Bí quyết chinh phục điểm 9 trong đề thi đại học về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ.

2015

www.boxtailieu.net


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 = 𝒚√𝒚 − 𝟐 − 𝟐𝒙 (𝟏)

Bài 1: {
(√𝒚 − 𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟑(𝒚 − 𝟐) + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 (𝟐)
(Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT HÀN THUYÊN-BẮC NINH)
Phân tích đề:
Nếu là các tín đồ của phương pháp hàm số thì các bạn sẽ dễ nhận ra ngay ở PT (1) có thể sử
dụng được hàm số và nó có dạng 𝑓(√𝒚 − 𝟐) = 𝒇(𝟐𝒙) , sau đó xét hàm 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕 là
ok(các bước tiếp theo là của các bạn). Nhưng mấu chốt ở đây là nếu tôi nhìn ra được PT (1)
có thể sử dụng hàm số thì sao? Đó là 1 câu hỏi hay và bây giờ tôi sẽ trả lời cho các bạn.
Chúng ta sẽ sử dụng máy tính casio 𝑓𝑥-570ES PLUS,casio 𝑓𝑥-570VN PLUS … như sau:
𝟏

𝒙≥−
𝟐
Trước tiên, sống chết gì thì các bạn cũng phải tìm đkxđ đã, ở đây tôi tìm luôn: {
𝒚≥𝟐
Các bạn xét PT (1), chuyển tất cả 2 vế thành 1 vế, ở đây tôi sẽ chuyển VP sang VT và được
như sau: 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 − 𝒚√𝒚 − 𝟐 + 𝟐𝒙. Sau đây là quy trình bấm máy:
Nhập biểu thức này vào máy tính
𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 − 𝒚√𝒚 − 𝟐 + 𝟐𝒙

Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, có nghĩa
là máy tính hỏi các bạn cho giá trị Y bằng bao nhiêu, ở đây
chúng ta cho Y = 2 (do đkxđ 𝒚 ≥ 𝟐 nên tôi lấy luôn là y=2

trở lên) và bấm vào máy tính như sau: 2 =
Bây giờ màn hình máy tính lại hiện lên hỏi các bạn cho giá
trị X bằng bao nhiêu, các bạn cho nó bằng giá trị bất kỳ thí
dụ tôi cho bằng -10 thì bấm vào máy như sau: – 10 =
Bây giờ màn hình máy tính hiện lên như bên phải, có
nghĩa là khi chúng ta cho giá trị Y=2 thì X=0 và sai số
trong phép tính này L – R=0, hay (X;Y)=(0;2) là nghiệm
của biểu thức đó.
Tương tự như hướng dẫn trên các bạn cho giá trị Y=3,4,5,6,… để tìm ra X=…, để chúng ta
tìm ra quy luật nào đó mà rằng buộc giữa X và Y. Khi thực hiện tương tự ta được bảng sau:
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

1


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Y
2
3
4
5
6
10
X
0
0,5
0,7071067812 0,8660254038
1
1,414213562
Nếu là người sử dụng máy tính thành thạo hay quen với những con số thì dễ dàng thấy ngay

0,7071067812=

√2
2

, 0,8660254038=

√3
2

, 1,414213562=√2 và từ đó ta thấy ngay quy luật

cứ 2X=√𝑌 − 2 , còn đối với bạn nào chưa nhìn ra thì ta làm tiếp như sau:
Y
X

2
0

3
0,5

4
√2
2

=0,7071067812

5
√3

2

=0,8660254038

6
1

10
√2 =1,414213562

√𝑌 − 2 0 1
√2 =1,414213562
√3 =1,732050808 2 2√2 =2,828427125
Bây giờ ta thấy ngay quy luật cứ 2X=√𝑌 − 2 . Mấu chốt là các bạn hãy liệt kê các biểu thức
có trong PT mà ta đang xét, thí dụ như ở đây ta thêm √𝑌 − 2 để xuất hiện mối quan hệ giữa
X và Y nhanh hơn. Đó mới là bước đầu để chinh phục được câu hệ.
Bước tiếp theo là làm sao để ta tìm ra nhân tử chung 2X=√𝑌 − 2 như chúng ta đã biết nó
trước đó. Bây giờ tôi cần các bạn có một chút tư duy: Đối với một PT mà các biến x và y độc
lập hoặc các biểu thức chứa các biến x và y độc lập thì ta nghĩ ngay đến việc sử dụng Phương
pháp hàm số( mấu chốt là đạo hàm).Vì đã biết trước nhân tử chung là 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 và sử
dụng hàm số ta sẽ làm như sau:
3

(1)⇔ (2𝑥)3 + 2𝑥 = [(𝑦 − 2) + 2]√𝑦 − 2 − √𝑦 − 2 ⇔ (2𝑥)3 + 2𝑥 = (√𝑦 − 2) + √𝑦 − 2
Đến đây ta nhận ra hàm đặc trưng là 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕 , bước tiếp theo là:
Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R
𝒙≥𝟎
Hay 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 ⇔ { 𝟐
. Vậy ta đã được nhân tử cần mong muốn, mấu chốt của
𝟒𝒙 = 𝒚 − 𝟐

việc sử dụng máy tính casio vào giải toán là để ta biết trước PT đó có nhân tử chung hay kết
quả và rồi ta khai thác các bước tiếp theo theo nó. Sau khi đã tìm được nhân tử chung 𝟐𝒙 =
√𝒚 − 𝟐 bây giờ chúng ta sẽ thay nó vào PT (2) và được là:
(𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 (𝟑)
Nhìn chung đây là một PT khá khó và tương đối phức tạp nhưng không sao chúng ta sẽ nhờ
công cụ vạn năng hỗ trợ - máy tính casio 𝒇𝒙-570ES PLUS. Ta chuyển tất cả các biến về một
vế, ở đây tôi chuyển hết về VT và được: (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗. Sau
đó nhập vào máy tính để tìm nghiệm của PT. Quy trình bấm máy như sau:

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

2


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Nhập biểu thức này vào máy tính
(𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗

Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, sau đó máy
hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó
giá trị bất kỳ, ở đây tôi cho X= - 10 thì bấm vào máy như
sau: - 10 =
Bây giờ màn hình hiện kết quả là khi X=0,5 thì sai số của
phép tính L – R=0 hay X=0,5 là một nghiệm của PT (3)

Tiếp theo các bạn gán giá trị X=0,5 vào biến A trong máy
tính bằng cách bấm máy như sau: SHIFT STO ( - )

Bây chúng ta sẽ chia nghiệm X=0,5 đi để xem PT còn
nghiệm nữa hay không bằng cách nhập biểu thức này vào:

((𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗): (𝒙 − 𝟎, 𝟓)
Nhớ là A=0,5 và thêm 2 dấu ngoặc vào đầu và cuối
Bây giờ máy hỏi các bạn có muốn gán giá trị A=0,5 không,
thì các bạn ấn = để đồng ý

Tiếp theo máy hỏi các bạn muốn cho giá trị X=0,5 không,
nếu đồng ý thì ấn = còn nếu không thì các bạn cho giá trị bất
kỳ, ở đây tôi lấy luôn X=0,5
Bây giờ màn hình hiện kết quả là khi X=1,5 thì sai số của
phép tính L – R=0 hay X=1,5 là một nghiệm của PT (3).
Như vậy đến đây ta thấy PT (3) có 2 nghiệm rồi

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

3


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Tiếp tục các bạn gán nghiệm X=1,5 vào biến B bằng cách
bấm máy như sau: SHIFT STO °'''

Bây giờ chúng ta chia tiếp nghiệm X=1,5 của PT (3) để xem
PT còn có nghiệm nữa hay không. Hoàn toàn tương tự ta
nhập biểu thức vào máy tính và được kết quả hiển thị như
bên phải
Bây giờ màn hình hiện lên X=4,596291202 và sai số của
phép tính là L –R=0 hay X=4,596291202 là một nghiệm của
PT (3)

Tương tự ta gán nghiệm X=4,596291202 vào biến C trong

máy bằng cách bấm máy như sau: SHIFT STO hyp

Hoàn toàn tương tự như trên ta lại chia nghiệm
X=4,596291202 của PT để xem PT còn nghiệm hay hết
nghiệm. Và được kết quả như bên phải
Bây giờ máy tính hiển thị kết quả Can’t Solve có nghĩa là PT
(3) đã hết nghiệm. Các bạn có thể thay giá trị X thêm để chắc
chắn là PT (3) đã hết nghiệm, nhưng theo kinh nghiệm của
tôi thì hết rồi.
Đó vậy là ta đã biết được PT (3) có 3 nghiệm là {0,5; 1,5; 4,596291202} và ta thấy rằng 3
nghiệm này đều thỏa mãn đk 𝑥 ≥ 0 và đkxđ. Bây giờ việc làm tiếp theo của chúng ta là biến
đổi PT (3) theo các nghiệm này.
Đến đây thì ta lại ra một câu hỏi: “ồ ra đến đây rồi thì phải làm sao nhỉ?”
Tôi sẽ trả lời câu hỏi đó ngay bây giờ. Chúng ta đã có 3 nghiệm trên và bây giờ sử dụng chúng
cho hợp lý như sau: thay lần lượt 3 nghiệm trên vào √𝟐𝒙 + 𝟏 nếu nghiêm nào cho ra giá trị
đẹp thì ta sẽ tách PT ra theo nó, ta thấy nghiệm 1,5 cho kết quả đẹp bằng 2 còn các nghiệm
ra không đẹp cho lắm. Vì vậy tôi sẽ tách PT theo nghiệm 1,5 như sau.
(3)⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

4


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐) + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗
⇔
⇔

(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)
√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐

(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)
√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐

= 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 − 𝟐𝟕
= (𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)

𝟏
⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) (
− (𝟐𝒙 − 𝟗)) = 𝟎
√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐
Đến đây thì ta đã thấy xuất hiện 2 nghiệm 0,5 và 1,5 rồi nhưng còn 1 nghiệm đi đâu? Xin trả
lời rằng còn 1 nghiệm là nghiệm của PT

𝟏
√𝟐𝒙+𝟏+𝟐

− (𝟐𝒙 − 𝟗) = 𝟎 (4). Bây ta chỉ việc giải (4)

là ra nghiệm còn lại. Nhưng đến đây nhiều bạn cũng không làm được nốt, chả nhẽ nấu cơm
xong rồi mà không được à đúng không các bạn. Vậy phải làm sao nhỉ? Chả sao cả ta làm như
sau:
Viết lại (4):(𝟐𝒙 − 𝟗)( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ [(𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟎]( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏
Đến đây chắc các bạn đã nhìn ra, chúng ta đặt √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒂 ≥ 𝟎, thì (4) trở thành:
(𝒂𝟐 − 𝟏𝟎)(𝒂 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 − 𝟐𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒂 + 𝟑)(𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟕) = 𝟎
Đến đây thì quá dễ rồi, ta được 𝒂 = {−𝟑;

𝟏−√𝟐𝟗
𝟐

;

𝟏+√𝟐𝟗
𝟐

} nhưng chỉ có 𝒂 =

Đến đây thì các bạn đừng hỏi nhá, mà thôi tôi làm nốt: √𝟐𝒙 + 𝟏 =

𝟏+√𝟐𝟗
𝟐

𝟏+√𝟐𝟗
𝟐

⇔𝒙=

do 𝒂 ≥ 𝟎.
𝟏𝟑+√𝟐𝟗
𝟒

Thế là xong rồi nhé!
Bài làm chính thức:
ĐKXĐ: 𝒙 ≥ −𝟎, 𝟓 , 𝒚 ≥ 𝟐
Xét PT (1): 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 = 𝒚√𝒚 − 𝟐 − 𝟐𝒙
⇔ (𝟐𝒙)𝟑 + 𝟐𝒙 = [(𝒚 − 𝟐) + 𝟐]√𝒚 − 𝟐 − √𝒚 − 𝟐
𝟑

⇔ (𝟐𝒙)𝟑 + 𝟐𝒙 = (√𝒚 − 𝟐) + √𝒚 − 𝟐
⇔ 𝒇(𝟐𝒙) = 𝒇(√𝒚 − 𝟐)
Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

5


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R
𝒙≥𝟎
⇒𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 ⇔ { 𝟐
, thay vào PT (2) ta được:
𝟒𝒙 = 𝒚 − 𝟐
(2)⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗
⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐) + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗
⇔
⇔

(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)
√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐
(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)
√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐

= 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 − 𝟐𝟕
= (𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)

𝟏
⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) (
− (𝟐𝒙 − 𝟗)) = 𝟎
√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐

⇔

𝒙 = 𝟎, 𝟓 ⇒ 𝒚 = 𝟑( 𝒕𝒎)
𝒙 = 𝟏, 𝟓 ⇒ 𝒚 = 𝟏𝟏(𝒕𝒎)
(𝟐𝒙 − 𝟗)( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 (∗)

Giải PT (∗) ⇔ [(𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟎]( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏
Đặt √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒂 ≥ 𝟎, PT (∗) trở thành:
(𝒂𝟐 − 𝟏𝟎)(𝒂 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 − 𝟐𝟏 = 𝟎
⇔ (𝒂 + 𝟑)(𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟕) = 𝟎
𝒂 = −𝟑
⇔ 𝒂=
𝒂=
Do 𝒂 ≥ 𝟎 nên √𝟐𝒙 + 𝟏 =

𝟏+√𝟐𝟗
𝟐

𝟏−√𝟐𝟗
𝟐
𝟏+√𝟐𝟗
𝟐

⇔𝒙=

𝟏𝟑+√𝟐𝟗
𝟒

⇒𝒚=

𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟑√𝟐𝟗

𝟐

(𝒕𝒎)

𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟑√𝟐𝟗

KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0,5; 3), (1,5; 11), (

𝟒

;

𝟐

) 

(𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎 (𝟏)
Bài 2: { 𝟐
𝟐𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (𝟐)
(Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 - THPT LỤC NGẠN –BẮC GIANG)
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

6


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Phân tích đề:
𝟔

Bước đầu tiên( sống chết gì thì các bạn cũng phải) tìm điều kiện xác định: − ≤ 𝒙 ≤ 𝟑

𝟓

Bây giờ thì khó nhể làm thế nào để xác định được nhân tử chung ở PT (1) cơ chứ. Như tôi
đã bảo các bạn rồi “ vỏ quýt dày thì có móng tay nhọn mà móng tay nhọn thì đã có bấm móng
tay”. Đó là sử dụng công cụ vạn năng máy tính casio 𝒇𝒙 − 𝟓𝟕𝟎ES PLUP. Và bấy giờ việc làm
của chúng ta đó là nhập VT của PT (1) vào máy và lập bảng giá trị.
Tương tự như bài trên các bạn cũng tìm giá trị X và Y ở đây mình cho luôn bảng giá trị:
Y
0
1
2
3
4
10
X
3
2
-1
-6
-13
-97
0
1
2
3
4
10
√3 − 𝑋
Như đã hướng dẫn ở bài trên thì ta thấy có biểu thức nào trong PT thì ta tính thêm giá trị
của biểu thức đó vào trong bảng X và Y của ta. Ở đây khi ta thêm dòng giá trị của √3 − 𝑋 thì

ta nhận ngay ra mối quan hệ giữa 𝑥, 𝑦, đó là cứ: Y=√𝟑 − 𝑿 . Việc bây giờ là chúng ta sẽ khai
triển PT (1) theo nhân tử 𝒚 = √𝟑 − 𝒙, nhưng nhiều bạn đến đây lại không nghĩ ra thì chúng
ta phải làm sao nhỉ? Đơn giản, nếu như các bạn để ý như thí dụ trên tôi đã nói: Đối với một

PT mà các biến x và y độc lập hoặc các biểu thức chứa các biến x và y độc lập thì ta nghĩ ngay
đến việc sử dụng Phương pháp hàm số( mấu chốt là đạo hàm). Thật vậy, ta sẽ dùng hàm số
để tạo ra nhân tử chung đã tìm cho PT (1) như sau:
(1)⇔ (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎
⇔ (𝟒 − 𝒙)√𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚
𝟑

⇔ (√𝟑 − 𝒙) + √𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚
⇔ 𝒇(√𝟑 − 𝒙) = 𝒇(𝒚)
Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹
𝒚≥𝟎
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R ⇒ √𝟑 − 𝒙 = 𝒚 ⇔ { 𝟐
𝒚 = 𝟑−𝒙
Đến đây thì OK rồi, bây ta chỉ việc thế vào PT (2) là được một nửa quãng đường.
Nào các bạn thay vào PT (2) ta được gì nhỉ: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (3)
Đó vậy thay vào PT (2) ta được PT ( 3), việc tiếp theo là giải PT (3) là ok và nhớ thử lại
nghiệm khi tìm được 𝑥, 𝑦. Bây giờ giải PT (3) nhá, chắc có nhiều bạn giải được rồi nhưng
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

7


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
cũng không ít các bạn chưa giải được vì đây là dạng PT tương đối khó. Tôi đã bảo rồi mà “vỏ
quýt dày thì có móng tay nhọn mà móng tay nhọn thì đã có bấm móng tay” đó là sử dụng
máy tính casio 𝒇𝒙 − 𝟓𝟕𝟎ES PLUP. Quy trình bấm máy nhá:

Nhập biểu thức VT của PT (3) vào máy và được kết quả như
hình bên

Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, tức là máy
hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá
trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn giá trị X=0 thì bấm vào máy như
sau: =
Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên, nghĩa là khi X= - 1
thì sai số của phép tính L-R=0, hay X=-1 là một nghiệm của
PT (3)
Tiếp tục bấm vào mũi tên bên trái trên bàn phím ◀ thì ta
được kết quả như hình bên

Bây giờ chúng ta sẽ chia nghiệm X=-1 của PT đi để xem PT
(3) còn nghiệm nào nữa không và nhập biểu thức vào máy
tính thì được kết quả như hình bên, nhớ là phải có đóng và
mở ngoặc ở biểu thức VT PT (3) ban đầu
Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, tức là máy
hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá
trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn giá trị X=-1 thì bấm vào máy như
sau: =
Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên, nghĩa là khi X= 2 thì
sai số của phép tính L-R=0, hay X=2 là một nghiệm của PT
(3). Như vậy đến đây ta thấy PT (3) đã có 2 nghiệm rồi

Tiếp tục bấm vào mũi tên bên trái trên bàn phím ◀ thì ta
được kết quả như hình bên

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

8


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Bây giờ chúng ta sẽ chia tiếp nghiệm X=2 của PT đi để xem
PT (3) còn nghiệm nào nữa không ngoài 2 nghiệm vừa tìm
được và nhập biểu thức vào máy tính thì được kết quả như
hình bên, nhớ là phải có đóng và mở ngoặc ở biểu thức VT PT
(3) ban đầu
Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, tức là máy
hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá
trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn giá trị X=2 thì bấm vào máy như
sau: =
Bây giờ máy tính hiển thị kết quả Can’t Solve có nghĩa là PT
(3) đã hết nghiệm. Các bạn có thể thay giá trị X thêm để chắc
chắn là PT (3) đã hết nghiệm, nhưng theo kinh nghiệm của
tôi thì hết rồi.
Như vậy đến đây ta có thể tạm kết luận rằng PT (3) có 2 nghiệm là -1 và 2. Bước tiếp theo
của ta là khai triển PT (3) theo 2 nghiệm đó. Vậy làm sao nhỉ? Lại một câu hỏi đặt ra, ai là
người giải đáp nó đây. Tôi chứ ai, tôi sẽ hướng dẫn các bạn. Trước tiên cần các bạn nhớ lại
𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝑺
một chút về Định lý Vi-ét: { 𝟏
, với 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 là 2 nghiệm của PT: 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎
𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝑷
(𝑺𝟐 ≥ 𝟒𝑷 để PT có nghiệm). Đó là kiến thức cũ mà bây giờ ta phải áp dụng nó như sau:
−1 + 2 = 1
⇒ -1 và 2 là nghiệm của PT: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎. Đó thế là chúng ta đã có
−1.2 = −2
nhân tử chung là 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 và bây giờ ta sẽ tách PT (3) theo nó vì nó là “ bố của 2
nghiệm kia rồi”. Ở đây còn một cách khách nhưng chỉ dùng được khi kết của 2 nghiệm của

chúng ta tìm được là số đẹp tức là nhân 2 biểu thức (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 thì ta không
cần sử dụng đến Vi-ét ( cách này cũng được nhưng không áp dụng được hết). Tiếp theo tôi
sẽ hướng dẫn các bạn cách tạo nhân tử tử chung bằng phương pháp liên hợp:
Dễ thấy {

Ở PT (3) ta thấy có 2 biểu thức căn là √𝟓𝒙 + 𝟔, √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 bây giờ chúng ta phải tìm biểu
thức liên hợp của chúng để tạo thành nhân tử chung vừa tìm được là 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 và chúng
đều có dạng: (𝒂𝒙 + 𝒃) − √𝟓𝒙 + 𝟔 =

𝒌(𝒙𝟐 −𝒙−𝟐)

và (𝒄𝒙 + 𝒅) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 =
(𝒂𝒙+𝒃)

√𝟓𝒙+𝟔+

𝒎(𝒙𝟐 −𝒙−𝟐)
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒄𝒙+𝒅)

.

Mục đích ở đây là tìm được các giá trị của 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Bây giờ tôi sẽ hướng dẫn các bạn tìm 𝑎, 𝑏
còn 𝑐, 𝑑 tương tự các bạn tự tìm. Trong tay các bạn đã có sẵn 2 nghiệm -1 và 2 nên việc tìm
các giá trị kia cực kỳ đơn giản như sau:
𝒂. (−𝟏) + 𝒃 = √𝟓. (−𝟏) + 𝟔
𝒂=𝟏
Ta phải có: (𝒂𝒙 + 𝒃) = √𝟓𝒙 + 𝟔 ⇔ {
⇔{
𝒃=𝟐
𝒂. 𝟐 + 𝒃 = √𝟓. 𝟐 + 𝟔

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

9


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Tức là biểu thức căn và biểu thức liên hợp bằng nhau khi 2 nghiệm đó thỏa mãn. Và biểu
𝒙𝟐 −𝒙−𝟐

thức liên hợp của √𝟓𝒙 + 𝟔 là 𝒙 + 𝟐,hay: (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙+𝟐)+

√𝟓𝒙+𝟔

tự biểu thức liên hợp của √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 là 𝒙 + 𝟑,hay (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 =

thế là xong. Tương
𝒙𝟐 −𝒙−𝟐

.

√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)

Thế là OK rồi các bạn nhỉ bây giờ chúng ta đi “chém” PT (3).
(3) ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎
⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒 = (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 + (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝟐

⇔ 𝟐(𝒙 − 𝒙 − 𝟐) =

⇔

(𝒙 + 𝟐) + √𝟓𝒙 + 𝟔

+

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
√𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 + (𝒙 + 𝟑)

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
𝟏

𝟐 = (𝒙+𝟐)+

√𝟓𝒙+𝟔

+

𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)

(𝒃)

Như trên ta tính rồi PT này chỉ 2 nghiệm là -1 và 2 mà 2 nghiệm đó là nghiệm của PT 𝒙𝟐 −
𝒙 − 𝟐 = 𝟎 nên chắc chắn rằng PT (b) kia sẽ vô nghiệm. Bây giờ ta đi chứng minh điều đó.
𝟏

Xét hàm số: 𝑔(𝑥) = (𝒙+𝟐)+

√𝟓𝒙+𝟔

𝑔′ (𝑥) = − [

5+2√5𝑥+6

2√5𝑥+6.(𝑥+2+√5𝑥+6)

2

+

+

𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)

6

− 𝟐, trên [− ; 3]
5

7+2√7𝑥+11

6

2

2√7𝑥+11.(𝑥+3+√7𝑥+11)

+ 2] < 0, ∀𝑥 ∊ [− ; 3]
5

⇒ Hàm số 𝑔(𝑥) luôn nghịch biến ⇒ PT (b) vô nghiệm.
Vậy tại sao lại biết nó luôn nghịch biến( ngoài cách tính được) ta sử dụng máy tính là xong
như sau: Sử dụng chức năng TABLE
Bấm MODE 7 để chọn chức năng TABLE

Máy sẽ yêu cầu các bạn nhập biểu thức vào máy thì các bạn
nhập hàm g(x) của ta vào và được kết quả như hình bên.

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

10


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Tiếp theo các bạn bấm dấu =( với máy casio fx-570VN
PLUS thì ấn thêm 1 dấu =) và bây giờ màn hình hiện lên
như hình bên tức là các bạn chọn giá trị ban đầu là bao
nhiêu, ở đây tôi chọn là đầu đoạn đang xét là -1 và ấn =
Bây giờ máy hiện lên như bên phải có nghĩa là bạn chọn giá
trị kết thúc là bao nhiêu, ở đây tôi chọn 3 và ấn = (vì ta xét
luôn trên đoạn mà ta đang xét)
Màn hình lại hiện lên hỏi các bạn cho khoảng cách các giá
trị X bằng nhiêu hay chính là bước nhảy thì các bạn ấn 0,5
và = hoặc chọn luôn bằng 1
Bây giờ màn hình máy hiện lên như hình bên. Các bạn thấy
hàm số luôn giảm trên đoạn mà ta đang xét tức là hàm số

này nghịch biến
Thế là xong rồi nhá!
Bài làm chính thức:
𝟔

ĐKXĐ: − ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
𝟓

Xét PT (1) ta được:
(1)⇔ (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎
⇔ (𝟒 − 𝒙)√𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚
𝟑

⇔ (√𝟑 − 𝒙) + √𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚
⇔ 𝒇(√𝟑 − 𝒙) = 𝒇(𝒚)
Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹
𝒚≥𝟎
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R ⇒ √𝟑 − 𝒙 = 𝒚 ⇔ { 𝟐
𝒚 = 𝟑−𝒙
Thay vào PT (2) ta được: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (3)
Giải PT (3) ta được:
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

11


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
(3) ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎
⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒 = (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 + (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝟐

⇔ 𝟐(𝒙 − 𝒙 − 𝟐) =

⇔

(𝒙 + 𝟐) + √𝟓𝒙 + 𝟔

+

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
√𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 + (𝒙 + 𝟑)

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
𝟏

𝟐 = (𝒙+𝟐)+

+

√𝟓𝒙+𝟔

𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)

(𝒃)

Giải PT (a) ta được: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏
(𝒕𝒎)

𝒙=𝟐
𝒚≥𝟎
𝒚≥𝟎
Với 𝒙 = −𝟏 thì { 𝟐
⇔ 𝒚 = 𝟐 ; Với 𝒙 = 𝟐 thì { 𝟐
⇔𝒚=𝟏
𝒚 =𝟑−𝒙
𝒚 =𝟑−𝒙
𝟏

Giải PT (b): 𝟐 = (𝒙+𝟐)+

√𝟓𝒙+𝟔

+

𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+

𝟏

Xét hàm số: 𝑔(𝑥) = (𝒙+𝟐)+

√𝟓𝒙+𝟔

𝑔′ (𝑥) = − [

5+2√5𝑥+6

2√5𝑥+6.(𝑥+2+√5𝑥+6)

2

+

+

𝟏

⇔ (𝒙+𝟐)+
(𝒙+𝟑)

√𝟓𝒙+𝟔

𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)

+

𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)

−𝟐=𝟎

6

− 𝟐, trên [− ; 3]
5

7+2√7𝑥+11

6

2

2√7𝑥+11.(𝑥+3+√7𝑥+11)

+ 2] < 0, ∀𝑥 ∊ [− ; 3]
5

⇒ Hàm số 𝑔(𝑥) luôn nghịch biến ⇒ PT (b) vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là (-1; 2) và (2; 1) 
𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 (𝟏)

Bài 3: {
√𝒙 + 𝟐 + √𝟒 − 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 (𝟐)
(Trích đề thi lần 1 – năm 2016 – THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Phân tích đề:
Nào các bạn lại một bài toán không khó mà cũng không dễ, chúng ta cùng nhau “chặt – chém” nó
nào. Bước đầu tiên là gì nhỉ “ sống chết gì cũng phải tìm đkxđ”.
ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4.
Nào chúng ta cùng nhau xét PT (1), để tìm được nhân tử chung của PT . Ơr dạng bài này tôi sẽ
hướng dẫn thêm cho các bạn một chức năng hay của máy tính casio fx-570ES PLUS đó là chức
năng CALC 100 như sau:
Các bạn chuyển 2 vế về 1 vế để tiện tính toán: 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟎
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

12

CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Các bạn thay giá trị y=100 vào (1) ta được: 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗𝟒𝟏𝟏𝟗𝟑 = 𝟎, giải PT này ta
được nghiệm duy nhất là 𝒙 = 𝟗𝟗 ( các bạn bấm MODE 5 4 và nhập hệ sỗ để giải PT bậc 3). Ở
đây 𝒙 = 𝟗𝟗 nhưng do ta chọn y=100 nên 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏 = 𝒚 − 1. Như vậy nhân tử chung của
PT (1) là 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏.
Cách 2: sử dụng chức năng SHIFT CALC như các bài trên, ở đây tôi cho luôn bảng giá trị X và
Y như sau:
Y
0
1
X
-1
0
Từ bảng dễ thấy X=Y-1 hay X+1=Y.

2
1

3
2

4
3

-1
-2

Vậy là tôi đã hướng dẫn cho các bạn xong hai cách nhưng tôi nói thêm với cách CALC 100 chỉ
áp dụng khi nghiệm x theo y ra đẹp thì mới áp dụng được, nên dùng cách 2 hơn.
(1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐

⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖
⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑
⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚.
Đố thế là ta đã ra nhân tử chung và bây giờ ta sẽ thay vào PT (2) để giải nó( được một nửa
quãng đường rồi). Thay vào (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3). Việc tiếp
theo ta sẽ đi giải (3) bằng cách xem (3) có mấy nghiệm từ đó ta sẽ tách (3) theo nghiệm đó.
Để làm được việc đó chúng ta cần có máy tính casio fx-570ES PLUS:
Chuyển 2 vế của PT (3) về 1 vế: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 − √𝒙 + 𝟐 − √𝟑 − 𝒙 = 𝟎. Chắc có nhiều
bạn đã biết cách dùng máy tính rồi nhưng tôi vẫn trình bày cách bấm máy:
Nhập VT (3) vào máy và được kết quả như hình bên

Bấm SHIFT CALC thì máy hiện kết quả như hình bên, tức máy
hỏi các bạn cho giá trị X bằng mấy để tính, các bạn lấy giá trị
bất kỳ, ở đây tôi lấy X=-9 thì bấm vào máy tính là – 9 =

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

13


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên có nghĩa là khi X=-1
thì sai số của phép tính là L-R=0 hay X=-1 là nghiệm của PT
(3).
Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu, tiếp theo các bạn
chia nghiệm x=-1 đi để xem (3) còn nghiệm nào nữa không,
nhớ là phải có mở đóng ngoặc ở đầu và cuối VT (3)
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho
giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị
trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình

bên, tức là X=2 là một nghiệm nữa của PT (3)
Tương tự các bạn bấm ◀ để quay về màn hình lúc chia
nghiệm X=-1, bây giờ các bạn chia tiếp nghiệm X=2 của PT
đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho
giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị
trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình
bên, tức PT (3) đã hết nghiệm
Như vậy PT (3) tạm kết luật rằng: chỉ có 2 nghiệm là -1 và 2. Tương tự như thí dụ trên ta sử
dụng Định lý Vi-ét hoặc nhân luôn 2 nghiệm kia vào với nhau( chỉ áp dụng khi cho nghiệm
đẹp như thế này) tuy các bạn nhé để tiết kiệm giấy cũng như mực và thời gian ta áp dụng
cách 2 nhân tích 2 nghiệm vào tức là: 2 nghiệm – 1 và 2 là nghiệm của PT: (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) =
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐. Bây giờ việc tiếp theo của chúng ta là “chặt – chém” PT (3) theo nhân tử chung
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 này. Nhưng các bạn lại thấy có gì đó vướng vướng nhỉ đó là tìm biểu thức liên
hợp của √𝒙 + 𝟐, √𝟑 − 𝒙. Như bài trên đã trình bày cách tìm biểu thức liên hợp( Bài 2) nên
tôi sẽ tìm luôn biểu thức liên hợp mà không trình bày chi tiết quá.
𝟏

𝒂=
𝒂. (−𝟏) + 𝒃 = √−𝟏 + 𝟐
𝟑
Gọi biểu thức liên hợp của √𝒙 + 𝟐 là 𝒂𝒙 + 𝒃 thì ta phải có {
⇔{
𝟒
𝒂. 𝟐 + 𝒃 = √𝟐 + 𝟐
𝒃=
𝟑

𝒙

𝟒

𝟏

𝟏

𝒙𝟐 −𝒙−𝟐

Do đó: ( + ) − √𝒙 + 𝟐 = [(𝒙 + 𝟒) − 𝟑√𝒙 + 𝟐] = . (
)
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐
𝟓

𝒙

𝟑

𝟑

Tương tự: biểu thức liên hợp của √𝟑 − 𝒙 là − , hay:

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

14


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT

𝟓

𝒙

𝟏

𝒙𝟐 −𝒙−𝟐

𝟏

(𝟑 − 𝟑) − √𝟑 − 𝒙 = 𝟑 [(𝟓 − 𝒙) − 𝟑√𝟑 − 𝒙] = 𝟑 . (𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙)
Vậy là xong rồi đúng không các bạn phải nhớ điều kiện của PT (3) nhá: −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
Bây ta sẽ tách PT (3):
(3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏
⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏) − 𝟑√𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝟑 − 𝒙 = 𝟎
⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) + (𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝒙 + 𝟐) + (𝟑 − 𝒙 − 𝟑√𝟑 − 𝒙) = 𝟎
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝟐

⇔ 𝟑(𝒙 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) +

𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐

+

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙

=𝟎

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
⇔
𝟏
𝟏
𝟑(𝒙 + 𝟐) +
+
= 𝟎 (𝒃)
𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐 𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙
Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏
(tmđkxđ)
𝒙=𝟐
Với 𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = 0(𝑡𝑚đ𝑘𝑥đ), Với 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 1(tmđkxđ)
Giải (b): 𝟑(𝒙 + 𝟐) +

𝟏
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐

+

𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙

Dễ thấy với −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 thì 𝟑(𝒙 + 𝟐) +

=𝟎
𝟏

𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐

+

𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙

> 𝟎 , nên (b) vô nghiệm.

( Nếu không các bạn có thể làm như Bài 2)
Vậy là xong rồi nhỉ!
Bài làm chính thức:
ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4.
Xét PT (1):
(1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐
⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖
⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑
⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚.
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

15


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Thay vào PT (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3)
Giải PT (3):
(3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏
⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏) − 𝟑√𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝟑 − 𝒙 = 𝟎
⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) + (𝒙 + 𝟒 − 𝟑√𝒙 + 𝟐) + (𝟓 − 𝒙 − 𝟑√𝟑 − 𝒙) = 𝟎
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝟐

⇔ 𝟑(𝒙 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) +

𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐

+

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙

=𝟎

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
⇔
𝟏
𝟏
𝟑(𝒙 + 𝟐) +
+
= 𝟎 (𝒃)
𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐 𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙
Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏
(tmđkxđ)
𝒙=𝟐
Với 𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = 0(𝑡𝑚đ𝑘𝑥đ), Với 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3(tmđkxđ)
Giải (b): 𝟑(𝒙 + 𝟐) +

𝟏
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐

+

𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙

Dễ thấy với −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 thì 𝟑(𝒙 + 𝟐) +

=𝟎
𝟏

𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐

+

𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙

> 𝟎 , nên (b) vô nghiệm.

KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (-1; 0) và ( 2; 3) 
𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 (𝟏)
Bài 4: {
𝟑√𝟔 − 𝒚 + 𝟑√𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟕 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟐)
( Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT LÝ THÁI TỔ-BẮC NINH)
Phân tích đề:
Nào các bạn trẻ lại một câu hỏi không hề dễ mà cũng chẳng khó tý nào, vậy chúng ta cùng
tiêu diệt nó nhé!
ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔
Bước tiếp theo là chúng ta sẽ xét PT (1): chuyển 2 vế của PT (1) về cùng 1 vế ta được:
𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 − √𝒚 − 𝟏 + √𝒙 = 0
Đã qua 3 thí dụ trên nên các bạn phần nào cũng biết được bước tiếp theo là gì đúng không.

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

16


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Tôi sẽ cho luôn bảng giá trị X và Y như sau:
Y
1
2
3
4
5
6
X
0
1
2
3
4
5
0
1
2
√2
√3
√5
√𝒙
0
1

2
√2
√3
√5
√𝒚 − 𝟏
Đó như các bạn đã thấy rồi trong PT mà có bất cứ biểu thức nào thì các bạn cứ tính thêm giá
trị của biểu thức đó theo X và Y. Ở đây, qua bảng giá trị các bạn đã thấy được mối quan hệ
giữa X và Y là: 𝐘 − 𝟏 = 𝐗 hay √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 , đó có 2 trường hợp nhưng chả sao sao cả nó
vẫn là một mà vì đã có ĐKXĐ. Bây chúng ta đi khai thác PT (1) theo nhân tử này.
(1)⇔ 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙
⇔ 𝒙(𝒚 − 𝟏) − (𝒚 − 𝟏)𝟐 + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎
⇔ (𝒚 − 𝟏)[𝒙 − (𝒚 − 𝟏)] + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎
⇔ (√𝒙 − √𝒚 − 𝟏)[(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏] = 𝟎
⇔

√𝒙 = √𝒚 − 𝟏 (𝒂)
(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 = 𝟎 (𝒃)

Đó đến đây là ta đã thấy được nhân tử chung của chúng ta rồi, nhưng các bạn còn đang thắc
mắc về PT (b) đúng không. Các bạn để ý xem ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 nên VT (b)>0, do đó
PT (b) vô nghiệm. Bây giờ ta chỉ việc thay √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 vào PT
(2): 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟑). Nào đến đây thì ngon rồi coi như “ cơm đã nấu xong
bây chỉ việc chờ đánh chén” , ta sẽ đi giải PT (3) giống như các ví dụ trên, nhớ là đk của x là
𝟒
𝟓

≤𝒙≤𝟓

Nhập VT của PT (3) vào máy tính và sẽ được kết quả như
hình bên

Bấm SHIFT CALC thì máy hỏi bạn cho giá trị X bằng bao
nhiêu thì các bạn cho X=9 và ấn =. Sau đó máy hiện kết
quả như hình bên tức là X=4 là một nghiệm của PT (3)

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

17


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu, tiếp theo các
bạn chia nghiệm x=4 đi để xem (3) còn nghiệm nào nữa
không, nhớ là phải có mở đóng ngoặc ở đầu và cuối VT
(3)
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn
cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn
giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả
như hình bên, tức là X=1 là một nghiệm nữa của PT (3)
Tương tự các bạn bấm ◀ để quay về màn hình lúc chia
nghiệm X=4, bây giờ các bạn chia tiếp nghiệm X=1 của
PT đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn
cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn
giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả
như hình bên, tức PT (3) đã hết nghiệm( các bạn có thể
thử thêm nhiều giá trị X để cho đỡ sợ sai)
Như vậy đến đây ta có thể tạm kết luận là PT (3) có 2 nghiệm là 1 và 4. Tương tự các ví dụ
trên ta sẽ tìm PT chứa 2 nghiệm này là (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒. Đó thế là ra nhân tử
chung rồi bây tiếp theo là tìm biểu thức liên hợp cho 3√𝟓 − 𝒙, 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒. Cũng thực hiện

tương tự như các thí dụ trên ta làm như sau:
𝒂 = −𝟏
𝒂. 𝟏 + 𝒃 = 𝟑√𝟓 − 𝟏
Gọi biểu thức liên hợp của 3√𝟓 − 𝒙 là 𝒂𝒙 + 𝒃 nên {
⇔{
𝒃=𝟕
𝒂. 𝟒 + 𝒃 = 𝟑√𝟓 − 𝟒
𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟒

Tức là: (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 = (𝟕−𝒙)+3

√𝟓−𝒙

Tương tự biểu thức liên hợp của 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 là 𝟑𝒙 hay 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 =

𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟒
𝟑𝒙+𝟑√𝟓𝒙−𝟒

Thế là ok rồi nhỉ bây đi “chém” PT (3) thôi:
(3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕
⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0
⇔

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙

+

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒
𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒

=𝟎

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

18


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄)
⇔
𝟏
𝟏
+
= 𝟎 (𝒅)
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒
Như vậy đã xuất hiện nhân tử chung rồi, bây chỉ còn xử lỹ cái PT (d) kia thôi nữa là xong.
Quy đồng PT (d) lên nào: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎.
4

Dễ thấy: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 > 0, ∀𝑥𝜖 [ ; 5] ( Có thể đạo hàm để cho chắc, nhưng
5

như thế này là được rồi). Đến đây coi như là xong rồi còn gì!
Bài làm chính thức:
ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔
Xét PT (1) ta được:
(1)⇔ 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙
⇔ 𝒙(𝒚 − 𝟏) − (𝒚 − 𝟏)𝟐 + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎
⇔ (𝒚 − 𝟏)[𝒙 − (𝒚 − 𝟏)] + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎

⇔ (√𝒙 − √𝒚 − 𝟏)[(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏] = 𝟎
⇔

√𝒙 = √𝒚 − 𝟏 (𝒂)
(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 = 𝟎 (𝒃)

Do ĐKXĐ nên (𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 > 𝟎, hay PT (b) vô nghiệm.
Thay (a) √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 vào PT (2) ta được:
𝟒

𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟑) với ≤ 𝒙 ≤ 𝟓
𝟓

Giải PT (3):(3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕
⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0
⇔

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒

+
=𝟎
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄)
⇔
𝟏
𝟏
+
= 𝟎 (𝒅)

(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

19


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
4

Giải (c) ta được: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⇔ (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝟎 ⇔ 𝒙=𝟏
(tmđk ≤ 𝑥 ≤ 5)
𝒙=𝟒
5

Với x=1 thì y=2( tm đkxđ) và với x=4 thì y=5( tm đkxđ)
Giải (d): (d) ⇔ 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎
4

Dễ thấy: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 > 0, ∀𝑥𝜖 [ ; 5], nên PT (d) vô nghiệm.
5

KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (1; 2) và (4; 5) 
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏 (𝟏)
Bài 5: {
𝟑𝒚√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒚 − 𝟏) (𝟐)
( Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT NGÔ SĨ LIÊN-BẮC GIANG)
Phân tích đề:
Lại một câu hệ, nhìn mà nản nhưng thực ra chả có gì phải nản cả vì ta đã có một công cụ hữu
dụng đó là máy tính casio fx-570ES PLUS (cái này phổ biến hơn cả). Bước đầu của chúng ta

là gì nhỉ? Là tìm đkxđ như tôi đãbảo là sống chết gì cũng phải tìm đkxđ.
ĐKXĐ: 𝒙 ≥

−𝟏
𝟐

, 𝒚 ≥ −𝟏

Tiếp theo là xét PT (1) nhé, nào các bạn đoán xem PT (1) có nhân tử chung là gì nào? Thôi
đoán mò đoán meo làm gì chi bằng chúng ta bắt tay vào tìm nhân tử chung bằng cách sử
dụng máy tính cầm tay. Tương tự như các thí dụ trên tôi cho luôn bảng giá trị X và Y, các bạn
nhớ thêm nhá là trong PT mà có biểu thức nào thì các bạn tính thêm giá trị của biểu thức đó
theo X và Y:
Y
X

-1
0
0

0
1
1

1
2
3
8
2
3

√2=1,414213562 √3=1,732050808
2
3
√𝑌 + 1
√2
√3
Đó như vậy là chúng ta đã biết nhân tử chung của PT (1) là X=√𝑌 + 1. Đơn giản quá đúng
không các bạn chỉ với việc bấm bấm là chúng ta đã biết được nhân tử chung của PT (1). Bây
ta chỉ việc đi tách PT (1) theo nhân tử đó là xong. Nhưng các bạn hãy để ý về PT (1), ta thấy
2 vế, mỗi vế có các biến x và y độc lập. Do đó ta nghĩ ngay đến việc sử dụng phương pháp
hàm số. Và PT (1) được khai thác như sau:
(1)⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏
⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒚 + 𝟏) + [(𝒚 + 𝟏) + 𝟑]√𝒚 + 𝟏 − 𝟏
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

20


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
𝟑

𝟐

⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (√𝒚 + 𝟏) + (√𝒚 + 𝟏) + 𝟑√𝒚 + 𝟏 − 𝟏
⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝒚 + 𝟏)
Đó thế là ra hàm đặc trưng rồi các bạn nhé. Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 − 𝟏, có:
𝒇

′ (𝒕)

𝟏 𝟏 𝟖
𝟏 𝟐 𝟖
= 𝟑𝒕 + 𝟐𝒕 + 𝟑 = 𝟑 (𝒕 + 𝟐. 𝒕. + + ) = 𝟑 (𝒕 + ) + > 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹
𝟑 𝟗 𝟗
𝟑
𝟑
𝟐

𝟐

𝒙≥𝟎
⇒ Hàm số 𝑓(𝑡) luôn đồng biến trên R ⇒ 𝒙 = √𝒚 + 𝟏 ⇔ {
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏
Thế là OK rồi bây ta thay vào PT (2) là xong: 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) (𝟑)
Việc tiếp theo của chúng ta là đi tìm xem PT (3) có bao nhiêu nghiệm để rồi từ đó ta sẽ xác
địng PT (3) theo các nghiệm đó. Khoan đã các để ý xem nhá ở PT (3) cả 2 vế đều chung nhân
tử là (𝒙 − 𝟏). Vậy nên ta sẽ khai thác (3) theo nhân tử đó đã nhá.
(3) ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 )
⇔ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏)
⇔

𝒙 = 𝟏(𝒕𝒎đ𝒌 𝒙 ≥ 𝟎) ⇒ 𝒚 = 𝟎(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ)
𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝟒)

Bây giờ chúng ta mới đi giải (4) cho nhẹ nhàng. Nào các bạn hãy dùng máy tính casio để xem
PT này có mấy nghiệm. Quy trình bấm máy như sau:
Nhập biểu thức vào máy tính:
𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐

Bấm SHIET CALC, máy hỏi các bạn cho X bằng mấy thì các

bạn cho X=9 và ấn =. Sau đó màn hình máy hiện lên như
bên phải tức là X=-0,464101615 là một nghiệm của PT
(4).
Tiếp theo các bạn gán nghiệm vừa tìm được cho A bằng
cách bấm SHIFT STO (-)

Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

21


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
Tiếp theo các bạn nhập biểu thức này vào máy:
(𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 ): (𝒙 − 𝑨), có nghĩa là các bạn
chia nghiệm X=A của PT đi để xem PT (4) có còn nghiệm
nữa không.
Bấm SHIFT CALC, máy lại hỏi các bạn cho giá trị A bằng như
thế không thì các bạn ấn = và máy hỏi cho X bằng bao nhiêu
thì các bạn ấn luôn =( lấy luôn giá trị đó). Sau đó máy hiện
kết quả như hình bên tức là X=6,464101615 là một
nghiệm nữa của PT (4)
Tiếp tục gán nghiệm X=6,464101615 cho biến B trong
máy bằng cách bấm SHIFT STO °'''

Tiếp theo các bạn nhập biểu thức này vào máy:
(𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 ): (𝒙 − 𝑨)(𝒙 − 𝑩), có nghĩa là các
bạn chia tiếp nghiệm X=B của PT đi để xem PT (4) có còn
nghiệm nữa không.
Bấm SHIFT CALC thì máy hỏi cho giá trị A, B, X bằng như
thế không thì các bạn ấn luôn dấu =( trừ với X thì các bạn

có thể thay nhưng A, B thì không thay được vì nó đã cố
định nghiệm). Sau đó máy hiện như hình bên tức là PT (4)
đã hết nghiệm
Như vậy đến đây ta cũng tạm kết luận rằng PT (4) có 2 nghiệm là A,B với A,B là 2 nghiệm lẻ
đó. Đó đến đây thì các bạn thấy ghê ghê vì 2 nghiệm này lẻ quá không biết làm thế nào. Các
bạn đừng lo chúng ta sẽ sử dụng Định lý Vi-ét để khai thác 2 nghiệm lẻ đó xem 2 nghiệm lẻ
𝐴+𝐵 =6
đó là nghiệm của 1 PT bậc 2 nào. Ta thấy {
do đó A và B là nghiệm của PT: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎.
𝐴. 𝐵 = −3
Đó các bạn đã biết được 2 nghiệm lẻ kia là nghiêm của PT 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 và bây giờ ta sẽ
tường ming 2 nghiệm kia ra nhé: 3 + 2√3 , 3 − 2√3 . Như vậy ta đã xác định được nhân tử
chung và 2 nghiệm lẻ kia. Tiếp theo là chúng ta sẽ tìm biểu thức liên hợp của √𝟐𝒙 + 𝟏. Gọi
𝟏

𝒂=
𝒂. 𝑨 + 𝒃 = √𝟐𝑨 + 𝟏
𝟐
biểu thức liên hợp của √𝟐𝒙 + 𝟏 là 𝒂𝒙 + 𝒃 nên {
⇔{
𝟏 . Do đó ta sẽ
𝒂. 𝑩 + 𝒃 = √𝟐𝑩 + 𝟏
𝒃=
𝟐

𝒙

𝟏

𝟏

𝟏

𝒙𝟐 −𝟔𝒙−𝟑

có: ( + ) − √𝟐𝒙 + 𝟏 = [(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] = ((𝒙+𝟏)+𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐

√𝟐𝒙+𝟏

). Thế à OK rồi nhỉ đi khai

thác PT (4) theo nó thôi.
(4)⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

22


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟏)[(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] = 𝟎
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑

𝟐

⇔ 𝒙 − 𝟔𝒙 − 𝟑 + 𝟑(𝒙 + 𝟏) (

)=𝟎
(𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 (𝒂)
⇔
𝟑(𝒙 + 𝟏)
1+
= 𝟎 (𝒃)
(𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏
Đến đây chắc là dễ quá rồi đúng không các bạn, PT (a) thì không nói làm gì. Bây chỉ PT (b)
là OK, nhưng các để đk để có PT (3) là 𝒙 ≥ 𝟎 nên điều dễ thấy ở đây đó là VT (b)>0. Do đó
PT (b) vô nghiệm. Vậy là xong rồi!
Bài làm chính thức:
ĐKXĐ: 𝒙 ≥

−𝟏
𝟐

, 𝒚 ≥ −𝟏

Xét PT (1):
(1)⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏
⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒚 + 𝟏) + [(𝒚 + 𝟏) + 𝟑]√𝒚 + 𝟏 − 𝟏
𝟑

𝟐

⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (√𝒚 + 𝟏) + (√𝒚 + 𝟏) + 𝟑√𝒚 + 𝟏 − 𝟏
⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝒚 + 𝟏)
Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 − 𝟏, có:
𝒇

′ (𝒕)

𝟏 𝟏 𝟖
𝟏 𝟐 𝟖
= 𝟑𝒕 + 𝟐𝒕 + 𝟑 = 𝟑 (𝒕 + 𝟐. 𝒕. + + ) = 𝟑 (𝒕 + ) + > 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹
𝟑 𝟗 𝟗
𝟑
𝟑
𝟐

𝟐

𝒙≥𝟎
⇒ Hàm số 𝑓(𝑡) luôn đồng biến trên R ⇒ 𝒙 = √𝒚 + 𝟏 ⇔ {
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏
Thay vào PT (2) ta được: 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) (𝟑)
Giải PT (3):
(3) ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 )
⇔ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏)
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

23


CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT
⇔

𝒙 = 𝟏(𝒕𝒎đ𝒌 𝒙 ≥ 𝟎) ⇒ 𝒚 = 𝟎(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ)
𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝟒)

Giải PT (4):
(4)⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐
⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟏)[(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] = 𝟎
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑
⇔ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 + 𝟑(𝒙 + 𝟏) (
)=𝟎
(𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 (𝒂)
⇔
𝟑(𝒙 + 𝟏)
1+
= 𝟎 (𝒃)
(𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙=3+2 3

Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⇔ (𝒙 − 𝟑 − 𝟐√𝟑)(𝒙 − 𝟑 + 𝟐√𝟑) = 𝟎 ⇔ 𝒙= 3−2√√3
Do đk 𝒙 ≥ 𝟎 nên PT (a) chỉ có nghiệm là 𝒙 = 𝟑 + 𝟐√𝟑 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐√𝟑 (tm đkxđ)
𝟑(𝒙+𝟏)

Giải (b): 1 + (𝒙+𝟏)+𝟐

√𝟐𝒙+𝟏

= 𝟎. Do đk 𝒙 ≥ 𝟎 nên VT (b)>0 nên PT (b) vô nghiệm.

KL: Vậy hệ đã cho có nhiệm là: (1; 0) và (𝟑 + 𝟐√𝟑 ; 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐√𝟑 ) 
Không biết các bạn chán chưa nhưng tôi đổi không khí nhá làm một bài PT nhá.
Bài 6:

𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟖
𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟑

= (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐) (1)
(Trích đề thi TNTHPTQG – năm 2015)

Phân tích đề:
Các bạn cũng đã thấy rồi việc giải hệ hay PT hay BPT thì cũng đều là giải PT mà ra. Chẳng
qua người ta làm khó chúng ta bằng cách ràng buộc mối quan hệ giữa x và y, rồi từ đó bắt
chúng ta tìm ra và thay vào một trong hai PT ban đầu là ra đó là việc giải hệ. Còn đối với giải
BPT thì người ta thêm các dấu lớn hơn hay nhở hơn … nhưng thực chất vẫn là giải PT vì ta
chỉ thay các dấu đó bằng dấu bằng và giải thì khống khác nhau là bao. Bây giờ chúng ta sẽ đi
giải đề thu chính thức TNTHPTQG năm 2015 vừa qua để thấy rõ hơn về sức mạnh của máy
tính casio fx-570ES PLUS… Bước đầu tiên dù là hệ hay BPT hay PT thì đều phải tìm ĐKXĐ
cả, ở đây đkxđ là: 𝒙 ≥ −𝟐. Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm nghiệm của PT nhá.
Nguyễn Mạnh Cường – />www.boxtailieu.net

24