Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình

p

n

n

p

n p

p

n2

– C 2015 - 2016

2: P

/>
)

Trang 1


p

n p
n p

n

n

p

n p

p

n2

p đặt ẩn phụ

p đặt ẩn phụ là 1 trong những phương pháp khá mạnh để giải hệ phương trình. Từ 1 hệ khá

phức tạp nhưng chỉ sau 1 vài bước đặt ẩn phụ sẽ đưa về các dạng hệ cơ bản mà ta có thể dễ dàng giải.
Thông thường khi thấy cả 2 phương trình của hệ có những cụm hạng tử phức tạp giống nhau thì ta đặt nó
làm ẩn phụ. Xong với xu hướng câu hệ phương trình hiện nay trong các đề thi thì HPT thường là câu lấy
8 - 9 điểm nên người ra đề cố tình ẩn đi các dấu đặt ẩn phụ để làm bài toán trở nên khó khăn hơn. Bởi vậy
khi đặt ẩn phụ thì việc quan trọng đó là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y)
trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v.
Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình
cho một số hạng khác không như x, y, xy, x2 , y 2 ... để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ với
các dạng cụ thể sau
1.

Đặt biểu thức đứng độc lập, phức tạp làm ẩn phụ

2.

Sử dụng các kĩ năng nhóm, tách, thêm, bớt đặt ẩn phụ

3.

Sử dụng phép chia làm xuất hiện đại lượng đặt ẩn phụ

4.

Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu
o

n

n

n

Facebook: />
/>
Trang 2


p

n

n

p

n p

p

n2

1. Đặt biểu thứ đứn độc lập, phức tạp làm ẩn phụ
1

x  3 y  2x  3 y  1
Bài 1. Giải hệ phương trình 

1

 2x  3y  2
 x  3 y  1

H ớng dẫn

1
 1

u 2
(u  v)(1  )  0



v
uv
Đặt u = x+3y+1, v = 2 x  3 y hệ đã cho trở thành 



1  v  2
1  v  2
 u
 u
Suy ra u = 1,v = 1 nên nghiệm của hệ là: (x; y) = (1; 

1
)
3

 x 2  xy  y 2
x2  y 2

 x y

Bài 2. Giải hệ phương trình sau 
3
2

 x 2 xy  5 x  3  4 xy  5 x  3
H ớng dẫn
Nhận xét:Trong bài này có nhiều hơn 2 biểu thức phức tạp vả lại xét thấy x+y có thể biểu diễn theo 2
căn thức ở phương trình thứ nhất nên ta nghĩ đến việc chọn ẩn phụ là 2 căn thức ấy để tìm được mối
liên hệ giữa 2 ẩn thế vào phương trình thứ 2 và tìm ra nghiệm

( x  y ) 2  xy
u 
3


Đặt 
, điều kiện : u  0, v  0
( x  y ) 2  2 xy

v 
2

Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :
(u  v) 2  6u 2  2v 2

 5u 2  2uv  3v 2  0
 (u  v)(5u  3v)  0
uv
Với u  v , ta được :

( x  y)2  xy ( x  y)2  2 xy

 ( x  y)2  0  y  x
3
2
Thế y  x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được :

x 2 x 2  5x  3  4 x 2  5x  3
Đặt u  2 x 2  5x  3 , điều kiện u  0
Khi đó ta được hệ phương trình sau
2
2

u  2 x  5 x  3


2

 xu  4 x  5 x  3

u  2 x
x   5x 

Suy ra :  u       
2  2 

u  3x
2

2

/>
Trang 3


p

n

n

p

n p

p

n2

Với u  2 x , ta được y  x  3
5  109
14
 5  109 5  109 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm ( x; y )  
 14 ; 14  ,(3;3)



Với u  3x , ta được y  x 

( x  y ) y  y x  y  1  x  xy  y 2 (1)

Bài 3: Giải hệ phương trình 
2
2

 x y  3x  2   2 x  3 y  y  1  0(2)
H ớng dẫn
ĐKXĐ x  y  1

Đặt x  y  a; y  b(a, b  0)  x  a 2  b2
(1) Trở thành:
a 2b  ab 2  1  a 2  b 2  ab
 ab(a  b)  1  (a  b) 2  ab
 ab(a  b  1)  (a  b  1)(a  b  1)  0
 (a  b  1)(ab  a  b  1)  0

 ab  a  b  1  0(a  b  1  0)
 (a  1)(b  1)  0
a  1

b  1

Đặt

y  1  t  y  t 2  1 thế vào (2)

x 2 (t 2  1)  3 x  2  (2 x 2  3 x)t  0
 x 2 (t  1) 2  3(t  1) x  2  0
 x( y  1  1)  1
 x(t  1)  1


 x( y  1  1)  2
 x(t  1)  2

a  1  x  y  1  x  y  1  1  x  1


 y  0
*  y 1  1  1
(vô lý)


 y 1  0
 x( y  1  1)  1
a  1  x  y  1  x  y  1  2(y  1)


x  2

*  y 1  1  1
y 1

x
(
y

1

1)

2

x  1
* b  1  y  1 thay vào (2) ta được x 2  3x  2  0  
x  2
(x,y)=(1,1);(1,2) (thỏa mãn ĐKXĐ)
Nhận xét: Hệ phương trình này đặc biệt ở chỗ cần đặt nhiều hơn 2 ẩn phụ vì 2 phương trình
không có biểu thức phức tạp chung. Trong các trường hợp như vậy, ta có thể cách đặt thêm 1 ẩn
phụ nữa để tìm mối liên hệ đơn giản hơn giữa 2 ẩn thay vì chỉ sử dụng mối quan hệ được tìm ra ở
(1) thay vào (2) vì việc tìm nghiệm hơi khó khăn
/>
Trang 4


p

n

n

2

 x 12  y  y (12  x )  12(1)
Bài 4: Giải hệ phương trình sau 
-- Đ
3
x

8
x

1

2
y

2(2)


H ớng dẫn

p

n p

p

n2

k ối A-2014

ĐKXĐ 2 3  x  2 3; 2  y  12
Đặt 12  y  t (t  0)  y  12  t 2 (1) trở thành:

xt  (12  x 2 )(12  t 2 )  12
 144  12  x 2  t 2   x 2t 2  12  xt
 xt  12

2
2
2 2
2 2
144  12  x  t   x t  144  24 xt  x t
 xt  12

0 xt 2 3
2
12( x  t )  0

 x  12  y  y  12  x 2 thế vào (2) ta có:
x3  8 x  1  2 10  x 2
 ( x3  9 x)  (x  3)  2(1  10  x 2 )  0
 x( x  3)( x  3)  ( x  3)  2

x2  9
1  10  x 2


2x  6
 ( x  3)  x 2  3x  1 
1  10  x 2

 x  3( x  0)  y  12  x 2  3
x =y =3(thỏa mãn ĐKXĐ)

0


0


Nhận xét :việc đặt ẩn phụ như trên làm cho phương trình (1) trở nên đối xứng và dễ chịu hơn.
Trong một số hệ chúng ta có thể không phải đặt ẩn phụ hoàn toàn (bài toán này cũng có thể sử
dụng phương pháp đánh giá)
2
2

 x  4 y   x  2 x  2 y  x
Bài 5:Giải hệ phương trình sau 
2

 4 x  5  y  2 x  1(2)
H ớng dẫn

Đặt t  x 2  2 y (t  0)  y 
x  2  t 2  x 2   ( x  2)t  x 2

t 2  x2
phương trình (1) trở thành:
2

 x 2  2t 2  xt  x  2t  0
 x 2  4t 2  2t 2  xt   x  2t   0
  x  2t  x  2t  t  1  0
 x   x2  2 y
 x  2t  0
  x  2t  x  t  1  0  

x

t

1

0
 x  1  x2  2 y


/>
Trang 5


p

n

n

p

n p

p

n2

* x   x 2  2 y  y  0; x  0 thay vào (2) ta được:

1

x


2 (vô nghiệm)
4 x 2  5  2 x  1  ...  
 x  3

2

x  1  x2  2 y
*

thay vào(2)
 x  1

2 x  1  2 y

2x 1
4 x2  5 
 2x  1
2

 2 4 x2  5  2 x  1
 ....
3
2
 y2
x


3x
 2 x  y 1
 x  2  1 
y

Bài 6: Giải hệ phương trình sau 
 y 2 1  3x  2 x 2  y 2  4 x 2
 

y

H ớng dẫn:
3x
ĐKXĐ y  0;1   0
y
Đặt t  1 

3x
t  0
y

2


 x  2  t  2 x  y
2 x( x  2) t  4 x  2 xy
 2 2
 2
2
2
 y t  y t  2 xt  x  2 
 y t  y  2x  x  2 


 y 2t 2  y 2t  4 x 2  2 xy
  y 2t 2  4 x 2    y 2t  2 xy   0
  yt  2 x  yt  2 x   y  yt  2 x   0
  yt  2 x  yt  2 x  y   0


x 2x
x
 1 3 
y 0
y
y
 yt  2 x

x  0





x
 yt  y  2 x
x  y
 1  3x  1  2 x
 y 1
y
y


Giải ra được (x,y)=(0;2);(4;4)
2. Sử dụn

kĩ năn n óm,

,

m, bớt đặt ẩn phụ

 x3 y  x 2  xy  1  0
Bài 1. Giải hệ phương trình  4
3
2 2
 x  x y  x y 1
/>

Trang 6


p

n

n

p

n p

p

n2

H ớng dẫn
Phân tích: trong bài toán trên ta có thể dễ dàng nhìn thấy sự xuất hiện rõ ràng của cách đặt ẩn phụ khi
mà cả 2 phần của hệ có quá nhiều điểm chung. Có
Ta sẽ dùng phương pháp đặt ẩn phụ khi mà các thành phần của hệ phương trình có những điểm chung là
những tổng hoặc tích phức tạp. Nó giúp ta nhìn nhận vấn đề một cách thoáng hơn và dễ dàng nhìn ra
hương giải quyết hơn nhiều.

 x3 y  x( y  x)  1
Đưa hệ về dạng: 
Đặt u = x3y, v = x(y – x)
2
3
  x  y  x    x y  1

u0
 x  1
Giải hệ được 

v  1  y  0
u  3
(vô nghiệm)

v2
 x  1
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
 y0

x  y  4
Bài 2. Giải hệ phương trình  2
2
3
3
( x  y )( x  y )  280
H ớng dẫn
Phân tích: ngoài hướng giải trên , ta còn có 1 cách làm khác khá tự nhiên đó là thay x=4-y vào
phương trình số 2. Sau đó giải phương trình bậc 4. Phương trình này cũng khá đơn giản và ta cũng
có thể dễ dàng nhẩm ra nghiệm. Tuy nhiên cái hay của cách làm ẩn phụ như trên đó là ta có thể giải
quyết được với cả số lẻ một cánh dễ dàng hơn rất nhiều.


x  y  4
Hệ phương trình  
2
3

 ( x  y )  2 xy  ( x  y)  3xy( x  y)   280


x  y  S
( S 2  4 P)
Đặt 
 x. y  P

S  4
Ta có hệ:  2
3
( S  2 P)( S  3PS )  280
Thế S = 4 vào phương trình dưới ta có: (8  P)(16  3P)  35  128  24P  16P  3P2  35
P  3
 3P  40 P  93  0  
 P  31  L 
3

2

x  y  4
 x  1; y  3

Với P  3; S  4  
 x. y  3
 x  3; y  1
Đáp số: ( x; y)  (1;3), (3;1)
3
2 2
3


 x y (1  y )  x y (2  y )  xy  30  0
Bài 3. Giải hệ phương trình  2
(I)
2
x
y

x
(1

y

y
)

x

11

0



H ớng dẫn
/>
Trang 7


p

n

n

p

n p

p

n2

Cách 1
 x3 y  x3 y 2  2 x 2 y 2  x 2 y 3  xy 3  30  0

(I )   2
2

 x y  x  xy  xy  y  11  0

 xy ( x 2  y 2 )  x 2 y 2 ( x  y )  2 x 2 y 2  30  0

 xy ( x  y )  ( x  y )  xy  11  0
S  x  y
Đặt 
 x2  y 2  S 2  2P
 P  xy
 P( S 2  2 P)  P 2 S  2 P 2  30  0 (1)


(I )  
11  P
 PS  S  P  11  0 (2)  S 

P 1

Thế vào phương trình (1), ta có:  P4  11P3  41P2  61P  30  0

P  1  S  5
P  2  S  3
 ( P  1)( P3  10 P 2  31P  30)  0  
P  3  S  2

P  5  S  1
Thế các trường hợp tương ứng của S, P.
 5  21 5  21   5  21 5  21 
Ta được nghiệm của hệ là: 
 2 ; 2  ,  2 ; 2  , (1; 2), (2;1)

 

Cách 2

Đặt : a  x  y; b  xy (a 2  4b)

ab(a  b)  30

ab  a  b  11
Đặt ab  t; a  b  k (k 2  4t )
  x  (1; 2)


k  5
  a  3   y  (2;1)



tk  30
 t  6
 b  2   x   5  21 ; 5  21 






2
2 

t  k  11   k  6
 x  5 
 t  5   y  1  


  y   5  21 ; 5  21 
 2
2 
 


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :

 5  21 5  21   5  21 5  21 
( x; y )  (1; 2); (2;1); 
;
;
 ; 

2
2
2
2 

 
Nhận xét: trong bài toán trên việc đặt ẩn phụ thật sự đã giúp ích cho ta rất nhiều. Hãy nhìn vào đáp
số của bài toán có xuất hiện những giá trị mà việc nhẩm nghiệm (x;y) của hệ ngay gần như là không
thể. Như đã nói ở trên, với cách đặt ẩn cho xy và x+y như trên ta hoàn toàn có thể thấy rõ các hệ số
tự do không quá quan trọng, thậm chí bạn còn có thể thay nó bằng một biểu thức phức tạp theo tham
số để tung hỏa mù. Và khi ấy bài toán thật sư sẽ khiến nhiều người phải chùn bước.
/>
Trang 8


p

n

n

p

n p

p

n2

 x 2  y 2  2( x  y )  7

Bài 4. Giải hệ phương trình 

 y ( y  2 x)  2 x  10
H ớng dẫn

 x 2  y 2  2( x  y )  7

Hệ 

 y ( y  2 x)  2 x  10

( x  1)  ( y  1)  9
.

2
2
(
y

x
)

(

x

1)

9

2

2

a 2  b 2  9
Đặt a  x  1, b  y  1  b  a  y  x ta được hệ 
2
2
(b  a )  a  9
 a2  b2  (b  a)2  a 2  a 2  2ab  a  0 hoặc a  2b

-

Với a  0  b  3  x  1, y  2 hoặc x  1, y  4

-

Với a  2b  5b  9  b  
2

3

a

6

5
 x  1 

6

3

, y  1 

5

hoặc x  1 

6

5

5
, y  1 

5

3
5

 x  y  xy  3

Bài 5. Giải hệ phương trình 

 x  1  y  1  4
H ớng dẫn

ĐK x  1, y  1, xy  0

 x  y  xy  3

Hệ  

 x  y  2  2 ( x  1)( y  1)  16

 x  y  xy  3



 x  y  2 x  y  xy  1  14

Đặt x  y  a, xy  b . a  2, b  0, a 2  4b2 ta được hệ pt


a  3  b
a  b  3
a  3  b




 2
2

2
a  2 a  b  1  14
2 b  b  4  11  b
3b  26b  105  0



b  3  x  3


(thỏa mãn đk)
a  6  y  3

5
 2
2
8( x  y )  4 xy  ( x  y ) 2  13

Bài 6. Giải hệ phương trình: 
I 
1
2 x 
1

x y

H ớng dẫn
Phân tích: đây thật sự là một bài toán khồng hề dễ. hãy đặt mình vào hoàn cảnh mà bạn gặp bài toán này
khi chưa biết tới pp đặt ẩn phụ. Mấu chốt của bài toán này là nhìn ra

/>
Trang 9


p

n

n

p

n p

p

n2

Bài toán trở nên khá đơn giản sau khi ta đã có thể xác định được ẩn phụ. Tuy nhiên tôi muốn nói về cách
nghĩ ra chúng. Việc xuất hiên
đã khiến ta nghĩ tới việc tạo ra bình phương tổng. Tuy
nhiên hệ số 5 của hạng tử

giúp các phân tích thành tổng và hiệu bình phương một cách tự nhiên.

ĐK x  y  0
 
1 
2
 3( x  y ) 2  13

5 ( x  y ) 
2
(
x

y
)
 

(I )  
 ( x  y )  1   x  y  1
 
x  y 


1

,a 2
1
2
a  x  y 
x y
Đặt : 
 a 2   x  y  
 2 thay vào ta được hệ cơ bản.
2
x

y



b  x  y

5
9

2
2

5  a  2   3b  13 a   , b 

4
4 thay ngược lại ta sẽ tìm được nghiệm

a

b

1



a  2, b  1
2

 y  x  xy  6 y  1  0 (1)
Bài 7. Giải hệ phương trình  3
2
2


 y x  8 y  x y  x  0 (2)
Lời Gi i :
Lấy (2) trừ (1) ta có :
xy( y 2  x  1)  (3 y  1) 2 (3)

(1)  y 2  x  xy  6 y  1  0 (4)

u  y 2  x
Đặt : 
v  xy
Thay vào (3) và (4) ta có hệ:
v(u  1)  (3 y  1) 2

u  v  6 y  1
v(6 y  v  2)  (3 y  1) 2

u  6 y  1  v
v 2  2(3 y  1)v  (3 y  1) 2  0

u  6 y  1  v

(v  3 y  1)2  0

u  6 y  1  v
2
v  3 y  1  xy  3 y  1
(3 y  y ) y  3 y  1

 2


2
u  3 y
 y  x  3y
 x  3 y  y

 y 3  3 y 2  3 y  1  0
( y  1)3  0
y 1





2
2
 x  3 y  y
 x  3 y  y
x  2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là : ( x; y)  (2;1)

/>
Trang 10


p

n

n

p

n p

p

n2

Nhận xét:
* Bài này thật sự là 1 thử thách khó khăn với bất kì người nào lúc mới làm theo phương pháp đặt ẩn phụ.
Điều đặc biệt của bài này đó là VP của cả (1) và (2) đều bằng 0. Đây là một dấu hiệu khá phổ biến và
thường ta sẽ phải nhân (1) với 1 hằng số nào đó sau đó cộng hoặc trừ cho 2 để tạo thành nhân tử. Trong
trường hợp này thì rất may mắn cho ta là hệ số tự do cần nhân đó là 1. Do dó ta sẽ trừ hoặc cộng chúng
lại. trong trường hợp này thì việc trừ giúp ta giải quyết vấn đề
* Điều đặc biệt thứ 2 trong bài toán này đó là việc đặt ẩn không hoàn toàn. Đó là sau bước thay (3) vào
(4). Lúc này ta đã coi y như là tham số việc làm như thế giúp ta xử lí đẹp bài toán hơn. Như đã nói ở trên
việc đặt ẩn phụ giúp ta giải quyết tốt những bài toán với tham số, số bất kì dù cho kết quả không thật sự
đẹp. việc coi y như là tham số cũng là 1 điều cần lưu ý khi giải toán.

 x6  y 3  15 y  14  3(2 y 2  x 2 ) (1)
Bài 8. Giải hệ phương trình 
(2)
4 xy  11x  6 y  13  0
Lời gi i
Từ phương trình (1) ta có:
x 6  y 3  15 y  14  3(2 y 2  x 2 )
 x 6  3x 2  y 3  6 y 2  15 y  14
Đặt g  y   y3  6 y 2  15 y  14  g '  y   3 y 2  12 y  15

 g ''  y   6 y  12  0  y  2

 g  y    y  2   3  y  2 
3

a  x 2 (a  0)
Đặt : 
y  b  2
Ta được:
(1)  a 3  3a  b3  3b
 (a  b)(a 2  ab  b 2 )  3(a  b)  0
 (a  b)(a 2  ab  b 2  3)  0 

Ta có :
2

b  3b2

a 2  ab  b 2  3   a   
 3  0, a, b
2
4


Do đó
(*)  a  b  0  a  b  y  x 2  2

Thay y  x 2  2 vào (2) ta được :

4 x( x 2  2)  11x  6( x 2  2)  15  0  4 x3  6 x 2  3 x  1  0
 ( x  1)(4 x 2  2 x  1)  0
 4 x 2  2 x  1  0 (VN )


 x  1
Với x  1  y  1 thử lại ta thấy thỏa mãn hệ
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : ( x; y)  (1; 1)
4
2
2

x  4x  y  4 y  2
Bài 9. Giải hệ phương trình:  2
2

 x y  2 x  6 y  23

/>
Trang 11


p

n

n

p

n p

p

n2

Lời gi i
Biến đổi hệ phương trình đưa về dạng :
2
2
2

( x  2)  ( y  2)  10
 2
2

( x  2) ( y  2)  4( x  2)  4( y  2)  19
u  x 2  2
(u  2)
Đặt : 
v  y  2
Ta có được :

u 2  v 2  10
(u  v)2  2uv  10 (1)


uv  4(u  v)  19
uv  4(u  v)  19 (2)
Thay (2) vào (1) ta được :

 u  v   2 19  4(u  v)  10
2
  u  v   8(u  v)  48  0

2

u  v  4
u  v  12

2
Xét tới điều kiện (u  v)  4uv ta được :

 uv  3
 uv  67

v  4  u
u  v  4
 2

uv  3
u  4u  3  0
v  4  u

u  1 (loai ) hoac u  3 (thoa)
u  3

v  1
Với u  3; v  1 ta được :

 x2  2  3
 x  1


y  3

y  2 1
Vậy hệ có nghiệm : ( x; y)  (1;3); (1;3)

 x 2  y 2  2( x  y )  7
Bài 10. Giải hệ phương trình 
 y ( y  2 x)  2 x  10
( x  1)2  ( y  1) 2  9

HPT  
.
2
2

( y  x)  ( x  1)  9

Đặt a  x  1, b  y  1  b  a  y  x ta được hệ
 a2  b2  (b  a)2  a 2  a 2  2ab  a  0 hoặc a  2b

Với a  0  b  3  x  1, y  2 hoặc x  1, y  4
Với a  2b  5b2  9  b  

 x  1 

3
a
5

6
5

6
3
6
3
hoặc x  1 
, y  1 
, y  1 
5
5
5
5

/>
Trang 12


p

n

n

p

n p

p

n2

 x  y  xy  3
Bài 11. (A – 2006) Giải hệ phương trình: 
 x  1  y  1  4
ĐK x  1, y  1, xy  0 . Bình phương 2 vế của PT(2) ta được



 x  y  xy  3
 x  y  xy  3

Hệ  
 x  y  2  2 ( x  1)( y  1)  16
 x  y  2 x  y  xy  1  14


Đặt x  y  a,

xy  b . a  2, b  0, a 2  4b2
a  b  3
a  3  b
a  3  b


ta được hpt: 




2
2

2


3b  26b  105  0
a  2 a  b  1  14
2 b  b  4  11  b
b  3  x  3
(thỏa mãn đk)


a  6  y  3
 2 1
1
2
 x  2  y  2 2 7
x
y

Bài 12. Giải hệ phương trình 
 6  1  1
 x  y xy

1
 2

ĐK x, y, x  y  0
2


1

1

PT (1)   x    2   y    2  2 7
x
y


x y
1 
1

PT (2)  6 
 ( x  y)   x     y    6
xy
x 
y

1
1
Đặt a  x  , b  y 
x
y

a  3
a  b  6
Ta có hệ trở thành:  2


2
b  3


 a 2  b 2  2 7
3  5
Thay vào ta tìm được x  y 
2
2

3. Sử dụng phép chia làm xu t hi n đạ l ợn đặt ẩn phụ
2

 x  1  y ( y  x)  4 y
Bài 1. Giải hệ phương trình  2

( x  1)( y  x  2)  y

(1)
(2)

Lời giải
Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với

 x2  1
 yx4

 y
 2
 x  1 ( y  x  2)  1
 y
/>
Trang 13

p

Đặt u 

n

n

p

n p

p

n2

u  v  2
 (u  1; v  1)
v  y  x  2 ta có hệ 
uv  1

x2  1
,
y

 x2  1  y
( x  1; y  2)


Ta có hệ 
( x  2; y  5)
x  y  1
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm trên.
Bài 2. Giải hệ phương trình

1

x3 y 3

19 x3

y

xy 2

6x2

H ớng dẫn
Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm nên

1
x3
y
x2

HPT

a3

y

6

Bài 3. Giải hệ phương trình

3

y 1
x x

y

6

9 y 3 3x3 1

125

1
x

a

y

y 1
x x

6

19

3

1
x

19

y2
x

3ab

a.b

3

y

19

y
x

y, b

45 x 2 y

0

6 y2

75 x

H ớng dẫn
Nhận thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ nên:

27 x
HPT

a3

3

9

15

3x 2
y

b3

9

a.b a

b

125
y3
5x
y2

0
6

3x
3x.

5
y

3

5
3x
y

3

9
5
y

6

6

Bài 4. Giải hệ phương trình

x3 2

3y

x y3

2

1
3
H ớng dẫn

Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm nên
1
2 3y
2 3y t3
1
x3
t
HPT
3
3
x
y
3t 2
y3 2
x

2 4
2
4
2

2  x y  2 xy  y  1  2(3  2  x) y
Bài 5. Giải hệ phương trình 
2

 x y x 3
H ớng dẫn
2
Xét y  0 chia 2 vế cho y ta được phương trình mới như sau

/>
Trang 14


p

n

n

p

n p

p

n2

2
2x 1
 x2  2  4  1  6  2 2  2 x
2
y
y
y
2



1 
1 
 2  x  2    x  2  1  6  2 2
y 
y 



1
 t . Ta được: 2t  t 2  1  6  2 2  t  3
2
y
1
1
Với t  3 . Ta có: x  2  3  y 2 
y
3 x

Đặt x 

Thay vào phương trình 2 ta được

x

1
x3
3 x
x  2  y  1

 x  4  2  y  

Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm là ( x; y), (2;1), (4  2;

2 1

2  1);(4  2; 

2  1)

 x( x  y  1)  3  0

Bài 6 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình 
5
( x  y)2  2  1  0

x


H ớng dẫn
1

 x  y  1  3. x  0

ĐK x  0 . Khi đó HPT  
2
( x  y ) 2  5.  1   1  0
 

 x

1
Đặt x  y  a,  b ta được hệ :
x
a  1  3b  0
a  3b  1

 2

2
2
2
a  5b  1  0
(3b  1)  5b  1  0
 a  2, b  1
x  y  1




a  1 , b  1
 x  2, y   3

2
2 
2

5
 2
3
2
 x  y  x y  xy  xy   4
Bài 7 (A – 2008) Giải hệ phương trình 
 x 4  y 2  xy (1  2 x)   5

4
H ớng dẫn

5
 2
2
( x  y )  xy ( x  y  1)   4
HPT  
( x 2  y ) 2  xy   5

4
2
x  y  a
Đặt 
ta được :

 xy  b
/>
Trang 15


p

n

n

p

n p

p

n2

5
5


a 2  a  ab  0
a  0, b  
a  b(a  1)   4


4




5
2
5
1
a   , b   3
a 2  b  
b    a

4

4

2
2

3  5
25  


Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = 1;   ;  3 ;  3
 
2  4
16  




 y( x  7)  x  1  0

Bài 8. Giải hệ phương trình 
2
2
2
21y  x  ( xy  1)
H ớng dẫn
Nhận thấy x=0, y=0 không là nghiệm nên ta chia PT1 cho y và chia PT2 cho y2 ta được

x 1

x  7  y  y  0
a  b  7  0
 y ( x  7)  x  1  0
x
1

 a, x   b ta được hệ 


2 . Đặt
2
2
2
2
2
2
y
y
21  a  b
21y  x  ( xy  1)

21  x   x  1 



y2 
y

Giải hệ trên bằng PP thế ta được nghiệm cần tìm.

 xy  x  1  7 y

Bài 9. (B – 2009 ) Giải hệ phương trình 

2 2
2
 x y  xy  1  13 y

.

H ớng dẫn
Lần lượt chia PT(1), PT(2) cho y; y và đặt ẩn phụ.
2

2
2

 x  y  xy  1  4 y
Bài 10. Giải hệ phương trình 
2
2


 y( x  y)  2 x  7 y  2

H ớng dẫn
Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ.

4. Đặt ẩn phụ dạng tổng hi u
Với cách đặt tổng – hiệu ta chỉ nên áp dụng cho các hệ mà có 2 phương trình chứa các hạng tử bậc 1, 2, 3,
1/2. Những hạng tử bậc quá cao hoặc quá thấp sẽ trở nên công kềnh hơn nếu áp dụng phương pháp này.
Và việc đặt ẩn phụ tổng hiệu không chỉ gò bó với cách đặt x  y  a, x  y  b mà theo từng bài toán cụ

 f   x  y    a
thể ta sẽ đặt các biểu thức có dạng tổng và dạng hiệu làm ẩn phụ 
như
 g   x  y    b

 x y a 
x  y  a
,
...........

x

y

b
x

y


b





/>
Trang 16


p

n

n

p

n p

p

n2

1
 2
2
3( x  y )  2 xy  ( x  y ) 2  4

Bài 1. Giải hệ phương trình 

2 x  1  3

x y
H ớng dẫn
2
2
Chú ý: Các biểu thức như x  y , xy, x, y đều biểu diễn được theo x+y, x-y nên trong các bài toán chỉ
thuần túy những yếu tố như vậy nên chọn phương pháp “đặt ẩn phụ dạng tổng hi ”

Viết lại hệ phương trình đã cho dưới dạng:
1

2
2
( x  y )  2( x  y )  ( x  y ) 2  4


( x  y )  ( x  y )  1  3

x y
Ta đặt :
1
 2
a 2b 2  2b 2  4b 2  1  0
a  2b 2  2  4

x

y


a



b



1
x  y  b
a  b  1  3
a  3   b
b


b
Ta thế vào và tìm nghiệm
6 x 2 y  2 y 3  35  0

Bài 2. Giải hệ phương trình  2
2

5 x  5 y  2 xy  5 x  13 y  0

H ớng dẫn
Nhận xét: Trong các hệ phương trình mà đề bài chưa định hướng cho chúng ta cách đặt ẩn phụ như hệ
này, ta có 2 hướng giải:
- Phân tích thành phương trình tích: pt (1) dễ thấy là không thể, pt (2) ta đưa về tam thức bậc 2 ẩn y với x
là tham số thì được ∆= 96 x2  48 x 169 cũng không thể phân tích thành tích được
- Trở về lưu ý trên thì bất cứ cặp số nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng và hiệu của nó nên:

35
 3 3
3
3

x  a  b
a  b  
8a  8b  35
Ta đặt : 
 HPT  
 2
8
2

y  a b
6a  9a  4b  4b  0
6a 2  9a  4b 2  4b  0

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có:
Lấy PT(1)-6PT(2) ta được:
(2a  3)3  (2b  2)3  0  2a  3  2b  2  2a  2b  5  0
Đến đây các bạn tự thay vào lại sẽ tìm được a, b => x, y.
2
2

 x  y  y  28
Bài 3. Giải hệ phương trình : 

 2 xy  x  3  x  y  x  y  3
H ớng dẫn

Cách 1: 1 cách rất tự nhiên ta đặt các căn thành các biến mới khi đó ta được:
/>
Trang 17


p

n

n

p

n p

p

n2

2 xy  x  3  a  2 xy  x  3  a 2
x  y  b  x  y  b 2  x  b 2  y
 x 2  2 xy  y 2  b 4
 x 2  y 2  x  3  a 2  b 4
 x 2  y 2  b 2  y  3  a 2  b 4
 x 2  y 2  y  a 2  b 4  b 2  3
2
2
a 2  b 4  b 2  3  28
 x  y  y  28




2
 2 xy  x  3  x  y  x  y  3
a  b  b  3
Đến đây chỉ cần sử dụng phương pháp rút - thế sẽ giải quyết được bài toán, nhưng công đoạn tính
toán tìm a, b khá công kềnh.

Cách 2: ta sẽ thử cách đặt tổng hiệu để xem bài toán có trở lên tính toán nhẹ nhàng hơn ? Do
phương trình 2 của hệ chứa

x

y nên ta sẽ đặt hiệu ở đây là

x

y.


a  b2
x

a  x  y

2
 
Ta đặt : 
2

b  x  y  b  0 
y  a b

2
2a 2  2b 4  2  a  b 2   102
a 2  a  56  b 4  b 2


 HPT   2 4
  a 2  a  b4  b2  6
a  b a  b2
 b2  b  3  2


 3  b2  b  3 
2

2
2


 2  

25  b 4  b 2  b 2  b  3

 25  b 4  b 2  5  b 2  b  2


b 4  b 2
25  b 4  b 2  25

  b  1 b  2 



 b  1 b2
  b  1 
 b  2  0  b 1
4
2
 25  b  b  25

b  1
Vậy ta có:  2
a  a  56

Đến đây các bạn tự giải tiếp.
Như vậy với cách đặt ẩn phụ tổng – hi u ta đưa được về bài toán với hệ mới dễ giải hơn rất nhiều đây
cũng là 1 ưu thế của phương pháp này khi bí cách làm hoặc cách đặt thông thường đưa về hệ khó giải.

1
5
 2
2
 1
2
 x  y  xy 
 x  y 4

Bài 4: Giải hệ phương trình sau 

 x  1  3  2

x y 2
H ớng dẫn
ĐKXĐ x+y≠0

/>
Trang 18


p

n

n

p

n p

p

n2

a  x  y
3
1
ab

Đặt 


 ab  3
2   x
2
x y
2
b  x  y  x  y


(1) Được viết lại thành:
3 x  y    x  y   4 
2

4

2

 x  y

2

7

2


2 
 3 x  y    x  y 
 7
x y


 3a 2  b 2  7
2

a  b  3
Hệ trở thành:  2
2
3a  b  9
Giải hệ ta được:a=0;b=3⇒x=y=1
Nhận xét: hệ này nếu chỉ đặt x+y=a; x-y=b thì cũng giải ra nhưng biểu thức sẽ cồng kềnh hơn. Hơn
nữa có chứa phân thức nên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ có chứa phân thức đó.
Đặt a=x-y;b=

k
 x  y rồi thay vào hệ trên rồi cân bằng hệ số để tìm k
x y

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Nguồn

/>
:

Hocmai.vn

Trang 19