SKKN một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu ôn tập nội dung khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan

Trường THPT số 2 Bắc Hà

Sáng kiến kinh nghiệm

MỤC LỤC
Trang

1.
2.
3.
4.
5.
A.
B.
I.
II.

MỤC LỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm.----------------------------------Đối tượng nghiên cứu:-------------------------------------------------------Khách thể nghiên cứu: -------------------------------------------------------Phạm vi của đề tài: -----------------------------------------------------------Phương pháp nghiên cứu: --------------------------------------------------GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:--------------------------------------------------------------Cơ sở thực tiễn:-----------------------------------------------------------Thực trạng học Toán của học sinh lớp 12 ở trường THPT số 2 BH
Phân loại đồi tượng và đề xuất một số biện pháp giúp đỡ học sinh
yếu kém giải toán lớp 12.-------------------------------------------------

Một số nội dung dạy chương I của Giải tích lớp 12 cho học sinh
III. yếu kém toán 12.----------------------------------------------------------C.

2
2
2
2-3

4
4
4
4-6
6-7

7-14

Kết quả, hiệu quả mang lại:----------------------------------------------- 14-15

KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ
1.
2.
3.
4.

1
2
2

Bài học kinh nghiệm: --------------------------------------------------------Hướng phổ biến áp dụng đề tài:----------------------------------------Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:-------------------------------------Kiến nghị -------------------------------------------------------------------------

TÀI LIỆU THAM KHẢO

16
16
16
16
16-17
18

ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm.
- Như chúng ta đã biết môn toán lớp 12 giúp cho học sinh rèn luyện những kỹ
năng sử dụng công cụ toán học như vẽ hình không gian, vẽ đồ thị; kỹ năng tính toán,
phân tích, tổng hợp. Qua hoạt động học tập môn toán, học sinh còn rèn luyện tính cẩn

Trang 1


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
thận, khả năng phân tích đúng sai, óc thẩm mỹ cũng như phẩm chất tốt đẹp của con
người.
- Môn toán lớp 12 bao gồm các nội dung cơ bản: khảo sát và vẽ đồ thị của hàm
số và bài toán liên quan; phương trình – bất phương trình mũ và logarit; tích phân và
ứng dụng; số phức và các phép toán trên số phức; thể tích khối đa diện; diện tích và
thể tích khối tròn xoay; đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu trong không gian tọa độ.
Mỗi nội dung đều được sắp xếp vừa phù hợp, vừa logic khoa học, vừa phù hợp với
logic sư phạm nên có độ dễ, khó tăng dần trong từng nội dung. Do đó khi học tập môn
toán học sinh gặp phải khó khăn nhất định đòi hỏi giáo viên phải có những biện pháp
giúp đỡ các em khắc phục, nhất là những em có biểu hiện yếu kém kiến thức. Nhưng
vẫn còn chưa muộn nếu giáo viên lớp 12 có biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém vượt
qua được những khó khăn thì có thể tạo lại bước đà ngay từ đầu năm. Biết được đây là
vấn đề rất khá nan giải, cùng kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 chưa nhiều và khả năng
nghiên cứu còn nhiều hạn chế, nhưng với tinh thần nhiệt huyết yêu nghề thương yêu
học sinh, đặc biệt là các em yếu kém, năm học quyết định tương lai sau 12 năm ngồi
trên ghế nhà trường.
- Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu ôn
tập nội dung khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan ”

2. Đối tượng nghiên cứu:
- Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu ôn tập nội dung khảo sát hàm số và
một số bài toán liên quan.
3. Khách thể nghiên cứu:
- Học sinh yếu toán khi ôn tập nội dung khảo sát hàm số và một số bài toán liên
quan ở trường THPT số 2 Bắc Hà, huyện Bắc Hà, tỉnh Lào Cai.
4. Phạm vi của đề tài:
- Do kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 chưa nhiều và điều kiện khách quan khác vì
vậy đề tài chỉ nghiên cứu những khó khăn khi học sinh giải toán giải tích 12 chương
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan đến khảo sát.
5. Phương pháp nghiên cứu:
a) Nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12.
- Tài liệu tham khảo.
b) Điều tra:
- Thực dạy và kết quả kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12:
+ Năm học 2012 - 2013: Lớp 12A4: đối chứng.
Trang 2


Trường THPT số 2 Bắc Hà
+ Năm học 2013 - 2014: Lớp 12A4: thực nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải
toán kháo sát và một số bài toán liên quan của học sinh và cách giải quyết vấn đề của
đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình.

- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với
phân môn.
+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán liên quan khảo sát để biết được
cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn.
c)Giả thuyết khoa học:
Nếu học sinh được quan tâm nhiều hơn thì các em cảm thấy hăng say, tích cực,
tự tin, và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn.

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
- Một học sinh bình thường về mặt tâm lý đều có khả năng tiếp thu môn toán
theo yêu cầu phổ cập của chương trình toán THPT.
- Những học sinh từ trung bình trở xuống: Các em có thể học đạt yêu cầu của
chương trình nếu được hướng dẫn một cách thích hợp.
Trang 3


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
- Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy:
+ Với mơn tốn, hầu hết các học sinh yếu đều có một ngun nhân chung là:
kiến thức ở các lớp dưới bị hổng; khơng có phương pháp học tập; tự ti. rụt rè, thiếu
hào hứng trong học tập.
+ Ở mỗi học sinh yếu bộ mơn tốn đều có ngun nhân riêng, rất đa dạng. Có
thể chia ra một số loại thường gặp là:
•
Do qn kiến thức cơ bản, kỹ năng tính tốn yếu.
•
Do chưa nắm được phương pháp học mơn tốn, năng lực tư duy bị

hạn chế. Nhiều học sinh thể lực vẫn phát triển bình thường nhưng năng lực tư duy tốn
học kém phát triển.
•
Do lười học.
•
Do thiếu điều kiện học tập hoặc do điều kiện khách quan tác động,
học sinh có hồn cảnh đặc biệt (gia đình xảy ra sự cố đột ngột, hồn cảnh éo le…).
- Xác định rõ một trong những ngun nhân trên đối với mỗi học sinh là điều
quan trọng. Cơng việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xố bỏ dần các ngun
nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối với việc học
mơn Tốn.
B. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
I. Thực trạng học Tốn của học sinh lớp 12 ở trường THPT số 2 Bắc Hà
1. Giới thiệu về trường THPT số 2 Bắc Hà:
a. Đặc điểm của nhà trường:
- Nằm ở đòa bàn vùng hạ huyện Bắc Hà, tình hình kinh tế – xã hội phát triển
chậm, đời sống của nhân dân nhiều khó khăn, nhất là tình trạng nguồn nước thiếu
thốn ảnh hưởng đến hoa mầu nên đã ảnh hưởng lớn đến chất lượng dạy học và giáo
dục của nhà trường, sự kết hợp giữa gia đình và nhà trường chưa được quan tâm
đúng mức, nhận thức của người dân về việc học tập còn hạn chế.
b. Những thuận lợi và khó khăn của học sinh trong học tập:
*. Những thuận lợi:
- Dù kinh tế gặp nhiều khó khăn nhưng hầu hết phụ huynh học sinh rất quan
tâm đến việc học tập của con em mình nên đã tạo những điều kiện tốt nhất có thể
để học sinh đến trường.
- Tuy trình độ chuyên môn và khả năng tay nghề của giáo viên còn hạn chế
nhìn chung tất cả giáo viên đều có tâm huyết, yêu nghề, yêu học sinh và cố gắng
hết mình vì sự phát triển của các em.

Trang 4

Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
- Trường đã được đầu tư trong xây dựng cơ sở vật chất và trang thiết bò. Đến
nay, học sinh đã có phòng học khá khang trang và có tương đối đủ các đồ dùng
trong học tập.
- Học sinh tuy chưa giỏi nhưng ngoan và biết đoàn kết, giúp đỡ lẫn nhau
trong học tập và rèn luyện.
*. Những khó khăn:
- Trừ các học sinh nhà xã Bảo Nhai ở gần trường, còn hầu hết học sinh ở các
xã khác: Xn Quang, Phong Niên, Lậm Lúc…. đi lại xa. Vì thế, những em ở xa
thường bò trễ và nhiều lần phải nghỉ các buổi học do thười tiết không thuận lợi.
- Do đa số học sinh là con em nông dân nghèo, mấy năm gần đây lại làm ăn
thất bại nên ở nhà phải phụ giúp gia đình, không có thời gian để học ở nhà.
- Cũng vì lí do trên mà học sinh không được trang bò đầy đủ về đồ dùng học
tập như MTBT; không có các phương tiện nghe, nhìn để mở mang hiểu biết.
- Còn một bộ phận phụ huynh học sinh chưa quan tâm đến việc học tập và
rèn luyện của con em mình và trong số những học sinh có phụ huynh như vậy đã có
kết quả học tập yếu kém.
- Tinh thần vựơt khó để học tập của học sinh chưa cao, thái độ và động cơ
học tập còn có những điểm chưa tốt.
2. Chất lượng học tập môn Toán của học sinh lớp 12.
a. Chất lượng học Toán của học sinh lớp 12A4:
- Trao đổi với giáo viên dạy lớp 12.
+ Bằng cách trao đổi với các giáo viên đang dạy lớp 12 để qua đó phát hiện
những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán.
- Khảo sát bằng bài kiểm tra.
+ Để phát hiện chính xác những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán ,
biện pháp tốt nhất là cho học sinh làm bài kiểm tra.

Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2012 - 2013:
Lớp

Số lượng

12A4

34

Đạt u cầu

Khơng đạt u cầu

Số lượng

%

Số lượng

%

15

44.1

19

55.9

*Nhận xét:

Trang 5


Trường THPT số 2 Bắc Hà

Sáng kiến kinh nghiệm

- Năm học 2012 – 2013 tỉ lệ học sinh yếu khá nhiều ở lớp 12A4 của
trường THPT số 2 Bắc Hà mà tơi giảng dạy. Điều đó đặt ra cần phải có những
biện pháp cụ thể để giúp các em vươn lên.

- Chất lượng học tập môn toán của học sinh lớp 12 như vậy, đòi hỏi nhà
trường và giáo viên phải có những biện pháp phù hợp để giúp đỡ các em. Trước
mắt, trong học kì I năm học 2013 – 2014, cần có những biện pháp để giúp đỡ
những học sinh yếu kém này khắc phục khó khăn khi giải toán, vì đây là nhiệm
giáo dục quan trọng mà nhà trường và thầy co giáo phải thực hiện có kết quả tốt.
b)Sự cần thiết của đề tài:
Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tơi
nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu những
kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy chương khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số - bài tốn liên quan đến khảo sát.
II. Phân loại đồi tượng và đề xuất một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém giải tốn lớp 12.
* Biện pháp : Quan tâm nhiều hơn đối với những học sinh yếu kém
- Quan sát các em thực hiện để phát hiện chỗ sai của các em nhằm nhắc các
em kiểm tra để tự phát hiện.
- Nếu bài tập có nhiều cách thực hiện, gợi ý để các em phát hiện
- Khi thấy các em có kết quả thực hành tốt, cho các em trình bày và khen
ngợi để động viên, khích lệ các em.

- Khi trao đổi, thảo luận cần đưa các em vào nhóm có học sinh khá giỏi với
số lượng hợp lí để các em học hỏi bạn thêm….
1. Đối tượng 1: “Hổng kiến thức cơ bản”
- Kiến thức ở lớp dưới của các em bị hổng, khơng thể nào bù đắp ngay được
trong một thời gian ngắn. Tơi đặt quyết tâm trong suốt cả năm học, đặc biệt là học kì I
để giúp nhóm học sinh loại này lấp dần các lỗ hổng kiến thức. Đối với những học sinh
này phải có thêm thời gian học dưới sự hướng dẫn lại tỉ mỉ những kiến thức cơ bản,
trọng tâm theo một hệ thống riêng và yếu tố dẫn đến thành cơng là nắm chắc, luyện kĩ.
Trong các buổi học trên lớp thường được kiểm tra, rà sốt và củng cố các kiến thức,
chấm bài tay đơi trong tiết luyện tập, thường xun khích lệ động viên mỗi khi các em
được điểm cao hơn. Do đó các học sinh này có nhiều tiến bộ; cụ thể là: thích học tốn,
hay xung phong lên bảng…
2. Đối tượng 2: “Mất tự tin”
- Vấn đề cơ bản là giúp các em lấy lại lòng tự tin, phát huy được những tố chất
cơ bản đang tiềm ẩn trong mỗi em trong việc học tập mơn tốn. Phương pháp trực
Trang 6


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
quan, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó, tìm các cách giải khác nhau cùng với các câu
hỏi vừa sức, các bài tốn vui, các bài tốn gắn với thực tế chính là chìa khố để giải
quyết vấn đề.
3. Đối tượng 3: “Thiếu ý thức trong học tập”
- Những học sinh này trong lớp thường khơng chú ý nghe giảng, mỗi khi làm
bài kiểm tra tại lớp thường cẩu thả, khơng có ý thức kiểm tra lại bài làm. Thầy (Cơ)
giáo nhắc nhở thì xem lại qua loa cho xong chuyện. Bài tập và bài học ở nhà khơng
chuẩn bị chu đáo trước khi đến lớp. Tóm lại, đối với diện học sinh này cần có sự kết
hợp chặt chẽ với phụ huynh nhằm quản lý việc học ở nhà và việc kiểm tra nhắc nhở
thường xun ở lớp để từng bước đưa các em vào nền nếp học tập.

4. Đối tượng 4: “Hồn cảnh khó khăn”
- Các em này thiếu thốn cả vật chất lẫn tình cảm. Tơi bố trí thời gian kèm cặp,
lấp dần lỗ hổng kiến thức, hình thành dần phương pháp học tốn cho các em. Ln
khích lệ động viên để các em khơng bị mặc cảm, tự ti mà tự tin vào bản thân mình để
từ đó vươn lên trong học tập. Với các em này, thầy (cơ) giáo phải hết lòng thương u,
giúp đỡ. thầy (cơ) là chỗ dựa tinh thần và tình cảm của các em
* Biện pháp : Tổ chức phụ đạo cho những học sinh yếu kém.
- Với học sinh lớp 12 ở đầu năm học, dù các em yếu kém đến mức nào, cũng
chưa cần phụ đạo nhiều, mỗi tuần 2 đđến 4 tiết cho môn toán là có thể đủ. Điều
quan trọng là trong buổi phụ đạo phải xác đònh chính xác “lỗ hổng” của từng em
và tiến hành “lấp lỗ” đúng phương pháp như trong dạy học bài mới, tức là hướng
dẫn các em tự nêu và giải quyết vấn đề, yêu cầu các em tự thành lập lại các công
thức tính mà các em chưa nắm được. Tránh làm thay học sinh.
- Để có hiệu quả và đỡ tốn thời gian, nên gom học sinh yếu kém lập một lớp
phụ đạo. Giáo viên theo dõi kó từng học sinh để nghiên cức tìm ra biện pháp giúp
đỡ.
III. Một số nội dung dạy chương I của Giải tích lớp 12 cho học sinh yếu
kém tốn 12.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc 3, hàm trùng phương, hàm phân thức bậc
nhất trên bậc nhất; tương giao đồ thị; cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số
1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số:
3
2
a. y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 )
4
2
b. y = ax + bx + cx ( a ≠ 0 )

ax +b

c. y = cx +d ( ad − bc ≠ 0 )

2. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thường gặp :

Trang 7


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
a. Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm ( x0 ; y0 ):
•
Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm: Biết tiếp điểm
•
Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm: Biết hệ số góc của
tiếp tuyến
b. Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình (Dựa vào đồ thò).
c. Biện luận theo tham số số giao điểm của đường cong và đường thẳng.
3. Kiến thức:
• Tập xác đònh của hàm số
• Đạo hàm. Đạo hàm của hàm số tại điểm
• Tính đơn điệu của hàm số
• Cực trò của màm số
• Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn một bên của hàm số
• Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng
4. Nội dung cụ thể:
a. Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng:
y − y0 = y '( x0 )( x − x0 )

Đối với loại bài tài tập này: học sinh thường không nắm được phương trình

tiếp tuyến có dạng thế nào và nếu biết cũng không nắm được cần phải tìm yếu tố
nào, cách tìm?
Học sinh cần xác đònh được rằng muốn lập được phương trình tiếp tuyến cần
tìm toạ độ tiếp điểm M0 : Tìm x0 , y0 và hệ số góc của tiếp tuyến y '( x0 )
Ví dụ1:
3
2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y = x + 3x tại điểm có hoành độ
bằng -1
- Phân tích đề bài để tìm yếu tố mà đã cho x0 , y0 hoặc y '( x0 )
- Cho hoành độ tiếp điểm x0 = -1
 y 0 = y(x 0 ) = y(-1)

- Tính  y'(x ) =y'(-1)
0


- Phương trình tiếp tuyến : y – 2 = -3(x+1)
Hay: y = -3x -1
* Chú ý:
- Bài toán cho x0 : Tìm y0 và y '( x0 )
- Bài toán cho x0 , y0 : Tìm y0 và y '( x0 )
- Bài toán cho tiếp điểm là giao điểm của các trục : x0 : Tìm x0 , y0 và y '( x0 )
b. Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm: Biết hệ số góc của
tiếp tuyến
Trang 8


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm

 Đối với loại bài tài tập này: HS thường không khai thác đựơc giả thiết cho
y '( x0 ) .
 HS cần xác đònh được rằng muốn tìm x0 phải khai thác từ y '( x0 ) và sau đó
tính y0
Ví dụ 2:
3
Viêt phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y = 4 x + x . Biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng (d) : y = 13x + 1
Giải
2
- Tiếp tuyến song song với (d): y '( x0 ) = 13 ⇔ 12 x0 + 1 = 13 ⇔ x = ±1
- Với hai giá trò x0 ta tìm được hai giá trò y0 = ±5
Tại (1;5) thì phương trình tiếp tuyến: y = 13x - 8
Tại (-1;-5) thì phương trình tiếp tuyến: y = 13x +8
* Chú ý:
- Bài toán cho: tiếp tuyến song song với đương thẳng cho trước (ví dụ 2) 
cho hệ số góc gián tiếp
- Bài toán cho: tiếp tuyến vuông với đương thẳng cho trước  cho hệ số góc
gián tiếp
- Bài toán cho hệ số góc cụ thể
Ví dụ 3 : Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 15 x + 12 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C).
Giải
f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 15 ⇒ f ' (2) = 5

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y + 2 = 5( x − 2)
⇒ y = 5 x − 12

⇒ Trong trường hợp khi biết hồnh độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố

còn lại và làm tương tự như trên.
1
4

1
2

Ví dụ 4: Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C )
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng

7
.
4

Giải
7 1 4 1 2
= x0 + x0 + 1 ⇔ xo = ±1 .
4 4
2
7

Với xo = 1 ⇒ f ' (1) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 1  − 1;  là:
4


Gọi xo là hồnh độ tiếp điểm ⇒ ta có

Trang 9

Trường THPT số 2 Bắc Hà

Sáng kiến kinh nghiệm
y−

7
1
= 2( x − 1) ⇔ y = 2 x −
4
4

7

Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 2  − 1;  là:


4

7
1
= −2( x + 1) ⇔ y = −2 x −
4
4
2
x − 2x − 2
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị là (C).
x +1
y−

(C) cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và

B.
Giải
- Tập xác định: D = R\{- 1}
- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
x2 − 2x − 2
= 0 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3
x +1
⇒ (C) cắt Ox tại điểm A (1 + 3; 0) và B(1 − 3; 0) .

y' =

x 2 + 2x
⇒ y ' = (1 + 3) = 2 3 (2 − 3 )
( x + 1) 2

y ' = (1 − 3 ) = −2 3 (2 + 3 )

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y = 2 3 (2 − 3 ) ( x − 1 − 3 )

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
y = −2 3 (2 + 3 ) ( x − 1 + 3 )

*Chuù yù:
- Qua ví dụ 5 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình tiếp
tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1
nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo) trước rồi mới bắt đầu
vào bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên.

- Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây dựng
phương trình tiếp tuyến của các đường Cônic như trong SGK hình học 10 (trước phân
ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip.
Ví dụ 6: Cho hàm số y =

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của
x−2

hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 2009)
Giải
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm ( xo ; yo ) .
−5

x = 1

o
⇒ xo là nghiệm phương trình y ' ( xo ) = −5 ⇔ ( x − 2) 2 = −5 ⇔  x = 3
 o
o

Trang 10


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
Với xo = 1 ⇒ yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5 x + 2 .
Với xo = 3 ⇒ yo = 7 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5 x + 22 .

3x − 2

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
x −1
với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y = 4 x + 10 .

Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x) =

Giải

−1

D = R \ {1}; y ' = ( x − 1) 2 .
Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 4 x + 10 , có
1
4

hệ số góc k: k . 4 = −1 ⇒ k = − .
5

xo =

x
=
−
1

−1
1
o
2
⇒ xo là nghiệm phương trình ( x − 1) 2 = − 4 ⇔  y = 3 ⇔ 

 o
o
y = 7
 o 2
5
1
9

Tại M 1  − 1;  có tiếp tuyến là y = − x + .
2
4
4

1
17
 7
Tại M 2  3;  có tiếp tuyến là y = − x + .
4
4
 2

* Chú ý:

- Qua ví dụ 7 ở trên cho thấy nhiều bài tốn viết phương trình tiếp tuyến dạng 2
nhưng khơng trực tiếp hệ số góc mà phải thơng qua một giả thiết khác. Vì vậy cần
nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách liền
manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau.
c. Dựa vào đồ thò (gồm một đường cong và một đường thẳng song song
hoặc trùng với trục hoành) biện luận theo tham số số nghiệm của phương
trình. f(x,m) = 0 : m là tham số

Phương pháp: Viết lại phương trình g(x) = h(m) . Với y = g(x) có đồ thò (C)
đã vẽ, y = h(m) có đồ thò là đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.
B1: Biến đổi phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)
B2: Số nghiêm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thò
B3: Dựa vao đồ thò tònh tiến d song song hoặc trùng với ox  số giao điểm 
số nghiệm phương trình
B4: Kết luận
Ví dụ 8: Cho hàm số

y=

x4
3
− 3x 2 +
2
2

a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số

Trang 11


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
b. Dựa vào đồ thò biện luận theo tham số m số nghiêm của phương trình
x 4 − 6 x 2 + 3 − m = 0 (1)
Giải:
a. Học sinh tự giải
b. Phương trình viết lại:

x4
3 m
−3 x 2 + =
2
2
2

m

ox

+ Phương trình (1) là PT HĐGĐ của (C) và đt d: y = 2 song song hoặc trùng với
+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của d và (C)
+ Dựa vào dồ thò, ta có :
m

3

Khi 2 > 2 ⇔ m > 3 : d cắt (C) tại hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm (đơn)
m

3

Khi −3 < 2 < 2 ⇔< −6 < m < 3 : d cắt (C) tại bốn điểm phân biệt nên (1) có bốn
nghiệm
m

Khi 2 = −3 ⇔ m = −6 : d tiếp xúc (C) tại hai điểm phân biệt nên (1) có hai
nghiệm(kép)
m

Khi 2 < −3 ⇔ m < −6 : d không cắt (C) nên (1) vô nghiệm
Kết luận
• m < -6
PT (1) vô nghiệm
•

m > 3
 m = −6


PT (1) có hai nghiệm

• -6 < m < 3 PT (1) có bốn nghiệm
* Chú ý:
- Có những phương trình ta phải thêm bớt (cộng, trừ, nhân, chia) hai vế của
phương trình hoành độ giao điểm.
- Khi biện luận chú ý các giá trò cực trò của hàm số (nếu có).
d. Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đồ thò hàm số (gồm một
đường cong và một đường thẳng). (C) : y= f(x) và d : y = g(x,m)
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)
B2: Số giao điểm của hai đồ thò bằng số nghiệm của PT hoành độ giao điểm
B3: Biện luận số nghiệm pt (PT bậc nhất, bậc hai, …) số nghiệm số giao
điểm
B4: Kết luận

Trang 12


Trường THPT số 2 Bắc Hà

Sáng kiến kinh nghiệm
x +1

Ví du 9:Biện luận theo m số giao điểm của (H): y = x − 2 với đt d: y = mx + m
+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

x +1
= mx + m
x−2

( x ≠ 2)

Hay mx − (m + 1) x − 1 − 2m = 0 ( x ≠ 2) (2)
+ Số giao điểm của d và (C) bằng số nghiệm của phương trình (2)
+ Biện luận:
Ta thấy x = 2 không la nghiệm của pt (2)
TH1: m = 0 : (2) ⇔ -x – 1 = 0 ⇔ x = -1 ⇒ d và (C) có một giao điểm
TH2: m ≠ 0
Ta có: ∆ = 9m 2 + 6m + 1
Khi ∆ < 0 ⇔ 9m 2 + 6m + 1 < 0 (Không có m thoả ∆ < 0)
2

−2
: (2) có nghiệm kép ⇒ d và (C) có một giao điểm
3
−2

m < 3
Khi ∆ > 0 ⇔ 

: (2) có hai nghiệm phân biệt ⇒ d và (C) có hai giao
 m > −2

3

Khi ∆ = 0 ⇔ m =

điểm
Kết luận
•

m =0 hoặc m =

•

−2

m < 3

 m > −2

3

−2
3

: d và (C) có hai giao điểm
: d và (C) có hai giao điểm

* Chú ý:

- Bài toán yêu cầu xét một trong các trường hợp trên
- Sự khác nhau của hai bài toán biện luận
Bài toán 1: Dựa vào đồ thò từ số giao điểm của hai đồ thò  Số nghiệm
phương trình hoành độ giao điểm
Bài toán 2: Biện luận số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm  Số
giao điểm của hai đồ thò
5. Một số bài tập thường gặp
2x − 4

1. Viếât Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (H): y = x − 4 tại A(3;-2)
3
2
2. Viếât Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y = x − 6 x + 9 x tại điểm uốn

Trang 13


Trường THPT số 2 Bắc Hà

Sáng kiến kinh nghiệm

3. Viếât Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (H): y =

2x −1
tại giao điểm của đồ
x +1

thò với trục hoành
3
2

4. Viếât Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y = x − 4 x + 4 x . Biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng d : y = 7x
3
2
5. Viếât Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y = x − 4 x + 4 x . Biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng d : y = x
4
2
6. Cho hàm số y = − x + 2 x + 3
+ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số
+ Dựa vào đồ thò biện luận theo m số nghiêm của phương trình
x4 − 2 x2 + 1 − m = 0
x +1

7. Biện luận theo k số giao điểm của (H): y = x − 2 với đt d: y = kx + 2

3x + 4

8. Xác đònh các giá trò của a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt (H): y = x − 1
3
9. Cho hàm số y = x − 3x + 1 (C) . Với giá trò nào của k thì đường thẳng y = k cắt
(C) tại ba điểm phân biệt
C. KẾT QUẢ, HIỆU QUẢ MANG LẠI:
Kết quả cụ thể:
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tơi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ qua
tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12A4.
Đối tượng học sinh 12A4 (2012 - 2013) có trình độ ngang nhau (đối chứng) với
12A4 (2013 - 2014) (thực nghiệm)
Còn ở lớp thực nghiệm, đa số các em giải tốn đạt đơ chính xác cao.
Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thực nghiệm và đối chứng đề tài ở

lớp, tơi thu được kết quả sau:

Lớp

Số
lượng

12A4

34

Lớp

Số
lượng

Đạt u cầu

Khơng đạt u cầu

Số
lượng

%

Số
lượng

%

15

44.1

19

55.9

Đạt u cầu
Số

%

Khơng đạt u cầu
Số

Trang 14

%

Ghi chú

Đối chứng

Ghi chú


Trường THPT số 2 Bắc Hà

Sáng kiến kinh nghiệm

lượng
12A4

33

26

lượng
78.8

7

21.2

Thực nghiệm

Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em giải toán
chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan đến khảo sát đạt kết quả
chính xác cao. Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được cho những năm
học sau.

KẾT LUẬN
Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh
hiểu sâu kiến thức về chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan đến
khảo sát, có nhiều bài tập cho các em rèn luyện kỷ năng và phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh lớp 12A4 trường THPT số 2 Bắc Hà, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm ở các

Trang 15

Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
lớp khác, ở các tài liệu chuyên môn khác, sử dụng các hình thức so sánh đối chiếu
trong giảng dạy.
1. Bài học kinh nghiệm:
Qua thử nghiệm đã nêu ở trên, tôi thấy kết quả thu được cao hơn giờ dạy đối
chứng. Điều đó chứng tỏ rằng để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo và hiệu quả
trong học tập; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt và nhuần nhuyễn các biện pháp
giảng dạy, phát huy được tính sáng tạo của mình trong giảng dạy; song song đó cần
tích cực nghiên cứu sách vở và trau dồi năng lực chuyên môn.
Khi nghiên cứu đề tài “Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu ôn tập nội
dung khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan ”, tôi nhận thấy bản thân mình đã
trở thành một con người sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm.
Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinh yếu
không nắm được công thức hoặc biết nhưng không biết sử dụng nó nên chưa tiếp cận
được cách khai thác bài toán một số bài toán liên quan liên quan khảo sát mà tôi đã
đưa ra. Tôi cố gắng tìm ra biện pháp để nâng cao hiệu quả trong những năm sắp tới.
Mong các đồng nghiệp và các bạn giáo viên trong tổ, trong trường hỗ trợ nhiều cho tôi
về phương pháp dạy học “Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu ôn tập nội dung
khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan cho học sinh trường THPT số 2 Bắc
Hà”
Trong khi viết đề tài này, bản thân không tránh khỏi những sai sót, rất mong Sở
Giáo dục và các thầy cô giáo đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi rút kinh nghiệm cho
những năm sau viết tốt hơn.
2. Hướng phổ biến áp dụng đề tài:
Đề tài đã được thực hiện có hiệu quả ở lớp 12A4; sẽ được phổ biến trong khối
12 của trường THPT số 2 Bắc Hà, và các lớp khối 12 trung học phổ thông.
3. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Khai thác thêm các bài toán liên quan của khảo sát. Bổ sung vào đề tài và thực

nghiệm thêm nhiều lớp khối 12 trường THPT số 2 Bắc Hà.
4. Kiến nghị:
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách
tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan
tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về
những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó
trong khi làm bài tập.

Trang 16


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không
tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp cũng bạn đọc
nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.

Bắc Hà, ngày 25 tháng 5 năm 2014
Người viết
Nguyễn Tiến Sỹ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) và các tác giả: Hướng dẫn thực hiện chương trình,
sách giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008.
Trang 17


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: Giải tích 12 –

NXBGD,2008.
3. Đề thi tốt nghiệp một số năm gần đây.
4. Bộ Giáo dục và Đào tạo : Đề thi tuyển sinh – Môn Toán - NXBGD,1996.
5. Trần Văn Hạo (Chủ biên) và các tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học Giải tích
– đại số tổ hợp -NXBGD,2002.
6. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Tạp chí Toán học& Tuổi trẻ-NXBGD.

Nhận xét , đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT số 2 Bắc Hà:
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 18


Trường THPT số 2 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
......................................................................
. . . . . . . . . ……………………………………………………………………..
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
. . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………..
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
. . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………..
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
. . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………...
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
. . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………..
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
. . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………..
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
. . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………...
......................................................................
......................................................................
...................................................................…

Trang 19