một số bài toán giá trị biên liên quan đến phương trình parabolic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP
TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC
Giáo viên hướng dẫn
TS. Phùng Kim Chức

Sinh viên thực hiện
Hồ Văn Bằng
MSSV: 1110006
Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2015


DANH MỤC KÍ HIỆU
Rn

là không gian Euclide n-chiều.

x   x 1 ,..., x n 

là điểm thuộc R n .

xy 

n

x y
i

i


x y 



n

là tích vô hướng của x, y  R n .

i 1


i 1

1/ 2


 x i  y i  


2

là khoảng cách giữa x, y  R n .
là một miền trong R n .

    

là bao đóng của  .

QT    0, T 

là trụ với chiều cao T trong R n 1 .

ST    0, T 

là mặt xung quanh của trụ Q T .

   1 ,..., n 

là đa chỉ số với  i là các số nguyên không âm.

D   Dx 


 x 1 ... x 2

 

  
,...,

xn
  x1

k
tk

u





là toán tử đạo hàm suy rộng cấp  ,    1  ...   n .
là vectơ gradient.
là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t .

*

là chuẩn của phần tử trong không gian tuyến tính định
chuẩn.

C k ,l Q T 

là không gian các hàm có đạo hàm liên tục theo biến

x đến cấp k , theo biến t đến cấp l .
C k Q T 


là tập các hàm có giá compact và có đạo hàm liên tục

đến cấp k .

i


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô trong bộ môn toán thuộc khoa Sư
phạm của trường Đại học Cần Thơ đã hết lòng dạy bảo tôi trong quá trình học tập.
Và nhân dịp này tôi cũng xin cám ơn toàn thể lớp Sư phạn Toán học khóa 37 đã
giúp đỡ, động viên tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống, tôi thành thật cảm
ơn. Trên hết, trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn
tận tình từ thầy Phùng Kim Chức, từ việc chọn đề tài cho đến việc chỉnh sửa để
hoàn thành luận văn. Xin gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành và lời chúc sức khỏe.

ii


MỤC LỤC
DANH MỤC KÍ HIỆU.............................................................................................i
LỜI CẢM ƠN .........................................................................................................ii
MỤC LỤC ..............................................................................................................ii
PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................iv
PHẦN NỘI DUNG .................................................................................................1
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................................................1
1.1 KHÔNG GIAN HILBERT....................................................................1
1.1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN ................................1
1.1.2 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH ............................................................2
1.1.3 KHÔNG GIAN HILBERT.................................................................2
1.2 TÍCH PHÂN LEBESGUE ....................................................................6

CHƯƠNG 2
CÁC KHÔNG GIAN HÀM VÀ BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC...........................................................................................9
2.1 KHÔNG GIAN L p   , 1  p   ........................................................9
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA....................................................................................9
2.1.2 MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN L p   , 1  p   ...12
2.2 TRUNG BÌNH HÓA VÀ ĐẠO HÀM SUY RỘNG ............................13
2.2.1 TRUNG BÌNH HÓA........................................................................13
2.2.2 ĐẠO HÀM SUY RỘNG..................................................................14
2.3 KHÔNG GIAN W pm  , 1  p   ( không gian Sobolev) ..................15


2.4 KHÔNG GIAN W pm   , 1  p   ....................................................17
2.5 KHÔNG GIAN W2m, l Q T  .................................................................17
2.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ KHÔNG GIAN H 2s  H 2s R n  .......20
2.6.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN SCHWART .20
2.6.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN L 2 R n  ......21

iii


2.6.3 KHÔNG GIAN H 2s  H 2s R n  .........................................................21
2.7 VẾT CỦA HÀM TRONG KHÔNG GIAN W 21   ...........................22
2.8 BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC .................24
CHƯƠNG 3
CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN ..................................................................28
3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC ……………………………..28
3.2 CÁC BÀI TOÁN VÀ NGHIỆM SUY RỘNG.....................................29
3.2.1 BÀI TOÁN CAUCHY .....................................................................29
3.2.2 CÁC BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU.................................................30

3.3 BẤT ĐẲNG THỨC NĂNG LƯỢNG .................................................32
3.4 BÀI TOÁN CAUCHY ........................................................................36
3.4.1 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM SUY RỘNG .....................................36
3.4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM SUY RỘNG ..............................................40
3.5 BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT ...........................................................44
3.5.1 TRƯỜNG HỢP CÁC HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG PHỤ
THUỘC THỜI GIAN ................................................................................44
3.5.2 TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT .........................................................48
3.6 BÀI TOÁN BIÊN THỨ HAI VÀ THỨ BA ........................................55
PHẦN KẾT LUẬN ...............................................................................................63
TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................64

iv


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lượt sử vấn đề
Phương trình đạo hàm riêng được bắt đầu từ thế kỉ 18 trong các tác phẩm của
Euler, d’Alembert, Lagrange và Laplace. Đầu thế kỉ 19, đặc biệt trong các tác phẩm
của Riemann, phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ thiết yếu trong các
nhánh khác của toán học. Và trong giai đoạn 1890 đến 1900 chính là giai đoạn bắt
đầu của phương trình đạo hàm riêng hiện đại với những đóng góp to lớn của
H.Poincaré.
Một trong những khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng hiện đại là
nghiệm suy rộng, tức là nghiệm “thô” lúc đầu và là nghiệm “khá gần” với nghiệm
hầu khắp hoặc cổ điển. Sau đó, nhờ công cụ của giải tích hàm ta làm nghiệm suy
rộng dần đến nghiệm thông thường. Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu từ các nhà toán
học khắp thới giới nhưng vẫ còn một số vấn đề chưa giải quyết triệt để, cụ thể là
việc nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng. Vấn đề này chỉ mới được giải quyết
cơ bản cho các bài toán Ellipic trong miền với biên tùy ý, còn các bài toán biên đối

với phương trình Parabolic hay Hyperbolic trong các miền trụ mà đáy với biên
không trơn vẫn còn là vấn đề thách thức các nhà toán học.
2. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng, một lý thyết có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Và
trong chương trình đào tạo ở bậc đại học, bước đầu chúng ta đã làm quen với với lý
thuyết này, cụ thể là môn học “Phương trình đạo hàm riêng”. Với mong muốn tìm
hiểu thêm một phần kiến thức nào đó trong lý thuyết này, cũng như giúp cho những
bạn sinh viên có thêm một nguồn tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, tôi
mạnh dạn hoàn thành luận văn với đề tài: “Một số bài toán giá trị biên có liên quan
với phương trình loại parabolic”.
3. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại
parabolic.

v


3.2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải,
trình bài thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra.
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Bài toán Cauchy, các bài toán biên ban đầu đối với phương trình đạo hàm riêng
cấp hai thuộc loại parabolic trong trường hợp các hệ số của phương trình phụ thuộc
thời gian và không phụ thuộc thời gian.
4. Cấu trúc và kết quả của luận văn
Phần nội dung của luận văn bao gồm ba chương, chương đầu tiên điểm lại một
số kiến thức trọng tâm về không gian Hilbert và tích phân Lebesgue. Trong chương
hai, giới thiệu một số không gian hàm quan trọng trong lí thuyết phương trình đạo
hàm riêng hiện đại. Và chương ba là trọng tâm của luận văn, tại đây trình bài các

bài toán giá trị biên liên quan đến phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại
parabolic.

vi


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 KHÔNG GIAN HILBERT
1.1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN
Trước hết ta định nghĩa khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.1. Một tập hợp không rỗng E được gọi là một không gian tuyến
tính định chuẩn trên trường K (trường số thực hoặc trường số phức) nếu
i) Tập hợp E là một không gian tuyến tính,
ii) Mỗi phần tử x thuộc E được gán tương ứng với một và chỉ một số thuộc
trường K , kí hiệu là x , được gọi là chuẩn của phần tử x và thỏa mãn các điều
kiện


x  0, x  0  x  0 , x  E ,



 x   x ,   K , x  E ,



x  y  x  y , x, y  E .

Sự hội tụ trong không gian tuyến tính định chuẩn được xác định như sau:
dãy x 1 , x 2 ,..., x n ,... các phần tử của E được gọi là hội tụ đến phần tử x  E
nếu x n  x  0 khi n   . Kí hiệu tắt là x n  x .
Sau đây là một số khái niệm cần thiết cho các phần tiếp theo.
Một tập E '  E được gọi là trù mật trong không gian E nếu với một phần tử bất
kì thuộc E đều tồn tại một dãy các phần tử thuộc E ' sao cho dãy này hội tụ về phần
tử đó trong E . Không gian E được gọi là khả li nếu tồn tại một tập con đếm được
và trù mật trong E .

1


Một dãy các phần tử x 1 , x 2 ,..., x n ,... được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản)
trong E nếu x p  x q  0 khi p, q   . Không gian tuyến tính định chuẩn E
được gọi là đầy nếu một dãy Cauchy bất kì trong E đều hội tụ về một phần tử
thuộc nó. Khi đó, không gian này được gọi là không gian Banach.
1.1.2 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH
Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K .
Định nghĩa 1.2. Một phiếm hàm tuyến tính là một ánh xạ liên tục  : E  K
xác định trên không gian tuyến tính định chuẩn E sao cho

   x   y      x      y , x, y  E ,  ,   K .
Một phiếm hàm tuyến tính  được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số không âm
C sao cho

  x  C x , x  E ,
Trong một không gian tuyến tính định chuẩn, tính liên tục và tính bị chặn là tương
đương nhau.
Cận dưới của hằng số C trong bất đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm

hàm tuyến tính liên tục và kí hiệu là  . Ta có

   x 
  sup 

x0 
x 

(1.1)

Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E là một không gian Banach
với chuẩn được xác định bởi công thức (1.1), nó được gọi là không gian liên hợp
với E và kí hiệu là E  . Nếu ta giả sử thêm rằng E là không gian Banach và E  là
không gian khả li thì một tập con bị chặn bất kì trong E chứa một dãy
con x1 , x 2 ,..., x n ,... sao cho với mọi   E  dãy số   x 1 ,   x 2 ,...,   x n ,... hội tụ.
1.1.3 KHÔNG GIAN HILBERT
Một trường hợp đặc biệt của không gian Banach là không gian Hilbert.

2


Định nghĩa 1.3. Một không gian Banach H trở thành một không gian Hilbert
nếu ta xác định được một tích vô hướng, xác định trên H , của cặp phần tử

x, y  H , kí hiệu là x, y sao cho
i) x, y  y, x , x, y  H
ii) x1   x2   x1 , y   x2 , y ,  ,   K , x1 , x 2 , y  H
iii) x, x  0 nếu x  0 , x  H
Trong không gian Hilbert H , chuẩn của phần tử được lấy là
x  x, x

1/ 2

Đối với x, y  H , ta có bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovsky-Schwartz

x, y  x y
a. Sự trực giao trong không gian Hilbert
Hai phần tử x, y trong không gian Hilbert H được gọi là trực giao nếu

x, y  0 . Tập B   x 1 , x 2 ,..., x n ,...  các phần tử của H được gọi là hệ trực chuẩn
nếu hai phần tử bất kì x i , x j là trực giao và e x k  1 với mọi k . Tập các tổ hợp
tuyến tính của các phần tử của B là trù mật trong H .
Định lí 1.1. Một không gian Hilbert khả li bất kì đều có cơ sở trực chuẩn.
Chứng minh. Vì H là không gian khả li nên tồn tại  x 1 , x 2 ,..., x n ,...  là tập
đếm được trù mật. Kí hiệu e1 là phần tử đầu tiên khác không x j trong tập này

 x1  x2  ...  x j 1  0 , e 2 là phần tử đầu tiên trong tập  x j 1 , x j  2 ,... tạo với e1
thành một cặp độc lập tuyến tính. Tiếp tục quá trình này ta nhận được hệ

 e1 , e 2 ,..., e n ,...  độc lập tuyến tính. Bây giờ ta sử dụng quá trình trực giao hóa
Schmidt để tạo hệ trực chuẩn trong H , đặt y1  e1 e1

y 2  e2  e2 , y1 y1  e2  e2 , y1 y1
…

y k  ek  ek , y1 y1  ...  ek , y k 1 y k 1  ek  ek , y1 y1  ...  ek , y k 1 y k 1
Dễ thấy y1 , y1  1 .

3

Xét

e2  e2 , y1 y1
, y1
e2  e2 , y1 y1

y 2 , y1 



1
e2  e2 , y1 y1 , y1
e2  e2 , y1 y1



1
 e2 , y1  e2 , y1 
e2  e2 , y1 y1

0
Bằng quy nạp ta thấy với k  h thì y k , y k  0 và hiển nhiên y k , y k  1 .
Do đó, hệ  y 1 , y 2 ,..., y n ,...  là hệ trực chuẩn trong H. Vậy  y 1 , y 2 ,..., y n ,...  là cơ
sở của H .

□

Giả sử x  H tùy ý, còn  e1 , e 2 ,..., e n ,...  là hệ trực chuẩn trong H . Kí
hiệu H  p  là không gian con của H được sinh bởi  e1 , e 2 ,..., e n  , đặt

p

xp 

x e
k

k

k 1

với

x k  ek , x
Khi đó, x p là phần tử trong không gian H  p  và được gọi là hình chiếu của phần tử

x lên không gian con H  p  .
Chuỗi


x e
k

k

k 1

được gọi là chuỗi Fourier của phần tử x theo hệ  e1 , e 2 ,..., e n ,... . Từ bất đẳng thức
Bessel


x

k 2

 x

k 1

4

2


Suy ra x1 , x 2 ,..., x n ,... là dãy Cauchy trong H . Do đó, chuỗi Fourier của một phần
tử tùy ý x  H theo hệ trực chuẩn tùy ý hội tụ trong H . Tuy nhiên, chưa hẳn nó đã
hội tụ đến phần tử x .
Một hệ trực chuẩn đếm được e1 , e 2 ,..., e n ,... là một cơ sở trực chuẩn trong không
gian Hilbert nếu một phần tử x bất kì trong nó có thể khai triển thành chuỗi Fourier
theo hệ này, tức là

x



x e
k

k

k 1

Một hệ trực chuẩn e1 , e 2 ,..., e n ,... được gọi là đóng nếu và chỉ nếu với bất kì f  H
thỏa mãn đẳng thức


x

k 2

 x, x

k 1

Nếu và chỉ nếu chuỗi Fuorier của phần tử bất kì f  H hội tụ về chính nó.
b. Hội tụ yếu trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert, ngoài sự hội tụ theo chuẩn còn có sự hội tụ yếu.
Khái niệm hội tụ yếu có thể được phát biểu như sau.
Định nghĩa 1.4. Một dãy x1 , x 2 ,..., x n ,... trong không gian Hilbert H được gọi
là hội tụ yếu nếu với bất kì phiếm hàm tuyến tính f  H  , dãy số

f  x 1 , f  x 2 ,..., f  x n ,...
có giới hạn hữu hạn.
Định lí 1.2. Dãy x1 , x 2 ,..., x n ,... hội tụ yếu đến phần tử x  H nếu và chỉ nếu
thỏa mãn hai điều kiện sau:
 tồn tại một hằng số C sao cho x n  C với mọi n,


f  x n   f  x  với mọi  thuộc tập hợp con của H  mà bao tuyến tính của
nó trù mật trong H  .

Định lí 1.3. Trong không gian Hilbert khả li, mọi dãy bị chặn x1 , x 2 ,..., x n ,... đều
chứa một dãy con hội tụ yếu.

5


Chứng minh. Do H * đẳng cấu với H vì vậy H * khả li, nên ta có thể tìm được
tập  f 1 , f 2 ,..., f n ,... đếm được và trù mật trong H * . Vì dãy x1 , x 2 ,..., x n ,... nên

f  x1 , f  x 2 ,..., f  x n ,...
cũng bị chặn. Vì thế từ dãy x1 , x 2 ,..., x n ,... ta có thể trích ra một dãy con

x11 , x 21 ,..., x n1 ,...
sao cho dãy số
f 1 x11 , f 1 x 21 ,..., f 1 x n1 ,...
hội tụ. Sau đó, từ dãy x11 , x 21 ,..., x n1 ,... có thể trích ra một dãy con

x1 2  , x 22  ,..., x n2  ,...
sao cho dãy số
f 2 x1 2   , f 2 x 22  ,..., f 2 x n2  ,...
hội tụ. Tiếp tục quá trình này, ta sẽ nhận được tập các dãy
x11 , x 21 ,..., x n1 ,...

x1 2  , x 22  ,..., x n2  ,...
…
(trong đó mỗi dãy đều bao hàm trong dãy trước nó)
sao cho f i x1 j  , f i x 2j  ,..., f i x nj  ,... hội tụ khi k   , với 1  i  j . Bằng cách đi
theo đường chéo ta thu được dãy con

x11 , x 22  ,..., x nn  ,...
sao cho dãy số
f i x11 , f i x 22  ,..., f i x nn  ,...
hội tụ với mọi n . Theo định lí trên ta suy ra dãy x11 , x 22  ,..., x nn  ,... hội tụ yếu trong
H.

□

1.2 TÍCH PHÂN LEBESGUE
Một hàm f  x  xác định trên một tập hợp X  R n được gọi là hàm đơn giản
nếu nó đo được và nhận một số hữu hạn hay đếm được các giá trị. Giả sử f  x  là

6


một hàm đơn giản, sao cho f  x   a i nếu x  Ai  R n và a i  a j nếu i  j . Bằng
cách xác định



f  x d 



 a A 
i

i

i 1

X

nếu chuỗi ở vế phải hội tụ tuyệt đối. Trong đó,   Ai  là độ đo của tập A i . Nếu độ
đo này là độ đo Lebesgue n -chiều thì ta viết

 f  xd   f  xdx
X

X

Giả sử rằng X có độ đo hữu hạn. Khi đó, hàm f được gọi là hàm khả tổng trên

X nếu có dãy hàm đơn giản f 1 , f 2 ,..., f n ,... xác định trên X hội tụ đều về f và
sao cho tồn tại giới hạn

lim

k 

f

k

d 

X

 f dx
X

trên tập X . Dễ thấy rằng giới hạn này

và đây được gọi là tích phân của hàm f

không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm f 1 , f 2 ,..., f n ,... .
Nếu   X  là vô hạn thì tích phân của hàm f trên X được xác định như sau.
Đặt
lim X i  X , với   X i   , i  1, 2,...
i 

nếu tồn tại giới hạn

lim
i 

 f d  I

Xi

và giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn X i thì f được gọi là khả tổng và

 f dx  I
X

Ta đưa ra một vài tính chất của tích phân Lebesgue:
Nếu f 1 và f 2 khả tổng thì  f 1   f 2 cũng khả tổng với mọi số phức  ,  .
Hàm f khả tổng khi và chỉ khi f khả tổng.
Nếu f bị chặn và đo được trên tập X có độ đo hữu hạn thì f khả tổng.

7


Nếu 0  f 1  x   f 2  x  hầu khắp trong X (tức là đối với tất cả x  X ngoại trừ
tập có độ đo không) và f 2 là hàm khả tổng thì f 1 là hàm khả tổng và

0

 f  x dx   f  x dx
1

2

X

X

Định lí 1.4. (Fubini). Giả sử hàm f  x, y , x  R n , y  R m , khả tổng trên R n m .
Khi đó, tồn tại tích phân

 f  x, y  dx

Rn

Với hầu khắp x  R n và



f  x, y  dxdy 

R nm





 f  x, y dx dy   f  x, y dy  dx




 Rn


Rn  Rm

 

Rm

 

8


CHƯƠNG 2
CÁC KHÔNG GIAN HÀM
VÀ
BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
Ta phát biểu một vài định nghĩa và kí hiệu sẽ được sử dụng trong các phần tiếp

theo.
Miền  là một miền sao đối với điểm x 0 nếu với x bất kì thuộc  đoạn thẳng
nối x và x 0 thuộc  .
Miền  1 được nhúng compact trong  nếu  1   và  1 là bị chặn.
Giá của hàm f là bao đóng của tập các điểm x sao cho f  x   0 . Kí hiệu là

supp f . Nếu  1   2 , f 1 được xác định trên  1 , f 2 được xác định trên  2 , và

f 1  x   f 2  x  với x   1 thì f 2 được gọi là thác triển liên tục của f 1 từ  1 lên
 2 và f 1 được gọi là hạn chế của f 2 từ  2 đến  1 .

Một mặt S  R n là tập

 x x i  f i t 1 ,..., t n1 , i  1,..., n ,
trong đó t 1 ,..., t n1    ,  là miền trong R n 1 , f i  C 1   và hạng của ma trận

f / t k  , i  1,..., n; k  1,..., n  1 , bằng n  1 tại mỗi điểm của  . Mặt khác, nếu
f i  C m   thì mặt S được gọi là mặt thuộc lớp C m .
Tương tự, S là mặt k -chiều trong R n , thuộc lớp C m , m  1 nếu

S   x x i  f i t1 ,..., t k , i  1,..., n
trong đó, t 1 ,..., t k    ,  là một miền trong R k , f i  C m   và hạng của ma trận

f i / t l  , i  1,..., n; l  1,..., k , bằng k tại mỗi điểm của  .
2.1 KHÔNG GIAN L p   , 1  p  
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA

9

Đặt  là một miền trong R n . Xét tập hợp tất cả các hàm giá trị phức khả tổng
trên  . Kí hiệu bởi L1   . Đây là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn
được xác định như sau

u

L1   



 u x  dx .


(tích phân được hiểu theo nghĩa Lebegues).
Với mọi số phức  ,  và với mọi hàm u , v  L1   , ta có

 u  v

L1  

  u

L1  

  v

L1  

Không gian L p   , 1  p   bao gồm các hàm đo được u  x  , sao cho

u  x   L1   .
p

Ta có một vài bất đẳng thức cơ bản.
Định lí 2.1. (Bất đẳng thức Hölder). Giả sử u  L p   , v  L p   , ở đó

p  1, q  1 , 1 / p  1 / q  1 . Khi đó ta có bất đẳng thức




1/ p



p
u  x  v x  dx   u  x  dx 







1/ q



 v x  q dx 








.

Chứng minh. Xét hàm F  X   XY  X p / p trên 0,  . Hàm này đạt giá trị
lớn nhất tại điểm X sao cho Y  X p 1 và giá trị lớn nhất của hàm này bằng Y q / q ;
vì vậy

XY  X p / p  Y q / q
Bây giờ đặt



p
X  u  x   u  x  dx 







1 / p




q
Y  v x   v x  dx 







1 / q

Khi đó, theo bất đẳng thức vừa chứng minh trên ta có

u  x  v x 


 u  x  p dx 







1/ p

1/ q




 v x  q dx 









u x 



p u  x  dx


v x 

p
p



q

 v x 

q

dx



Lấy tích phân trên  hai vế ta nhận được bất đẳng thức Hölder.

10

q

□


Định lí 2.2. (Bất đẳng thức Minkovsky). Nếu u  L p   , v  L p   , p  1 . Khi
đó, ta có bất đẳng thức
1/ p



 u  x   v  x  p dx 







1/ p




p
  u  x  dx 







1/ p



p
  v x  dx 







.

Chứng minh. Khi p  1 . Ta sử dụng bất đẳng thức u  x   v x   u  x   v x 
sau đó lấy tích phân trên  hai vế ta được điều phải chứng minh.
Khi p  1 , ta có



u  x   v x  dx 
p





u  x   v x 



u  x   v x 

p 1



u  x   v x 

p 1

u  x   v x  dx

p 1





 u  x   v x  dx





u  x  dx 





u  x   v x 

p 1

v x  dx



Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta nhận được






p
p
u  x   v x  dx   u  x   v x  dx 






p 1



p



 u  x  p dx 





1





p
  u  x   v x  dx 








Và do đó định lí được chứng minh.

p 1

p

p



 v x  p dx 







1

p

□

Nhờ bất đẳng thức Minkovsky suy ra rằng  u   v  L p   nếu u  L p   và

v  L p   ,  ,   const . Chuẩn của một phần tử u trong không gian L p   được
xác định bởi

u

L p  

1/ p



p
  u  x  dx 







.

Đặc biệt khi p  2 , không gian L 2   là một không gian Hilbert, với tích vô hướng



u, v  u  x v x  dx


11

2.1.2 MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN L p   , 1  p  
Định lí 2.3. L p   là không gian đầy.
Chứng minh. Lấy  f j  là dãy Cauchy trong L2 () . Khi đó, với mọi m  1 , tồn tại

N (m) sao cho
f k  fl

Lp ()

 2 m

với k  N (m) , l  N (m) . Lấy  f N j  là dãy sao cho

f N j  fl

Lp ()

 2  j , nếu l  N j

Đặt g j  f N j và

 j ( x)  g1 ( x)  g 2 ( x)  g1 ( x)  ...  g j 1 ( x)  g j ( x) .



Vì dãy hàm không âm  j ( x)

p

 là dãy tăng, nên theo bất đẳng thức Minkovsky ta

có



  j ( x) p dx 







1

2



p
   g 1( x)  g 2 ( x)  g1 ( x)  ...  g j 1 ( x)  g j ( x)  dx 








p
  g1 ( x) dx 







1





p
  g1 ( x) dx 





1





p
  g1 ( x) dx 










p
  g 2 ( x)  g1 ( x) dx 





p



1

p

1

2




p
 ...   g j 1 ( x)  g j ( x) dx 







1

p

p

 2 1  2 2  ...  2  j
1

p

1

Khi đó tồn tại một hàm  (x) sao cho 

p

khả tổng và dãy  j ( x)

p

hội tụ đến

 ( x) p hầu khắp nơi.
Vì chuỗi g1  ( g 2  g1 )  ...  ( g j 1  g j )  ... hội tụ tuyệt đối hầu khắp nơi trên 
nên dãy g j hội tụ hầu khắp nơi đến hàm đo được f (x) . Dãy g j k  g j hội tụ khi

k   hầu khắp nơi đến hàm f  g j . Mặt khác,

12


g jk  g j
Ta lại có lim

k 

g

p

  g j  k  g j k 1  ...  g j 1  g j    j  k ( x)
p

p

 g j dx 

j k



 f ( x)  g ( x )
j

p

p

  ( x)

p

dx



nhưng khi đó

 f ( x)  g ( x )
j

p

dx  2  j ,



Nghĩa là, f là giới hạn của dãy g j trong L2 () .
Hơn thế nữa,



 f k ( x)  f ( x) p dx 







1



p
  f N j ( x)  f k ( x) dx 





p

2

1



j


  f N j ( x)  f ( x)





p






1

p


p
  f N j ( x)  f ( x) 







1

p

p

 21 j

Nếu k  N j . Vì thế,

 f ( x)  f ( x )
k

p

dx  0 khi k   .

□



Định lí 2.4. Với 1  p   và  là một miền trong R n . Khi đó, tồn tại tập con
đếm được các phần tử của L p   sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong

L p   .
2.2 TRUNG BÌNH HÓA VÀ ĐẠO HÀM SUY RỘNG
2.2.1 TRUNG BÌNH HÓA


Giả sử   x   C    sao cho
   x   0,   x   0 nếu x  1

   x     x 


  x dx    x dx  1

Rn

x 1

Khi đó,   x  được gọi là nhân trung bình hóa.

13


Nếu u  L p   , p  1 , thì hàm

x y
u h  x   h n  
 u  y  dy
h






được xác định trong R n và trơn vô hạn, tức là thuộc C    . Và nó được gọi là
trung bình hóa hay hàm trung bình của hàm u .
2.2.2 ĐẠO HÀM SUY RỘNG
Định nghĩa 2.1. Một hàm v  L1   được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  của

hàm u  L p   nếu

 u xD   xdx   1  v x  x dx










với mọi   C    .
Một hàm có đạo hàm liên tục cấp  thì nó có đạo hàm suy rộng cấp  .
Hàm u không có quá một đạo hàm suy rộng.
Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp  trong  thì có đạo hàm suy rộng trong
miền '   . Khi đó, đạo hàm suy rộng trong miền  được gọi là thu hẹp của đạo
hàm suy rộng từ  vào  ' .
Thấy rằng

D    u  D D  u 

D  au  bv   a D  u  b D  v .
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy rằng đạo hàm suy rộng không phụ
thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Chú ý rằng, sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp  không
thể suy ra sự tồn tại của đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn  .
Đẳng thức sau đây là sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa. Giả sử

 ' là một miền con của  sao cho khoảng cách giữa  ' và  bằng d  0 . Khi đó,

đối với 0  h  d và x   ' , ta có

 D u h  x   D u h  x  .

14


2.3 KHÔNG GIAN W pm  , 1  p   ( không gian Sobolev)
Không gian W pm   bao gồm tất cả các hàm u thuộc L p   , sao cho tồn tại các
đạo hàm suy rộng D u mọi cấp  ,   m thuộc L p   và được trang bị chuẩn
1/ p

 m

p
u W pm     
D u  x  dx 


  0 




.

Định lí 2.5. Giả sử  là một miền trong R n . Khi đó, W pm  , m  0, 1  p  
là không gian Banach.
Chứng minh.

Lấy u N  là dãy Cauchy trong không gian W pm   hội tụ về

u 0  L p () , nghĩa là với số tự nhiên k bất kì

 D



p

(u N  u N  k ) dx  0

  m

khi N   . Với mỗi  , dãy D u N  là dãy Cauchy trong L p () . Khi đó, có hàm

u  L2 () sao cho

D u




 u dx  0



khi N   . Đặc biệt, u 0  L p () .
Theo định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta có

u

N



D  dx  (1)   D u N dx







với   C  () . Chuyển qua giới hạn đẳng thức trên ta nhận được

 u D  dx  (1)  u  dx
0











Nghĩa là u là đạo hàm tổng quát của u 0 bậc  . Vì vậy, u N  u 0

W pm (  )

 0 khi

N  .

□

Đặc biệt với p  2 thì W2m   là không gian Hilbert.
Định lí 2.6. Cho dãy bị chặn ,  u k k 1 , các phần tử của không gian W pm   :


uk

W pm   

 C , C  const ,

15


Ngoài ra, dãy này hội tụ yếu trong không gian L p   tới hàm u khi k   . Khi
đó, dãy  u k k 1 hội tụ yếu đến hàm u  W pm   và có


u

W pm   

C.

Định lí sau đây cho thấy sự thác triển liên tục của một hàm thuộc W pm   ra một
miền rộng hơn.
Định lí 2.7. Giả sử Q là một hình hộp trong R n :

Q   x  R n  a j  x j  a j , j  1,..., n 
và u  W pm Q , p  1 . Khi đó, tồn tại một hàm u1  W pm R n  , sao cho u1  x   u  x 
trong Q và
supp u 1  Q1   x  R n  2a j  x j  2a j , j  1,..., n  .

Hơn nữa,

u1

W pm R n 

C u

W pm  Q 

,

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u .
Chứng minh. Đặt

u1  x  

m1

  u  a
j

1

 2  j 1 x1 , x 2 ,..., x n 

j 1

Với  2a 1  x 1  a 1 ,  a j  x j  a j , j  2..n ,  là hằng số sao cho
m1

  1 2
j

k

k  j 1

 1, k  0, 1,..., m  1

j 1

Đây là hệ phương trình đại số có định thức của ma trận hệ số

1
2 1

1
2 2

1
2 3

...
...

1
2 m

2 2

2 3

2 4

...

2 2 m

...

...

...

...

...

2  m1

2 2  m1

2 3  m1 ... 2 m  m1

là định thức Wan Der Monde có giá trị khác không nên hệ phương trình có nghiệm
duy nhất. Vì thế chúng ta xác định định được hàm u1 trong hình hộp

Q'   x  R n  2a1  x1  a1 ,  a j  x j  a j j  1,..., n 

16


Hơn thế nữa,
u1

W pm  Q ' 

 C1 u

W pm  Q 

Trong đó C 1 là hằng số không phụ thuộc u . Mặt khác, u  C m1 Q' nếu

u  C m Q  . Làm tương tự, ta có thể thác triển u liên tục ra phía khác của Q.

□



2.4 KHÔNG GIAN W pm   , 1  p  




Không gian W pm   là bao đóng của C    trong chuẩn của không gian

W pm   .


Nếu u  W pm   , 1  p   và supp u   thì u  W pm   .


Định lí 2.8. Giả sử  u k k 1 trong không gian W pm   , 1  p   , hội tụ yếu


trong không gian L p   tới hàm u  x  , hơn nữa dãy này bị chặn. Khi đó, u cũng


bị chặn và u  W pm   .


Định lí 2.9. Không gian W pm R n  trùng với không gian W pm R n  .


Chứng minh. Một hàm thuộc không gian W pm R n  thì hiển nhiên thuộc không gian

W pm R n  .
Lấy u  W pm  R n  và hàm  (t )  C  ( R1 ) sao cho

 1 khi t  1
 (t )  
0 khi t  2
Bây giờ đặt u k ( x)  u ( x) ( x  k ) . Dễ thấy rằng,

 D

 (u

k

p

( x)  u ( x) dx  C

 m R n

  D u( x) dx  0


x  k 1   m



khi k   . Theo nhận xét trước định lí 2.8 thì u k ( x)  W pm R n  với mọi k . Theo


định lí 2.8 suy ra rằng u ( x)  W pm R n  .

□

2.5 KHÔNG GIAN W2m, l Q T 

17


Không gian W2m, l Q T  là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm

u  L p Q T  , sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m và theo t đến
cấp l thuộc L p Q T  , được trang bị chuẩn

u






W2m , l Q T 

Du


2

dxdt 

 m Q T

l



k 1 Q T

1/ 2

2

ku

dxdt

t k


Đây là không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn trên.


Không gian W2m, l Q T  là không gian con của W2m, l Q T  , bao gồm các hàm u
bằng không gần biên ST    0, T  . Nó cũng là một không gian Hilbert.
Đặt




W2m, 0, l Q T   u W2m, l QT  u  x, T   0 





Giả sử u k k 1  W2m   là một hệ trực chuẩn trong L 2   , sao cho bao đóng






tuyến tính của hệ này trong W2m   trùng với W2m   . Kí hiệu

MN







N

d

k

t  u k  x  d k  W21 0,T , d k T   0


k 1

Định lí 2.10. Giả sử  là một miền (không nhất thiết bị chặn) trong R n . Khi
đó, tập

M



M

N

N 1



trù mật trong không gian W2m, 0, l Q T  .
Chứng minh. Sử dụng phương pháp trực giao hóa Gram-Smith ta xây dựng dãy


 k k 1 trực chuẩn trong W2m   từ dãy  k k 1 . Kí hiệu

M N*  




N

d

k

t  k  x  d k  W21 0,T , d k T   0


k 1

M* 



M
N 1

18

*
N