MỘT số mở RỘNG của KHÔNG GIAN METRIC và ÁNH xạ DẠNG CO TRONG CHÚNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Bích Trâm

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA KHÔNG
GIAN METRIC VÀ ÁNH XẠ DẠNG CO
TRONG CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Bích Trâm

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA KHÔNG
GIAN METRIC VÀ ÁNH XẠ DẠNG CO
TRONG CHÚNG

Chuyên ngành:

Toán giải tích

Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn, cùng với sự nổ lực làm việc của bản thân,
tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
Tôi xin được trân trọng gửi những lời cảm ơn chân thành nhất đến:
Đầu tiên, tôi xin được tri ân sâu sắc PGS.TS.Nguyễn Bích Huy đã tận tình
hướng dẫn, dạy bảo tôi trong thời gian làm luận văn; thầy đã truyền thụ cho tôi những
kiến thức quý báu, niềm đam mê học tập và nghiên cứu khoa học, tạo điều kiện cho
tôi có thể hoàn thành luận văn Thạc sĩ.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và cho tôi những lời nhận xét quý báu để bài luận
văn của tôi được hoàn thiện.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán-Tin học, trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền thụ nhiều
kiến thức chuyên môn trong suốt thời gian tôi theo học Sau đại học tại trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu nhà trường, quý
thầy cô phòng Sau đại học đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, nghiên
cứu để hoàn thành khóa học.
Cuối cùng vì bản thân lần đầu được tiếp cận với phương pháp nghiên cứu
khoa học nâng cao và do năng lực còn hạn chế nên trong quá trình viết luận văn khó
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi tha thiết mong nhận được sự nhận xét, góp ý của quý
thầy cô để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Xin chân thành cảm ơn!
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013
Huỳnh Thị Bích Trâm

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC ........................................................ 5
1.1. Định nghĩa và các tính chất.........................................................................................5
1.1.1. Không gian metric đối xứng.................................................................................... 5
1.1.2. Không gian nửa metric .......................................................................................... 10
1.1.3. Không gian loại metric .......................................................................................... 17
1.2. Điểm bất động của ánh xạ dạng co...........................................................................20
1.2.1 Điểm bất động của ánh xạ co trên không gian nửa metric ..................................... 20
1.2.2. Điểm bất động trong không gian metric đối xứng ................................................ 21
1.2.3. Điểm bất động kiểu tích phân ............................................................................... 27

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN NÓN METRIC ....................................................... 29
2.1. Không gian nón metric ..............................................................................................29
2.1.1. Các định nghĩa ....................................................................................................... 29
2.1.2. Các tính chất .......................................................................................................... 31
2.2. Các định lý điểm bất động ........................................................................................32

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 40

2


LỜI NÓI ĐẦU
Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và
hữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng
nghiệm gần đúng cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa
học tự nhiên cũng như cho nhiều mô hình trong kinh tế, xã hội. Lý thuyết điểm bất
động hình thành từ đầu thế kỉ 20, phát triển mạnh mẽ trong thế kỉ này và tiếp tục
được hoàn thiện cho đến ngày nay.
Vì sự quan trọng của các định lý điểm bất động và cũng để có thể ứng dụng
giải quyết các bài toán và hiện tượng mới phát sinh trong sự phát triển của khoa học
và xã hội mà các định lý điểm bất động được các nhà toán học quan tâm mở rộng
theo nhiều hướng khác nhau. Hướng mở rộng thứ nhất là mở rộng các điều kiện đặt
lên ánh xạ như giảm nhẹ điều kiện co, điều kiện liên tục, compact,… Hướng này đã
được nghiên cứu nhiều và được trình bài trong nhiều sách chuyên khảo. Hướng mở
rộng thứ hai là mở rộng về không gian. Theo hướng này, người ta thay không gian
metric và không gian định chuẩn bằng các không gian tổng quát hơn hoặc có các tính
chất đặc thù riêng như không gian tôpô kiểu metric, không gian lồi theo metric,
không gian nón metric,… Hướng này chưa được nghiên cứu nhiều và chưa có tài liệu
nào trình bày đầy đủ và hệ thống về nó.
Luận văn trình bày khái niệm không gian kiểu metric, không gian nón metric,
các tính chất của chúng; nghiên cứu một số định lý điểm bất động dạng co trong các
không gian này. Nội dung chủ yếu của luận văn được tham khảo trong
I.V.Arandelovic, D.J.Keckic (2012), “Symmetric spaces approach to some fixed
point results”, Nonlinear Analysis 75, pp. 5157-5168 và P.P.Zabreiko (1997), “Kmetric and K-normed linear spaces: survey”, Collect Math 48, pp. 4-6, 825-859.
Trong luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung cơ bản
gồm 2 chương. Cụ thể:
Chương 1- Không gian loại metric
3

Chương này trình bày về không gian kiểu metric, các tính chất của chúng và
các định lý điểm bất động dạng co trong chúng.
Chương 2- Không gian nón metric
Chương này trình bày các định nghĩa, các tính chất cơ bản trong không gian
nón metric; một vài kết quả về điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian
này.

4


CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC
Chương này sẽ trình bày các định nghĩa, các tính chất cơ bản trong không
gian metric đối xứng, không gian nửa metric và không gian loại metric; một vài kết
quả về điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian này.
1.1. Định nghĩa và các tính chất
1.1.1. Không gian metric đối xứng

Định nghĩa 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])
Giả sử 𝑋 là tập khác rỗng và ánh xạ 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞). (𝑋, 𝑑) được gọi là

không gian metric đối xứng khi và chỉ khi (𝑋, 𝑑) thỏa mãn ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋:
(W1): 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦

Ví dụ

(W2): 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥)

a) Xét ℝ𝑚 = {(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ): 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = ������

1, 𝑚},
𝑑: ℝ𝑚 × ℝ𝑚 → [0, +∞) định bởi:
𝑚

𝑑(𝑥, 𝑦) = ��(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )2 �

1
2

𝑖=1

trong đó 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ), 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑚 ) thuộc ℝ𝑚 thì (ℝ𝑚 , 𝑑) là một không

gian metric đối xứng.

b) Xét 𝐶[𝑎,𝑏] là tập hợp các hàm thực 𝑥 = 𝑥(𝑡) liên tục trên [𝑎, 𝑏],
𝑑: 𝐶[𝑎,𝑏] × 𝐶[𝑎,𝑏] → [0, +∞) định bởi:

𝑑(𝑥, 𝑦) = sup|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|
𝑎≤𝑡≤𝑏

trong đó 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] thì �𝐶[𝑎,𝑏] , 𝑑� là một không gian metric đối xứng.
Nhận xét

Mọi không gian metric là không gian metric đối xứng.
Điểm khác nhau cũng là điểm thuận lợi hơn của không gian metric đối xứng
đối với những không gian metric là sự không có mặt của bất đẳng thức tam giác trong

5

định nghĩa không gian metric đối xứng. Tuy nhiên, trong không gian metric đối xứng,
nhiều khái niệm có thể được định nghĩa tương tự như trong không gian metric.
Định nghĩa 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])
Trong không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑), ta nói dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ 𝑋 hội tụ về

𝑥 ∈ 𝑋 nếu lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0. Ta viết:
𝑛→∞

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 ⟺ lim 𝑥𝑛 = 𝑥.

𝑛→∞

Ví dụ

𝑛→∞

a) Xét không gian metric đối xứng (ℝ𝑚 , 𝑑) như trong ví dụ 1a. Xét 𝑎 =

𝑛 ).
(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 ) ∈ ℝ𝑚 và dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ ℝ𝑚 với 𝑥 𝑛 = (𝑥1𝑛 , 𝑥2𝑛 , … , 𝑥𝑚

Ta có:

𝑚

2

������
𝑚.

𝑑(𝑥 , 𝑎) = ���𝑥𝑖𝑛 − 𝑎𝑖 � ≥ |𝑥𝑖𝑛 − 𝑎𝑖 |, ∀𝑖 = 1,
𝑛

𝑖=1

Suy ra lim 𝑥 𝑛 = 𝑎 trong (ℝ𝑚 , 𝑑) ⟺ lim 𝑥𝑖𝑛 = 𝑎𝑖 trong ℝ, ∀𝑖 = ������
1, 𝑚.
𝑛→∞

𝑛→∞

b) Xét không gian metric đối xứng �𝐶[𝑎,𝑏] , 𝑑� như trong ví dụ 1b. Xét dãy

(𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] và phần tử 𝑥0 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] . Ta có:
lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 ⟺ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥0 ) = 0.
𝑛→∞

𝑛→∞

⟺ lim sup|𝑥𝑛 (𝑡) − 𝑥0 (𝑡)| = 0 .
𝑛→∞ 𝑎≤𝑡≤𝑏

⟺ Dãy hàm {𝑥𝑛 (𝑡)} hội tụ đều về hàm 𝑥0 (𝑡) trên [𝑎, 𝑏].
⟹ lim 𝑥𝑛 (𝑡) = 𝑥0 (𝑡), ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].
𝑛→∞

Định nghĩa 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

Dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊆ 𝑋 được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi 𝜀 > 0 cho trước, tồn tại

𝑛0 ∈ ℕ∗ sao cho với mọi 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 thì 𝑑(𝑥𝑚 , 𝑥𝑛 ) < 𝜀.

Không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑) được gọi là đầy đủ khi và chỉ khi mỗi dãy

Cauchy (𝑥𝑛 )𝑛 trong (𝑋, 𝑑) đều hội tụ về 𝑥 ∈ 𝑋.

Định nghĩa 1.4 (Arandelovic and Keckic [1])

Đường kính của tập 𝐴 ⊆ 𝑋, ký hiệu là diam(𝐴):
6


diam(𝐴) = sup 𝑑(𝑥, 𝑦) .
𝑥,𝑦∈𝐴

Quả cầu mở tâm 𝑥 ∈ 𝑋, bán kính 𝑟 > 0:

𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝑟}.

Định nghĩa 1.5 (Arandelovic and Keckic [1])
(Một số điều kiện có thể dùng để thay thế cho bất đẳng thức tam giác)
Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Ta định nghĩa 8 tính chất sau đây:

(W3): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑦.
𝑛→∞

𝑛→∞

(W4): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0.
𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

(HE): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0.
𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

(CC): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦).
𝑛→∞

𝑛→∞

(W): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0.
𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

(JMS): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.
𝑛→∞

𝑛→∞

(MT): Tồn tại 𝐾 ≥ 1 để mà với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋:

𝑛→∞

𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾[𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)].

(MC): Tồn tại 𝜀: ℝ+ → ℝ+ và 𝐾 ≥ 1 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋:

• 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝜀(max{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}) + 𝐾 min{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}
• lim+ 𝜀(𝑡) = 0.
𝑡→0

Chú ý (Arandelovic and Keckic [1])
Ta có một số liên hệ sau:
a) (W) ⇒ (W4) ⇒ (W3);

(W) ⟹ (JMS);

(W) ⟹ (HE);

(CC) ⟹ (W3).

(W3) ⇏ (HE);

(W3) ⇏ (CC);

b) (W4) ⇏ (HE);

(HE) ⇏ (W3);

(HE) ⇏ (CC);

Chứng minh

a) • (W) ⇒ (W4)

(W4) ⇏ (CC);

(HE) ⇏ (W4);

(W3) ⇏ (W4);
7

(CC) ⇏ (HE).


Đặt 𝑧𝑛 = 𝑥, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0. Khi đó:
𝑛→∞

𝑛→∞

lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 hay lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0.

𝑛→∞

• (W4) ⇒ (W3)

𝑛→∞

Đặt 𝑦𝑛 = 𝑦, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 0. Khi đó:
𝑛→∞

• (W) ⇒ (JMS)

𝑛→∞

lim 𝑑(𝑦, 𝑥) = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑥.

𝑛→∞

Ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0.
𝑛→∞

Suy ra lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.
𝑛→∞

• (W) ⇒ (HE)

𝑛→∞

𝑛→∞

Đặt 𝑧𝑛 = 𝑥, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0
𝑛→∞

𝑛→∞

Suy ra lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0.
𝑛→∞

• (CC) ⇒ (W3)

Ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦)
𝑛→∞

𝑛→∞

Kết hợp với lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 0 ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑦.
𝑛→∞

b) Ta chứng minh các khẳng định qua các ví dụ:

i) (𝑊4) ⇏ (𝐻𝐸) và (𝑊4) ⇏ (𝐶𝐶) và do đó (𝑊3) ⇏ (𝐻𝐸) và (𝑊3) ⇏ (𝐶𝐶)

theo 𝑎).

Xét 𝑋 = [0, ∞) và 𝑑(𝑥, 𝑦) = �

|𝑥 − 𝑦| nếu 𝑥 ≠ 0 và 𝑦 ≠ 0
1

𝑥

0

nếu 𝑥 ≠ 0, 𝑦 = 0
nếu 𝑥 = 𝑦 = 0

Khi đó, (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn (𝑊4) nhưng không

thỏa mãn (𝐻𝐸) với 𝑥𝑛 = 𝑛, 𝑦𝑛 = 𝑛 + 1. Hơn nữa (𝑋, 𝑑) không thỏa mãn (𝐶𝐶) với

𝑥𝑛 = 𝑛, 𝑥 = 0, 𝑦 ≠ 0.

ii) (𝐻𝐸) ⇏ (𝑊3) do đó (𝐻𝐸) ⇏ (𝑊4) và (𝐻𝐸) ⇏ (𝐶𝐶).
8


|𝑥 − 𝑦| nếu 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Xét 𝑋 = [0,1] ∪ {2} và 𝑑(𝑥, 𝑦) = � |𝑥| nếu 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑦 = 2
0
nếu 𝑥 = 0, 𝑦 = 2

𝑑(𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(2,2) = 0.

1

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn (𝐻𝐸). Với 𝑥𝑛 = ta có:

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 0) = lim 𝑑(𝑥𝑛 , 2) = 0

𝑛→∞

Nhưng 𝑑(0,2) ≠ 0.

𝑛

𝑛→∞

Vậy (𝑋. 𝑑) không thỏa mãn (𝑊3).

iii) (𝐶𝐶) ⇏ (𝑊4) và do đó (𝑊3) ⇏ (𝑊4)
1

Xét 𝑋 = � : 𝑛 ∈ ℕ∗ � ∪ {0} và
𝑛

1

1

𝑑 �0, � = nếu 𝑛 lẻ
𝑛
𝑛
1

𝑑 �0, � = 1 nếu 𝑛 chẵn
𝑛

1 1
⎧� − � nếu 𝑚 + 𝑛 chẵn
⎪𝑚 𝑛
1 1
𝑑� , � = 1 1
𝑚 𝑛
⎨�𝑚 − 𝑛� nếu 𝑚 + 𝑛 lẻ và |𝑚 − 𝑛| = 1
⎪
⎩ 1
nếu 𝑚 + 𝑛 lẻ và |𝑚 − 𝑛| > 2

1

2𝑛+1

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn (𝐶𝐶) nhưng không thỏa mãn (𝑊4) với 𝑥𝑛 =

, 𝑦𝑛 =

1

2𝑛

.

iV) (𝐶𝐶) ⇏ (𝐻𝐸)
1

Giả sử 𝑋 = � : 𝑛 ∈ ℕ∗ � ∪ {0} và
𝑛

1 1
− � nếu |𝑚 − 𝑛| ≥ 2
�
1 1
𝑛
𝑚
𝑑� , � = �
𝑚 𝑛
1
nếu |𝑚 − 𝑛| = 1
0

nếu 𝑚 = 𝑛

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn (𝐶𝐶).
1

Với 𝑥𝑛 = , 𝑦𝑛 =
𝑛

1

, ta có:

𝑛+1

9

,

1
1
𝑑 � , 0� =
𝑛
𝑛


lim 𝑑(𝑥𝑛 , 0) = lim 𝑑(𝑦𝑛 , 0) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) ≠ 0

𝑛→∞

𝑛→∞

Do đó (𝑋, 𝑑) không thỏa mãn (𝐻𝐸).

𝑛→∞

Mệnh đề 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Những điều kiện sau là tương

đương:

a) (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞

𝑛→∞

𝑛→∞

b) Tồn tại 𝛿, 𝜂 > 0 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋,

𝑛→∞

𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝛿 ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝜂

c) Tồn tại 𝑟 > 0 sao cho:

sup�diam�𝐵(𝑥, 𝑟)�: 𝑥 ∈ 𝑋� < ∞

1.1.2. Không gian nửa metric

Định nghĩa 1.6 (Arandelovic and Keckic [1])
Trong mỗi không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑), ta có các định nghĩa:

a) Tập 𝐹 ⊆ 𝑋 là đóng khi và chỉ khi 𝑑(𝑥, 𝐹) = 0 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐹, ∀𝑥 ∈ 𝑋. Trong đó:
𝑑(𝑥, 𝐹) = inf {𝑑(𝑥, 𝑦): 𝑦 ∈ 𝐹}.

b) Ta nói tập 𝐹 ⊂ 𝑋 là mở nếu 𝑋\𝐹 là đóng và ký hiệu 𝜏𝑑 là họ tất cả các tập

mở. Khi đó họ 𝜏𝑑 là một tôpô trên 𝑋, nghĩa là:
i) ∅, 𝑋 ∈ 𝜏𝑑

ii) 𝐹1 , 𝐹2 ∈ 𝜏𝑑 ⟹ 𝐹1 ∩ 𝐹2 ∈ 𝜏𝑑

iii) 𝐹𝑖 ∈ 𝜏𝑑 , ∀𝑖 ∈ 𝐼 ⟹ ⋃ 𝐹𝑖 ∈ 𝜏𝑑
𝑖∈𝐼

Cặp (𝑋, 𝜏𝑑 ) được gọi là không gian tôpô sinh bởi 𝑑.

Định nghĩa 1.7 (Arandelovic and Keckic [1])

Một không gian tôpô (𝑋, 𝜏𝑑 ) là khả nửa metric nếu có một hàm metric đối

xứng 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ sao cho 𝜏𝑑 = 𝜏 và ánh xạ 𝑐:

𝑋 ⊇ 𝐴 ⟼ 𝑐(𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0}

là toán tử bao đóng trong 𝜏𝑑 .

10


Ta sẽ phát biểu và chứng minh hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])
Nếu (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thì họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là

một cơ sở lân cận của x. Hơn nữa, nếu 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 thì 𝑥𝑛 → 𝑥 trong 𝜏𝑑 .
Chứng minh

• Giả sử 𝑈 ∋ 𝑥 là một tập mở. Ta có 𝑋 ∖ 𝑈 là tập đóng.

⟹ 𝑥 ∉ 𝑋 ∖ 𝑈 và 𝑑(𝑥, 𝑋 ∖ 𝑈) = 𝜂 > 0 ⟹ 𝐵(𝑥, 𝜂) ⊆ 𝑈.

Vậy họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là một cơ sở lân cận của x.
• Giả sử 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0. Cần chứng minh 𝑥𝑛 → 𝑥 trong 𝜏𝑑 .

Nếu 𝑈 ∋ 𝑥 là một tập mở thì 𝑈 ⊇ 𝐵(𝑥, 𝜂) với 𝜂 > 0. Khi đó, tập hợp cuối

cùng chứa tất cả các phần tử của dãy (𝑥𝑛 )𝑛 từ lúc nào đó.
Vậy 𝑥𝑛 → 𝑥 trong 𝜏𝑑 .

Mệnh đề 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Khi đó (𝑋, 𝑑) là không gian nửa

metric khi và chỉ khi những điều kiện sau đây được thỏa mãn:

a) (𝑋, 𝜏𝑑 ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.

b) Với mỗi dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊆ 𝑋, 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 ⟺ 𝑥𝑛 → 𝑥 trong tôpô 𝜏𝑑 .

Chứng minh
(⇐)

Giả sử 𝐴̅ là bao đóng của 𝐴 trong tôpô 𝜏𝑑 . Ta chứng minh:
𝐴̅ = 𝑐(𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0}.

Ta có (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nên:

𝑥 ∈ 𝐴̅ ⟺ ∃(𝑥𝑛 )𝑛 ⊆ 𝐴 sao cho 𝑥𝑛 → 𝑥 trong tôpô 𝜏𝑑 .
(b)

⟺ 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0

(⟹)

⟺ 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0.

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian nửa metric.

• Chứng minh (a) đúng. Ta có:

11


Họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là một cơ sở lân cận của x (mệnh đề 1.2). Do đó

Int 𝐵(𝑥, 𝑟) ≠ ∅.

Thật vậy, giả sử trái lại ta có Int 𝐵(𝑥, 𝑟) = ∅ thì
�������������������������
{𝑦
∈ 𝑋: 𝑑(𝑦, 𝑥) ≥ 𝑟} = 𝑋

Khi đó có dãy (𝑦𝑛 )𝑛 : 𝑑(𝑥, 𝑦𝑛 ) → 0 và 𝑑(𝑥, 𝑦𝑛 ) → 𝑟 (mâu thuẩn).
Vậy họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là một cơ sở lân cận của x.

• Chứng minh (b) đúng:

(⟹)

Giả sử 𝑥𝑛 → 𝑥 trong tôpô 𝜏𝑑 . Nếu 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) ↛ 0 thì tồn tại dãy con 𝑥𝑛𝑘 → 𝑥

trong 𝜏𝑑 và 𝜂 > 0 sao cho 𝑑�𝑥𝑛𝑘 , 𝑥� ≥ 𝜂.
Xét tập 𝐴 = �𝑥𝑛𝑘 : 𝑘 ≥ 1�.

Giả sử 𝐹 ⊇ 𝐴 là một tập đóng. Nếu 𝑥 ∉ 𝐹 thì 𝑋 ∖ 𝐹 là tập mở chứa x. Do đó

𝑋 ∖ 𝐹 ∋ 𝑥𝑛𝑘 (mâu thuẩn).

Ta được: 𝑥 ∈ 𝐹 và 𝑥 ∈ 𝐴̅, nghĩa là:

(⟸)

0 = 𝑑(𝑥, 𝐴) = Infk 𝑑�𝑥𝑛𝑘 , 𝑥� ≥ 𝜂 (mâu thuẩn).

Ta có 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 ⟹ 𝑥𝑛 → 𝑥 trong tôpô 𝜏𝑑 (mệnh đề 1.2).

Định lý 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Khi đó các điều kiện sau là tương

đương:

a) (𝑆𝐶): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦);
𝑛→∞

mở.

𝑛→∞

b) (𝑋, 𝑑) là một không gian nửa metric trong đó mọi quả cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) là tập
Chứng minh
a) ⟹ b)

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑆𝐶). Khi đó

𝑐�𝑐(𝐴)� ⊇ 𝑐(𝐴). Chứng minh 𝑐�𝑐(𝐴)� ⊆ 𝑐(𝐴).

Giả sử 𝑥 ∈ 𝑐�𝑐(𝐴)� thì 𝑑(𝑥, 𝑥𝑛 ) → 0, với một dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊆ 𝑐(𝐴).
12


(𝑛)

Hơn nữa, với mọi 𝑛, có một dãy �𝑦𝑘 � ⊆ 𝐴 sao cho:
Từ tính chất (𝑆𝐶) ta có:

(𝑛)

𝑘

lim 𝑑 �𝑦𝑘 , 𝑥𝑛 � = 0

𝑘→∞

(𝑛)

lim 𝑑 �𝑦𝑘 , 𝑥� ≤ 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥)

𝑘→∞

Do đó có 𝑘 = 𝑘(𝑛) đủ lớn sao cho:
(𝑛)

𝑑 �𝑦𝑘(𝑛) , 𝑥� < 2𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 khi 𝑛 → ∞

(𝑛)

Do đó dãy �𝑦𝑘(𝑛) � ⊆ 𝐴 hội tụ về 𝑥 nên 𝑥 ∈ 𝑐(𝐴).
𝑛

Vậy 𝑐�𝑐(𝐴)� ⊆ 𝑐(𝐴) và do đó 𝑐�𝑐(𝐴)� = 𝑐(𝐴).
Vậy (𝑋, 𝑑) là một không gian nửa metric.

• Chứng minh rằng quả cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) là mở hay chứng minh tập hợp sau là đóng:
𝐶 = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑟}

Giả sử 𝑦 ∈ 𝑐(𝐶). Khi đó có một dãy (𝑦𝑛 )𝑛 ⊆ 𝐶 sao cho 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑦) → 0.

Từ tính chất (𝑆𝐶) ta có:

𝑟 ≤ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) ≤ 𝑑(𝑦, 𝑥)

nên 𝑦 ∈ 𝐶.

𝑛→∞

Vậy 𝐶 đóng.

b) ⟹ a)

Giả sử (𝑋, 𝑑) là một không gian nửa metric, trong đó mọi quả cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) là

mở. Giả sử 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦) và (𝑥𝑛 )𝑛 ⊆ 𝑋 là dãy sao cho:
lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0

𝑛→∞

Họ các quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 > 0} là cơ sở của tôpô 𝜏𝑑 .

Ta được ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ∀𝑟1 > 0 sao cho 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝑟1 , tồn tại 𝑟2 > 0 sao cho nếu

𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) < 𝑟2 thì 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) < 𝑟1 .

Do đó lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝑟1 và vì vậy lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) do ta có thể chọn

𝑟1 → 𝑑(𝑥, 𝑦).

𝑛→∞

𝑛→∞

13

∎


Hệ quả 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])
Tồn tại một không gian nửa metric với quả cầu mở không thỏa mãn tính chất
(𝑊4):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0.

𝑛→∞

𝑛→∞

Chứng minh

𝑛→∞

1

, 𝑛 𝑙ẻ

Giả sử 𝑋 = � : 𝑛 = 1, 2, 3, … . � ∪ {0} và 𝑑 � , 0� = � 𝑛
𝑛
𝑛
1, 𝑛 𝑐ℎẵ𝑛
1

1

1 1
⎧� − � , 𝑚 + 𝑛 𝑐ℎẵ𝑛
⎪𝑚 𝑛
1 1
𝑑� , � = 1 1
𝑚 𝑛
⎨�𝑚 − 𝑛� , 𝑚 + 𝑛 𝑙ẻ 𝑣à |𝑚 − 𝑛| = 1
⎪
⎩ 1
, 𝑚 + 𝑛 𝑙ẻ 𝑣à |𝑚 − 𝑛| ≥ 2

Ta có (𝑋, 𝑑 ) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶). Do đó

(𝑋, 𝑑 ) là không gian nửa metric với quả cầu mở. Tuy nhiên, (𝑋, 𝑑 ) không thỏa mãn
tính chất (𝑊4). Thật vậy:

1

Xét các dãy 𝑥𝑛 = (2𝑛+1) và 𝑦𝑛 =

1

2𝑛

, ta được:

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0 và lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 1 ≠ 0.

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

Hệ quả 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Tồn tại một không gian nửa metric với quả cầu mở không thỏa mãn tính chất
(𝐽𝑀𝑆):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.

𝑛→∞

Chứng minh

𝑛→∞

Giả sử 𝑋 = ℕ và 𝑑(𝑚, 𝑛) =

𝑛→∞

|𝑚−𝑛|

2min{𝑚,𝑛}

.

Ta có nếu 𝑋 ∋ 𝑥𝑛 → 𝑥 thì 𝑥𝑛 là hằng số, với 𝑛 ≥ 𝑛0 và do đó 𝑋 thỏa mãn tính

chất (𝑆𝐶).

Do đó (𝑋, 𝑑 ) là không gian metric đối xứng với quả cầu mở. Tuy nhiên (𝑋, 𝑑 )

không thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆). Thật vậy:

Giả sử (𝑥𝑛 )𝑛 là dãy sao cho 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 3𝑥𝑛 .
14


Giả sử 𝑦𝑛 = 2𝑥𝑛 và 𝑧𝑛 = 𝑥𝑛+1 .

Khi đó:

𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) =
𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) =

𝑥𝑛

2𝑥𝑛

→ 0;

3𝑥𝑛 −𝑥𝑛

𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) =

4 𝑥𝑛

3𝑥𝑛
2𝑥𝑛

→ 0;

→ ∞.

∎

Hệ quả 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

Tồn tại một không gian nửa metric với quả cầu mở không thỏa mãn tính chất
(𝐻𝐸):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0.

𝑛→∞

𝑛→∞

Chứng minh

𝑛→∞

1

Giả sử 𝑋 = � : 𝑛 = 1, 2, 3, … . � ∪ {0} và
𝑛

1 1
1 1
� − � , |𝑚 − 𝑛| ≥ 2
𝑑� , � = � 𝑚 𝑛
𝑛 𝑚
1 , |𝑚 − 𝑛| = 1
1

𝑑 � , 0� =
𝑛

1

𝑛

và 𝑑(𝑥, 𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝑋.

Ta có (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) nên (𝑋, 𝑑)

là không gian nửa metric với quả cầu mở. Tuy nhiên, (𝑋, 𝑑) không thỏa mãn tính chất
(𝐻𝐸). Thật vậy:

1

1

Chọn 𝑥𝑛 = ; 𝑦𝑛 = (𝑛+1) ta có:
𝑛

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 0) = lim 𝑑(𝑦𝑛 , 0) = 0;

𝑛→∞

𝑛→∞

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 1 ≠ 0.

𝑛→∞

Nhận xét

∎

Một không gian nửa metric với quả cầu mở hiển nhiên là một 𝑇1 −không gian

nhưng nó không nhất thiết là một 𝑇2 −không gian.
Ví dụ (Arandelovic and Keckic [1])

Xét 𝑋 = ℕ ∪ {∞1 , ∞2 } và 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ sao cho:
15


𝑑(𝑚, 𝑛) = �

1 1
− �,
𝑚 𝑛

𝑑(𝑚, ∞1 ) = 𝑑(∞1 , 𝑚) = 𝑑(𝑚, ∞2 ) = 𝑑(∞2 , 𝑚) =
𝑑(∞1 , ∞2 ) = 𝑑(∞2 , ∞12 ) = 1.

1

𝑚

và

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính chất (𝑆𝐶) vì nếu 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 thì hoặc là 𝑥𝑛 là

hằng số, với 𝑛 ≥ 𝑛0 hoặc là 𝑥 ∈ {∞1 , ∞2 }.

Ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) nên (𝑋, 𝑑) là không gian nửa metric với quả cầu
𝑛→∞

mở. Tuy nhiên, nó không phải là 𝑇2 − không gian vì với mọi lân cận mở của ∞1 và

∞2 có phần giao không rỗng.

Hơn nữa, dãy 𝑥𝑛 = 𝑛 có hai điểm giới hạn phân biệt đã chứng tỏ rằng (𝑋, 𝑑)

không thỏa mãn tính chất (𝑊3).

Ví dụ (Arandelovic and Keckic [1])

1

Giả sử 𝑋 = � : 𝑛 ∈ ℕ� ∪ {0, −1} và 𝑑 là metric thông dụng trong ℝ.
𝑛

Ta định nghĩa 𝜌 như sau:

𝜌(−1, 𝑥) = 𝜌(𝑥, −1) = 𝑑(−1, 𝑥) −
𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) khi 𝑥 ∈ {0; −1}.

1
2

khi 𝑥 ≠ {0; −1} và

Không gian (𝑋, 𝜌) thỏa mãn tính chất (𝑆𝐶) và do đó là không gian nửa metric.

Thật vậy, nếu lim 𝑑 ∗ (𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 thì hoặc là 𝑥𝑛 = 𝑥 với 𝑛 ≥ 𝑛0 hoặc là 𝑥 = 0.
Trong trường hợp 𝑥𝑛 = 𝑥, với 𝑛 ≥ 𝑛0 . Ta có:

𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦), với mọi 𝑦 ∈ 𝑋.

1

Trong trường hợp thứ hai thì 𝑥𝑛 bao gồm 0 và một dãy con của � �.
𝑛
1

• Nếu 𝑦 = −1 thì 𝜌(−1, 𝑥𝑛 ) bao gồm 1 và một dãy con của +
𝑛

Do đó:

lim 𝜌(𝑥𝑛 , −1) ≤ 1 = 𝑑(0, −1).

𝑛→∞

• Nếu 𝑦 ≠ −1 thì 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) → 𝑑(0, 𝑦) = 𝜌(0, 𝑦).
16

1
2

1

hội tụ về .
2


1

Mặt khác, (𝑋, 𝜌) không thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶). Thật vậy, với 𝑥𝑛 = , 𝑥 = 0
𝑛

và 𝑦 = −1 ta có:

1

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 và lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = ≠ 1 = 𝑑(−1,0).

𝑛→∞

2

𝑛→∞

Do đó, có một không gian nửa metric không thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶).

1.1.3. Không gian loại metric

Định nghĩa 1.8 (Arandelovic and Keckic [1])
Không gian loại metric là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất
(𝑀𝑇):

Tồn tại 𝐾 ≥ 1 sao cho: 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾�𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Một không gian loại metric được xem là bộ ba (𝑋, 𝑑, 𝐾), trong đó (𝑋, 𝑑) là

không gian metric đối xứng và 𝐾 ≥ 1 là số thực sao cho:

𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾�𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Chúng ta thấy rằng không gian loại metric bao gồm lớp của những không gian
metric đối xứng. Vì thế, những khái niệm về dãy hội tụ, dãy Cauchy và không gian
đầy đủ được định nghĩa giống như trong không gian metric đối xứng.
Mệnh đề 1.4 (Arandelovic and Keckic [1])
a) Giả sử (𝑋, 𝑑, 𝐾) là một không gian loại metric, khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính

chất (𝑀𝐶):

Tồn tại 𝜀: ℝ+ → ℝ+ và 𝐾 ≥ 1 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋:

• 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝜀(max{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}) + 𝐾 min{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}
• 𝑙𝑖𝑚+ 𝜀(𝑡) = 0
𝑡→0

b) Giả sử (𝑋, 𝑑) là một không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝐶).

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn các tính chất (𝑊3), (𝑊4), (𝐻𝐸), (𝑊) và (𝐽𝑀𝑆).
Chứng minh

Định nghĩa 𝜀(𝑡) = 𝐾𝑡, khi đó với mỗi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋:

𝜀 (max{𝑑 (𝑥, 𝑦), 𝑑 (𝑦, 𝑧)}) + 𝐾 min{𝑑 (𝑥, 𝑦), 𝑑 (𝑦, 𝑧)} = 𝐾�𝑑 (𝑥, 𝑦) + 𝑑 (𝑦, 𝑧)�

Suy ra 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾�𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋
17


Khi đó (𝑋, 𝑑) thoả mãn tính chất (𝑀𝐶).

Giả sử (𝑥𝑛 )𝑛 , (𝑦𝑛 )𝑛 và (𝑧𝑛 )𝑛 là ba dãy trong 𝑋 sao cho:
lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0

𝑛→∞

𝑛→∞

⟹ 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≤ 𝜀(max{𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 )}) + 𝐾 min{𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 )}
Vậy lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0.

𝑛→∞

Như vậy (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính chất (𝑊), từ đó thỏa mãn các tính chất

(𝑊3), (𝑊4), (𝐻𝐸) và (𝐽𝑀𝑆).

∎

Ví dụ (Arandelovic and Keckic [1])

Giả sử 𝛿 > 0; 𝑋 = [0; 1] ∪ {2} và 𝑑 là metric thông dụng trong ℝ.
Định nghĩa 𝜌 như sau:

1

𝜌(2, 𝑥) = 𝜌(𝑥, 2) = 𝑑(2, 𝑥) + 𝛿, với 𝑥 ∈ � , 1� và
2

1

𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) với 𝑥 ∉ � , 1�.
2

Ta có (𝑋, 𝜌 ) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇).
Thật vậy,

1

Nếu {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∩ � , 1� = ∅ thì:
2

(1.1)

𝜌(𝑥, 𝑧) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑦) + 𝜌(𝑦, 𝑧)

Vì trong trường hợp này 𝜌 và 𝑑 trùng nhau. Bất đẳng thức này cũng thỏa mãn

nếu 2 trong 3 điểm 𝑥, 𝑦, 𝑧 trùng nhau.

Trong trường hợp khác, xét tỉ số sau:
𝑄=

• Nếu 𝑦 = 2 và 𝑥, 𝑧 ≠ 2 thì:
1

𝜌(𝑥, 𝑧)
𝜌(𝑥, 𝑦) + 𝜌(𝑦, 𝑧)

𝜌(𝑥, 𝑧) ≤ 1 và 𝜌(𝑥, 2) + 𝜌(2, 𝑧) ≥ 1 + 1 = 2

Do đó 𝑄 ≤ < 1 và (1) đúng.
2

1

• Nếu 𝑥 = 2 và 𝑦, 𝑧 > thì 𝑄 =
2

𝑄 = 1 với 𝑧 < 𝑦;
𝑄<

2+𝛿−𝑧

2+𝛿−𝑦

≤ 1 với 𝑧 > 𝑦.

2−𝑧+𝛿

2−𝑦+𝛿+|𝑧−𝑦|

18

và


Vậy (1.1) đúng.

1

• Nếu 𝑥 = 2 và 𝑧 ≤ < 𝑦 thì 𝑄 =
2

1

2−𝑧

2−𝑧+𝛿

< 1 và (1.1) đúng.

• Cuối cùng, nếu 𝑥 = 2 và 𝑦 ≤ < 𝑧 thì 𝑄 =
2+𝛿−𝑧

cùng �

1+𝑧

2

� là một hàm giảm theo 𝑧 và

2+𝛿−𝑧

2+𝑧−2𝑦

≤

2+𝛿−𝑧
1+𝑧

và số hạng cuối

1
2 + 𝛿 − 𝑧 2 + 𝛿 − 2 1 + 2𝛿
<
=
1
1+𝑧
3

1+
2
Do đó chúng ta được:
𝜌(𝑥, 𝑧) ≤ �1 +

2𝛿
3

� �𝜌 (𝑥, 𝑦) + 𝜌 (𝑦, 𝑧)�.

Điều này có nghĩa rằng (𝑋, 𝜌) thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇), hay �𝑋, 𝜌, 1 +

một không gian loại metric.

2δ
3

� là

Tuy nhiên, (𝑋, 𝜌) không là không gian nửa metric với quả cầu mở, hay (𝑋, 𝜌)

không thỏa mãn tính chất (𝑆𝐶). Thật vậy, ta xét dãy:
Khi đó 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) =

1

𝑛

1

1

1

(𝑥𝑛 ) = � + � , 𝑥 = và 𝑦 = 2.
2
𝑛
2
3

1

3

3

→ 0 và 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦) = + + 𝛿 = + 𝛿 + = 𝜌(𝑥, 𝑦).
2

𝑛

2

2

Do 𝛿 có thể nhỏ tùy ý, tồn tại một không gian loại metric (𝑋, 𝑑, 𝐾) với K gần

tùy ý tới 1 sao cho (𝑋. 𝑑) không là không gian nửa metric với quả cầu mở.
Từ (𝐶𝐶) ⇏ (𝑊4) và (𝑊) ⇒ (𝑊4) kéo theo (𝐶𝐶) ⇏ (𝑊).
Những bài toán sau đây vẫn còn mở:

Bài toán 1

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑊4) và (𝐻𝐸).

(𝑋, 𝑑) có thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) không?
Bài toán 2

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑊). (𝑋, 𝑑) có

thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) không?
Bài toán 3

19


Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇). (𝑋, 𝑑)

có phải là không gian nửa metric không?

1.2. Điểm bất động của ánh xạ dạng co
Định nghĩa 1.9 (Arandelovic and Keckic [1])
a) Giả sử 𝑋 là tập khác rỗng và 𝑓: 𝑋 → 𝑋 là một ánh xạ tùy ý. Ta nói rằng

𝑥 ∈ 𝑋 là điểm bất động của 𝑓 nếu 𝑥 = 𝑓(𝑥).

b) Nếu 𝑥0 ∈ 𝑋, ta nói dãy (𝑥𝑛 )𝑛 xác định bởi 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑛 (𝑥0 ) là một dãy lặp

Picard của 𝑓 tại điểm 𝑥0 hoặc dãy (𝑥𝑛 )𝑛 là quỹ đạo của 𝑓 tại điểm 𝑥0 .

c) Ký hiệu Φ là tập hợp các hàm thực 𝜑: [0, +∞) →[0, +∞) thỏa mãn những

tính chất sau:

i) 𝜑 là đơn điệu không giảm.

𝜑 ∘����
… ∘ 𝜑(𝑡)
ii) lim 𝜑 𝑛 (𝑡) = 0 , ∀𝑡 > 0, với 𝜑 𝑛 (𝑡) = ��
���.
𝑛→∞

𝑛×

Bổ đề 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])

Nếu 𝜑 ∈ Φ thì 𝜑(𝑡) < 𝑡, ∀𝑡 > 0 và 𝜑(0) = 0.
Chứng minh

Bằng phản chứng, giả sử rằng ∃𝑡 > 0, 𝜑(𝑡) ≥ 𝑡.
Do 𝜑 không giảm nên 𝜑𝑛 (𝑡) ≥ 𝑡, ∀𝑛. Do đó:

lim 𝜑 𝑛 (𝑡) ≥ 𝑡 ⟹ 0 ≥ 𝑡 (vô lí).

Ta được 𝜑(𝑡) < 𝑡, ∀𝑡 > 0. Hơn nữa ta có:
𝜑(0) ≤ 𝜑(𝑡) < 𝑡 ⟹ 𝜑(0) = 0.

1.2.1 Điểm bất động của ánh xạ co trên không gian nửa metric

∎

Phát biểu sau đây nêu kết quả về điểm bất động cho những ánh xạ co phi tuyến
được định nghĩa trên không gian nửa metric.
Mệnh đề 1.5 (Arandelovic and Keckic [1])
Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian nửa metric Hausdorff (𝑇2 −không gian) đầy đủ

thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

20


Xét 𝑓: 𝑋 → 𝑋 và 𝜑 ∈ Φ.

Nếu 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 thì 𝑓 có điểm bất động duy nhất

𝑦 ∈ 𝑋 và ∀𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ về 𝑦.

1.2.2. Điểm bất động trong không gian metric đối xứng

Bổ đề 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])
Cho 𝑋 là tập khác rỗng, xét ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑋 và 𝑛 là một số nguyên dương cố

định sao cho 𝑓 𝑛 có một điểm bất động duy nhất 𝑥∗ . Khi đó:

a) 𝑥∗ là điểm bất động duy nhất của 𝑓.

b) Nếu 𝑋 là một không gian tôpô và mọi dãy lặp Picard của 𝑓 𝑛 hội tụ về 𝑥∗ thì

dãy lặp Picard của 𝑓 luôn hội tụ về 𝑥∗ .
Chứng minh

a) Do 𝑓 𝑛 �𝑓(𝑥∗ )� = 𝑓�𝑓 𝑛 (𝑥∗ )� = 𝑓(𝑥∗ ) nên 𝑓(𝑥∗ ) là điểm bất động của 𝑓 𝑛 và

do đó 𝑥∗ = 𝑓(𝑥∗ ).

Giả sử 𝑥0 ∈ 𝑋 cũng điểm bất động của 𝑓. Khi đó ta có:
𝑥0 = 𝑓(𝑥0 ) = ⋯ = 𝑓 𝑛 (𝑥0 )

Do đó 𝑥0 = 𝑥∗

b) Dãy lặp Picard của 𝑓 tại một điểm tùy ý 𝑥 ∈ 𝑋 có thể được viết là:
𝑛−1

�{𝑓 𝑖+𝑘𝑛 (𝑥) | 𝑘 = 1, 2,3, … }
𝑖=0

Do đó với mỗi 𝑖 ∈ {0, … , 𝑛 − 1} ta có:

lim 𝑓 𝑘𝑛+𝑖 (𝑥) = lim(𝑓 𝑛 )𝑘 �𝑓 𝑖 (𝑥)� = 𝑥∗

𝑘→∞

Vậy lim 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑥∗ .
𝑛→∞

𝑘→∞

Bổ đề 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Cho (𝑋, 𝑑) là một không gian metric đối xứng đầy đủ thỏa mãn các tính chất

(𝑊3), (𝐽𝑀𝑆). Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑋, 𝜑 ∈ Φ và 𝛿, 𝜂 > 0 sao cho:

∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝛿 ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝜂.
21


Nếu 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 và 𝜑(𝜂) ≤

𝛿

2

thì 𝑓 có một điểm

bất động duy nhất 𝑦 ∈ 𝑋 và với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ trong
tôpô 𝜏𝑑 về 𝑦.

Chứng minh

Từ bổ đề 1.1, với mọi 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 ta có:

𝑑�𝑓(𝑝), 𝑓(𝑞)� ≤ 𝜑�𝑑(𝑝, 𝑞)� ≤ 𝑑(𝑝, 𝑞)

Do đó 𝑓 liên tục.

Giả sử 𝑥 ∈ 𝑋, ta có:

𝑑�𝑓 𝑚+𝑛 (𝑥), 𝑓 𝑛 (𝑥)� ≤ 𝜑 𝑛 �𝑑�𝑥, 𝑓 𝑚 (𝑥)�� , ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ

Suy ra 𝑑�𝑓 𝑛+1 (𝑥), 𝑓 𝑛 (𝑥)� ≤ 𝜑 𝑛 �𝑑�𝑥, 𝑓(𝑥)��

⟹ 𝑑�𝑓 𝑛+1 (𝑥), 𝑓 𝑛 (𝑥)� → 0.

Khi đó tồn tại 𝑘 ∈ ℕ sao cho:

𝛿
𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+1 (𝑥)� ≤ min � , 𝜂�
2

• Ta sẽ chứng minh: 𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛 (𝑥)� ≤ 𝜂, ∀𝑛 ∈ ℕ
Theo định nghĩa của 𝑘, ta có (1.2) đúng với 𝑛 = 1.

(1.2)

Giả sử (1.2) đã đúng cho 𝑛.

𝛿

Do 𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+1 (𝑥)� ≤ và
2

𝑑 �𝑓 𝑘+1 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+1 (𝑥)� ≤ 𝜑 �𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛 (𝑥)�� ≤ 𝜑(𝜂) ≤

𝛿

2

Ta có 𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+1 (𝑥)� + 𝑑 �𝑓 𝑘+1 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+1 (𝑥)� ≤ 𝛿 và do đó
𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+1 (𝑥)� ≤ 𝜂 (mệnh đề 1.1).

Ta được (1.2) đúng với mọi 𝑛 ≥ 1. Khi đó:

𝑑 �𝑓 𝑘+𝑛 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+𝑚 (𝑥)� ≤ 𝜑 𝑛 (𝜂), ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.

Vậy�𝑓 𝑛 (𝑥)�𝑛 là dãy Cauchy.

22


Khi đó tồn tại 𝑦 ∈ 𝑋 sao cho lim 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑦. Do 𝑓 liên tục, ta được
𝑛→∞

lim 𝑓 𝑛+1 (𝑥) = 𝑓(𝑦). Suy ra 𝑓(𝑦) = 𝑦 do 𝑓 thỏa mãn (𝑊3).

𝑛→∞

Do 𝑑(𝑓 𝑛 (𝑥), 𝑦) = 0 và do mệnh đề 1.2 ta có 𝑓 𝑛 (𝑥) → 𝑦 trong tôpô 𝜏𝑑 .

Nếu 𝑦 ∗ là một điểm bất động khác của 𝑓 thì với mọi 𝑛 ta có:

𝑑(𝑦, 𝑦 ∗ ) = 𝑑�𝑓 𝑛 (𝑦), 𝑓 𝑛 (𝑦 ∗ )� ≤ 𝜑 𝑛 �𝑑(𝑦, 𝑦 ∗ )� → 0 khi 𝑛 → ∞

Do đó 𝑦 = 𝑦∗ .

∎

Định lý 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])

Cho (𝑋, 𝑑) là một không gian metric đối xứng đầy đủ thỏa mãn các tính chất

(𝑊3) và (𝐽𝑀𝑆), giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑋 và 𝜑 ∈ Φ.

Nếu 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 thì 𝑓 có một điểm bất động duy

nhất 𝑦 ∈ 𝑋 và với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ theo 𝑑 và cũng do

mệnh đề 1.2, nó hội tụ về cùng một giới hạn trong tôpô 𝜏𝑑 .
Chứng minh

Do mệnh đề 1.1 tồn tại 𝛿, 𝜂 > 0 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋,
𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝛿 ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝜂
𝛿

Nếu 𝜑(𝜂) ≤ thì theo bổ đề 1.3 suy ra 𝑓 có một điểm bất động duy nhất 𝑦 ∈ 𝑋
2

và với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ trong tôpô 𝜏𝑑 về 𝑦.
𝛿

Giả sử 𝜑(𝜂) > . Khi đó tồn tại một số nguyên dương bé nhất 𝑗 > 1 sao cho
𝛿

𝜑 𝑗 (𝜂) ≤ .
2

2

Hơn nữa, ta có:
𝑑 �𝑓 𝑗 (𝑥), 𝑓 𝑗 (𝑦)� ≤ 𝜑 𝑗 �𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝜑 𝑗 ∈ Φ

Do bổ đề 1.3, ta được 𝑓 𝑗 có một điểm bất động duy nhất 𝑧 ∈ 𝑋 và với mỗi

𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 𝑗 tại 𝑥 hội tụ trong tôpô 𝜏𝑑 về 𝑧.

Do bổ đề 1.2 ta suy ra 𝑓 có một điểm bất động duy nhất 𝑧 ∈ 𝑋 và với mỗi

𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ trong tôpô 𝜏𝑑 về 𝑧.
Bổ đề 1.4 (Arandelovic and Keckic [1])
23

∎