SKKN phương pháp giải bài tập dao động và sóng điện từ

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, khi mà hình thức thi trắc nghiệm khách quan được áp dụng trong
các kì thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học, cao đẳng thì yêu cầu về việc nhận dạng
để giải nhanh các câu trắc nghiệm, đặc biệt là các câu trắc nghiệm định lượng là rất
cần thiết để có thể đạt được kết quả cao trong kì thi. Trong đề thi tuyển sinh đại
học, cao đẳng mấy năm gần đây, môn Vật lý có những câu trắc nghiệm định lượng
khó, nếu chưa gặp lần nào thì thí sinh khó mà giải nhanh và chính xác các câu này.
Để giúp các em học sinh có thể giải nhanh và chính xác các bài tập trong các
đề thi, khi giảng dạy mỗi chuyên đề, tôi đã lựa chọn các bài tập điển hình trong
sách giáo khoa, trong sách bài tập, trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh
đại học, cao đẳng theo những dạng cơ bản và đưa ra phương pháp giải cho từng
dạng. Trong các năm học trước, tôi đã trình bày các chuyên đề:
- Dao động cơ học với tên đề tài: “Giải bài tập dựa vào mối quan hệ giữa
dao động điều hoà và chuyển động tròn đều” (năm 2009).
- Dòng điện xoay chiều với đề tài“ Phương pháp giải bài toán điện xoay
chiều bằng giản đồ véc tơ” (năm 2010).
- Sóng cơ, sóng âm với tên đề tài: “Xây dựng các công thức tổng quát để giải
nhanh bài tập Giao thoa sóng cơ trong chương trình Vật lý 12 THPT” (năm 2011).
Các đề tài này đã được Sở GD&ĐT Lào Cai thẩm định và công nhận. Tôi
cùng đồng nghiệp trong trường đã thường xuyên áp dụng vào thực tế giảng dạy và
đã nâng cao rõ rệt chất lượng học tập bộ môn Vật lý của nhà trường.
Vì vậy, trong năm học này, tôi xin viết tiếp chuyên đề Dao động và sóng
điện từ với tên đề tài: “Phương pháp giải bài tập Dao động và sóng điện từ”.

1


2. Nội dung của sáng kiến
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Dao động điện từ trong mạch dao động
Mạch dao động là một mạch kín gồm một tụ điện có điện dung C và một

cuộn cảm có độ tự cảm L. Mạch dao động lý tưởng là mạch dao động có điện trở
thuần bằng 0.
Khi mạch hoạt động, điện tích trên tụ, cường độ dòng điện trong mạch, hiệu
điện thế giữa hai bản tụ biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc ω =
chu kỳ riêng

T = 2π LC

;

tần số riêng f

=

1
2π LC

Biểu thức điện tích trên tụ: q = Q0cos(ωt + ϕ).
Biểu thức dòng điện trong mạch:
π
2

i = q’ = -ωQ0sin(ωt + ϕ) = I0cos(ωt + ϕ + ) với

I 0 = ωQ0 =

Q0
LC

.

Suy ra, i nhanh pha hơn q một góc π/2.
Biểu thức điện áp tức thời:

uC =

q Q0
=
cos(ωt + ϕ ) = U 0 cos(ωt + ϕ ) .
C C

Công thức độc lập với thời gian:
q2 i2
+ =1
Q02 I 02
u 2 i2
+ =1
U 02 I 02

Năng lượng điện từ trong mạch dao động lý tưởng:
+ Năng lượng điện trường trong tụ điện:
=

1
1
q2
E C = Cu 2 = qu =
2
2
2C

Q02
1 Q02 1 Q02
cos 2 (ωt + ϕ ) =
+
cos(2ωt + 2ϕ )
2C
4 C 4 C

+ Năng lượng từ trường trong cuộn cảm:
EL =

1 2 Q02
1 Q02 1 Q02
1 Q02 1 Q02
Li =
sin 2 (ωt + ϕ ) =
−
cos(2ωt + 2ϕ ) =
+
cos(2ωt + 2ϕ + π )
2
2C
4 C 4 C
4 C 4 C

2

1
LC

,


Nhận xét: Năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến thiên điều
hoà ngược pha nhau quanh giá trị

1 Q02
4 C

với tần số và tần số góc bằng hai lần tần số

và tần số góc của điện tích, chu kì bằng một nửa chu kì của điện tích.
=> Năng lượng điện từ:

Q2 1
1
1
E = E C + EL = CU 02 = Q0U 0 = 0 = LI 02
2
2
2C 2

Chú ý: + Mạch dao động có tần số góc ω, tần số f và chu kỳ T thì Eđ và Et biến
thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f và chu kỳ T/2
+ Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp năng lượng điện trường bằng năng
lượng từ trường là T/4
1 2 C 2

2

 E L = 2 Li = 2 (U 0 − u )

 E = 1 Cu 2 = L ( I 2 − i 2 )
0
 C 2
2

+ Tính nhanh năng lượng điện, năng lượng từ:

2.1.2. Phương pháp giản đồ véc tơ
Vì một đại lượng x biến thiên điều hoà có thể được biểu diễn bằng một véc
tơ quay. Giả sử cần biểu diễn đại lượng x = A cos(ωt + ϕ ) .


Dùng véc tơ OM có độ dài bằng biên độ A (theo một tỉ lệ xích quy ước),
quay đều quanh O trong mặt phẳng chứa trục gốc Ox với tốc độ góc là ω theo
chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).


+ Ở thời điểm t = 0, góc giữa OM và Ox bằng pha ban đầu ϕ .

+ Ở thời điểm t, góc giữ OM và Ox bằng pha dao động ( ωt + ϕ ).


Khi đó, độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của véc tơ quay OM chính
là giá trị của x ở thời điểm t.


i

Lưu ý:

 
q ≡u

+ Khi các véc tơ ở nửa trên của trục toạ
ϕ +π/2

độ, đại lượng nó biểu diễn đang giảm.
+ Khi các véc tơ ở nửa dưới trục toạ độ,
i

đại lượng nó biểu diễn đang tăng.

3

O

q,u


2.2. Thực trạng việc dạy và học phần Dao động và sóng điện từ ở trường
THPT số 2 Bảo Yên

Trong chương trình vật lý 12, chương Dao động và

sóng điện từ là chương ngắn nhất, các dạng bài tập không nhiều (chiếm 05 tiết,
trong đó số tiết bài tập chỉ có 01 tiết). Mặc dù nội dung chương này ít nhưng số
câu trong đề thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng vẫn chiếm một tỷ lệ đáng kể (03 câu
trong thi tốt nghiệp, 05 câu trong đề thi đại học, cao đẳng). Tuy nhiên, học sinh

thường có tâm lý ngại học chương này bởi các lý do:
- Đây là một chương trừu tượng, liên quan đến kiến thức điện từ lớp 11 mà
đa số HS đã quên các kiến thức này.
- Thời lượng phân bố cho chương này ít, các em không được củng cố lý
thuyết, rèn luyện kỹ năng nhiều.
- Tài liệu tham khảo cho chuyên đề này còn hiếm.
Nhằm giúp học sinh có thể xử lý hầu hết các bài tập Dao động và sóng điện
từ mà không phải mất nhiều thời gian, tôi đã phân chia bài tập chuyên đề theo từng
dạng và đưa ra phương pháp giải.
2. 3. Phương pháp giải bài tập dao động và sóng điện từ
Dạng 1. Bài toán về tần số dao động riêng; thu, phát sóng điện từ của mạch
dao động
A. Phương pháp
1. Vận dụng các công thức về tần số góc, tần số và chu kì dao động riêng của mạch
LC:
ω=

1
LC

; f =

1
2π LC

; T = 2π LC

2. Vận dụng công thức về bước sóng của sóng điện từ:
Sóng điện từ mà mạch dao động LC phát ra hoặc thu được có tần số đúng
bằng tần số riêng của mạch có bước sóng: λ = cT = 2πc LC (vận tốc truyền sóng

trong không khí có thể lấy bằng c = 3.108m/s)
4


Cách 1: Mỗi giá trị của L hoặc C, cho ta một giá trị tần số, chu kì, bước sóng tương
ứng:
Ví dụ:
Khi độ tự cảm cuộn dây là L1, điện dung tụ điện là C1 thì chu kì dao động là
T1
Khi độ tự cảm cuộn dây là L2, điện dung tụ điện là C2 thì chu kì dao động là
T2
Ta viết ra các biểu thức chu kì tương ứng: T1 = 2π L1C 2 , T2 = 2π L 2 C 2
Sau đó xác lập mối liên hệ toán học giữa các biểu thức đó. Thường là lập tỉ
số; bình phương hai vế rồi cộng, trừ các biểu thức; phương pháp thế.....
Cách 2: Suy luận dựa vào quan hệ tỷ lệ về mặt toán:
ω:

1
;f :
LC

1
;T :
LC

LC ; λ :

LC

3. Nếu mạch dao động gồm nhiều tụ ghép với nhau thì C là điện dung của bộ tụ

điện
+ Nếu bộ tụ gồm C1, C2, C3,... mắc nối tiếp, điện dung C của bộ tụ tính bởi
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
C C1 C 2 C 3

+ Nếu bộ tụ gồm C1, C2, C3,... mắc song song, điện dung của bộ tụ là C = C 1
+ C2 + C3

+…

4. Nếu điện tích cực đại trên các bản tụ là Q 0, cường độ dòng điện cực đại trong
mạch là I0 thì I 0 = ωQ0 = ωCU 0
B. Bài tập minh họa
Bài 1. Nếu điều chỉnh điện dung của một mạch dao động tăng lên 4 lần mà giữ
nguyên độ tự cảm thì chu kì dao động riêng của mạch thay đổi như thế nào?
Giải: Có hai giá trị của điện dung: C và C’ = 4C, tương ứng với hai giá trị chu kì

5


(

)

T = 2π LC và T ' = 2π LC ' = 2π L.4C = 2 2π L.C = 2T → chu kì tăng 2 lần.

Khi làm bài trắc nghiệm, không phải trình bày và tiết kiệm thời gian, ta có
nhận định sau: Từ biểu thức tính chu kì ta thấy T tỉ lệ với căn bậc hai của điện dung
C và độ tự cảm L. Tức là, nếu C tăng (hay giảm) n lần thì T tăng (hay giảm)
lần, nếu L tăng (hay giảm) m lần thì T tăng (hay giảm)

n

m lần. Như bài tập trên,

do C tăng 4 lần, suy ra ngay chu kì tăng 4 = 2 lần.
Với tần số f thì ngược lại.
Bài 2. Nếu tăng điện dung của một mạch dao động lên 8 lần, đồng thời giảm độ tự
cảm của cuộn dây đi 2 lần thì tần số dao động riêng của mạch tăng hay giảm bao
nhiêu lần?
1

f = 2π LC
f' 1
1

⇒
= Hay f ' = f . → tần số giảm đi hai lần.
1
1

f 2
2

f ' = 2π L' C' =
1

2π L.8C
2


1
2

Có thể suy luận: C tăng 8 lần, L giảm 2 lần suy ra chu kỳ thay đổi 8. = 2 lần → f
giảm hai lần.
Bài 3. Một mạch dao động gồm có một cuộn cảm có độ tự cảm L = 10 -3H và một tụ
điện có điện dung điều chỉnh được trong khoảng từ 4pF đến 400pF. Mạch này có
thể có những tần số riêng như thế nào?
Giải: fmax ứng với Cmin, Lmin và fmin ứng với Cmax và Lmax ta có:


f min = 2π


f
=
 max 2π


1
1
=
= 2,52.10 5 Hz

−3
−12
LC max 2π 10 .400.10
1
1
=
= 2,52.10 6 Hz
−3
−12
LC min 2π 10 .4.10

tức là tần số biến đổi từ 2,52.105Hz đến 2,52.106Hz
6


Bài 4. Một mạch dao động gồm cuộn dây L và tụ điện C. Nếu dùng tụ C 1 thì tần số
dao động riêng của mạch là 60kHz, nếu dùng tụ C2 thì tần số dao động riêng là
80kHz. Hỏi tần số dao động riêng của mạch là bao nhiêu nếu: a)Hai tụ C 1 và C2
mắc song song; b)Hai tụ C1 và C2 mắc nối tiếp.
Cách 1: Bài toán đề cập đến mạch dao động với 3 bộ tụ khác nhau, ta lập 3 biểu
thức tần số tương ứng:

+

Khi

f2 =

a)

dùng

1
2π LC 2

f1 =

C1:

1
2π LC1

khi

dùng

C 2:

1
2
 f 2 = 4π LC 2

⇒ 2
1
f 2 =
 2 4π 2 LC 2

Khi dùng hai tụ C1 và C2 mắc song song, điện dung của bộ tụ C = C1 + C2
f =

1
2π L (C1 + C 2 )
1

1

⇒
1

1
= 4 π 2 L (C 1 + C 2 )
f2

Suy ra ⇒ f 2 = f 2 + f 2 ⇒ f =
1
2
b)

1
2
 f 2 = 4π LC1

⇒ 1
;
1
f 2 =
 1 4π 2 LC1

f1 f 2
f12 + f 22

=

60.80
602 + 802

= 48kHz.

Khi dùng hai tụ C1 và C2 mắc nối tiếp, điện dung của bộ tụ được xác định bởi
1
1
1
=
+
C C1 C 2

f=

1 1 1
1 
1  1
1 

 ⇒ f 2 = 2 

+
+
2π L  C1 C 2 
4π L  C1 C 2 

Suy ra f 2 = f12 + f 22 ⇒ f = f12 + f 22 = 60 2 + 80 2 = 100kHz.

7


Cách 2: Suy luận dựa vào quan hệ tỷ lệ: f :
ra:

1
1
⇒ f2:
Với L không đổi, suy
LC
LC

1
1
: f 2 hay C : 2
f
C
1

1

1

1

1

1

Do đó, nếu C = C1 + C2 thì f 2 = f 2 + f 2 ; nếu C = C + C thì f 2 = f12 + f 22
1
2
1
2
Bài 5. Mạch dao động để chọn sóng của một máy thu thanh gồm một cuộn dây có
độ tự cảm L = 11,3µH và tụ điện có điện dung C = 1000pF. Để thu được dải sóng
từ 20m đến 50m, người ta phải ghép thêm một tụ xoay C V với tụ C nói trên. Hỏi
phải ghép như thế nào và giá trị của CV thuộc khoảng nào?
Giải: Mạch dao động ban đầu thu được bước sóng:
λ 0 = 2πc LC = 2π.3.10 8 11,3.10 −6.1000.10 −12 = 200m

Nhận xét: Dải sóng cần thu có bước sóng nhỏ hơn bước sóng λ0 nên điện
1

1

1

dung của bộ tụ phải nhỏ hơn C. Do đó phải ghép CV nối tiếp với C: C = C − C
V
b
Khi đó: λ = 2π c LCb ⇒ Cb =

λ2
4π 2 c 2 L

Từ đó tính được: CV min = 10,1.10−12 F = 10,1 pF ; CV max = 66, 7.10−12 F = 66, 7 pF

Vậy 10,1pF ≤ C V ≤ 66,7pF
Bài 6. Mạch dao động LC có cường độ dòng điện cực đại I 0 = 10mA, điện tích cực
đại của tụ điện là Q 0 = 4.10 −8 C .Tính tần số dao động trong mạch.
Từ công thức: I 0 = ωQ0 = 2π fQ0 suy ra f = 40000 Hz hay f = 40kHz
Bài 7. Mạch dao động LC lí tưởng dao động với chu kì riêng T = 10-4s, hiệu điện
thế cực đại giữa hai bản tụ U 0 = 10V, cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây là
I0 = 0,02A. Tính điện dung của tụ điện và hệ số tự cảm của cuộn dây.
I 0 = ωQ0 = ωCU 0 ta tính được C = 3,2.10-8F.

8


Từ công thức: T = 2π LC , ta tính được L = 7,9.10-3H
Dạng 2. Bài toán về giá trị tức thời
A. Phương pháp
1. Sử dụng sự tương tự giữa điện và cơ
Đại lượng cơ
Tọa độ
x
Vận tốc
v

Đại lượng điện
q
điện tích
i
cường độ dòng
điện

2. Biểu diễn điện tích, dòng điện trong mạch bằng véc

tơ quay.
r r
Biểu diễn q, u tương ứng bằng các véc tơ quay Q0 , I 0 quay quanh O. Khi biểu
diễn trên cùng một trục toạ độ, Ir quay trước Qr
0
0
π
một góc .
2

r
Ed
0

3. Biểu diễn năng lượng điện trường, từ trường

r

r

E
, quay theo chiều
2

2ωt + 2ϕE

Et;
Ed

Eđ

r
Et

bằng các véc tơ quay.
Các đại lượng Eđ, Et có thể biểu diễn bằng các
véc tơ quay Ed , Et quanh gốc

E
2

Et

π
4

3π
4

dương lượng giác với tốc độ góc 2ω.
B. Bài tập minh họa

-Q0

Bài 1. Biểu thức điện tích của tụ trong một mạch dao
6

động có dạng q=Q0sin(2π.10 t)(C). Xác định thời

−

− Q0

3π
4

2
2 OQ
0
2
2

−

Q0 q

π
4

điểm năng lượng từ bằng năng lượng điện đầu tiên.
Có thể viết lại biểu thức điện tích dưới dạng hàm số cosin đối với thời gian, quen
thuộc như sau:
9


π
q = Q 0 cos(2π.10 6 t − )
2

O

-Q0

π
2

Ban đầu, pha dao động bằng − , vật qua vị trí
cân bằng theo chiều dương.
Wđ = Wt lần đầu tiên khi q = Q 0

2
2

Q0

và coi q như li độ của một vật dao động điều hòa.

−

t=
0

2
, vectơ quay
2

π
4

chỉ vị trí cung − , tức là nó đã quét được một góc

Q0 q

π
4 t=

π 2π
=
tương ứng với thời gian
4
8

T
.
8

Vậy thời điểm bài toán cần xác định là t =

T
2π
π
=
= 5.10 −7 s
=
8
8ω 2π.10 6

Bài 2. Mạch dao động lí tưởng gồm cuộn dây có độ tự cảm L = 0,2H và tụ điện có
điện dung C = 20µF. Người ta tích điện cho tụ điện đến hiệu điện thế cực đại U 0 =
4V. Chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là lúc tụ điện bắt đầu phóng điện. Viết biểu

thức tức thời của điện tích q trên bản tụ điện mà ở thời điểm ban đầu nó tích điện
dương.
1

1

= 500rad / s
Điện tích tức thời: q = Q 0 cos(ωt + ϕ) Trong đó ω = LC =
0,2.20.10 −6
Q 0 = CU 0 = 20.10 −6.4 = 8.10 −5 C Khi t = 0: q = Q 0 cos ϕ = + Q 0 ⇒ cos ϕ = 1 hay ϕ = 0

Vậy phương trình cần tìm: q = 8.10-5cos500t (C)
Bài 3. Một mạch dao động LC lí tưởng có ω = 107 rad/s, điện tích cực đại của tụ
Q0 = 4.10-12C. Khi điện tích của tụ q = -2 3 .10-12C
và đang giảm thì dòng điện trong mạch có giá trị
bằng bao nhiêu? Điện tích đang giảm hay tăng?

r
Q0
α
q

10

O
i

r
I0

q,i


A. 2.10−5 A , đang tăng

B. 2 3.10−5 A , đang giảm

C. 2 2.10−5 A , đang giảmD. 4.10−5 A , đang tăng.

r
Q03

Giải: Khi q = -2 3 .10-12C và đang giảm thì véc tơ
r

quay biểu diễn q là Q0 đang ở vị trí hợp với Oq góc
r
π
1500 hay α = 300. Véc tơ I 0 quay trước
nên ở vị
2

r
Q02
O

α

trí như hình vẽ. Từ hình vẽ dễ thấy i = 2.10−5 A , đang

r
Q04

tăng

α

Q0
2

q

r
Q01

Bài 4. Một mạch dao động LC đang hoạt động, có L
= −

Q0
0,45mH C = 2μF. Khoảng thời gian trong một chu kì để độ lớn điện tích
2

của một bản tụ không vượt quá một nửa giá trị cực đại của nó là
A. 2π.10 −5 s.

B. 3π.10−5 s.

C. 4π.10−5 s.

D. 15π.10−6 s.

Giải: Trong một chu kì, độ lớn điện tích của tụ không vượt qúa một nửa giá trị cực
r

r

r

r

r

đại là khi Q0 quay từ vị trí Q02 đến vị trí Q03 và từ vị trí Q04 đến vị trí Q01 , quét góc
tổng cộng là 1200.
Do đó: t =

120
T
T=
với T = 2π LC = 6π .10−5 s Vậy t = 2π .10−5 s
360
3

Bài 5. Khi điện tích trên tụ tăng từ 0 lên 6µC thì
đồng thời cường độ dòng điện trong mạch LC
giảm từ 8,9mA xuống 7,2mA. Tính khoảng thời
gian xảy ra sự biến thiên này.

11

α

r
I ( t +∆t )
r
I (t )
7,2 8,9

i(mA)


Giải: Áp dụng công thức độc lập với thời gian:
q12 i12
+ = 1 => I0 = 8,9mA
Q02 I 02

Tiếp tục áp dụng cho thời điểm 2:
q22 i22
q22ω 2 i22
+ = 1 <=> 2 + 2 = 1 => ω = 872 rad/s. Suy ra T = 7.210-3s
Q02 I 02
I0
I0

Sử dụng giản đồ véctơ quay:
Trong đó: α = arccos(7,2/8,9) = 360 suy ra: t =

36
T = 7.2.10−4 s .
360

Bài 6. Cho hai mạch dao động lí tưởng L1C1 và L2C2 với L1 = L2 = 1 µH, C1 = C2 =
0,1µF. Ban đầu tích điện cho tụ C1 tới hiệu điện thế 6V, tụ C2 tới hiệu điện thế 12V
rồi cho các mạch cùng dao động. Xác định:
1. Thời điểm đầu tiên điện tích trên các tụ chênh nhau 3V.
A.

10−6
s.
3

B.

10−6
s
6

C.

10−6
s
2

D.

10−6
s
12

2. Thời điểm điện tích trên các tụ chênh nhau nhiều nhất.

10−6
s.
A.
2

10−6
s
B.
6

10−6
s
C.
4

10−6
s
D.
12

3. Thời điểm điện tích trên các tụ có cùng giá trị.
I

10−6
s.
A.
3

B.10 s

10−6
s
C.
2

10−6
s
D.
12

−6

-6

Giải:
1. Chọn gốc thời gian lúc hai tụ bắt đầu phóng
điện, phương trình điện tích của hai tụ có dạng:

12

-3

II

r
∆Q(t =0) IV
0

3

III

(V)
6


π

 q1 = 6.cos(ωt − 2 )(V )

 q = 12.cos(ωt − π )(V )
 2
2

Độ chênh hiệu điện thế trên các tụ là:
π
∆q = q2 − q1 = 6.cos(ωt − )(V ). Đô chênh này có thể biểu diễn bằng véc tơ quay. Khi
2

độ lớn bằng 3V, Véc tơ quay biểu diễn nó ở các vị trí như hình vẽ. Từ đó các họ
nghiệm t là:
t1,3 =

T
T
+k
12
2

t2,4 =

5T
T
+k
12
2

Với T = 2π LC ≈ 2.10−6 s
Vậy thời điểm đầu điện tích chênh nhau 3V là t =

10−6
s.
12
r

2. Dùng giản đồ véc tơ trên, thời điểm điện tích chênh nhau nhiều nhất khi ∆Q(t =0)
nằm ngang. Khi đó:
t=

T
T
+k
4
2

Thời điểm đầu tiên khi k = 0. t =

10−6
s , đáp án A
2

r

3. Dùng giản đồ véc tơ trên, thời điểm điện tích chênh nhau nhiều nhất khi ∆Q(t =0)
nằm vuông góc với trục ∆Q . Khi đó: t =

T
T
+k
4
2

Thời điểm đầu tiên khi k = 0. t = 10−6 s .
Bài 7. Hai mạch dao động LC lí tưởng có chu kì T1 =
0,5.T2. Tích điện cho các tụ tới điện tích cực đại như
nhau và đồng thời cho mạch bắt đầu dao động. Khi độ lớn

13

r
Q2t
r
I1
r
I2

i2
i1 -q

r
Q1t

α α
q, i
q


điện tích các tụ của các tụ bằng nhau lần đầu và nhỏ hơn giá trị cực đại thì tỉ số độ lớn
cường độ dòng điện trong các mạch là:
A.

i

i1
2
=
i2
2

i

1
B. i = 2
2

1

1
C. i = 2
2

i

1
D. i = 2
2

Giải: T2 = 2T1 nên ω1 = 2ω2.
r

r

Vậy nên véc tơ Q2t quay nhanh gấp hai lần Q1t . Do đó:
90 + α = 2 ( 90 − α ) => α = 300.
i1 Q0ω1.cos300 ω1
=
=
=2
=>
i2 Q0ω2 .cos300 ω2

Bài 8. Mạch dao động LC lí tưởng thực hiện dao động điện từ. Hãy xác định
khoảng thời gian, giữa hai lần liên tiếp, năng lượng điện trường trên tụ điện bằng
năng lượng từ trường trong cuộn dây.
Giải: Khi năng lượng điện trường trên tụ bằng năng lượng từ trường trong cuộn
1
2

dây, ta có: Wđ = Wt = W hay
Với hai vị trí li độ q = ±Q 0

1 q 2 1  1 Q 02

= 
2 C 2  2 C


2
 ⇒ q = ±Q 0

2


2
trên trục Oq, tương ứng với 4 vị trí trên đường tròn,
2

các vị trí này cách đều nhau bởi các cung

π
.
2

Có nghĩa là, sau hai lần liên tiếp Wđ = Wt, pha dao động đã biến thiên được một
lượng là

π 2π
T
=
↔
2
4
4

(pha dao động biến thiên được 2π sau thời gian một chu kì T)
Tóm lại, cứ sau thời gian

T
năng lượng điện lại bằng năng lượng từ.
4

Bài 9. Mạch dao động LC lý tưởng gồm cuộn dây cảm thuần L = 0,39H và tụ điện
C = 18,94nF . Thời gian ngắn nhất giữa hai lần điện tích trên cùng bản tụ khác dấu

14


nhau nhưng năng lượng từ trường bằng nhau và bằng Wt = 15.10−4 J là ∆t = 1,8.10−4 s .
Tính điện tích cực đại trên tụ điện.
Giải: T = 2π LC = 5, 4.10−4 s
Vậy trong khoảng thời gian trên, véc tơ quay biểu
diễn

I,q

cường độ dòng điện quay được góc:
α=

t
.360 = 1200
T

Cường độ dòng điện trong hai trường hợp đó là:

i=± 2

Wt
= ±0, 0877 A
L

Vậy, cường độ dòng điện cực đại là: I0 = 2i =0,175A.
Áp dụng định luật BTNL:

1 2 1 Q02
LI 0 =
=> Q0 = CL .I 0 = 1,5.10-5C
2
2 C

Bài 10. Mạch dao động LC đang thực hiện
dao động điện từ tự do với chu kỳ T. Tại thời

W

WL

WC

điểm nào đó dòng điện trong mạch có cường
độ 8π (mA) và đang tăng, sau đó khoảng thời
gian 3T/4 thì điện tích trên bản tụ có độ lớn
2.10-9 C Chu kỳ dao động điện từ của mạch
bằng
A. 0,5 ms

B. 0,25ms

C. 0,5µs

D. 0,25µs

Giải:
Cách 1:
Năng lượng của mạch dao động

15

• •
t1

•

t2 T

•

• •

t


q2
Li 2
W = wC + wL =

+
2C
2

Đồ thị biến thiên của wC và wL như
hình vẽ. Ta thấy sau

3T
: wC2 = wL1
4

q2
Li 2
q2
=
----> LC = 2
2C
2
i

Do đó T = 2π LC = 2π

q
2.10 −9
= 2π
= 0,5.10-6 (s) =
i
8π .10 −3

0 W

d

0,5µs Chọn đáp án C
Nhận xét: Cách một này có thể cho đáp án tuy nhiên
chưa thật sự chặt chẽ vì wC2 = wL1 chưa thực sự tổng

r
Wt
W

W/
2

W

r
Wd

t

quát.
Cách 2: Biểu diễn động năng và thế năng bằng các véc tơ quay, ta thấy, cứ sau

( 2k + 1)

r
r
T
T
T

π
= ( 2k + 1) d = ( 2k + 1) t thì Wd và Wt quay các góc ( 2k + 1)
và đổi vị trí
4
2
2
2

cho nhau nên: Wd 2 = Wt1 <=>

1 q22 1 2
q
= Li1 => T = 2π LC = 2π
= 0,5µ s
2C 2
i

Bài 11. Hai mạch dao động giống hệt nhau. Điện tích cực đại của tụ trong mạch
một là Q1 = 4μC, của tụ trong mạch hai là Q 2 = 4 3 μC, Điện tích trong mạch thứ
hai sớm pha hơn điện tích trong mạch thứ nhất. Trong quá trình dao động, độ
chênh điện tích giữa hai tụ có giá trị cực đại là 4μC. Khi năng lượng từ trường

r
Q2
r
Q12

r
Q12

O

α

r
I2

r
Q1

i

O
i2

16

r
I1


trong mạch thứ nhất cực đại là W thì năng lượng từ trường trong mạch thứ hai là:
A. 3W/4.

B. 2W/3.

C. 4W/9.

D. W
r

Giải: Lập luận tương tự bài trên, độ lớn của Q12 là 4μC. Vậy hình bình hành trở
r

r

thành hình thoi.với góc α = 300. Tức là Q2 quay nhanh hơn Q1 góc α = 300, đây
r

r

cũng là góc mà I 2 quay nhanh hơn I1 .
r r

Khi năng lượng từ trường trong mạch thứ nhất cực đại thì các véc tơ I1 , I 2
nằm ở các vị trí như hình vẽ. Do đó: i2 = I 0

3
1
3 1
3
=> Wt 2 = Li22 = . LI 02 = W
2
2
4 2
4

Bài 12. Trong một mạch dao động, điện tích tụ điện biến thiên theo thời gian theo
π
6

qui luật: q = 2 3cos(4000π t+ )µC
1. Tìm điện lượng chuyển qua một tiết diện thẳng của dây dẫn trong khoảng thời
gian từ lúc năng lượng từ trường bằng năng lượng điện trườngvà điện tích giảm
tới khi năng lượng từ trường bằng năng lượng điện trường và điện tích tăng ngay
sau đó.
2. Tìm độ lớn lượng điện tích dịch chuyển (theo cả hai chiều) trong thời gian trên.
Giải: Rõ ràng vận tốc có qui luật biến thiên giống như dòng điện, li độ có qui luật
biến thiên như điện tích nên bài toán điện lượng và độ lớn lượng điện tích dịch
chuyển theo cả hai chiều giống như bài toán tìm độ rời và quãng đường trong dao

r
Q01

động cơ.
1

Q

0
Ta có: Wd = Wt => Wd = 2 W=>q= ±
2

O

Xảy ra hai trường hợp:
TH1: Lúc đầu q= −

r
Q0

Q0
q=
−
và đang giảm, sau đó
và đang tăng. Q02
2
2

17

q


 ∆q = 0

Nhìn trên hình vẽ ta thấy:  ∆q = 2Q 1 − 2 
÷
0


2 ÷




TH2: Lúc đầu q= +

Q0
Q0
và đang giảm, sau đó q= − và

2
2

đang tăng.

r
Q01
q

O

q
q

1

r
Q02



2
 ∆q = 2Q0 1 −
÷
2 ÷
Nhìn trên hình vẽ ta thấy: 



 ∆q = 2Q0

2

Bài 8. Điện tích trong hai mạch dao động LC lí tưởng biến đổi theo các phương
π
6

trình: q1 = 2 cos(4000π t ) µC ; q2 = 2 3cos(4000π t+ )µC . Tìm số lần điện tích trên hai tụ
bằng nhau trong 2,1ms kể từ thời điểm ban đầu.
A. 11 lần

B. 7 lần

r
Q12
r
Q1

O

C. 8 lần

r
Q2r
Q12

D. 9 lần

r
Q12

O

Giải: Điện tích trên hai tụ bằng nhau tức là q 1 = q2 => q12 = q2 – q1 = 0. Tức là véc
r

r

r

tơ Q21 = Q2 − Q1 vuông góc với trục Oq.

18

q


r

T=

2π
2π
=
= 0,5.10−3 s t = 2,1ms =
ω 4000π

α=

r

r
r
0.1
360 = 720 . Do đó, số lần Q21 = Q2 − Q1 vuông góc với trục Oq trong 2,1ms là 9
T

4T + 0,1ms. Trong 0,1s, Q21 quay được

lần.
Dạng 3. Tính toán liên quan đến năng lượng của mạch dao động
A. Phương pháp
- Dùng công thức tính năng lượng điện từ của mạch:
W=

1 2 1 2 1 2 1 q2 1 2 1
1 Q 02
Li + Cu = Li +
= LI 0 = CU 02 =
= const.
2
2
2
2 C 2
2
2 C

- Có hai cách cơ bản để cấp năng lượng ban đầu cho mạch dao

(2) k (1)

động:
1. Cấp năng lượng điện ban đầu
Ban đầu khóa k ở chốt (1), tụ điện được tích điện (nếu thời

L

E

C

gian đủ dài) đến hiệu điện thế bằng suất điện động E của
1
2

nguồn. Năng lượng điện mà tụ tích được là W = CE 2 .
Chuyển khóa k sang chốt (2), tụ phóng điện qua cuộn dây.

k

Năng lượng điện chuyển dần thành năng lượng từ trên cuộn
dây....mạch dao động.
Như vậy hiệu điện thế cực đại trong quá trình dao động chính là

L

C

hiệu điện thế ban đầu của tụ U 0 = E, năng lượng điện ban đầu mà
tụ tích được từ nguồn chính là năng lượng toàn phần (năng lượng điện từ) của mạch
1

2

2
dao động W = CU 0 =

1
CE 2
2

2. Cấp năng lượng từ ban đầu

19

E,r


Ban đầu khóa k đóng, dòng điện qua cuộn dây không đổi và có cường độ :
I0 =

E
r

Năng lượng từ trường trên cuộn dây không đổi và bằng:
1
1 E
W = LI 02 = L 
2
2 r

2

Cuộn dây không có điện trở thuần nên hiệu điện thế hai đầu cuộn dây (cũng
chính là hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện) bằng không. Tụ chưa tích điện.
Khi ngắt khóa k, năng lượng từ của cuộn dây chuyển hóa dần thành năng lượng
điện trên tụ điện...mạch dao động.
Như vậy, với cách kích thích dao động như thế này, năng lượng toàn phần
(năng lượng điện từ) đúng bằng năng lượng từ ban đầu của cuộn dây
2

1
1 E
W = LI 02 = L  , cường độ dòng điện cực đại trong mạch dao động đúng bằng
2
2 r

cường độ dòng điện ban đầu qua cuộn dây I 0 =

E
.
r

B. Bài tập minh họa
Bài 1. Mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C = 1µF và cuộn dây có
độ từ cảm L = 1mH . Trong quá trình dao động, cường độ dòng điện qua cuộn dây
có độ lớn lớn nhất là 0,05A. Sau bao lâu thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện có
độ lớn lớn nhất, độ lớn đó bằng bao nhiêu?

20

Thời gian từ lúc cường độ dòng điện đạt cực đại đến lúc hiệu điện thế đạt cực đại là
1
T (T là chu kì dao động riêng của mạch). Vậy thời gian cần tìm là:
4
∆t =

1
1
2πc LC = 2π 10 −6.10 −2 = 1,57.10 −4 s
4
4

Năng lượng điện cực đại bằng năng lượng từ cực đại trong quá trình dao động
1
1
L
10 −2
CU 02 = LI 02 → U 0 = I 0
= 0,05.
= 5V
2
2
C
10 −6

Bài 2. Tại thời điểm cường độ dòng điện qua cuộn dây trong một mạch dao động
có độ lớn là 0,1A thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện của mạch là 3V. Tần số dao
động riêng của mạch là 1000Hz. Tính các giá trị cực đại của điện tích trên tụ điện,
hiệu điện thế hai đầu cuộn dây và cường độ dòng điện qua cuộn dây, biết điện
dung của tụ điện 10µF.

Từ công thức
Với f =

Q0 =

1 2 1 2 1 Q 02
Li + Cu =
, suy ra Q 02 = LCi 2 + C 2 u 2
2
2
2 C

1
2π LC

⇒ LC =

i2
+ C2u 2 =
2 2
4π f

1
, thay vào ta được
4π 2 f 2

0,12
+ (10.10 −6 ) 2 .3 2 = 3,4.10 −5 C
2
2

4.π .1000

Hiệu điện thế cực đại: U 0 =

Q 0 3,4.10 −5
=
= 3,4V
C
10 −5

Cường độ dòng điện cực đại: I 0 = ωQ 0 = 2πfQ 0 = 2.π.1000.3,4.10 −5 = 0,21A
Bài 3. Một mạch dao động LC, cuộn dây có độ tự cảm L = 2mH và tụ điện có điện
dung C = 0,2µF. Cường độ dòng điện cực đại trong cuộn cảm là I0 = 0,5A. Tìm
năng lượng của mạch dao động và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện ở thời điểm
dòng điện qua cuộn cảm có cường độ i = 0,3A. Bỏ qua những mất mát năng lượng
trong quá trình dao động.

21


1
2

1
2

Năng lượng điện từ của mạch W = LI 02 = .2.10 −3.0,5 2 = 0,25.10 −3 J
1
2

1
2

Áp dụng công thức tính năng lượng dao động: W = Li 2 + Cu 2 , suy ra
u=

2 W − Li 2
=
C

2.0,25.10 −3 − 2.10 −3.0,3 2
= 40V
0,2.10 −6

Bài 4. Cường độ dòng điện tức thời trong một mạch dao động LC lí tưởng là i =
0,08cos(2000t)A. Cuộn dây có độ tự cảm là L = 50mH. Hãy tính điện dung của tụ
điện. Xác định hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện tại thời điểm cường độ dòng điện
tức thời trong mạch bằng giá trị cường độ dòng điện hiệu dụng.
Từ công thức tính tần số góc:
ω=

1
LC

, suy ra C =

1
1
=
= 5.10 −6 F hay C = 5µF.

2
−3
2
Lω
50.10 .2000

Từ công thức năng lượng điện từ
u = I0

I
1 2 1
1
Li + Cu 2 = LI 02 , với i = I = 0 , suy ra
2
2
2
2

L
50.10 −3
= 0,08
= 4 2V = 5,66V.
2C
25.10 −6
1
π

Bài 5. Mạch dao động LC có cuộn dây thuần cảm với độ tự cảm L = .10 −2 H , tụ
1
π

điện có điện dung C = .10 −6 F . Bỏ qua điện trở dây nối. Tích điện cho tụ điện đến
giá trị cực đại Q0, trong mạch có dao động điện từ riêng.
a) Tính tần số dao động của mạch.
b) Khi năng lượng điện trường ở tụ điện bằng năng lượng từ trường ở cuộn dây
thì điện tích trên tụ điện bằng mấy phần trăm Q0?
Tần số dao động:
f =

1
2π LC

=

1
10 −2 10 −6
2.π.
.
π
π

= 5000Hz

22


Khi năng lượng điện bằng năng lượng từ
Wđ = Wt
1
⇒ Wđ = W hay


2
Wđ + Wt = W

Q
1 q 2 1 1 Q 02
= .
⇒ q = 0 = 70%Q 0
2 C 2 2 C
2

Bài 6. Cho mạch dao động lí tưởng như hình vẽ bên. Tụ điện có

(2) k (1)

điện dung 20µF, cuộn dây có độ tự cảm 0,2H, suất điện động
của nguồn điện là 5V. Ban đầu khóa k ở chốt (1), khi tụ điện đã
tích đầy điện, chuyển k sang (2), trong mạch có dao động điện

L

C

E

từ.
a) Tính cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây.
b) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây tại thời điểm điện tích trên tụ chỉ
bằng một nửa giá trị điện tích của tụ khi khóa k còn ở (1).
c) Tính hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện khi một nửa năng lượng điện trên tụ

điện đã chuyển thành năng lượng từ trong cuộn dây.
1
2

a) Khi k ở (1), tụ điện tích được năng lượng điện: W = CE 2
Khi k chuyển sang (2), năng lượng này là năng lượng toàn phần của dao động trong
mạch, ta có
1 2 1
C
20.10 −6
LI 0 = CE 2 ⇒ I 0 = E
= 5.
= 0,05A
2
2
L
0,2
1 2 1 q2 1 2
q2
2
= LI 0 ⇒ i = I 0 −
b) Từ công thức tính năng lượng điện từ Li +
2
2 C 2
LC

Trong đó, điện tích bằng nửa giá trị ban đầu
q=

k

1
1
Q 0 = CE , thay trở lại ta được
2
2

1C 2
1 20.10 −6 2
i = I 02 −
E = 0,05 2 − .
.5 = 0,043A
4L
4 0,2

hay i = 43mA
23

L

C

E,r


c) Khi một nửa năng lượng điện trường đã chuyển thành năng lượng từ trường, ta
có Wđ = Wt =

1 2 11
E

5
1
CE 2 ⇒ u =
=
= 3,535V
W , hay Cu =
2
22
2
2
2

Bài 7. Cho mạch điện như hình vẽ bên. Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
L = 4.10 −3 H , tụ điện có điện dung C = 0,1µF, nguồn điện có suất điện động E =

6mV và điện trở trong r = 2 Ω . Ban đầu khóa k đóng, khi có dòng điện chạy ổn
định trong mạch, ngắt khóa k.
a) Hãy so sánh hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện với suất điện động
của nguồn cung cấp ban đầu.
b) Tính điện tích trên tụ điện khi năng lượng từ trong cuộn dây gấp 3 lần năng
lượng điện trường trong tụ điện.
Giải:
a) Ban đầu k đóng, dòng điện qua cuộn dây I 0 =

E 6
= = 3mA
r 2

Điện trở cuộn dây bằng không nên hiệu điện thế hai đầu cuộn dây, cũng chính là
hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện bằng 0, tụ chưa tích điện.

Năng lượng trong mạch hoàn toàn ở dạng năng lượng từ trường trong cuộn dây:
2

1
1 E
1
W = LI 02 = L  = .4.10 −3.0,003 2 = 1,8.10 −8 J
2
2 r
2

Khi ngắt k, mạch dao động với năng lượng toàn phần bằng W, ta có
2

U 0 1 L 1 4.10 −3
1
1 E
CU 02 = L  ⇒
=
=
= 10
2
2 r
E
r C 2 10 −5

Vậy, hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện trong quá trình dao động lớn gấp 10
lần suất điện động của nguồn điện cung cấp.
3
4

1 q2 3
= .W , suy ra
2 C 4

3
CW =
2

3 −5
.10 .1,8.10 −8 = 5,2.10 −7 C
2

b) Wt = 3Wđ = W ⇒
q=

24


Bài 8. Trong mạch dao động (h.vẽ) bộ tụ điện gồm 2 tụ C 1

(1) k (2)

giống nhau được cấp năng lượng W 0 = 10-6J từ nguồn điện
một chiều có suất điện động E = 4V. Chuyển K từ (1) sang

E

C1
C2

-6

(2). Cứ sau những khoảng thời gian như nhau: T1= 10 s thì

k1

năng lượng điện trường trong tụ điện và năng lượng từ
trường trong cuộn cảm bằng nhau.
a) Xác định cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây.
b) Đóng K1 vào lúc cường độ dòng điện cuộn dây đạt cực đại. Tính lại hiệu điện
thế cực đại trên cuộn dây.
Giải:
T1 =

T
2W
1
2.10 −6
⇒ T = 4T1 = 4.10 −6 s W0 = CE 2 ⇒ C = 2 0 =
= 0,125.10 −6 F
4
2
E
42

Do C1 nt C2 và C1 = C2 nên C1 = C2 = 2C = 0,25.10-6F
T = 2π LC ⇒ L =

T2

16.10 −12
=
= 3,24.10 −6 H
2
2
−6
4π C 4.π .0,125.10

a) Từ công thức năng lượng
1 2
LI 0 = W0 ⇒ I 0 =
2

2 W0
2.10 −6
=
= 0,785A
L
3,24.10 − 6

b) Khi đóng k1, năng lượng trên các tụ điện bằng không, tụ C1 bị loại khỏi hệ dao
động nhưng năng lượng không bị C1 mang theo,


i

 
q ≡u

tức là năng lượng điện từ không đổi và bằng W0.

1
C 2 U 02 = W0 ⇒ U 0 =
2

2W0
=
C2

2.10 −6
= 2,83V
0,25.10 −6

25

ϕ +π/2
i

O

q,u

L