Đề thi kiểm tra năng lực giáo viên giỏi tham khảo (41)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI NHẬN THỨC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/01/2013

Câu 1. (1,8 điểm) Đồng chí hãy kể tên các bước cơ bản thiết lập ma trận đề
kiểm tra?
Câu 2. (4,2 điểm) Sử dụng kiến thức Toán THCS để trình bày lòi giải các bài
tập sau:
Bài 1: (1,4 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (n5 - n) M10
Bài 2: (1,4 điểm) Giải phương trình : x2 + x + 12

x + 1 = 36

Bài 3: (1,4 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2

------------------ Hết -----------------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI NHẬN THỨC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/01/2013

Câu 1. (1,8 điểm) Đồng chí hãy kể tên các bước cơ bản thiết lập ma trận đề

kiểm tra?
Câu 2. (4,2 điểm) Sử dụng kiến thức Toán THCS để trình bày lòi giải các bài
tập sau:
Bài 1: (1,4 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (n5 - n) M10
Bài 2: (1,4 điểm) Giải phương trình : x2 + x + 12

x + 1 = 36

Bài 3: (1,4 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2

------------------ Hết -----------------


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI NHẬN THỨC MÔN TOÁN
Câu 1. (2,0 điểm) – Mỗi ý đúng 0,2 điểm, ý B1, B9 0,3đ
B1. Liệt kê tên các chủ đề (nội dung, chương...) cần kiểm tra;
B2. Viết các chuẩn cần đánh giá đối với mỗi cấp độ tư duy;
B3. Quyết định phân phối tỉ lệ % tổng điểm cho mỗi chủ đề (nội dung, chương...);
B4. Quyết định tổng số điểm của bài kiểm tra;
B5. Tính số điểm cho mỗi chủ đề (nội dung, chương...) tương ứng với tỉ lệ %;
B6. Tính tỉ lệ %, số điểm và quyết định số câu hỏi cho mỗi chuẩn tương ứng;
B7. Tính tổng số điểm và tổng số câu hỏi cho mỗi cột;
B8. Tính tỉ lệ % tổng số điểm phân phối cho mỗi cột;

B9. Đánh giá lại ma trận và chỉnh sửa nếu thấy cần thiết.
Câu 2. (7,0 điểm)
Bài 1: (2,8 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (n5 - n) M10

Ta có : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 )
= ( n – 1 ) n ( n+1 ) ( n2 + 1 ) M 2
(1)
( Vì ( n – 1 ) n là hai số tự nhiên liên tiếp )
Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 )
+ Nếu n = 5k thì n5 - n M 5
(2)
2
2
2
+ Nếu n = 5k ± 1 thì n - 1 = (5k ± 1) – 1 = 25k ± 10kM 5
⇒ n5 - n M 5
(3)
2
2
2
+ Nếu n = 5k ± 2 thì n + 1 = (5k ± 2) + 1 = 25k ± 20k + 5 M 5
⇒ n5 - n M 5
(4)
5
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) ⇒ n - n M 10 với ∀n ∈ N
Bài 2: (2,8 điểm) Giải phương trình : x2 + x + 12

Điều kiện : x ≥ -1
Đặt t = x + 1 ≥ 0 ⇔ x = t2 - 1
Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = 0

⇔ t4 – ( t – 6 ) 2 = 0
⇔ ( t - 2 ) ( t + 3 ) ( t2 – t + 6 ) = 0
t − 2 = 0
t = 2(tm)
⇔
⇔
t + 3 = 0
t = −3 < 0(loai )
1
23
≥ 0 với ∀ t
( Vì t2 – t + 6 = ( t- )2 +
2
4
Với t = 2 ⇒ x = 3 ( thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3

0,4 đ
0,4 đ
0,4 đ
0,4 đ
0,4 đ
0,4 đ
0,4 đ

x + 1 = 36
0,2 đ
0,4 đ
0,4 đ

0,4 đ
0,4 đ
0,4 đ

0,4 đ
0,2 đ


Bài 3: (1,4 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có : x 2 + xy + y 2 =

A=

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2

3
1
3
3
( x + y )2 + ( x − y )2 ≥
( x + y )2 =
( x + y)
4
4
4
2

1
( x − y)2 ≥ 0 )
4
3
y 2 + yz + z 2 ≥
( y + z)
2
3
z 2 + zx + x 2 ≥
( z + x)
2

( 1)
0,2 đ

( Vì

Tương tự :

(2)
(3)

0,2 đ
0,2 đ

Cộng hai vế của ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) ta được A ≥ 3( x + y + z ) = 3 3

0,3 đ

x + y + z = 3

x − y = 0

⇔ x = y = z =1
Dấu bằng xảy ra khi 
y − z = 0
 z − x = 0

0,3 đ

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A = 3 3 khi x = y = z = 1

0,2 đ

-------------------------- Hết --------------------------