Đề thi kiểm tra năng lực giáo viên giỏi tham khảo (16)

PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
ĐỀ CHÍNH
THỊ XÃ THỨC
CẤP THCS
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------Câu 1. (3.5 điểm):
Anh (chị) hãy trình bày các hoạt động trình tự của phương pháp chung để tìm lời giải
một bài toán. Lấy ví dụ minh họa.
Câu 2. (4,0 điểm):
Anh (chị) hãy giải các bài toán sau:
a) Tìm x, y biết:

2x + 1 3 y − 2 2x + 3 y −1
=
=
.
5
7
6x

b) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 2013. Tính giá trị của biểu thức sau:
P=

2013 x
y
z
+

+
.
xy + 2013 x + 2013 yz + y + 2013 xz + z + 1

Câu 3. (2.0 điểm):
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Ax, By là hai tia vuông góc với AB và nằm cùng
phía với nửa đường tròn. I là một điểm thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại I cắt Ax, By lần
lượt tại M, N. Chứng minh tam giác MON vuông.
Anh (chị) hãy giải bài toán trên và cho biết bài toán trên giúp học sinh rèn luyện những
hoạt động toán học nào?
Câu 4. (4,5 điểm):
Cho x, y là các số dương thỏa mãn: x + y = 1.
1

4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y .
Một học sinh có lời giải như sau: Áp dụng BĐT Côsy cho hai số dương
1 4
4
x+ y 1
. =
= (2).
(1) và xy ≤
x y
2
2
xy
4
Từ (1) và (2) suy ra A ≥ xy ≥ 8 . Vậy minA = 8.

1
x

4
y

Ta có: A = + ≥ 2

a) Anh (chị) hãy chỉ ra sai lầm của học sinh trong lời giải bài toán trên.
b) Anh (chị) hãy trình bày lời giải đúng của bài toán.
Câu 5. (6,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và M là một điểm trên cạnh CD ( M khác C và D).
Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại H. BH cắt AC tại K.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác ABCH nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AD, MK, CH đồng qui.
c) Tia AM cắt tia BC ở E.Tia vuông góc với tia AM tại A cắt tia CD ở F. Xác định vị trí
của M trên cạnh CD sao cho diện tích tứ giác ACEF gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD
- Anh (chị) hãy giải bài toán trên.
- Anh (chị) hãy hướng dẫn để học sinh giải câu b.


-----------------------Hết----------------------Họ và tên giáo viên dự thi----------------------------------------

SBD: ----------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, giáo viên dự thi không sử dụng tài liệu).
PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THỊ XÃ CẤP THCS
NĂM HỌC 2013 - 2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Câu
Nội dung
Câu 1
Phương pháp chung tìm lời giải bài toán
(3,5đ) - Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Giả thiết là gì? Kết luận? Hình vẽ ra sao…
+ Phát biểu bài toán dưới nhiều dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán.
+ Bài toán này thuộc dạng toán nào?
+ Các kiến thức liên quan.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Chỉ rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự thích hợp.
- Bước 3: Thực hiện chương trình giải:
Trình bày theo các bước đã được chỉ ra.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
+ Xem có sai lầm không.
+ Có thể giải bài toán theo cách khác được không.
+ Có thể khai thác được bài toán không.
Ví dụ (Gợi ý): Dạy giải bài tập: Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách
hợp lí 21,6. 810. 112 − 52
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán
- Yêu cầu tính giá trị biểu thức hợp lí nên không thể thực hiện phép khai
phương ở từng căn thức. Do đó phải biến đổi thành những căn thức mà
biểu thức dưới dấu căn có thể khai phương được.
Bước 2: Xác định hướng giải và thiết lập chương trình giải
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
- Thực hiện các phép nhân căn thức
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
21,6. 810. 112 − 52 = 21,6. 81.10

( 11 + 5 ) ( 11 − 5 )

= 9 21,6.10.4 6 = 36 216.6 = 36 63.6 = 36.6 2 = 1296
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
- Các phép toán đã được thực hiện chính xác, kết quả đúng.
- Các khâu suy luận hợp lí, các phép biến đổi hợp lí.
- Tìm thêm cách giải khác:

21,6. 810. 112 − 52 = 21,6.810.(121 − 25) = 216.81.96 = 63.9 2.6.42
(Ví dụ hợp lí được 1,5 điểm)
Câu 2
(4,0 đ)

Điểm
0,5

0,5
0,5
0,5

1,5


2x + 1 3 y − 2 2x + 3 y −1
a
=
=
Theo bài ra ta có:
(1)

5
7
6x
(2,0 đ)
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
2x + 1 3 y − 2 2x +1 + 3 y − 2 2x + 3 y −1
=
=
=
(2)
5
7
5+7
12

−1

 x = 2
2 x + 1 = 0
⇒
+) nếu 2 x + 3 y − 1 = 0 (*) thì từ (2) ⇒ 
(TM (*))
3 y − 2 = 0  y = 2

3
+) Nếu 2 x + 3 y − 1 ≠ 0 . Từ (1) và (2) ⇒ 6 x = 12 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3
−1

 x = 2  x = 2
Vậy  2 ; 

thỏa mãn bài toán.
y = 3
y =

3

b
Vì xyz = 2013 nên
2013 x
(2,0 đ) P =
+
xy + 2013 x + 2013

0,5

0,5
0,5
0,5

y
z
+
yz + y + 2013 xz + z + 1

xyzx
y
z
xyzx
y
z

+
+
=
+
+
xy + xyzx + xyz yz + y + xyz xz + z + 1 xy (1 + xz + z ) y ( z + 1 + xz ) xz + z + 1
xz
1
z
xz
z
1
=
+
+
=
+
+
1 + xz + z z + 1 + xz xz + z + 1 xz + z + 1 xz + z + 1 xz + z + 1
xz + z + 1
=
=1
xz + z + 1
=

1,0

1,0

Câu 3

(2,0 đ)

Vì Ax, By là hai tia vuông góc với đường kính AB của (O) nên Ax, By
là hai tiếp tuyến của (O).
Ta có OM, ON lần lượt là hai tia phân giác của hai góc AOI và BOI kề
bù nhau (Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
·
⇒ OM ⊥ ON ⇒ MON
= 900 hay tam giác MON vuông tại O
Bài toán trên giúp học sinh rèn luyện hoạt động toán học “nhận dạng” và
“thể hiện” tính chất của tiếp tuyến và áp dụng tính chất của tiếp tuyến.
Câu 4
(4,5 đ)
a
Lời giải của em HS là sai ở điều kiện xảy ra dấu bằng
(1,5 đ) Theo lời giải trên thì dấu “=” đồng thời xãy ra

0,5
0,5
0,5
0,5


1 4
 y = 4x
 =
⇔ x y ⇔ 
⇔ x = y = 0 . Khi đó A không tồn tại.
x
=

y

x = y


b
(3,0đ)

1,5

Lời giải đúng
Vì x + y = 1.Ta có:
A=

1 4 x + y 4( x + y ) y 4.x
y 4.x
+ =
+
= +
+5≥ 2 .
+ 5 = 9(côsi) ⇒ A ≥ 9 .
x y
x
y
x
y
x y

1
1


 x + y = 1  x =
x=




3
3
dấu “=” xãy ra khi  y = 4 x ⇔ 
. Vậy min A = 9 ⇔ 
x
y = 2
y = 2
y



3
3

1,5
1,5

Câu 5.
(6,0đ )

·
1- a Tứ giác ABCH có: ·ABC + CHA
= 900 + 900 = 1800

(2,0 đ) Suy ra Tứ giác ABCH nội tiếp được một đường tròn.
1- b Vì Tứ giác ABCH nội tiếp đường tròn ⇒ ·ACB = ·AHB mà
(2,0 đ) ·ACB = ·ACD = 450 ⇒ ·ACD = ·AHB = 450 ⇒ KCM
·
·
= KHM
= 450 ⇒ Tứ giác
MKCH nội tiếp

2,0

Khi đó tam giác AMC có AD, MK, CH là ba đường cao nên ba đường
thẳng AD, MK, CH đồng qui
1- c Ta có: ∆ADF = ∆ABE ( g.c.g ) ⇒ AE = AF ⇒ ∆AEF vuông cân.
(1,0 đ) Đặt DM = x ( 0 < x < a ).

0,5

·
·
·
·
⇒ MKC
+ MHC
= 1800 ⇒ MKC
= 1800 − MHC
= 1800 − 900 = 900 ⇒ MK ⊥ AC

1,0
0,5

CE MC
CE
a−x
a (a − x)
=
⇒
=
⇒ CE =
EB AB
CE + a
a
x
a4
2
2
2
2
2
2
và AE = AB + BE = a + (a + CE) = a + 2
x

Ta có:

Khi đó:
S ACEF = S ACE + S AEF =

1
1

1  a(a − x)
a 4  a3 ( x + a)
AB.CF + AE 2 =  a.
+ a2 + 2  =
2
2
2
x
x 
2x2

0,5


Theo bài ra ta có:
S ACEF = 3.S ABCD ⇒

2
(1 đ)

0,5

a ( x + a)
a
= 3a 2 ⇔ 6 x 2 − ax − a 2 = 0 ⇔ x =
2
2x
2
3

Vậy để thỏa mãn bài toán thì M là trung điểm của CD.
- Nêu các phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy
- Quan sát hình vẽ ta nghĩ ngay đến phương pháp sử dụng tính chất
các đường đồng quy trong tam giác.
- Mà AD ⊥ MC và CH ⊥ AM nên ta dự đoán AD, MK, CH là các
đường cao của tam giác AMC
- Ta phải chứng minh MK ⊥ AC ⇔ ∠ MKC = 900
Mà ∠ MHC = 900 nên phải chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp
Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

1,0