một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Nguyễn Hoàng Xinh

Nguyễn Thị Mỹ Cầm
MSSV: 1110007
Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2015

1
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

LỜI CẢM ƠN
Trong cuộc sống không có sự thành công nào mà không dựa trên sự nỗ lực,
quyết tâm của cá nhân cùng với sự giúp đỡ hỗ trợ của mọi người. Với lòng biết ơn
sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói
chung lời cảm ơn chân thành vì đã tạo điều kiện để em được học tập, nghiên cứu, mở
rộng kiến thức cũng như tạo cơ hội để em có thể thực hiện và hoàn thành luận này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tâm
hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức mình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Song cũng
không thể tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu
từ quý Thầy cô và bạn đọc để luận văn của em hoàn thiện hơn.
Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi dào sức khỏe, thành công trong
công tác giảng dạy và cuộc sống.
Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Mỹ Cầm

2
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông…………….5
1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
tính trực tiếp……................................................................................................5
1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
quy nạp toán học……………………………………………………………….10
1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
sử dụng nhị thức Newton………………………………………………………20
1.4 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
chéo hóa ma trận……………………………………………………………….27
1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
đưa về dạng chuẩn Jordan……………………………………………………...35
1.6 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
sử dụng định lý Cayley – Hamilton……………………………………………41
Chương 2: Bài tập và lời giải…………………………………………………….45

PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

3
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là môn học quan trọng đối với sinh viên ngành Toán cũng như sinh

viên ngành Kỹ thuật khác, là học phần tạo cho em nhiều hứng thú khi học. Đại số
tuyến tính gồm nhiều vấn đề nhưng em đặc biệt quan tâm các vấn đề liên quan đến
ma trận. Được sự gợi ý của GVHD em đã chọn đề tài “ Một số phương pháp tính lũy
thừa của ma trận vuông”.
2. Mục đích nghiên cứu
 Thực hiện đề tài này em hướng đến mục đích nghiên cứu là rèn luyện kỹ
năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề toán học.
 Việc nghiên cứu này cũng giúp em có nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kỳ
thi sau này.
3. Phương pháp nghiên cứu
 Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, các trang web.
 Phân tích, tổng hợp và sắp xếp lại một cách thích hợp.
 Trao đổi với GVHD.
4. Nội dung nghiên cứu
Luận văn gồm hai chương:
 Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông.
Trong chương này gồm 6 phương pháp tính: tính trực tiếp, sử dụng công thức Newton,
quy nạp, chéo hóa ma trận, đưa về dạng chuẩn tắc Jordan, sử dụng định lý
Cayley – Hamilton.
 Chương 2: Bài tập và lời giải

4
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA
MA TRẬN VUÔNG
1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp
1.1.1 Phương pháp
Phân tích ma trận về các ma trận đặc biệt như ma trận đơn vị, ma trận không.
1.1.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1

 0 1
Tính 

 1 0 

2014

Giải

 0 1
1 0
Đặt A  
suy ra A4  


 1 0 
0 1
Ta có: A2014   A4 

503

 1 0 
A2  A2  

 0 1

 Sử dụng Maple
> with(linalg):
A:=matrix(2,2,[0,1,-1,0]):
A2014:=evalm( A2014 );

 1 0 
A2014 : 

 0 1

b) Ví dụ 2
Trong M 2 

3

 cho

1 0
2014
A
 , tính A
 2 1

Giải
5

GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

1 0
Ta có A3  

0 1
Khi đó A2014   A3 

671

 1 0
A A

 2 1

 Sử dụng Maple
> with(linalg):
A:=matrix(2,2,[1,0,2,1]):
A2014:=map(irem,evalm( A2014 ),3);

1 0
A2014 : 

 2 1
c) Ví dụ 3

0
0
Cho A  
0

0

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0 
, tính An , n 
1

0

*

Giải
Ta thấy A4  0  An  0, n  4

 0 0

 0 0
 0 0

 0 0

Vậy An  0, n  4
 0 0

 0 0

 0 0
 0 0

1
0
0
0

0
1 
,n  2
0

0

0
0
0

0

1
0 
,n  3
0

0
6

GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 Sử dụng Maple
> with(linalg):
A:=matrix(4,4,[0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0]):
A2:=evalm( A2 ); A3:=evalm( A3 ); A4:=evalm( A4 );

0
0
A2 : 
0

0

0

0
0
0

1
0
0
0

0
0

0
1
A3 : 
0
0


0
0

0
0
0
0

0
0
0

0

1
0

0
0
A4 : 
0
0


0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0 
0

0

d) Ví dụ 4

a b
Cho ma trận A  
 với a, b, c 
0 c
i)

Chứng minh rằng A2014  0 thì A2  0 .

ii)

Tìm ma trận A để n 

: An  I 2

Giải

i)

2014

Ta có A

 a 2014

 0

d 

 với d là một số thực nào đó.
c 2014 

0 b
Từ A2014  0  a  c  0 nên A  
vậy A2  0 .

0 0
ii)

 an
Ta có: An  
0

e
 với e là số thực nào đó.
cn 

Từ giả thiết An  I 2  a n  c n  1 . Vì thế xảy ra các trường hợp:

1 b
 1 nb 
A1  
 A1n  
nên b = 0 thỏa A12  I 2 .


0 1
0 1 
 1 0 

 A22  I 2
Tương tự ta có A2  

 0 1
7
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

1
A3  
0
 1
A4  
0

b
 A32  I 2

1
b
 A42  I 2

1

e) Ví dụ 5
Tìm

tất

cả

ma

a, b, c, d  , n 

trận

a b
A

c d 

sao

cho

 an
An   n
c

bn 

dn 

với

*

Giải

0 0
Ta thấy A  
 là một ma trận cần tìm.
0 0

 an
Vì A   n
c
n

bn 
 đúng với n 
dn 

*

 an
 A  n
c
n

 a 2  bc b  a  d    a 2
Khi đó ta có: A  
2 
   c2
c

a

d
bc

d



 
2

a 2  bc  a 2
bc  0

2

b  a  d   b


b a  d  b  0

2
c
a

d

c





c  a  d  c   0

2
2
bc

d

d


bn 
 đúng với n = 2
dn 

b2 

d2 

1
 2
 3

Trường hợp 1: c  0

b  0
Từ hệ phương trình ta có: 

a  d  c  0

 4

Từ đẳng thức:

 a3
A  3
c
3

 a2
0  a 0  
a3
0
b3 
2
 A A  




2
2
3
3



d 

 c  a  d  d   c d   ac  a  d   d c d 

 c3  ac  a  d   d 2c

8
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Từ

 4

a  d 

3

ta có c = a+d thay vào phương trình trên ta được:

 a(a  d )  d 2 (a  d )  ad  0

b  0
0 0
+ Nếu a = 0 từ  4  ta có: 
 A
,c  0
c c

d  c  0
b  d  0
c 0
+ Nếu d = 0 từ  4  ta có: 
 A
,c  0
c 0
a  c  0

Trường hợp 2: b  0

0 b
b b
, b  0 hoặc A  
Tương tự trường hợp 1 ta có: A  

,b  0 .
0 b
 0 0
Trường hợp 3: b = c = 0

a 0
 A

0 d 
Thử lại cả 5 trường hợp đều thỏa.

 0 0 b 0 0 c  d d   e
,
,

,
,
Vậy các ma trận cần tìm là  a a   b 0   0 c   0 0   0

0
f 

Với a, b, c, d, e, f là các số thực.
f) Ví dụ 6

 a b
Cho ma trận A  
 , a, b 
 b a 

, tính An , n 

*

Giải

 a b 

| a, b  
Đặt M  

 b a 


Xét ánh xạ f :

a  bi

M
 a b
 b a 



Dễ dàng chứng minh f là một đẳng cấu trường.
9
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 a 0 

 
|
a



 0 a 


Xét g :

a

a 0
0 a



Dễ dàng chứng minh g là một đẳng cấu trường.

a 0
Nên ta có thể đồng nhất a  

0 a
2
 0 1   1 0 
 0 1

 1  i  i  
Ta thấy: 



 1 0   0 1
 1 0 

2

 a b
Như vậy với 

 tùy ý thuộc M ta có:
 b a 
 a b   a 0   b 0  0 1 
 b a    0 a    0 b  1 0   a  bi

 
 


Khi đó

 a b   r 0  cos  sin  
 b a    0 r   sin  cos  

 


0   0 1  sin 
0 
 r 0    cos 







cos    1 0  0
sin   
 0 r  0

r  a 2  b 2

Với 
a
b
,sin  
cos  
a 2  b2
a 2  b2

Áp dụng công thức Moivre ta tính được:

0   0 1  sin n
0 
 a b   r n 0    cos n




 





n
cos n   1 0  0
sin n  
 b a   0 r   0
n

 cos n sin n 
 rn 

  sin n cos n 
1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học
1.2.1 Phương pháp
10
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 ,...
Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An
Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã
dự đoán ở bước 2.
1.2.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1

 1 1
Cho ma trận A  
, tính A2014 .

 0 1
Giải

 1 2  3  1 3 4  1 4 

Ta tính được: A2  
 , A   0 1 , A   0 1  .
0 1




1 n
Dự đoán: An  
.
0 1

1.1

Chứng minh 1.1 bằng phương pháp quy nạp toán học
 n  1 công thức 1.1 đúng.
 Giả sử công thức 1.1 đúng với n  k , k 

*

1 k 
. Ta có: Ak  
.
0 1

 Chứng minh công thức 1.1 đúng với n  k  1, tức là chứng minh:

 1 k  1
Ak 1  
.

1 
0
Thậy vậy:

 1 k  1 1  1 k  1
Ak 1  Ak . A  
 0 1   0
.
0
1
1


 

1 n
Vậy An  
 , n 
0 1

*

.

 1 2014 
.
Chọn n  2014 ta được: A2014  
1 
0
 Sử dụng Maple

11
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

> with(linalg):
A:=matrix(2,2,[1,1,0,1]):
A2014:=evalm( A2014 );

 1 2014 
A2014 : 
.
0
1


b) Ví dụ 2

 1 1 1


Cho ma trận B  1 1 1 , tính B n với n 
 1 1 1



*

Giải

 3 3 3
9 9 9




Ta tính được: B 2   3 3 3   3B, B 3   9 9 9   32 B .
 3 3 3
9 9 9




 27 27 27 
B   27 27 27   33 B .
 27 27 27 


4

Dự đoán: Bn  3n1.B , với n 

*

1.2 

.

Chứng minh 1.2  bằng phương pháp quy nạp toán học
 n  1 , công thức 1.2  đúng.
 Giả sử công thức 1.2  đúng với n  k , k 

*

, ta có: Bk  3k 1.B .

 Chứng minh công thức 1.2  đúng với n  k  1 , tức là chứng minh:

Bk 1  3k.B .
Thậy vậy:
12
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Bk 1  3k.B  3k 1.B.B  3k 1.3B  3k.B .
Vậy Bn  3n1.B, n 

*

.

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n = 1993

Theo cách giải trên ta được: A1993

 31992

 31992 A   31992
 31992


31992
31992
31992

31992 

31992 
31992 

Bây giờ ta sử dụng Maple để giải
>with(linalg):
A:=matrix(3,3,[1,1,1,1,1,1,1,1,1]):
A1993:=map(ifactor,evalm( A1993 ));

 31992 31992 31992 


A1993 :  31992 31992 31992 
 31992 31992 31992 



c) Ví dụ 3

2
0
Tính lũy thừa bậc n của ma trận A  
0

0

0
2
0
0

3 7 
8 4 
, n 
2 0

0 2

*

.

Giải

 3 7 
1 0

0 0
,
I

,
O

Đặt B  

0 1
 0 0 .
8 4 





13
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 2I
Khi đó: A  
O

B

.
2 I 

 22 I
Ta tính được: A2  
 O

 2n I
Dự đoán: An  
 O

2.2 B  3  23 I
, A  
23.I 
 O

22.3B 
.
23.I 

2n1.nB 
.
2n.I 

1.3

Chứng minh công thức 1.3 bằng phương pháp quy nạp toán học.
 n  1 : công thức 1.3 đúng.
 Giả

sử

công

 2k I
A 
 O
k

thức

1.3

đúng

với

n  k, k 

*

.Ta

có:

2k 1.kB 

2k.I  .

 Ta chứng minh 1.3 đúng với n  k  1, tức là chứng minh

 2k 1 I
Ak 1  
 O

2k.(k  1) B 
.
2k 1.I 

Thậy vậy:

 2k I
Ak 1  Ak . A  
 O

 2n I
Vậy An  
 O
 2n

0
n
Hay A  
0

0

2k 1.kB   2 I

2k.I   O

2 n1.nB 
 , n 
2n.I 

B   2k 1 I

2 I   O

2k.(k  1) B 
.
2k 1.I 

*

0 3n.2n1 7 n.2n1 

2n 8n.2n1 4n.2n1 
.
0
2n
0 

0
0
2n 

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n = 100, theo cách giải trên thì:

14
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

A100

 2100

0

 0

 0

0 3.100.299
2100 8.100.299
0
2100
0
0

7.100.299   2100
 
4.100.299   0

  0

0
 
2100
  0

0
2100
0
0

2101.3.52
2104.52
2100
0

2101.52.7 

2103.52 

0

2100 

Bây giờ ta sử dụng Maple để giải
> with(linalg):
A:=matrix(4,4,[2,0,3,-7,0,2,8,4,0,0,2,0,0,0,0]):
A100:=map(ifactor,evalm( A100 ));

 2100


0
A100 : 
 0

 0

0
2100
0
0

2101.3.52
2104.52
2100
0

2101.52.7 

2103.52 

0

2100 

d) Ví dụ 4

 1 1 1


Cho ma trận A   0 1 1 , tính An với n nguyên dương.

 0 0 1


Giải

1 2 3
1 3 6
 1 4 10 






3
4
Ta tính được: A   0 1 2  , A   0 1 3  , A   0 1 4  .
0 0 1
0 0 1
0 0 1 






2


1 n


Dự đoán: An   0 1
0 0



n(n  1) 
2 

n .
1 



1.4 

Chứng minh 1.4  bằng phương pháp quy nạp toán học.
15
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông



n  1 , công thức 1.4  đúng.



Giả sử công thức 1.4  đúng với n  k , k 


1 k

Ta có: Ak   0 1
0 0




*

k (k  1) 
2 

k 
1 



Chứng minh công thức (1.4) đúng với n  k  1, tức là chứng minh

 k  1 k  2  

1
k

1



2


Ak 1   0
1
k 1
.
0

0
1


Thậy vậy:


1 k

Ak 1  Ak A   0 1
0 0



1 n

Vậy An   0 1
0 0




 k  1 k  2  
k  k  1 

1 k 1



 1 1 1
2
2




k
1
k 1
  0 1 1   0





1
0
1
 0 0 1  0


n(n  1) 
2 

n  , n 
1 



*

.

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả

1993

Giả sử n = 1993, theo cách giải trên thì: A

 1 1993 1987021
  0
1
1993  .
0

0
1



Bây giờ ta sử dụng Maple để giải.
16
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

> with(linalg):
A:=matrix(3,3,[1,1,1,0,1,1,0,0,1]):
A1993:=evalm( A1993 );

 1 1993 1987021
A1993 :  0
1
1993 
0

0
1


e) Ví dụ 5
Trong M 2 (

7

6 2
n

) , cho ma trận A  
 . Tính A với n nguyên dương.
0 1

1 0 3 6 2 4 1 0 5 6 2
Ta tính được: A2  
, A  
, A  
, A  
.
0 1
0 1
0 1
0 1
 6 2
1 0
n
Dự đoán: An  
 nếu n lẻ, A  
 nếu n chẵn.
0 1
0 1

1.5

Ta sẽ chứng minh 1.5 bằng quy nạp toán học.


n  1 , hiển nhiên 1.5 đúng.

 Giả sử 1.5 đúng với n  k , k 

*

 6 2
, ta có: Ak  
 nếu k lẻ,
0 1

1 0
Ak  
 nếu k chẵn.
0 1

 Ta sẽ chứng minh 1.5 đúng với n  k  1, tức là chứng minh:
 6 2
1 0
k 1
Ak 1  
 nếu k  1 lẻ, A  
 nếu k  1 chẵn
0 1
0 1

17
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Thậy vậy:

k  1 lẻ  k chẵn
1 0
 1 0  6 2   6 2 
k 1
k
 Ak  
  A  A .A  


.
0 1
 0 1  0 1   0 1 

k  1 chẵn  k lẻ
 6 2
 6 2  6 2   1 0 
k 1
k
 Ak  
  A  A .A  


.
0 1
 0 1  0 1   0 1 
 6 2

1 0
n
Vậy An  
 nếu n lẻ, A  
 nếu n chẵn, với mọi n
0
1
0
1





nguyên dương.
 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n  2014 , n  2015 theo cách giải trên thì:

 1 0  2015  6 2 
A2014  
,A 
.
 0 1 
 0 1 




Bây giờ ta sử dụng Maple để giải.
> with(linalg):

A:=matrix(2,2,[6,2,0,1]):
A2014:=map(irem,evalm( A2014 ),7);
A2015:=map(irem,evalm( A2015 ),7);

18
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

1 0
A2014 : 
 0 1 


6 2
A2015 : 
 0 1 


f) Ví dụ 6

 cos x  sin x 
Tính A2014 với A  
.
 sin x cos x 
Giải
Ta tính được:

 cos 2 x  sin 2 x  3  cos3x  sin 3x  4  cos 4 x  sin 4 x 
A2  
 , A   sin 3x cos3x  , A   sin 4 x cos 4 x  .
 sin 2 x cos 2 x 




 cos nx  sin nx 
Dự đoán: An  
 , n 
 sin nx cos nx 

1.6 

*

Ta sẽ chứng minh 1.6  bằng quy nạp toán học.
 n  1 , hiển nhiên 1.6  đúng.
 Giả sử 1.6  đúng với n  k , k 

*

 cos kx  sin kx 
, ta có: Ak  
.
 sin kx cos kx 

 Ta sẽ chứng minh 1.6  đúng với n  k  1, tức là chứng minh:

 cos  k  1 x  sin  k  1 x 
Ak 1  
.




sin
k

1
x
cos
k

1
x



Thật vậy

 cos kx  sin kx  cos x  sin x 
Ak 1  Ak A  


 sin kx cos kx  sin x cos x 
19
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 cos kx cos x  sin kx sin x  cos kx sin x  sin kx cos x 


 sin kx cos x  cos kx sin x cos kx cos x  sin kx sin x 
 cos  k  1 x  sin  k  1 x 

.




sin
k

1
x
cos
k

1
x



 cos nx sin nx 

Vậy An  
 với mọi n nguyên dương.
 sin nx cos nx 
 cos 2014 x  sin 2014 x 
Khi đó, A2014  
.
 sin 2014 x cos 2014 x 
 Sử dụng Maple
> with(linalg):
A:=matrix(2,2,[cos(x),-sin(x),sin(x),cos(x)]):
A2014:=combine(evalm( A2014 ));

 cos(2014 x)  sin(2014 x) 
A2014 : 

 sin(2014 x) cos(2014 x) 
1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng
nhị thức Newton
1.3.1 Phương pháp
Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n nguyên
dương.
Bước 1 : Phân tích A = B+ C, trong đó BC = CB, B, C là các ma trận tính lũy
thừa dễ dàng.
n

Bước 2: An   B  C    Cnk B nk C k
n

k 0

20
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

a
0
 Chú ý: Ma trận 


0

0
a
0

0
0 
 aI n giao hoán với mọi ma trận vuông


a

cùng cấp.
1.3.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1

 4 1
Cho ma trận A  
, tính lũy thừa An , n 

 0 3

*

Giải

 4 1
1 0 1 1
1 1

3


3
I

B
B

Ta có: A  
,
với
2

 0 1  0 0
0 0

 0 3

 



Dễ dàng chứng minh quy nạp Bk  B, k 

*

Khi đó:

An   3I 2  B   Cn0 3n I 2  Cn1 3n1 B  ...  Cnn B n
n

 3n I 2   Cn0 3n  Cn1 3n1  ...  Cnn  Cn0 3n  B
 4n
 3 I2   4  3  B  
0
n

n

n

4n  3n 

3n 

 Với n cụ thể ta có thể kiểm tra bằng Maple

Giả sử n = 2014
> with(linalg):
A:=matrix(2,2,[4,1,0,3]):
A1:=evalm( A2014 ):
A2:=matrix(2,2,[ 42014 , 42014  32014 ,0,32014 ]):
equal(A1,A2);
true
21
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

b) Ví dụ 2

1 1 0


Cho ma trận A   0 1 1  , tính lũy thừa An , n 
0 0 1



*

Giải

1 0 0 0 1 0

0 1 0






Ta có: A   0 1 0    0 0 1   I 3  B với B   0 0 1 
0 0 1 0 0 0
0 0 0

 



0 0 1
0 0 0




3
Ta tính được: B   0 0 0  , B   0 0 0 
 0 0 0
0 0 0




2

0 0 0
 B k   0 0 0  , k  3
0 0 0


Khi đó, An   I3  B   Cn0 I 3  Cn1 B  ...  Cnn B n
n

 1 Cn1 Cn2 


 Cn0 I 3  Cn1 B  Cn2 B 2   0 1 Cn1 
0 0
1 

 Với n cụ thể ta có thể kiểm tra bằng Maple
Giả sử n = 1993
Theo cách giải trên thì A1993

1
2
 1 C1993
  1 1993 1985028 
C1993


1
 0
1

C1993    0
1
1993 

0
0
1   0
0
1



Bây giờ ta sử dụng Maple để giải
> with(linalg):
A:=matrix(3,3,[1,1,0,0,1,1,0,0,1]):
A1993:=evalm( A1993 );
22
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 1 1993 1985028 
A1993 :  0
1
1993 
0


0
1


c) Ví dụ 3
Tìm vết của ma trận A , n 
n

*

 1 a a 


biết A   1 1 0 
 1 0 1



Giải

 0 a a


Ta có A   I3  B với B   1 0 0 
 1 0 0 



0
0 0

0 0 0

a  , B 3   0 0 0 
Ta tính được: B 2   0 a
 0 a a 
0 0 0




0 0 0
 B k   0 0 0  , k  3
0 0 0


Khi đó, An    I3  B   Cn0  1 I 3  Cn1  1
n

 Cn0  1 I 3  Cn1  1
n

n 1

n

B  Cn2  1

n2

n 1

B  ...  Cnn B n

B2



 1

na
 na


n  n  1 a
n  n  1 a 
n
n
 Tr  A  3  1
  1 n 1 


2
2


n  n  1 a
n  n  1 a 
 n

1




2
2

 Với n cụ thể ta có thể kiểm tra bằng Maple
Giả sử n = 100
Theo cách giải trên thì Tr  A  3
Bây giờ ta sử dụng Maple để giải
23
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

> with(linalg):
A:=matrix(3,3,[-1,a,a,1,-1,0,-1,0,-1]):
TrA:=simplify(trace(evalm( A100 )));
TrA:=3
d) Ví dụ 4
Tính tổng các phần tử trên đường chéo phụ của ma trận An biết

 1 1 1
A   2 4 1 
 2 3 4 



Giải

 2 1 1


Ta có: A  3I 3  B , với B   2 1 1 .
 2 3 1



 4 4 0 
 0 0 0




Ta tính được: B 2   4 4 0  , B 3   0 0 0  .
 4 4 0 
 0 0 0




0 0 0
 B   0 0 0  , k  3 .
0 0 0


k

Khi đó: An  (3I3  B)n  Cn0 3n I3  Cn1 3n1 B  ...  Cnn B n

 Cn0 3n I3  Cn1 3n1 B  Cn2 3n2 B2
 3n  2.3n1 Cn1  4.3n2 Cn2

  2.3n1 Cn1  4.3n2 Cn2
 2.3n1 Cn1  4.3n2 Cn2


3n1 Cn1  4.3n2 Cn2
3n  3n1 Cn1  4.3n2 Cn2
3n1 Cn1  4.3n2 Cn2

Cn1 3n1 

Cn1 3n1  .
3n  Cn1 3n1 

Tổng các phần tử trên đường chéo phụ là: 3n  4Cn1 3n1
 Với n cụ thể ta có thể kiểm tra bằng Maple
24
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm


Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Giả sử n  100 .
Theo cách giải trên thì tổng các phần tử trên đường chéo phụ là:

310  4C101 3101  846369
Bây giờ ta sử dụng Maple để giải.
> with(linalg):
A:=matrix(3,3,[1,1,1,-2,4,1,2,-3,4]):
A10:=evalm( A10 );

 846369 984150 196830 
A10 :  787320 925101 196830 
1574640 1771470 255879 


Tổng các phần tử trên đường chéo phụ là: 846369
e) Ví dụ 5

 2006 1 2006 


Cho ma trận A   2005 2 2006  , xác định tổng các phần tử trên
 2005 1 2005 


đường chéo chính của ma trận S  I  A  A2  ...  A2006 .
Giải

 2005 1 2006 


Ta có: A  I 3  B với B   2005 1 2006  .
 2005 1 2006 




0 0 0
 0 0 0




k
Ta tính được B   0 0 0   B   0 0 0  , k  2 .
0 0 0
 0 0 0




2

An  ( I3  B)n  I3  Cn1 B  I3  nB, n 

*

nguyên dương.

Khi đó: S  I  A  A2  ...  A2006

 I  ( I  B)  ( I  2B)  ...  ( I  2006B)
25
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm