của N và N = Imf ⊕ Kerg.
MÔĐUN HỮU HẠN SINH
1.31

Mệnh đề

Ảnh đồng cấu của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn
sinh.
Hệ quả:
Môđun thương của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh.
1.32
Mệnh đề
Nếu M1, M2,..., Mn (n ∈ ℕ) là các R-môđun hữu hạn sinh thì ⊕𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 cũng vậy.
Hệ quả:
Cho vành R. Khi đó R là R-môđun hữu hạn sinh với hệ sinh là
{1}
15


Đặt ε1 = (1, 0, ..., 0) , ε2 = (0, 1, ..., 0),…,εn = (0, 0, ..., 1). Khi
đó Rn là môđun hữu hạn sinh với hệ sinh là {𝜀𝑖 }𝑖=1,𝑛 .
Mở rộng: Với một tập I nào đó thì R(I) có hệ sinh là
1 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗
X ={εi | εi = (δij)j∈ I, i ∈ I} với (δij)j∈ I = {
0 𝑛ế𝑢 𝑖 ≠ 𝑗
Hệ sinh này được gọi là hệ sinh chính tắc.
CÁC KẾT QUẢ KHÁC
1.33

Mệnh đề

Mỗi môđun hữu hạn sinh M ≠ {0} đều chứa môđun con tối đại.
1.34
Định lí
Cho M là R- môđun hữu hạn sinh, A là Ideal của R.φ ∈ End(M) sao cho Imφ ⊂ AM.
Khi đó tồn tại n ∈ 𝑁 ∗ , a1, a2, ..., an ∈ R sao cho φn + a1φn−1 +...+ an−1φ + an = 0 .
Đặc biệt nếu AM = M thì tồn tại phần tử x ≡ 1 (mod A) sao cho xM = 0, x ≡ y (mod
A) được gọi là x đồng dư với y theo ideal A khi và chỉ khi x – y ∈ A.
Chú ý :
Ta có một cách phát biểu khác của định lý trên là :
Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, A là ideal của R. Giả sử ∃ a ∈ A sao cho aM ⊂
AM .
Khi đó tồn tại n ∈ 𝑁 ∗ , a1, a2 , ..., an ∈ R sao cho an +a1an−1 +...+ an−1a + an = 0.
Đặc biệt nếu AM = M thì tồn tại phần tử a ∈ A sao cho 1+ a ∈ Ann(M).
1.35
Bổ đề Zorn – Kuratowski
Cho P là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong P có cận trên
trong P thì P có phần tử tối đại.
1.36
Mệnh đề
Căn của một vành là ideal hai phía R lớn nhất trong tất cả các ideal hai phía I sao
cho 1 – i là khả nghịch với i ∈ I.
1.37
Mệnh đề
Vành Mn(D) (trong đó D là vành thương) là đơn giản.
1.38
Hệ quả (Nullstellensatz)
Cho k là một vành và B là k – đại số hữu hạn sinh. Nếu B là một trường thì nó là

một phần đại số mở rộng hữu hạn của k.
1.39
Định lí
Nếu A – môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành
của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun
con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có
thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
1.40
Định lí
Các mệnh đề sau là tương đương trên vành A:
16


(a) A là vành nửa đơn phải.
(b) A là vành nửa đơn trái.
(c) Bất kỳ A – môđun phải M là nửa đơn.
(d) Bất kỳ A – môđun trái M là nửa đơn.
1.41
Định lí
Một vành Artin phải A là vành Noether phải.
1.42
Mệnh đề
Mọi vành Artin đều có hữu hạn ideal tối đại.

17


Chương 2

VÀNH ARTIN

2.1 MÔĐUN ARTIN
2.1.1
Định nghĩa
1) Ta nói dây chuyền (hay chuỗi) các môđun con của môđun MR
… 𝐴𝑖−1 ⊂ 𝐴𝑖 ⊂ 𝐴𝑖+1 ⊂ ⋯
là ổn định (hay dừng) nếu nó chỉ chứa một số hữu hạn các Ai khác nhau.
2) R – môđun phải M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun
con của nó đều có phần tử tối tiểu.
3) Vành R được gọi là Artin phải nếu môđun R R là Artin.
Chú ý: Các môđun Artin còn được gọi là môđun với điều kiện tối tiểu.
2.1.2
Định lí
Giả sử A là môđun con của môđun M. Các điều kiện sau là tương đương:
(a) M là Artin.
(b) A và M/A là Artin.
(c) Mọi chuỗi giảm 𝐴1 ⊃ 𝐴2 ⊃ 𝐴3 ⊃ ⋯ những môđun con của M đều dừng.
Chứng minh.
(a)  (b) . Do mỗi tập hợp khác rỗng những môđun con trong A là tập hợp

khác rỗng trong môđun M nên trong tập hợp này có phần tử tối tiểu. Bởi vậy A là
môđun Artin.
Bây giờ ta chứng minh M/A là Artin. Giả sử
p: M  M/A
là phép chiếu chính tắc và  ={ B i i  } là một tập hợp khác rỗng những môđun
con trong M/A. Khi đó trong M tập hợp các môđun con { p 1 Bi i  } có phần tử tối
tiểu p 1 Bi , với B i là phần tử tối tiểu trong  . Do đó M/A Artin.
(b)  (c). Giả sử 𝐴1 ⊃ 𝐴2 ⊃ 𝐴3 ⊃ ⋯ là một chuỗi giảm các môđun con

trong M.

Đặt
  { Ai i  1, 2…}
p  { pAi i = 1, 2 …}

𝛤𝐴 = 𝐴𝑖 ∩ 𝐴 | i = 1, 2 …}.
Theo giả thuyết, trong p và A tồn tại các phần tử tối tiểu, tương ứng là pA r và
As  A . Với n = min(r, s) ta có

pA n = pA ni , A n  A  Ani  A , i= 1, 2, …
Từ pA n = pA ni suy ra A n + A = A ni + A. Theo luật môđula
An  ( An  A)  An  ( Ani  A)  An
 Ani  ( A  An )  Ani  ( A  Ani )  Ani .
18


Điều này chứng tỏ dãy ban đầu dừng.
(c)  (a) . Giả sử ngược lại, trong M có một tập hợp khác rỗng  của những
môđun con và tập này không chứa phần tử tối tiểu. Khi đó đối với mỗi A   tìm
được A'  sao cho A  A' , A  A' . Từ đó (do tiên đề chọn) ta được một chuỗi giảm
(nghiêm ngặt) vô hạn
𝐴 ⊃ 𝐴′ ⊃ 𝐴" ⊃ ⋯
Điều này trái với giả thuyết (c).
2.1.3
Hệ quả
Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Artin thì nó lại là Artin.
Chứng minh.
n

Giả sử M =

 A . Ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n. Với n = 1 mệnh đề
i 1

i

là hiển nhiên. Giả thiết rằng mệnh đề đúng với n-1. Khi đó môđun con
𝑛−1

𝐿 = ∑ 𝐴𝑖
𝑖=1

là Artin. Theo định lí về đẳng cấu ta có:

M / An  ( L  An ) / An  L / L  An .
Nếu L Artin thì L/L  An Artin và do đó M/A n cũng vậy. Khi đó M là Artin.
2.1.4
Hệ quả
Nếu vành R là Artin phải và M là R – môđun hữu hạn sinh thì M là Artin.
Chứng minh.
Với mỗi a ∈ M xét ánh xạ
𝜑𝑎 : 𝑅 → 𝑀
𝑟 ↦ 𝑎𝑟
Rõ ràng  a là một đồng cấu R – môđun. Khi đó

R / Kera  Ima  aR.
Từ đó suy ra rằng nếu môđun

RR là

Artin thì cả aR cũng là Artin. Bây giờ giả sử

{a1, a2, a3,...,an} là hệ sinh của M,
𝑛

𝑀 = ∑ 𝑎𝑖 𝑅
𝑖=1

Khi đó mệnh đề của chúng ta được suy ra từ hệ quả 2.1.3.
2.2 ĐẶC TRƯNG MÔĐUN ARTIN
2.2.1
Mệnh đề
R – môđun M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập {𝐴𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼} các môđun con
của M, thỏa mãn
𝑀 = ∑ 𝐴𝑖
𝐼

19


đều tồn tại một tập con hữu hạn 𝐼0 ⊂ 𝐼 sao cho
𝑀 = ∑ 𝐴𝑖 .
𝐼0

Chứng minh.
(⇒) Giả sử M là hữu hạn sinh,
𝑀 = 𝑢1 𝑅 + 𝑢2 𝑅 + 𝑢3 𝑅 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑅
Do 𝑀 = ∑𝐼 𝐴𝑖 nên mỗi phần tử uj là tổng hữu hạn của các phần tử thuộc Ai. Do
đó tồn tại một tập con hữu hạn 𝐼0 ⊂ 𝐼 để
𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ∈ ∑ 𝐴𝑖
𝐼0

Từ đó suy ra
𝑀 = 𝑢1 𝑅 + 𝑢2 𝑅 + 𝑢3 𝑅 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑅 ⊂ ∑ 𝐴𝑖 ⊂ 𝑀
𝐼0

⇒ 𝑀 = ∑ 𝐴𝑖 .
𝐼0

(⇐) Xét tập hợp các môđun con dạng {𝑎𝑅|𝑎 ∈ 𝑀}. Khi đó theo giả thuyết tồn tại
tập hữu hạn {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 } sao cho
𝑀 = 𝑎1 𝑅 + 𝑎2 𝑅 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑅.
Điều này chứng tỏ M là hữu hạn sinh.
2.2.2
Định nghĩa
Môđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu đối với mỗi tập hợp {𝐴𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼} các
môđun con của M, thỏa mãn ⋂𝐼 𝐴𝑖 = 0, đều tồn tại một tập con hữu hạn 𝐼0 ⊂ 𝐼 sao
cho ⋂𝐼0 𝐴0 = 0.
Ví dụ:
1) Môđun ZZ không là hữu hạn đối sinh do ⋂∏ 𝑝𝑍 = 0, ∏ là tập hợp tất cả các số
nguyên tố, nhưng
𝑛

⋂ 𝑝𝑖 𝑍 = 𝑝1 … 𝑝𝑛 𝑍 ≠ 0
𝑖=1

2) Không gian véctơ V trên trường K là hữu hạn đối sinh khi và chỉ khi nó là hữu
hạn chiều.
2.2.3
Định lí
Các điều sau là tương đương:

(a) Môđun MR là Artin.
(b) Mỗi môđun con của M là hữu hạn đối sinh.

20


(c) Đối với mỗi tập hợp {Ai i  I }   những mô đun con của M tồn tại một tập
hợp con hữu hạn I  I sao cho
⋂ 𝐴𝑖 = ⋂ 𝐴𝑖
𝐼

𝐼0

Chứng minh.
(𝑏) ⇒ (𝑐). Đặt B= ⋂𝐼 𝐴𝑖 và xét phép chiếu chính tắc p: 𝑀 → 𝑀/𝐵 ta có
⋂ 𝑝𝐴𝑖 = 𝑝 (⋂ 𝐴𝑖 ) = 𝑝𝐵 = 0
𝐼

𝐼

Theo giả thuyết tồn tại tập con hữu hạn I  I sao cho
⋂ 𝑝𝐴𝑖 = 0.
𝐼0

Khi đó dễ dàng suy ra
⋂ 𝐴𝑖 = 𝐵.
𝐼0

(𝑐 ) ⇒ (𝑏). Giả sử {𝐵𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼} là tập hợp nào đó các môđun con của M/A thỏa mãn
⋂𝐼 𝐵𝑖 = 0. Khi đó

⋂ 𝑝−1 𝐵𝑖 = 𝑝−1 (⋂ 𝐵𝑖 ) = 𝐴,
𝐼

𝐼

với p: M → M/A là phép chiếu. Khi đó theo giả thuyết tồn tại tập con hữu hạn I  I
sao cho
⋂ 𝑝−1 𝐵𝑖 = 0
𝐼0

Từ đó suy ra rằng ⋂𝐼0 𝐵𝑖 = 0.
2.3 VÀNH ARTIN
2.3.1 Mệnh đề
Ảnh đồng cấu của môđun Artin là môđun Artin.
Chứng minh.
Gọi M là A – môđun Artin và 𝜑: 𝑀 → 𝑁 là toàn cấu A – môđun. Ta phải chứng tỏ
N là A – môđun Artin.
Gọi 𝑁1 ⊃ 𝑁2 ⊃ ⋯ là dãy giảm các môđun con của N. Khi đó 𝜑 −1 (𝑁1 ) ⊃
𝜑 −1 (𝑁2 ) ⊃ ⋯ là dãy giảm các môđun con của M và 𝜑(𝜑 −1 (𝑁𝑖 )) = 𝑁𝑖 ∀𝑖 = 1, 2, …
(do 𝜑 là toàn ánh).
Do M là môđun Artin nên tồn tại số tự nhiên n sao cho
𝜑 −1 (𝑁𝑛 ) = 𝜑 −1 (𝑁𝑛+1 ) = …
⇒ 𝜑(𝜑 −1 (𝑁𝑛 )) = 𝜑(𝜑−1 (𝑁𝑛+1 ))=…
21


⇒ 𝑁𝑛 = 𝑁𝑛+1 = ⋯
⇒ N là môđun Artin.
2.3.2 Định lí
Trong vành Artin mọi ideal nguyên tố đều tối đại.

Chứng minh.
Gọi A là vành Artin, p là ideal nguyên tố của A. Khi đó A/p = B là miền nguyên và
đồng thời là vành Artin.
Gọi x ∈ 𝐵, 𝑥 ≠ 0 . Hãy xét dãy các ideal (x), (x2),…
Đương nhiên(𝑥) ⊃ (𝑥 2 ) ⊃ ⋯. Do đó tồn tại số tự nhiên n sao cho (x2) = (xn + 1)
⇒ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛+1 . 𝑦 ⇒ 𝑥 𝑛 (1 − 𝑥𝑦) = 0.
Do x ≠ 0 và B là miền nguyên nên 1 – xy = 0 ⇒ xy = 1 ⇒ x khả nghịch ⇒ B là một
trường ⇒ p là ideal tối đại của A.
2.4 SỰ PHÂN TÍCH NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN
2.4.1 Định nghĩa
1) Môđun MR gọi là phân tích được nếu nó có hạng tử trực tiếp khác 0 và M (và không
phân tích được trong trường hợp ngược lại).
2) Môđun M được gọi là thuần nhất nếu với mọi môđun khác không A và B ta có
𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.
2.4.2 Định lí
Giả sử QR là môđun nội xạ, QR ≠ 0. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(a) Q không phân tích được.
(b) Q là bao nội xạ của môđun con bất kì của nó.
(c) Mỗi môđun con trong Q là thuần nhất.
(d) Q là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó.
Chứng minh.
(𝑎) ⇒ (𝑏). Giả sử A là môđun con khác không của Q, và I(A) là bao nội xạ của
A, chứa trong Q. Do I(A) là môđun con nội xạ của Q nên I(A) là hạng tử trực tiếp trong
Q. Khi đó từ giả thuyết suy ra Q = I(A).
(𝑏) ⇒ (𝑐 ). Giả sử U là môđun con của Q và A ≠ 0, B ≠ 0 là hai môđun con của
U. Do Q = I(A) nên A là cốt yếu trong Q. Bởi vậy 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.
(𝑐 ) ⇒ (𝑑 ). Do giả thuyết Q là thuần nhất. Q là nội xạ nên Q = I(Q).
(𝑑 ) ⇒ (𝑎). Giả sử Q = I(U), với U là môđun con thuần nhất. Giả sử Q = A ⊕
B, A ≠ 0, B ≠ 0. Do U là cốt yếu trong Q nên 𝐴 ∩ 𝑈 ≠ ∅, 𝐵 ∩ 𝑈 ≠ ∅. Bởi vì U là
thuần nhất nên

(𝐴 ∩ 𝑈) ∩ (𝐵 ∩ 𝑈) ≠ ∅
⇒𝐴∩𝐵 ≠∅
Điều này mâu thuẫn với 𝐴 ∩ 𝐵 = 0. Vậy Q là không phân tích được.
22


2.5 CĂN CỦA VÀNH ARTIN
2.5.1 Định lí
Giả sử R là một vành, A là ideal phải của R. Các mệnh đề sau là tương đương:
(a) A ⊂ Rad(RR);
(b) Với mỗi r ∈ A, rR ⊂0 RR;
(c) Với mỗi r ∈ A, 1 – r khả nghịch bên phải;
(d) Với mỗi r ∈ A, 1 – r khả nghịch.
Chứng minh.
(𝑎) ⇒ (𝑏). Suy ra từ định nghĩa 1.4.
(𝑏) ⇒ (𝑐). Dễ thấy rR + (1 – r)R = rR. Theo giả thuyết rR ⊂0 RR nên
(1 – r)R = RR. Vì thế tồn tại một phần tử s ∈ R sao cho (1 – r)s = 1.
Vậy 1 – r khả nghịch bên phải.
(𝑐) ⇒ (𝑑). Theo giả thuyết 1 – r khả nghịch bên phải nghĩa là tồn tại một phần
tử s ∈ R sao cho (1 – r)s = 1. (1)
Từ đó, s – rs = 1 hay s = 1 – (- rs). Nhưng – rs ∈ A vì r ∈ A. Do đó lại theo giả thuyết,
1 – (- rs) khả nghịch bên phải; nghĩa là tồn tại một phần tử t ∈ R sao cho
st = (1 – ( - rs))t = 1. (2)
Suy ra 1 = t + rst = t + r hay 1 – r = t. Từ (2) suy ra:
s(1 – r) = st = 1. (3)
Từ (1) và (3) chứng tỏ 1 – r khả nghịch.
(𝑑) ⇒ (𝑎). Ta sẽ chứng minh vời mỗi r ∈ A, rR ⊂0 RR . Giả sử ideal phải
U ⊂ RR thỏa mãn đẳng thức rR + U = RR. Khi đó
1 = rs + a, với a ∈ U.
Theo giả thuyết a = 1 – rs khả nghịch. Suy ra U = RR. Vậy rR ⊂0 RR . Từ định nghĩa

1.4, r ∈ Rad(RR). Do đó A ⊂ Rad(R).
2.5.2 Định nghĩa
Một ideal A của vành R được gọi là ideal phải (trái, hai phía) lũy linh nếu tồn tại
một số tự nhiên n sao cho An = 0. Lưu ý An = 0 có nghĩa là a1a2…an = 0 trong đó n
phần tử a1, …, an ∈ A.
2.5.3 Mệnh đề
Mọi nil – ideal của vành R đều chứa trong Rad(R).
Chứng minh.
Giả sử A là một nil – ideal phải và a ∈ A. Tồn tại một số tự nhiên n sao cho
an = 0. Khi đó
1 = 1 − 𝑎𝑛 = (1 − 𝑎)(1 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 );
nghĩa là 1 – a là phần tử khả nghịch. Theo định lí 2.5.1 a ∈ Rad(R).
2.5.4 Mệnh đề
Mọi căn R của vành Artin phải A đều là lũy linh.
23


Chứng minh.
Cho R là căn của vành A. Xét tập hợp tất cả lũy thừa các số tự nhiên Rn của căn R.
Trong tập hợp sẽ tồn tại một phần tử tối tiểu sao cho X = Rn. Thật vậy, X 2 = X. Giả sử
X ≠ 0 và Y là phần tử tối tiểu trong tập hợp của tất cả các ideal phải Z của vành A sao
cho Z ⊂ X và ZX ≠ 0. Hiển nhiên, yX ≠ 0 với y ∈ Y và (yX)X = yX2 = yX ≠ 0. Vì vậy,
yX = X và yx = y với x ∈ X. Ta có y(1 – x) = 0. Từ x ∈ 𝑋 ⊂ 𝑅, bẳng định nghĩa 1.36 ta
có phần tử 1 – x khả nghịch. Suy ra y = 0.
2.5.5 Hệ quả
Giả sử A là vành Artin phải. Khi đó:
1) Rad(A) là ideal lũy linh lớn nhất của vành A.
2) Nếu A giao hoán thì Rad(A) trùng với tập các phần tử lũy linh.
Chứng minh.
1) Trực tiếp suy ra từ mệnh đề 2.5.3 và 2.5.4.

2) Vì A là vành Artin nên Rad(A) là ideal lũy linh. Do đó mọi phần tử của Rad(A) đều
lũy linh. Ngược lại giả sử a ∈ A là phần tử lũy linh. Khi đó tồn tại một số tự nhiên n
sao cho an = 0. Vì A là vành giao hoán nên (aA)n = 0. Theo 1), aA ⊂ Rad(A).
Vậy a ∈ Rad(A).
2.5.6 Định nghĩa
Một phần tử a được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số nguyên n sao cho an = 0. Một
ideal phải (trái, hai phía) được gọi là một nil – ideal phải (trái, hai phía) nếu mỗi phần
tử của A đều là phần tử lũy linh.
Chú ý: Một nil – ideal có thể không là lũy linh, ta có thể xét ví dụ sau
Ví dụ:
Cho A = k[x1, …, xn,…] là một vành đa thức trên trường K với số biến là hữu hạn
x1, x2, …, xn, … và J là ideal sinh bởi tập hợp hàm đa thức {𝑥12 , 𝑥23 , … , 𝑥𝑛𝑛+1 , … } . Khi
đó ta có vành thương 𝐴⃐ = A/J là ideal được sinh bởi bằng phép chiếu (chiếu từ A đến
𝐴⃐) của đa thức ngoại trừ các hằng số. Vậy một nil – ideal không là ideal lũy linh.
2.5.7 Hệ quả
Căn của vành Artin phải là ideal lũy linh lớn nhất bao gồm tất cả các ideal lũy linh
một phía.
2.5.8 Định nghĩa
Một vành A được gọi là nửa nguyên tố nếu căn của nó bằng 0. Vành của số nguyên
Z và vành của tất cả các ma trận vuông trên vành thương là nửa nguyên tố. Đồng thời
vành p – tích phân số nguyên Z(p) không phải là nửa nguyên tố mặc dù cấu trúc của nó
là đơn giản hơn so với Z.
2.5.9 Mệnh đề
Nếu R là căn của vành A. Khi đó vành thương A/R là nửa nguyên tố.
2.5.10 Định lí
Các mệnh đề sau là tương đương trên vành A:
(a) A là vành nửa đơn.
24