SKKN cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong chương i vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng

Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 3 HUYỆN VĂN BÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
CÁCH SỬ DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG I-VECTƠ (CTC)
NHẰM GIÚP HỌC SINH DỄ HIỂU, DỄ NHỚ VÀ DỄ VẬN DỤNG.

Họ tên tác giả : Phùng Viết Ngun
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị cơng tác: Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Văn Bàn, tháng 5 năm 2014

MỤC LỤC
Trang
-1-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

* Đặt vấn đề......................................................................................................4

* Giải quyết vấn đề...........................................................................................6
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................6
2. Thực trạng vấn đề...........................................................................................7
3. Biện pháp tiến hành giải quyết.......................................................................8
4. Hiệu quả sáng kiến........................................................................................16
* Kết luận........................................................................................................ 17
* Danh mục tài liệu tham khảo..................................................................... 18
* Phụ lục........................................................................................................... 19

ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Tốn học là một mơn học đòi hỏi người học phải suy luận và sử dụng
nhiều đến trí óc. Hình học là một lĩnh vực nghiên cứu của Tốn học, nó được coi
là nội dung khó để đạt được kết quả cao trong hoạt động dạy và học vì tính đặc
thù trừu tượng. Khơng chỉ học sinh cảm thấy lúng túng khi học mơn Hình học
mà kể cả giáo viên gặp khơng ít khó khăn tìm giải pháp hướng dẫn học sinh tìm
hiểu và lĩnh hội kiến thức này.

-2-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học
hiện đại, là một chủ đề học tập, nghiên cứu tương đối rộng cho nhiều ngành như
đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, ... Hiện nay, khái niệm

vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình tốn học phổ thơng
nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học. Do tính
mới của kiến thức, học sinh tiếp cận lần đầu nên ngay từ đầu học sinh cần phải
nắm vững được các khái niệm về vectơ đồng thời hình thành cách thức suy luận
để giải quyết các bài tốn liên quan.
Trong những năm trước, tơi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 10
đây là cơ hội để tôi nắm bắt đặc điểm nhận thức của học sinh đầu cấp, dạy học
thực nghiệm một số giải pháp mà bản thân nghiên cứu đã giúp tơi có cách nhìn
nhận, điều chỉnh tốt hơn về phương pháp dạy học.
Hiện nay, tôi công tác tại trường THPT số 3 huyện Văn Bàn. Trong
những lần sinh hoạt chuyên môn trong và ngoài trường, được chia sẻ kinh
nghiệm, trao đổi phương pháp dạy học bài tập Chương I-Vectơ, tôi nhận thấy
chúng tơi cùng có các khó khăn chung khi dạy học phần này. Lý thuyết học sinh
có thể hiểu được tương đối tốt nhưng khi yêu cầu vận dụng để giải bài tập thì
học sinh báo cáo là rất khó khăn, vướng mắc để liên hệ lý thuyết gắn với bài tập
nhất là kĩ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Bởi vậy,
tôi đã bắt tay vào việc tìm tịi giải pháp hay để hướng dẫn học sinh dễ hiểu, dễ
nhớ, dễ vận dụng khi học tập nội dung này. Trong quá trình nghiên cứu qua giải
các bài tập, tôi nhận thấy quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành được sử dụng để
giải quyết rất nhiều bài toán, nếu sử dụng đúng cách các quy tắc này vào bài
tốn phân tích vectơ thì có thể đáp ứng giải quyết được những khó khăn của
chúng tơi đã đặt ra. Tôi chọn đề tài sáng kiến “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy
tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm
giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng” để nghiên cứu được kĩ càng hơn
vấn đề này, đồng thời cũng là định hướng để tôi tiếp tục nghiên cứu mở rộng
hơn với các bài tốn có vấn đề liên quan.
Đề tài của tôi đề cập chủ yếu đến vấn đề giải quyết các bài tốn phân tích
một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương hay có thể là những bài toán tương
đương quy được về bài toán này bằng cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình
bình hành thông thường nhưng qua việc nghiên cứu, tham khảo của tơi và đồng

nghiệp chưa có tài liệu nào ghi chép cách làm giống với cách làm như đề tài tôi
nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành nhằm định
hướng cho học sinh con đường giải quyết một số bài toán về phân tích vectơ
trong chương I-Vectơ (CTC Hình học lớp 10) trở nên đơn giản hơn, dễ hiểu hơn
và dễ dàng trong vận dụng giải quyết các bài toán liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Để đánh giá hiệu quả sáng kiến tơi tiến hành trên hai nhóm đối tượng
tương đương về học lực 10A1, 10A2 của trường THPT số 3 huyện Văn Bàn.
Lớp thực nghiệm 10A1 được áp dụng giải pháp thay thế “Cách sử dụng quy tắc
-3-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

cộng, quy tắc hình bình hành nhằm giải quyết một số bài tốn về phân tích vectơ
trong chương I-Vectơ (CTC Hình học lớp 10), lớp đối chứng 10A2 thực hiện
theo cách hướng dẫn thông thường.

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
* Một số định nghĩa về vectơ:
u
r
r

Tổng của hai vectơ: Cho 2 vectơ a và b . Lấy điểm A tùy ý, xác định các
uuur r uuu
r r
uuuu
r
điểm B và C sao cho AB = a , BC = b . Khi đó vecto AC được gọi là tổng của
uuur r r
u
r
r
hai vectơ a và b . Ký hiệu AC = a + b . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi
là phép cộng vectơ. Từ đây, ta có các quy tắc:

-4-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Qui tắc cộng
Qui tắc hình bình hành
Với bauuđiểm
A, B,rC tuỳ ý, Với
ABCD
là hình bình hành,
uu
r uuur uuuu

uuuu
r uuuu
r uuuu
r
ta có: AB + BC = AC .
AB + AD = AC .

ta

có:

uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuur

Dễ thấy AB + AD = AB + BC , quy tắc này được
xây dựng dựa trên quy tắc cộng
r

r

Tích của một vectơ với một số: Cho vectơ
a và số k ∈ R . Khi đó k. a là
r
r
một vectơ được xác định cùng hướng với a (nếu k ≥ 0 ), ngược hướng với a
r
r
(nếu k<0) và có độ dài ka = k a

r

r

r

u
r

u
r

r

Điều kiện để hai vectơ a ( a ≠ 0 ) và b cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : b = ka
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
r Cho
r hai
r vectơ
r
r u
ur
không cùng phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó ∃h,k duy nhất: x = ha + kb .
uuur r uuur r
Lấy O tùy ý, ta lần lượt dựng OA = a , OB = b ,
uuur r
hành OB’CA’ như hình
OC = x , dựng hình bìnhuuu
r uuuu
r uuuu

r
bên. Khi đó nhận thấy: OC = OA ' + OB'
uuur
uuur r
r
r
r
r
= hOA + kOB = ha + kb hay x = ha + kb
r
Nhận xét: Mọi vectơ x bất kì có thể phân tích qua
r
r u
hai vectơ khơng cùng phương a , b .

* Qua việc nghiên cứu lý thuyết và các bài tập của chương, có thể thấy
rằng việc áp dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành được sử dụng rất nhiều
trong các bài tốn như: chứng minh đẳng thức vectơ, phân tích vectơ, thực hiện
phép tính.., việc áp dụng các quy tắc này có thể thuận lợi trong một số trường
hợp. Tuy nhiên, có những trường hợp việc áp dụng các quy tắc này trở nên khó
khăn, nhất là đối với học sinh học lực trung bình hoặc thấp hơn do hướng tiếp
cận để giải quyết bài toán chưa phù hợp (cách hướng dẫn của giáo viên chưa xây
dựng, định hướng được con đường giải quyết bài tốn)
Sau đây là một vài ví dụ:
Bài 2 (SGK-17): Cho
giác
uuu
r vàuuBM
ur là hai trung tuyến
r uuucủa

r rtamuuu
r ABC.
uuur AK
Hãy phân tích các vectơ AB , BC , AC theo hai vectơ u = AK , v = BM .
Bài 3 (SGK-17). u
Trên
uuur thẳng chứa cạnh BC củauutam
uur đường
uu
r giác ABC, lấy
một điểm M sao cho MB = 3 MC . Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ
r uuur r uuu
r
,
u = AB v = BC .
Với hai bài tốn trên, học sinh gặp khó khăn trong hướng đi phân tích từ
một vectơ thành hai vectơ theo u cầu bài tốn, các vectơ này khơng có tính
tương tự như vectơ trong quy tắc cộng và quy tắc hình bình hành để học sinh có
-5-

Phùng Viết Ngun


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

thể dựa vào đó vận dụng ngay được. Vậy vấn đề đặt ra là bài toán này sẽ được
tiếp cận giải quyết bằng các quy tắc trên như thế nào để bài tốn đơn giản hơn?
để học sinh có thể hình thành xây dựng con đường giải quyết được bài toán này?

2. Thực trạng của vấn đề:
Tại trường THPT số 3 huyện Văn Bàn, qua việc thăm lớp, dự giờ khảo sát
trước tác động, tôi thấy giáo viên dạy học môn Tốn nói chung phân mơn Hình
học nói riêng gặp khơng ít khó khăn trong q trình lên lớp. Về đối tượng học
sinh của vùng tôi công tác, khả năng tư duy, tiếp thu kiến thức về hình học cịn
hạn chế ngay từ việc giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận, lĩnh hội kiến
thức để giải quyết bài toán thì việc học sinh phải tự giải được các bài tập sau khi
học tại lớp là điều không đơn giản. Với thực tế trao đổi chia sẻ kinh nghiệm dạy
học chương I-Vectơ cùng với các đồng nghiệp, tôi nhận thấy chúng tơi gặp phải
khó khăn khi dạy học sinh cách giải quyết các bài toán trong chương này mà đề
tài đã đề cập đến.
Năm học 2013-2014, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy khối 10.
Ngay từ đầu năm học sinh được học tập nội dung “chương I: Vectơ” chủ đề này
được xem là nội dung khó đối với học sinh đầu cấp. Trong chương học sinh
được học tập bài “Phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương” sau
khi học tập các phép cộng vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số
và các tính chất của mỗi phép tốn đó. Ngồi ra vectơ cịn được áp dụng trong
một số bài tập có nội dung vật lý liên quan đến thực tế dạng tốn “Phân tích một
vectơ lực theo hai vectơ lực khơng cùng phương”.. Nhìn chung, các bài tập trong
chương trình là dạng tốn mới và khó đối với các em do các em mới được học
về vectơ, thời gian luyện tập, giải bài tập trong sách giáo khoa cịn ít, chưa phát
huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho các em, nhiều em lúng
túng trong việc tìm cách giải quyết và cách trình bày bài giải.
Thực trạng trên là những điều kiện thuận lợi giúp tơi có thể phân tích kĩ
lưỡng các nguyên nhân làm cho học sinh khó khăn khi giải quyết bài tốn, tích
cực nghiên cứu, tìm tịi các ý tưởng, giải pháp để khắc phục các hạn chế trên.
Năm học 2013-2014, trong q trình thực nghiệm tơi đã tìm được giải pháp phù
hợp để khắc phục khó khăn của mình, của nhóm chun mơn, của học sinh và
tôi bắt tay vào việc viết đề tài nghiên cứu. Đề tài sáng kiến “Cách sử dụng quy
tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài tốn trong Chương I-Vectơ

(CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng” là ý tưởng tuy còn
nhỏ bé nhưng tơi hy vọng có thể chia sẻ những khó khăn và cách làm của mình
với đồng nghiệp.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
3.1. Thiết kế nghiên cứu.
Chọn hai lớp 10A1, 10A2 mỗi lớp 20 học sinh có học lực từ trung bình
yếu trở lên: Lớp 10A1 làm nhóm thực nghiệm, lớp 10A2 làm nhóm đối chứng.
Dùng bài kiểm tra khảo sát đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động để chọn
mẫu. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự tương
đương.
-6-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Kiểm tra sau tác động: Bài kiểm tra khảo sát cuối chương I- Vectơ.
3.2. Quy trình nghiên cứu
3.2.1. Chuẩn bị của giáo viên.
Lớp thực nghiệm: vận dụng đề tài “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc
hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp
học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng”.
Lớp đối chứng: Sử dụng cách dạy thông thường vào các tiết dạy.
3.2.2. Tiến trình dạy thực nghiệm.
Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoạch và thời khóa biểu để
đảm bảo tính khách quan. Cụ thể:
Tiết

Nội dung thực hiện

7

Lý thuyết tích của vectơ với một số: Đặt vấn đề phân tích
một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, những khẳng
định cơ bản nhất
Luyện tập: Sử dụng các ví dụ áp dụng để minh họa cho các
khẳng định trên, xác định con đường giải quyết bài toán
Bám sát: Học sinh đã thực hiện các nội dung theo cách
hướng dẫn ở nhà và trình bày tại lớp
Ơn tập: Khảo sát lại kết quả thực nghiệm

8
8
13

Lớp
10A1
10A1
10A1
10A1

3.2.3. Những bài tập sưu tầm và chỉnh sửa.
Sưu tầm các bài toán vectơ phù hợp để xây dựng con đường giải quyết bài
toán.
3.3. Kế hoạch lên lớp:
Tiết 7: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Trước tiên cần khẳng định được một số nội dung dưới đây để học sinh

hiểu rõ hơn và công nhận kết quả từ những khẳng định này.
Bài tốn phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
r Cho
r hai
r
r
r u
ur
vectơ không cùng phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó ∃h,k duy nhất: x = ha + kb .
Nhận xét:
- Lnrcó sự phân tích mộtrvectơ theor hai vectơ khơng cùng
phương.
r
- Nếu x cùng phương với a thì k=0; x cùng phương với b thì h=0. Bài
tốn này học sinh có thể làm được rất dễ dàng khi được giáo viên định hướng
r r
r
bằng cách cho học sinh nhận xét mối quan hệ các vectơ x với mỗi vectơ a, b
r r
r r r
r
- Nếu x không cùng phương với a, b thì giá của các vectơ a, b, x đơi một
cắt nhau hoặc đồng quy.r r r
+ Trường hợp 1: a, b, x đôi một cắt nhau, tạo thành tam giác, chẳng hạn là
ABC:

-7-

Phùng Viết Nguyên

Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

r
r
r
uuur uuur uuur
Khi đó từ x = ha + kb được thay tương ứng thành BC = BA + AC (theo
tính chất hai vectơ cùng phương). Vậy ta có hướngr giảirquyếtr bài toán đi từ quy
uuur uuur uuur
tắc cộng BC = BA + AC rồi lần lượt thay thế để có x = ha + kb thì bài tốn trở
nên đơn giản hơn.
r r r
+ Trường hợp 2: a, b, x đồng quy, thì dựng được hình bình hành, chẳng
hạn là ABC:

r
r
r
uuur uuur uuur
Khi đó từ x = ha + kb được thay tương ứng thành AC = AB + AD (theo
tính chất hai vectơ cùng phương). Vậy ta có hướng giải quyếtr bài rtốn rđi từ quy
uuur uuur uuur
tắc hình bình hành AC = AB + AD rồi lần lượt thay thế để có x = ha + kb thì bài
tốn trở nên đơn giản hơn.
Như vậy, có thể đưa ra khẳng định chung là: Bài tốn phân tích một vectơ
theo hai vectơ không cùng phương được áp dụng giải quyết bằng quy tắc cộng
và quy tắc hình bình hành. Đây là khẳng định mang tính định hướng cho học

sinh khi giải quyết loại bài toán này hoặc bài toán tương tự cần tập trung vào
cách vận dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành sao cho phù hợp nhất.
Tiết 8: LUYỆN TẬP
Vấn đề được đặt ra tiếp theo là “vận dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình
hành sao cho phù hợp nhất”. Để học sinh có cái nhìn rõ hơn tơi đưa ra bài tốn
sau:
Bài tốn 1: Cho tamuugiác
ABC, gọi M, uN
lần lượt là trung điểm của AB và
uu
r
uur uuur
BC. Hãy phân tích vectơ MN theo hai vectơ AB , NC

-8-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

*uuuPhân
tích: Học sinh
bắt đầu gặp khó khăn trong lời giải tìm sự phân tích
u
r
uuur uuur
vectơ MN theo hai vectơ AB , NC . Chủ yếu hướng suy nghĩ của các em tập trung

vào 3 vectơ trên với công cụ là các quy tắc đã được học mà rất ít em nghĩ đến
các
đối tượng xung quanh 3 vectơ này. Cho nên thường là các em bắt đầu bằng
uuuu
r
MN để phân tích
* Giải pháp thay thế: Theo trường hợp 1 đã khẳng định, bài toán này phải
đi từ quy tắc cộng rồi lần lượt thay thế các vectơ trong hệ thức bằng các vectơ
theo u cầu bài tốn (nghĩa là tìm được tam giác thỏa mãn). Bây giờ học sinh đi
vào tìm kiếm tam giác bắt đầu cho việc viết ra quy tắc cộng mà các vectơ trong
hệ thức có thể thay thế bằng các vectơ theo yêu cầu bài toán. Giáo viên sử dụng
phấn màu khác để vẽ đậm các vecơ theo yêu cầu bài toán dụ ý cho học sinh thấy
giá của ba vectơ này nằm trùng với đường thẳng nối các cạnh của tam giác nào
đó. Đến đây học sinh tìm ra được utam
giác MBN
để viết quy tắc cộng:
uur uuur uuuu
r
MB + BN = MN
uuur 1 uuur uuur uuur
Tiếp theo, thay thế các vectơ: MB = AB , BN = NC
2
uuuu
r 1 uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
Từ MB + BN = MN ⇒ MN = AB + NC (Bài toán đã được đơn giản hóa, giải
2

quyết ngắn gọn và dễ hiểu)

Bài toán 1: Cho tam giác ABC,
gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của AB
uuu
r uuur
uuur
BC và AC. Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ GP , NC

*uuuPhân
tích: Học sinh
bắt đầu gặp khó khăn trong lời giải tìm sự phân tích
uuu
r uuur
r
vectơ AB theo hai vectơ GP , NC . Sau khi nghiên cứu bài toán 1 trên, hướng suy
nghĩ của các em đã được mở rộng hơn nhưng lại tập trung nhiều hơn vào cách
vận dụng quy tắc cộng trong trường hợp này, các em bắt tay vào tìm kiếm tam
giác bắt đầu cho quy tắc cộng mà cơng việc này là rất khó.
* Giải pháp thay thế: Theo trường hợp 2 đã khẳng định, bài toán này phải
đi từ quy tắc hình bình hành rồi lần lượt thay thế các vectơ trong hệ thức bằng
các vectơ theo u cầu bài tốn (nghĩa là tìm được hình bình hành thỏa mãn).
Bây giờ học sinh đi vào tìm kiếm hình bình hành bắt đầu cho việc viết ra quy tắc
hình bình hành mà các vectơ trong hệ thức có thể thay thế bằng các vectơ theo
yêu cầu bài toán. Giáo viên tiếp tục sử dụng phấn màu khác để vẽ đậm các vecơ
theo yêu cầu bài toán dụ ý cho học sinh thấy giá của ba vectơ này đồng quy tại
một điểm là đỉnh thứ nhất của hình bình hành. Đến đây học sinh tìm ra được
hình bình hành BNPM để viết quyuutắc
hình bình
hành với đỉnh B chung:
u

r uuur uuuu
r
BP = BN + BM

-9-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

1 uuur uuur uuur
2
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuuu
r
uuur
uuur uuu
r
1 uuur
Từ BP = BN + BM ⇒ 3GP = NC + − AB ⇒ AB = 2NC − 6GP (Bài toán đã được
2
uuu
r

r

uuu
r uuuu

Tiếp theo, thay thế các vectơ: BP = 3GP , BM = − AB , BN = NC

đơn giản hóa, giải quyết ngắn gọn và dễ hiểu)
Nhận xét: Qua gợi ý, phân tích, định hướng học sinh đã hình thành được
lối suy nghĩ để giải quyết bài tốn đó là việc khéo léo vận dụng quy tắc cộng và
quy tắc hình bình hành vào bài tốn. Để khẳng định mang tính hệ thống hơn, tơi
đã u cầu học sinh phát biểu rút ra từ lời giải các bài toán trên thành các bước
tiến hành giải quyết rõ ràng, thuật tiện cho các em tự học ở nhà và có thể làm
được bài tập.
Bước 1: Dùng mực khác màu kẻ các vectơ trong sự phân tích để nó tạo ra
được hình tam giác (nếu 3 đường đơi một cắt nhau), hình bình hành (nếu 3
đường đồng quy, lấy điểm đồng quy là một đỉnh của hình bình hành, 3 đường
kia là các cạnh và đường chéo xuất phát tại điểm đó)
Bước 2: Viết quy tắc cộng với tam giác được tạo thành hoặc quy tắc hình
bình hành với hình bình hành được xác định.
Bước 3: Thay thế lần lượt các vectơ trong quy tắc đã viết thành các vectơ
theo yêu cầu bài tốn rồi suy ra sự phân tích của vectơ theo yêu cầu.
Như vậy có thể thấy rằng, cách đặt và giải quyết vấn đề có cơ sở logic,
gọn gàng, rõ ràng thành các bước cơ bản có thể giúp cho học sinh dễ hiểu, dễ
nhớ, dễ dàng vận dụng kể cả đối tượng học sinh có học lực trung bình yếu mà
giáo viên khơng phải phân tích giảng giải nhiều.
Lưu ý: Vận dụng linh hoạt để không phải dựng hình bình hành trong một
số trường hợp đặc biệt, ví dụ:

uuur uuur

uuur

uuur uuur

uuur

uuur

Ta có: AB + AD
= AC ⇒ AB + AD = 2AO như vậy vectơ AO được thay thế
r
trực tiếp với vectơ x .

Tiết 8 (chủ đề bám sát): BÀI TỐN PHÂN TÍCH VECTƠ
Bài tập học sinh vận dụng tương tự ở lớp:
Bài toán (VD-SGK 16): Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi I là
1
5

trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho AK= AB
uur uuur uur uuur

uuur uuu
r

a) Hãy phân tích AI, AK, CI, CK theo CA, CB
- 10 -

Phùng Viết Nguyên

Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

(trong lời giải của SGK, học sinh đọc cũng khó có thể hiểu phần đầu được
(tại sao phải làm như thế) cho nên việc xác định con đường giải quyết bài tốn là
rất khó, thiếu tính chủ động trong tư duy). Sau khi được định hướng tiếp cận về
cách giải quyết trên, học sinh có thể làm được bài tập này dễ dàng. Học sinh có
lời giải như sau:
uuur uuu
r
uur
+ Phân tích AI theo CA, CB

uuur uuur

uuur

Giá của 3 vectơ đơi một cắt nhau, ta có tam giác ACD: CA + AD = CD ;

r
uuur uur 1 uuu
r
uur 1 uuu
r 1 uuur
uuur
uur uuur 1 uuu
uuur uuur uuur
AD = 3AI , CD = CB . Nên CA + AD = CD ⇒ CA + 3AI = CB ⇒ AI = CB − CA
2

2
6
3
uuur uuu
r
uuur
+ Phân tích AK theo CA, CB

uuur uuur uuu
r

Giá của 3 vectơ đơi một cắt nhau, ta có tam giác ABC: CA + AB = CB ;

uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur
uuur
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
AB = 5AK . Nên CA + AB = CB ⇒ CA + 5AK = CB ⇒ AK = CB − CA
5
5
uuur uuu
uur
r
+ Phân tích CI theo CA, CB

uur uuur uur

uur

Cách 1: CI = CA + AI (lấy AI đã có kết quả phân tích trên thay vào)
Cách 2: Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành CEIF

r 2 uuur
uuu
r uuu
r uuu
3
uur
uur uuu
r uuu
r
1
1 1
CE = CD = ( CB) ). Nên CI = CE + CF ⇒ CI =
3
3 2
uuur uuu
uur
r
+ Phân tích CI theo CA, CB
uur

(IF//CB, IE//AC): CI = CE + CF ; CF = CA (do

- 11 -

uuu
r 1 uuu
r
AF AI
=
), CE = CB (do
AC AD
6
u
u
u
r
u
u
u
r
2
1
CA + CF
3
6

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

uuur

uuur uuur

Sáng kiến kinh nghiệm

uuur

Cách 1: CK = CA + AK (lấy AK đã có kết quả phân tích trên thay vào)
Cách 2: Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành CMKN

r 1 uuu
r
4 uuur
AN AK uuuu
=
), CM = CB (do
5
AC AB
5
uuur 1 uuu
r 4 uuur
uuur uuuu
r uuur
BM BK
=
). Nên CK = CM + CN ⇒ CK = CB + CA
BC BA
5
5
uuur

uuuu

r uuur uuur

(KN//CB, KM//AC): CK = CM + CN ; CN = CA (do

Bài toán học sinh về nhà tự làm:
Bài 2 (SGK 17) Cho
BM
của
giác
uuurAK
uuu
rvàuu
ur là hai trung tuyến
r uu
ur rtamuu
uu
r ABC.
Hãy phân tích các vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ u = AK , v = BM .

uuur

uuur uuuu
r

+ Phân tích AB theo AK , BM :
uuur uuur uuur
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGB: AB + BG = AG ;

uuur 2 uuuu
r uuur 2 uuur

uuur 2 uuuu
r 2 uuur
uuur 2 uuur 2 uuuu
r
BG = BM , AG = AK . Nên AB + BM = AK ⇒ AB = AK − BM
3
3
3
3
3
uuur uu3uu
r

uuu
r

+ Phân tích BC theo AK , BM :
uuur uuur uuur
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGK: BG + GK = BK ;

uuur 2 uuuu
r uuur 1 uuur uuur 1 uuu
r
r 1 uuur 1 uuu
r
uuur uuur uuur
2 uuuu
BG = BM , GK = AK , BK = BC . Nên BG + GK = BK ⇒ BM + AK = BC
3
3

2
3
3
2
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
2
⇒ BM + AK = BC
3
3
uuur uuuu
r

uuur

+ Phân tích CA theo AK , BM :
uuur uuuu
r uuuu

r
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGM: AG + GM = AM ;

uuur 2 uuur uuuu
r 1 uuuu
r uuuu
r
1 uuur
AG = BK , GM = BM , AM = − CA .
3
3
2
u
r
r uuur
uuur uuuu
r uuuu
r
2 uur 1 uuuu
1 uuur
1 uuur 2 uuuu
Nên AG + GM = AM ⇒ BK + BM = − CA ⇒ − BK − BM = CA
3
3
2
3
3

Bài 3 (SGK 17)uuTrên
đường thẳng chứa cạnh BC

của
tam giác ABC
lấy
ur
uuur
uuuu
r
uuur
một
điểm M sao cho MB = 3MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và
uuur
AC .
uuur
uuuu
r
uuur
Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC :

- 12 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành APMQ

uuu

r 1 uuur
BA BM uuur 3 uuur
=
), AQ = AC (do
4
BP BC
4
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u

u
u
r
CQ CM
1
3
=
). Nên AM = AP + AQ ⇒ AM = AB + AC
CA CB
4
4
uuuu
r uuu
r uuur

(MQ//AB, MP//AC): AM = AP + AQ ; AP = AB (do

Bài 4 (SGK 17) Gọi AM là trung
tuyến tam giác ABC và D là trung điểm
uuur uuur uuur r
của đoạn AM. Chứng
minh rằng: 2DA
+ DB + DC = 0
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
Gợi ý: 2DA + DB + DC = 0 ⇒ −2DA = DB + DC chứng tỏ sự phân tích đúng

uuur uuur

uuuu

r

uuur uuur

uuur

uuur uuur

uuur

r

Ta có: DB + DC = 2DM ⇒ DB + DC = −2DA ⇒ DB + DC + 2DA = 0
Bài 7 (SGK 17) Cho tam
giác ABC.
uuuu
r uuur uuur r
Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = 0
uuuu
r uuur uuur
uuuu
r uuur
uuur
Gợi ý: MA + MB = −2MC từ hệ thức suy ra ba vectơ MA, MB, MC nằm trên
đường thẳng hai cạnh bên và đường chéo của hình bình hành có đỉnh là M.
Bài 8 (VD1-SBT 25) Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,
E, F lần lượt là trung điểm của
các cạnh BC, CA, AB và Iuulà
giao
điểm của AD

uur uuur uuur uuur
ur uuu
r
và EF. Phân tích các vectơ AI, AG, DE, DC theo hai vectơ AE, AF

uur

uuur uuu
r

+ Phân tích AI theo AE , AF :

uuur

uuu
r

uur

1 uuur
2

r uur
1 uuu
2

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có AE + AF = 2AI ⇒ AE + AF = AI

- 13 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

uur

uuur uuu
r

uuur

1 uuur
2

1 3 uuur
2 2

3 uuur
4

+ Phân tích AG theo AE , AF : ta có AI = AD = ( AG) = AG
uuur

r 2 uuur 1 uuu
r
4 uur 4 1 uuur 1 uuu
AI = ( AE + AF) = AE + AF

3
3 2
2 uuur uu3u
3
r
uuur
uuur
uuu
r
uuur
+ Phân tích DE theo AE , AF : Dễ thấy DE cùng phương AF nên DE =
uuur uuu
r
0.AE − AF
uuur uuu
r
r uuur
uuur
uuur uur
uur uuu
+ Phân tích DC theo AE , AF : Dễ thấy DC = FE nên FE = FA + AE ⇒
uuu
r uuur
uuur
−
AF
+ AE
=
DC

⇒ AG =

Bài tập học sinh tự rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần lượt
uuu
r

r 1 uuur
uuur uuu

là các điểm thoả BE = 2BD , CF = CD .
3
uuur
a) Hãy biểu diễn vectơ AD theo hai vectơ
uuu
r
b) Hãy biểu diễn vectơ AF theo hai vectơ

uuur uuu
r
AB, AF ;
uuur uuur
AB, AE ;
uur 1 uur
c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa AJ = JC . Hãy biểu diễn
2
uur uur
uu
r
vectơ IF theo hai vectơ JB, JC .

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng
tâm tam giác D là điểm
đốiuuur
uuur
uuur uuur
xứng của B qua G. Hãy phân tích các vectơ AB , AC theo hai vectơ AG và AD .
Bài 3: Cho hình vng
ABCD.
Điểm E là trung điểm của CD. Hãy phân
uuur
uuur
uuur
tích AE theo hai vectơ AD và AB .
uuur
uuur
Bài 4: Cho tam giác ABC, lấy
các
điểm
M,
N,
P
sao
cho:
MB = 3MC ,
uuu
r uuur
uuur
uuur uuu
r uuu

r r
uuur
uuur
NA = −3NC , PA + PB = 0 . Hãy tính PN, PM theo hai vectơ AB và AC .
Bài 5: Cho hìnhuuchữ
nhật
ABCD. Điểm F là trung điểm cạch CD, điểm E
ur
uuur
là điểm xác định bởi AB = 2EAuu.r
uuur
uuur
a. Hãy phân tích vectơ EF theo hai vectơ AB và AC . uuur
b.
Gọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ DG theo hai vectơ
uuur
uuur
AB và AD .
Bài 6: Cho
tam giác ABC. Gọi D và I là các điểm xác định
bởi các đẳng
uuur uuur r uur uur uur r
uuur
thức vectơ:
3DB − 2DC = 0 , IA + 3IB − 2IC = 0 . Phân tích vectơ AD theo hai vectơ
uuur
uuur
AB và AC .
Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm
của

AB, điểm D là trung
uuur
uuur
điểm của BC, điểm N là điểm thuộc AC sao cho CN = 2NA . K là trung điểm của
MN.
uuur

1 uuur 1 uuur uuur
4
6

1 uuur 1 uuur
4
3

Chứng minh: AK = AB + AC ; KD = AB + AC

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung
điểm của
CD, uđiểm
G là
uur uuur
uuur
uur
trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AGuuurtheo AB và AD
uuur
Bài
9:
Cho
lục

giác
đều
ABCDEF.
Phân
tích
các
BC và BD theo
uuur
uuu
r
vectơ AB và AF

- 14 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD, điểm M là một điểm trên cạnh BC
sao cho MB = 3MC
uuuu
r 1 uuur 3 uuur
4
4

a. Chứng minh rằng: AM = AB + AC .

uuur uuuu
r

b. Gọi N là điểm trên cạnh CD thỏa ND = 2 CN. Tính các AN, MN theo
uuur uuur

vectơ AB, AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB.
uuuur uuuu
r uuuu
r r
a. Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0 .
uuuu
r uuuu
r
uuur uuur uuur
b. Tính BC, CA, AB theo BB1 , CC1
Bài 12: Cho hình
bình hành ABCD
có uhai
đường chéo cắt nhau tại O.
uuur
uuur
uur
a. Biễu diễn OA theo hai vectơ AB và AD
uuur
uuur
uuur
b. Biễu diễn BD theo hai vectơ AB và AC

Bài
13: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuur
MB = kMC (k ≠ 1) . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC .
Bài 14: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng
α + β = 1
BC khi và chỉ khi tồn tại các số α, β sao cho  uuuur uuur

uuur
 AM = α AB + βAC

3.4. Hiệu quả của SKKN:
So sánh điểm trung bình bài kiểm tra trước và sau tác động
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình sau tác
6,80
5,85
động
Kết quả kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm, điểm trung bình là:
6,80; kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng, điểm trung bình là:
5,85. Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là: 0,95; Tỉ lệ học sinh có điểm tăng
lên rõ rệt ở lớp thực nghiệm. Điều đó cho thấy điểm của hai nhóm thực nghiệm
và nhóm đối chứng đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có tỉ lệ điểm trên
trung bình và điểm trung bình cộng cao hơn lớp đối chứng.

KẾT LUẬN
1. Kết luận:
Đề tài “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số
bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ
vận dụng” đã được áp dụng trong dạy học tại nhà trường, qua khảo sát có thể
thấy được cách làm này có hiệu quả tốt, góp phần nâng cao kết quả học tập mơn
Tốn của học sinh lớp 10 trường THPT số 3 huyện Văn Bàn khi học xong
chương I- Vectơ.

- 15 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Giải pháp này sử dụng nhiều đến bài toán được sưu tầm và phân theo từng
dạng toán liên quan làm nâng cao kết quả học tập mơn Tốn của học sinh lớp 10
trường THPT số 3 huyện Văn Bàn khi học xong chương I -Vectơ. Tuy đề tài chỉ
có phạm vi hẹp trong một chương áp dụng với đối tượng học sinh có học lực
trung bình yếu trở lên nhưng nó đã giải quyết được vấn đề khó khăn mà nhiều
giáo viên gặp phải khi lên lớp nội dung này. Đây cũng là hướng phát triển của
đề tài mà mỗi giáo viên cần lưu ý, khi lên lớp cần quan tâm đến cách cho học
sinh tiếp cận giải quyết bài toán để học sinh được hình thành lối tư duy. Đề tài
có thể ứng dụng rộng rãi kết quả nghiên cứu trong các phần kiến thức khác của
mơn Tốn, để làm được điều đó địi hỏi người giáo viên cần phải đầu tư nhiều
thời gian, công sức, biết thiết kế bài học cho phù hợp sao cho đơn giản hóa bài
tốn, phải có kĩ năng phân tích khai thác bài tốn để hình thành phát triển lối tư

duy cho học sinh.
2. Khuyến nghị:
Đối với giáo viên: Tích cực tự học, tự bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp
vụ đặc biệt là phương pháp dạy học theo hướng phát triển tư duy cho học sinh,
khi giải quyết một chủ đề kiến thức cần phải nghiên cứu kĩ lưỡng hướng cho học
sinh tiếp cận, hình thành được lối tư duy để giải quyết bài tốn, biết khai thác
thơng tin trên mạng Internet để học tập, tham khảo, nghiên cứu.
Với phạm vi và kết quả nghiên cứu của đề tài tôi mong rằng các đồng
nghiệp quan tâm chia sẻ, đặc biệt là với các bộ mơn tương tự có thể ứng dụng đề
tài này vào giảng dạy ở một số phần kiến thức phù hợp nâng cao kết quả học tập
của học sinh.
Trong một khoảng thời gian nghiên cứu không dài, áp dụng đề tài với đơn
vị kiến thức trong chương trình Tốn THPT chắc chắn khơng tránh khỏi thiếu
sót. Rất mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 10 CTC – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách bài tập Hình học 10 CTC – Nhà xuất bản giáo dục.
3. Ch̉n kiến thức, kĩ năng mơn Tốn 10 chương trình chuẩn.
4. Một số bài tập Hình học 10 được sưu tầm trên các trang web

- 16 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

PHỤ LỤC
1. Đề kiểm tra khảo sát hiệu quả áp dụng của lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng:
ĐỀ KIỂM TRA
Mơn: Hình học 10

- 17 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Câu 1 (3.0 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho

uur
uur
uuur
uur
uuur
2IC = 3BI . Phân tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .

Câu 2 (4.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm
1
3

1
2uuur

uuur
uuur
a) Phân tích vectơ AN
theo hai vectơ AB và uAC
uur
uur
uuur
b) Phân tích vectơ IN theo hai vectơ AB và AC .

trên các cạnh AB và CD sao cho AM = AB , CN = CD .

Câu 3 (3.0 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả

uuuu
r
uuur uuur 2 uuur
mãn AM = 2AB , AN = AC .
5

uuuu
r

uuur

uuur

Hãy phân tích các vectơ MN theo hai vectơ AB và AC .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA
Mơn: Hình học 10
Câu

Nội dung
Cho
tam
giác ABC. Gọi I làuurđiểm trên cạnh BC
sao ucho
uur
uur
uur
uuur
2IC = 3BI . Phân tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .

Điểm

1
Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành

2 uuur
5
uuur 3 uuur
uur uuuu
r uuur
CM CI
BN BI
=
=
), AN = AB (do
). Nên AI = AM + AN ⇒
CA CB
5

BA BC
uur 2 uuur 3 uuur
AI = AC + AB
5
5
uur

r
uuuu
r uuur uuuu

AMIN (IM//AB, IN//AC): AI = AM + AN ; AM = AC (do

2

1.0
1.0
1.0

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên
1
3

1
2

các cạnh AB và CD sao cho AM = AB , CN = CD .
uuur

uuur

uuur

a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB và AC

- 18 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

0.75+0.75
0.5

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành
uuur

uuur uur

uuur

uuur 1 uuur
2

ANCI (CN//AB, CI//AN): AC = AN + AI . Nên AC = AN + AB
uuur 1 uuur uuur
⇒ AC − AB = AN

2
uur
uuur
uuur
b) Phân tích vectơ IN theo hai vectơ AB và AC .

1.0
1.0

uur uuur

Dễ thấy IN =uuBC
, giá của 3 vectơ đơi mộtuucắt
nhau, ta có tam
ur uuur uuur uuur uur
ur uur uuur
giác
ACB: AB + BC = AC ; BC = IN . Nên AB + IN = AC ⇒
uur uuur uuur
IN = AC − AB

Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả mãn
uuuu
r
uuur uuur 2 uuur
AM = 2AB , AN = AC .
5

uuuu
r

uuur

uuur

Hãy phân tích các vectơ MN theo hai vectơ AB và AC .

3

Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AMN:

uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuur 2 uuur uuuu
r
uuur
AN + NM = AM ; NM = −MN , AN = AC , AM = 2AB . Nên
5
r
uuur
r
uuur uuuu
r uuuu
r
2 uuur uuuu
2 uuur uuur uuuu
AN + NM = AM ⇒ AC − MN = 2AB ⇒ AC − 2AB = MN

5
5

1.0
1.0+1.0

2. Kết quả kiểm tra theo bảng dưới đây:
- 19 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

LỚP ĐỐI CHỨNG 10A2
Trước
STT
Họ và tên
TĐ
1
Lương Quang Ánh
5

Sáng kiến kinh nghiệm

Sau
TĐ
6

LỚP THỰC NGHIỆM 10A1

Trước Sau
STT
Họ và tên
TĐ
TĐ
1
Hồng Ngọc Ân
6,5
7

2

Bàn Tịn Nhất

3

2,5

2

Vàng Thị Chính

4

5,5

3

Lự Văn Chức

5

6

3

Lương Thị Chính

4

6

4

La Văn Cương

7

6,5

4

Hồng Thị Dương

6

7

5

La Văn Dần

6

6,5

5

Ma Thị Giang

5,5

7

6

Giàng A Dơ

3

4

6

Giàng Thiên Hà

4

5,5

7

La Thị Du

6

6

7

La Thị Hằng

5

7

8

La Thị Duyện

6

6

8

Sầm Thị Hiền

5

6,5

9

Hồng Thị Điệp

7,5

8

9

Chảo A Hóa

3

4,5

10

Hồng Thị Hà

5

7

10

Lương Việt Hoàn

4

5,5

11

La Thị Hiền

5

5,5

11

Hà Thị Huê

7

8,5

12

La Thị Huyền

7

6,5

12

Hoàng Trọng Hùng

7

8

13

Vàng A Khánh

4

4

13

Lưu Tuấn Hưng

8

9

14

Lự Chiến Sỹ

3,5

4

14

Ma Thị Hương

6

6,5

15

Hoàng Văn Lịch

5

5

15

Lương Thị Liên

6

7,5

16

Hoàng Thị Màu

6

5,5

16

Trần Nhật Linh

8

8

17

Bàn Mùi Mấy

6

6,5

17

Đàm Thị Linh

7

7,5

18

La Văn Mưu

7

7,5

18

Hoàng Thị Mai

4

6

19

Lương Thị Nghĩa

7

7

19

Hoàng Văn Mong

5,5

6,5

20

Hoàng Thị Nguyện

6,5

7

20

Vương Văn Nghiệp

6

7

- 20 -

Phùng Viết Nguyên