ĐỀ CƯƠNG ôn tập TOÁN vào 10

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
Đại số
CHủ đề 1:

Căn thức – rút gọn biểu thức

I. căn thức:
 Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :

A Có nghĩa ⇔ A ≥ 0

2. Hằng đẳng thức:

A2 = A

3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương:

A.B =

4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

A
=
B

5. Đưa thừa số ra ngoài căn:
6. Đưa thừa số vào trong căn:

A 2 .B = A B .
A B=

A 2 .B

A B = − A 2 .B
A

7. Khử căn thức ở mẫu:

B

=

A± B

=

( A ≥ 0; B ≥ 0)

A

( A ≥ 0; B > 0)

B

( B ≥ 0)
( A ≥ 0; B ≥ 0)
( A < 0; B ≥ 0)

A.B
B

C

8. Trục căn thức ở mẫu:

A. B

( B > 0)
C( A  B )
A− B

 Bài tập:
 Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
2
x2

1) − 2 x + 3

2)

5) 3x + 4

6) 1 + x 2

3)

4
x+3

4)

−5
x +6

7)

3
1 − 2x

8)

−3
3x + 5

2

 Rỳt gọn biểu thức
Bài1
1) 12 + 5 3 − 48

2) 5 5 + 20 − 3 45

4) 3 12 − 4 27 + 5 48

5) 12 + 75 − 27

7) 3 20 − 2 45 + 4 5

8) ( 2 + 2) 2 − 2 2
THCS HOÀNG VĂN THỤ

3) 2 32 + 4 8 − 5 18
6) 2 18 − 7 2 + 162
9)

1
5 −1

−

1
5 +1

1


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
1

10)

5−2

1

+

11)

5+2

2
4−3 2

−

2
4+3 2

12)

2+ 2
1+ 2

13) ( 28 − 2 14 + 7) 7 + 7 8

14) ( 14 − 3 2 ) 2 + 6 28

15) ( 6 − 5 ) 2 − 120

16) (2 3 − 3 2 ) 2 + 2 6 + 3 24

17) (1 − 2 ) 2 + ( 2 + 3) 2

18) ( 3 − 2) 2 + ( 3 − 1) 2

19) ( 5 − 3) 2 + ( 5 − 2) 2

20) ( 19 − 3)( 19 + 3)

21) 4 x + ( x − 12) 2 ( x ≥ 2)

22)

7+ 5
7− 5

+

7− 5
7+ 5

23) x + 2 y − ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) 2 ( x ≥ 2 y )

Bài2:

(

)

2

(

1) 3 + 2 + 3 − 2

)

2) ( 2 − 3 ) − ( 2 + 3 )

2

2

(

4) 8 + 2 15 - 8 − 2 15
4+2 3 + 4−2 3 −

5) 5 + 2 6
5

3−2 2

−

)

2

3) ( 5 − 3) 2 +

+ 8 − 2 15

(

)

5+3

2

6)

5
3+ 8

 Giải phương trỡnh:
1) 2 x − 1 = 5

2) x − 5 = 3

5) 3 x 2 − 12 = 0

6) ( x − 3) 2 = 9

9) 4 x 2 = 6

10) 4(1 − x) 2 − 6 = 0

3) 9( x − 1) = 21

7) 4 x 2 + 4 x + 1 = 6

4) 2 x − 50 = 0

8) (2 x − 1) 2 = 3

II. các bài toán rút gọn:
A.các bước thực hiên:

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
THCS HOÀNG VĂN THỤ

2


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bài 1

Cho biểu thức : A =

x
2x − x
−
với ( x >0 và x ≠ 1)
x −1 x − x

1) Rỳt gọn biểu thức A.
2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x = 3 + 2 2
Bài 2.

Cho biểu thức : P =

a+4 a +4
a +2

+

4−a
2− a

( Với a ≥ 0 ; a ≠ 4 )

1) Rỳt gọn biểu thức P.
2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 3: Cho biểu thức A =

x +1− 2 x x + x
+
x −1
x +1

1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa
2/.Rỳt gọn biểu thức A
3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A = (1 +

x+ x
x− x
)(1 −

)
x +1
x −1

( Với x ≥ 0; x ≠ 1 )

a) Rỳt gọn A
b) Tỡm x để A = - 1
Bài 5: Cho biểu thức : B =

1
2 x −2

−

1
2 x +2

+

x
1− x

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
THCS HOÀNG VĂN THỤ

3

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
x +1

Bài 6: Cho biểu thức : P =

x −2

+

2 x
x +2

+

2+5 x
4− x

a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức:

Q=(

1
1
a +1
a +2
−
):(

−
)
a −1
a
a −2
a −1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dương
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5
 a
1  a − a a + a 


−
−
Bài 8: Cho biểu thức: M = 


 2

2 a  a + 1

a −1 

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Bài 9 : Cho biểu thức : K =

15 x − 11

+

3 x

x + 2 x − 3 1− x

−

2 x +3
x +3

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=

1
2
 x −2

x +2

 x 2 − 2x + 1
2

.
−
Bài 10 : Cho biểu thức: G= 
x + 2 x + 1 
 x −1

1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
Bài 11 : Cho biểu thức:

 x+2
x
1  x −1
:
+
+
P= 
Với x ≥ 0 ; x ≠ 1

2
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x



a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1
THCS HOÀNG VĂN THỤ

4


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10

1
1
a 2 + 1  1 
. 1 + 
+
−
Q= 
2 
1
−
a
2+2 a 2−2 a
 a 

Bài 12 : cho biểu thức
a. Tìm a dể Q tồn tại

b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
---------------------------------CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:

Khái niệm hàm số
* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được
chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
 Kiến thức cơ bản:
 Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng: y = ax + b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ 0
Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y = ax + b là hàm số bậc nhất là: a ≠ 0
Ví dụ: Cho hàm số:

y = (3 – m) x - 2 (1)

Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất ⇔ 3 − m ≠ 0 ⇔ 0 ⇔ m ≠ 3
 Tính chất:
+ TXĐ: ∀x ∈ R
+ Đồng biến khi a > 0 . Nghịch biến khi a < 0
Ví dụ: Cho hàm số:

y = (3 – m) x - 2 (2)

Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến ⇔ 3 − m > 0 ⇔ 0 ⇔ m < 3
THCS HOÀNG VĂN THỤ

5

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10

+ Hàm số (1) Nghịch biến ⇔ 3 − m < 0 ⇔ 0 ⇔ m > 3
 Đồ thị:

+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng b.
b
a

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng − .
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b

=> điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b

Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đường thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải:

Cho x=0 => y=1

=> điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1

Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đường thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
 Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a , .

*/. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện b = b ' .
*/. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì : a.a ' = −1.
+ Song song với nhau: (d1) // (d2) ⇔ a = a , ; b ≠ b ' .
+ Trùng nhau: (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a , ; b = b ' .
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất:
Và

y = (3 – m) x + 2 (d1)
y = 2 x – m (d2)

a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
3 − m = 2
m = 1
⇔
⇔ {m = 1
2 ≠ − m
m ≠ −2

a/ (d1)//(d2) ⇔ 

b/ (d1) cắt (d2) ⇔ 3 − m ≠ 2 ⇔ m ≠ 1
THCS HOÀNG VĂN THỤ

6


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10

c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung ⇔ − m = 2 ⇔ m = −2
 Các dạng bài tập thường gặp:
- Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng
song song; cắt nhau; trựng nhau.
Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 2: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 ≠ y1 thì
điểm M không thuộc đồ thị.
-Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng:
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1).
Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương tri9nhf đường thẳng cần
tìm.
 Bài tập:
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m để (d1) và (d2) cắt nhau .
2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trờn cựng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tỡm tọa độ giao
điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phộp tớnh.
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số
đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vỡ sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay
nghịch biến ? Vỡ sao?
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m ≠ 0) và y = (2 - m)x + 4 ; (m ≠ 2) . Tỡm điều kiện của
m để hai đường thẳng trên:
a) Song song.
THCS HOÀNG VĂN THỤ

7


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
b) Cắt nhau .
Bài 5: Với giỏ trị nào của m thỡ hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại
một điểm trên trục tung .Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với
(d’): y =

−1
x và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.
2

Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm
A(2;7).
Bài 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =

1
x + 2 và (d2): y = − x + 2
2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2)
Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?
Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m ≠ 0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố

định B . Tính BA ?
Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc ∝ tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3:

hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. các kháI niệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)
THCS HOÀNG VĂN THỤ

8


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu a ≠ 0; b ≠ 0 thì đường thẳng
a
b

c
b

(d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: y = − x + .
 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

ax + by = c.(1)

+ Dạng: 

,
,
,
a x + b y = c .(2)

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình
+ Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.phương pháp giảI hệ phương trình:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) Quy tắc thế:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào
phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương
trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở
bước 1).
Ví dụ: xét hệ phương trình:
 x − 2 y = 1.(1)


3 x + 2 y = 3.(2)
THCS HOÀNG VĂN THỤ

9


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
+ Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có: x = 1 + 2 y.(*)
Thay x = 1 + 2 y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3(1 + 2 y ) + 2 y = 3.(**)
+ Bước 2: Thế phương trình (**) vào phương trình hai của hệ ta có:
x = 1 + 2 y

3(1 + 2 y ) + 2 y = 3

b) Giải hệ :
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x =1
⇔
⇔
⇔ 

3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
3 + 6 y + 2 y = 3
y = 0
y =0

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

a)Quy tắc cộng đại số:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được
một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ
nguyên phương trình kia)
Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với
số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng
hệ số)
bài tập:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
4 x + y = 2

 8 x + 3 y = 5

2 x − 3 y = 1

 − 4 x + 6 y = 2

x + 4 y = 2

 3x + 2 y = 4


x − y = m

 2 x + y = 4

2 x + 3 y = 5

 5 x − 4 y = 1

− x − y = 2

 −2 x − 3 y = 9


3 x + 2 y = 6

 x − y = 2


3 x − y = 7

 x + 2 y = 0

2x − 3y = 2
 −4x + 6y = 2



Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
THCS HOÀNG VĂN THỤ

10


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
2 x − 11y = −7

3 x + y = 3

 10 x + 11y = 31


2 x + 5 y = 8

 2 x − y = 7


 2 x − 3 y = 0


3 x + 2 y = −2
3 x − 2 y = −3

 
6 x − 3 y = −7

− 5 x + 2 y = 4



3 x + 2 y = 1
2 x − y = 3



2 x + 5 y = 2

6 x − 15 y = 6






2 x − 3 y = 11
− 4 x + 6 y = 5
3 x − 2 y = 4
6 x − 4 y = 3

Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phương trình sau
1
x +

 
1 −
 x

2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
( x + y ) + 2( x − y ) = 5

 

1 4
=
y 5
1 1
=

y 5



 1
x − 2 +


 2 −
 x − 2

1
=2
y −1
3
=1
y −1

Các bài tập tự luyện
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau :
 2 x − y = −2
2 x − y = 4

b) 

2 x + 5 y = 1
− 10 x − 5 y = 20

x + y = 3
2 x − 3 y = −4

d) 

3x + 4 y = −2
6 x + 8 y + 3 = 0

x y
 2 − 3 = 1
f) 
x + 2y = 8
 4 3

a) 

2 x + 3 y = −4
5 x + 7 y = −9

c) 

e) 

Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :
1 1 5
x + y = 8

a) 
1 − 1 = 3
 x y 8

2

1
x − y − 2 = 2

b) 
3 + 1 −1= 0
 x y − 2

1
 4
x + 2y − x − 2y =1

c) 
 20 + 3 = 1
 x + 2 y x − 2 y

( m − 3) x + y = 5
x − y = 7

Bài 3 : Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.

THCS HOÀNG VĂN THỤ

11


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10

ax − y = 2
 x + ay = 3

Bài 4 : Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm
ax − 2 y = a
− 2 x + y = a + 1

Bài 5 : Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phương trình:

2 x + (m − 4) y = 16
(I)

(4 − m) x − 50 y = 80

b) Trong trường hợp hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phương trình sau :
a) 8 + x + 5 − x = 5
CHủ đề 4:

b) 2 − x 2 + x 2 + 8 = 4

hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Các dạng toán về phương trình bậc hai
bài mẫu: Giải các phương trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ (.........)
1) Giải phương trình:

3x2 -27x = 0  3x(x-……) = 0  3x= 0 (1) hoặc .........................(2)

Giải(1) x=…………
Giải(2) x=…………
Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm …………………………..
2) Giải các phương trình:

5x2 - 45 = 0  x2-…… = 0  x2 = 9  x1,2=………………

Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm …………………………..
3)Giải phương trình: 2x2 -2007x +2005= 0
(a=…..;b=…..;c=……)
THCS HOÀNG VĂN THỤ

12


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
Ta có:a+b+c=………………………= 0
Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm …………… ; ……………..
??:Em hãy đề xuất một bài toán tương tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phương trình: 2x2 +7x -5= 0
(a=…..;b=…..;c=……)

Ta có: ∆=………………….=………..>0
Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm ………………. ; …………………..
5) Giải phương trình: x4 - 7x2 +10 = 0(*)
Đặt x2 = y (y≥0)
Lúc đó phương trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: ∆=…………………….=………..>0
=>Phương trình(1) có hai nghiệm y1=……………= …………; y2=……………=…………..
Với y1=………; y2=…………thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x2 = y
Nên y1=………=> x2 =………..<=>……………
y2=………=> x2 =………..<=>……………
Vậy Phương trình (*)có ………nghiệm………….;…………….;…………….;…………..
6) Giải phương trình: x + 5 x − 6 = 0 (*)
Đặt

x = y (y≥0)

Lúc đó phương trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: ∆=…………………….=………..>0
=>Phương trình(1) có hai nghiệm y1=……………= …………; y2=……………=…………..
Với y1=………;………. thoả mãn điều kiện của bài toán => y1=………(loại)
y2=…………thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x2 = y
Nên y2=………=> x =………..<=>……………
Vậy Phương trình (*)có ………nghiệm………….;…………….;…………….;…………..
THCS HOÀNG VĂN THỤ

13

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
Bài 1 : Giải các phương trình
a) 2x2 - 50 = 0

c)54x2 = 27x

e)y+ y -6=0

3x 2 + 5
b)
= x2 − 2
4

d) y+

f)y-5

y =0

y +4=0

Bài 2: Giải các phương trình
a) 3x2 -17x - 20 = 0

d) x2 - 4x + 4= 0

b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0

e) x2 + 3x - 1 = 0

c) x2 + x + 1 = 0
f) x2 - x + 2 − 2 = 0
Bài 3 : Giải các phương trình sau bằng phương pháp ẩn phụ

(

1) x4 - 5x2 - 6 = 0

6) x 2 + 2 x

2) x4 + 7x2 - 8 = 0
4

(

2

− 2( x 2 + 2 x ) − 3 = 0

) − 8y( y + 5) − 84 = 0
8) ( y − 5) − 5 y − 5 = 6
7) y 2 + 5 y

2

3) x + 9x + 2 = 0
4)

)

2x
1
=
2
+
x +1
x2 −1

2

2

2

9) x 2 + 4 x 2 − 2 + 2 = 0

x
x +1
+
= −2
5)
x +1
x

bài mẫu: Tìm giá trị của m để phương trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phương trình(1) có một nghiệm x1=2 thì:
5.22 +m.2 -m2-12=0
 8+m.2 -m2=0
 m2-2m - 8 = 0(*)

Giải (*)Ta có: ∆'=……………..=……..> 0 => ∆' =……
=> phương trình (*) có hai nghiệm m1=…………=…….. ; m2=…………=……..
+)Với m1=………… phương trình(1) có một nghiệm x1=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =-

m
.
5

Mà x1=2 ; m1=…… Nên 2 + x2 =-

4
 x2=……….=………..
5

+)Với m2=………… phương trình(1) có một nghiệm x1=2.
THCS HOÀNG VĂN THỤ

14


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =-

m
.
5

Mà x1=2 ; m2=…… Nên 2 + x2 =……..  x2=……….=………..
Vậy………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
Bài 4 : Với giá trị của b thì các phương trình
a) 2x2 + bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phương trình ẩn x. Xác định k để các phương trình sau có nghiệm kép:
a) x2 + 5x + k = 0

c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0

b) x2 + kx + 2 = 0

d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0

Bài 6 : Xác định k để các phương trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phương trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
bài mẫu: Chứng minh rằng phương trình: (m-3)x2 + m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phương trình: (m-3)x2 + m x +1= 0(*)
( a=…….; b=………; c=………)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phương trình(*) trở thành:
3x+1=0  x=…………
=> m = ……..thì phương trình(*) có một nghiệm x=…….(1)
+) Xét a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……
Ta có: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12
= m2 - 2(….).m +(…..)2-…….. +12 = (… - ….)2 +……….
Nhận thấy:

( m - ….)2≥0 Với mọi m ≠ 3 ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Với mọi m ≠ 3
Hay ∆>0 Với mọi m≠ 3 => phương trình(*) có hai nghiệm Với mọi m ≠ 3 (2)

Từ (1) ;(2) => phương trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phương trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trường hợp a=0 và
a≠0
THCS HOÀNG VĂN THỤ

15


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
Bài 8 : Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x2+(m+1)x+m=0

b) x2 -mx + m - 4 = 0

c) -3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0

d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0

e) (m+1)x2 + x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phương trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phương trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
 30-5m < 0 ……………….<=> m > 6
Vậy m……………………………………………………………………………….
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phương trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trường hợp a=0 và a ≠ 0
Bài 9: Tìm m để các phương trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x2 + 2x + m - 1 = 0

b)

x2 + mx + 7 = 0

c)-3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0

d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0

e) (m2 + 4 m +4)x2 + mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phương trình :

(m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phương trình (1)
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép
bài mẫu: Giải và biện luận phương trình: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phương trình: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=…….; b=………; c=………)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phương trình(*) trở thành:
….x+1=0  x=…………
=> m = ……..thì phương trình(*) có một nghiệm x=…….
+) Xét a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……
Ta có: ∆'=………………………=…………………………………..= -mm+4
<4
m≠3

-Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 …………………  m<4 kết hợp vơí điều kiện ta được
THCS HOÀNG VĂN THỤ

16


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
lúc đó phương trình(*) có hai nghiệm phân biệt x1=

− ( m − 2) + 4 − m
;……………………….
m−3

-Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 …………………  m= 4
lúc đó phương trình(*) có nghiệm kép x1=….=

− ( m − 2)
=2 (do m= 4)
m−3

-Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 …………………  ……. kết hợp vơí điều kiện ta được……….
lúc đó phương trình(*) vô nghiệm
Vậy m = ……..thì phương trình(*) có một nghiệm x=…….
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0

Bài 11 : Cho phương trình ẩn x:

a) Giải phương trình khi m = 3

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình
Bài 12 : Lập phương trình ẩn x có hai nghiệm là
a) 3 và 5
c) 3e)

b) 3- 5 và 3 + 5

2 và 3 +

2

d)

1
3 −2 2

và

1
3 +2 2

1
1
và
với a ≠ ± b
a +b
a −b

bài mẫu: Lập phương trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- 5 và 1 + 5

Giải:

Đặt x1=3- 5 và x2= 3 + 5
Ta có: x1+x2=………+………= 6
x1.x2=(………….).(……………..)=………….= 4

áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phương trình: …………………….= 0
Vậy phương trình cần lập là:………………………………..
THCS HOÀNG VĂN THỤ

17


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
Bài 13 : Cho phương trình : x2 + 5x - b = 0 có hai nghiệm x1 ; x2
Lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn :
y1 = x12 + 1 và y2 = x22 + 1
Bài 14:Cho phương trình : x2 - 2010 2005x +1 = 0
Có 2 nghiệm x1và x2 .Lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn :
y2 = x12 + 1 và y1 = x22 + 1
Bài 15: Giải hệ phương trình :
x + y = 5
a) 
x.y = −35

x − y = 11
b) 
x.y = 60

x 2 + y 2 = 25

c) 
x.y = 12

bài mẫu: Không giải phương trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phương trình
a) 5x2 - 7x - 1 = 0
Giải: có : a.c = ………….=-5 < 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x2 - 7x + 2 = 0
Giải: phương trình: 5x2 - 7x+2 = 0
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta có : ∆=……………….= 9 > 0
............... = ............
.
................ = ..........

áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
c) x2 + 11x + 5 = 0
Giải: phương trình: x2 +11x+5 = 0
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta có : ∆=……………….= …. > 0
............... = ............
.
................ = ..........

áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
d) 5x2 + x + 2 = 0
Giải: phương trình: 5x2 + x +2 = 0

THCS HOÀNG VĂN THỤ

18


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta có : ∆=……………….= …..< 0
=> phương trình vô nghiệm
Bài 16 : Không giải phương trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của
các phương trình sau :
1) 3x2 + 5x - 1 = 0

3) 5x2 - 14x + 1 = 0

2) 7x2 -3x + 1= 0

4) 2x2 - 4x - 3 = 0

5) 4x2 - 3x +2 = 0

6) x2 +5x +1 = 0

bài mẫu: Cho phương trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phương trình có
hai nghiệm cùng dấu dương ?
Giải: phương trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (*)
(a=…..; b=…….; c=…….)
∆ ' > 0

Để phương trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dương thì: x 1 + x 2 > 0. hay .

x .x > 0
 1 2
......................................(1)

......................................(2) .
.......................................(3)


Giải(1):  4-m > 0 …………….<=>………………
Giải(2):  2 > 0 luôn đúng
Giải(3): ……. > 0 …………….<=>………………
Kết hợp ba điều kiện trên ta được:……………………………………
Vậy m……………………………………………………………………………………………
Bài 17 : Cho phương trình : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phương trình
1) có 2 nghiệm trái dấu

4) Có 2 nghiệm cùng dấu dương

2) có 2 nghiệm cùng dấu

5) Có 2 nghiệm cùng âm

3) Có ít nhất 1 nghiệm dương
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phương trình:
a) x2 - 2mx + (m-1)2 = 0

Có 2 nghiệm phân biệt cùng dương

THCS HOÀNG VĂN THỤ

19


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
b) 2x - 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
2

c) x2 - 2x + 2m -30 = 0

Có 2 nghiệm trái dấu.

Bài 19 : Cho phương trình : 5x2 - 6x - 8 = 0
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x1; x2là nghiệm của phương
trình)
1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2
2) A = x12 + x22 ;

B=

1
1
+
;
x1 x 2

E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ;

C=

x1

x
+ 2 ;
x2
x1

D = x13 + x23

F = x13 - x23

Bài 20 : Cho phương trình : x2 - 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phương trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phương trình (1) có nghiệm
c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình ; tìm n để phương trình có nghiệm thoả mãn
1) x1 - x2 = 2

; 3) 2x1 + 3x2 = 36

2) x1 = 3x2

; 4) x12 + x22 = 50

Bài 21 : Cho phương trình : 3x2 - 4x + m = 0
Tìm để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phương trình x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình. Hãy tính A = x12 + x12 theo m

từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
bài mẫu: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
THCS HOÀNG VĂN THỤ

20


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó
Giải: a) phương trình:

x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x)

(a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta có : ∆'=………………………………………………………………………………………
= m2-8m+24
= m2-2m(…..)+(….)2 -………+24
=(…..-……)2 +………
Nhận thấy: (…..-……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m
=> (…..-……)2 +………≥……..> 0 với mọi giá trị của m
Hay ∆'> 0 với mọi giá trị của m => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
............... = ............
.
................ = ..........

áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 

(I)

Lại có: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……)
Thay (I)vào A ta được :
A= -2(m-3)(…..-……)
=………………………………………………. = - 4m2+ 42m - 90
-A = 4m2- 42m - 90
= (2m)2-2.2m(…..)+(….)2 -………- 90
=(……-……)2 -………
Nhận thấy: (…..-……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m
<=> (…..-……)2 -………≥…….. với mọi giá trị của m
Hay -4A ………… với mọi giá trị của m  A…………….. với mọi giá trị của m
Dấu "=" xảy ra khi ……………=0  m=………
Vậy giá trị ………………………………………………………………………………………
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (ẩn x)
Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 là
nghiệm của phương trình (1) )
Giải:

phương trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (ẩn x)
THCS HOÀNG VĂN THỤ

21


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
(a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta có : ∆'=………………………………………………………………………………………
= 6m+18
Để hpương trình (1)có nghiệm thì ∆'≥ 0 hay………………………  m ≥ ……

Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =…………………..
mà m …….=> 6m……….  6m+.............. Hay A……….
Dấu "=" xảy ra khi m =.............
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là .........khi m=........
Bạn hãy tự phân chia các bước của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức
nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 23 : Cho phương trình x2 + (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Hãy tính x21x2 + x22x1 theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x21x2 + x22x1
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
x2 + mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)

Bài 24 : Cho phương trình:

a) Chứng minh rằng Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1)
Bài 25 : Cho phương trình: x2 - (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tính biểu thức
A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 26 Cho phương trình: :

x2 + 2mx + m2 + 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)

a)Tìm giá trị của m để phương trình (1)có nghiệm
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x1+x2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x1+x2+x1.x2+2007
Bài 27 *: Cho phương trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + 2 = 0 (ẩn x)
a) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm

THCS HOÀNG VĂN THỤ

22


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức B = x1 + x2
Bài 28 : Cho phương trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A =  x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài 29 : Cho phương trình:

x2 - (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1)

(ẩn x)

a) Với giá trị nào của k thì phương trình (1) có 2 nghiệm
b) Với điều kiện phương trình (1) có nghiệm hãy tính P = x1 + x2 ; S = x1. x2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với m của mỗi phương trình sau
a) x2 - (2m+5)x + m + 3 = 0
c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = 0

b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0
d) (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0

Bài 31 : Cho phương trình: x2 - (2m-1)x+ m2 - m - 2 = 0 (1) (m là tham số)

a) Tính ∆ để chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m
c) Tìm m để A ≤ 3
Bài 32 : Cho hai phương trình :

x2 - 7x + 6 = 0
x2 + (m+1)x + 24 = 0

Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung
Bài 33 : Cho hai phương trình : x2 + x + m = 0 và x2 + mx + 1 = 0
a)Với giá trị nào của m thì hai phương trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phương trình trên tương đương.
Bài 34 : Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2x2 - (3m+2) x + 12 = 0
4x2 - (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m và n để hai phương trình sau tương đương
THCS HOÀNG VĂN THỤ

23


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
x2 +(3m+2n)x - 4 = 0
x2 + (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2 = 0
Biết rằng: p1p2 = 2(q1 + q2) .

CMR: ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Bài 37 : Chứng minh rằng hai phương trình

ax2 + bx + c = 0

(1)

và a1x2 + b1x + c1 = 0

(2)

Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c)
Một số bài toán tổng hợp về phương trình bậc hai
Bài 38: Cho phương trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phương trình khi m=1
b)CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc
vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x12 +x22
Bài 39: Cho phương trình:

x2 - (k+1) x +k = 0 (1)

a)Giải phương trình khi k = 2004
b)CMR phương trình luôn có nghiệm
c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình .Tính B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.
d)Tìm k để phương trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5
e)Tìm k để phương trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó
Bài 40:Cho phương trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - 2 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình .Tính S= x12 + x22 theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.

3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a.
1

1

4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn x + x nhận giá trị dương
1
2
THCS HOÀNG VĂN THỤ

24


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO 10
Bài 41:Cho phương trình ẩn x : (m+1)x2 + 5 x +m2 - 1= 0
a) Giải phương trình với m =-1
b)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phương trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phương trình khi a=1
2. CMR phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Bài 43:Cho phương trình ẩn x : x2 + p x +q = 0(1)
a)Không giải phương trình tính theo p,q biểu thức
1

1

A= 2(2x + 3) 2 + 2(2x + 3) 2 theo p ,q
1
2
b)Tìm p,q để phương trình có hai nghiệm là 1 và 2
x1 + 1

x2 +1

c)lập 1 phương trình bậc hai có nghiệm là x − 1 và x − 1
1
2

d)Giả sử p+q = 1 .CMR phương trình (1)và phương trình ở câu (c) có nghiệm chung .
e)CMR nếu phương trình (1) và phương trình: x2 + n x +m = 0 có nghiệm chung thì
(n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phương trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phương trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m.
b. Tìm m để x1- x2 =6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= x12 x2 + x22 x1
3)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
THCS HOÀNG VĂN THỤ

25