CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN CHUYÊN đề PHƯƠNG TÍCH

Chuyên đề phương tích
Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề rất quen thuộc của tốn
hình học phẳng. Kiến thức dể hiểu, dể sử dụng. Nó giải quyết các bài hình học
phẳng là rất phong phú. Nhiều bài tốn tưởng như phức tạp lại có thể được giải
quyết gọn gàng nhờ sử dụng các tính chất có liên quan đến phương tích. Lời giải
các bài rất đệp. Bài viết này là một số tích lũy của tơi trong q trình dạy học và
có được nhờ tham khảo tài liệu của các thầy giáo, các đồng nghiệp thông qua các
hội thảo và các đợt tập huấn cho giáo viên chuyên toán.


Tóm tắt lý thuyết:

I.

Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
1.
Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường
thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó
MA.MB = MO 2 − R 2 = d 2 − R 2

2.

Định nghĩa. Giá trị không đổi

MA.MB = d 2 − R 2

trong định lý 1.1 được gọi là

phương tích của điểm M đối với đường trịn (O) và kí hiệu

P M /( O )

. Ta có:

PM / ( O ) = MA.MB = d 2 − R 2

3.
II.

1)
2)

Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P thì
khi và chỉ khi 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

PA.PB = PC .PD

Trục đẳng phương của hai đường tròn
Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các
điểm M có phương tích đối với hai đường trịn bằng nhau là một đường thẳng,
đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2).

Trục đẳng phương của hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm.
Nếu hai đường trịn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương
của chúng.
3)
Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M
vng góc với OI là trục đẳng phương của hai đường trịn.
4)
Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường trịn thì đường
thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường trịn.

5)
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường trịn thì 3 điểm đó thẳng
hàng.
III.
Tâm đẳng phương
Định lý 2.2 Cho 3 đường trịn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của
các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó
được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.


Ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương
Ứng dụng : Trục đẳng phương của hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối
tâm được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc.
Bài 1: Cho hình thang ABCD và điểm E nằm trên đáy nhỏ AB sao cho EC = ED.
Gọi I là tâm đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AED và J là tâm đường tròn (J)
ngoại tiếp tam giác BEC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng EF
⊥

IJ

Lời giải :
Gọi M là giao điểm của AC và (I) và N là giao điểm của BD và (J).
EC = ED =>
=>

·
·
EDC
= ECD

·
·
DMC
= CND

mà

·
EDC
= ·AED = ·AMD

và

·
·
·
ECD
= BEC
= BNC

=> tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn


=>

FC.FM = FD.FN

mà

FA FB

=
FC FD

FA.FM = FB.FN

=>

=>

PF /( I ) = PF /( J )

mà

PE /( I ) = PE /( J )

Do đó đường thẳng EF là trục đẳng phương của (I) và (J) suy ra

EF ⊥ IJ

ABC BC < AC
Bài 2: Cho tam giác
(
) có các đường cao AD, BE, CF, trực tâm
M
AB
AB
H. Gọi
là trung điểm của
,. Giả sử đường thẳng DE cắt đường thẳng
IH ⊥ CM

tại I. Chứng minh rằng
.

Lời giải :

I , F , B, A

AD, BE, CF đồng quy nên
Do đó ta có

IM .IF = IA.IB

là hàng điểm điều hòa (

( IFBA) = −1

.

Xét hai đường tròn ngoại tiếp tam giác

CFM

và ngoại tiếp tứ giác
CM
hai đường tròn này đều nằm trên đường thẳng
.
IM .IF = IA.IB

).

HD.HA = HF .HC

Nhưng
và
của hai đường trịn nói trên.

nên

H, I

ABDE

, tâm của

nằm trên trục đẳng phương


Do đó ta có

IH ⊥ CM

. (ĐPCM)

Bài 3 (India, 1995): Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của
DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm
(I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng
AQ ⊥ OI

Lời giải :

Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)
·AMP = PGD
·

·
·
PGD
= PCB

·AMP = PCB
·

Ta có
và
(đồng vị), suy ra
, suy ra tứ giác
BMPC nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có tứ giác PNCB nội tiếp.

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra

Suy ra

AM . AB = AN . AC

. Mà

AD AE
=
AB AC

(Định lý Thalet)

AM . AD = AN . AE

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra

AQ ⊥ OI

.


Ứng dụng : Ba điểm có cùng phương tích đối với hai đường trịn thì thẳng hàng
Bài 4: Cho điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB cố định. Đường tròn (O1) tiếp xúc
với đường thẳng AB tại A, đường tròn (O2) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B.
Đường trịn (c1) tâm O1 bán kính O1B cắt đường trịn (c2) tâm O2 bán kính O2A tại
M và N. Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng.
Lời giải :

PM /(O1 ) = O1M 2 − O1 A2 = O1B 2 − O1 A2 = AB 2
PM /(O2 ) = O2 M 2 − O2 B 2 = O2 A2 − O2 B 2 = AB 2

tương tự ta có
=>

PM /(O1 ) = PM /(O2 )

tương tự ta có

PN /( O1 ) = PN /(O2 )
PI /( O1 ) = PI /( O2 )

Mà
=> ba điểm I, M, N nằm trên trục đẳng phương của hai đường
tròn (O1) và (O2) => ba điểm I, M, N thẳng hàng

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn . Gọi E, F lần lượt là giao điểm của
các cặp đường thẳng AC và BD, AB và CD tròn. Chứng minh rằng : điểm F, trực
tâm tam giác AED và trực tâm tam giác BEC nằm trên một đường thẳng .


Lời giải :
Gọi A’ là hình chiếu của A lên BD và D’ lần là hình chiếu của D lên AC.
Gọi H là trực tâm tam giác AED và K là trực tâm tam giác BEC
Tứ giác ADA’D’ nội tiếp đường tròn suy ra

HA.HA ' = HD.HD '

(1).

Gọi (c) và (c’) lần lượt là các đường trịn đường kính AB và DC thì
(1) =>

PH /( c ) = PH /(c ')

(2)

PK /( c ) = PK /( c ')

Tương tự ta có

(3).

Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn suy ra

FA.FB = FC.FD

=>

PF /( c ) = PF /( c ')

(4)

Từ (2), (3), (4) suy ra H, K, F nằm trên trục đẳng phương của (c) và (c’)
suy ra H, K, F thẳng hàng.

Ứng dụng : Cho ba đường trịn có tâm không thẳng hàng. Ba trục đẳng phương
của các cặp đường tròn trong ba đường tròn đồng quy tại tâm đẳng phương của ba
đường trịn đó.


Bài 6 (IMO 95/1) : Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó).
Các đường trịn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC
tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường trịn đường
kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường trịn đường kính BD tại điểm thứ 2
là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui.
Lời giải :

P

X

N
M

Q

A

B

Z

C

D

Y

Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh
.
Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra
Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra

Q ≡ Q′

PM .PC = PQ.PZ
PQ′.PZ = PN .PB

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường trịn đường kính AC và đường trịn
đường kính BD nên
Suy ra

PN .PB = PX .PY = PM .PC

PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′

Vậy XY, AM và DN đồng quy.


Bài 7: Hai đường tròn (Ca ),( Cb) tiếp xúc trong với đường tròn (C) theo thứ tự tại
A, B và hai đường trịn đó tiếp xúc ngồi tại điểm T. Gọi S là giao điểm của đường
tròn (C) với tiếp tuyến chung qua T của hai đường tròn (Ca ),( Cb). C là giao điểm
thứ hai của đường thẳng SA với đường tròn (Ca ), D là giao điểm thư hai của
đường thẳng SB với đường tròn ( Cb). Đường thẳng AB cắt đườngtròn (Ca ) tại
điểm E, cắt đường tròn ( Cb) tại điểm F. Chứng minh rằng ST, CE, DF đồng quy.

Lời giải : Ta có

ST 2 = SA.SC = SB.SD

·
·
·
·
SDC
= SAB
SCD
= SBA

,

=> Tứ giác ABDC nội tiếp, suy ra

.

Gọi xx’ là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại S.
Khi đó:
Gọi

·
·
xSB
= SAB

r , r1 , r2

Phép vị tự
thành E

=>

·
·
xSB
= SDC

=> xx’ // DC

lần lượt là bán kính các đường tròn (C), (Ca ),( Cb)
r
V ( A, 1 )

r

biến đường tròn (C) thành (Ca ) ,biến xx’ thành CD, biến B

Do đó CD là tiếp tuyến của đường trịn (Ca) và CE // SB.
Tương tự, ta cũng có: CD là tiếp tuyến của đường tròn ( Cb) và DF // SA .


Ta có:

·
·
ECD
= DFB

( vì cùng bằng

·
CAB

).

Vậy tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn (C’).
Ta có : ST là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ca ) và ( Cb) .
CE là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ca ) và ( C’) .
DF là trục đẳng phương của hai đường tròn (C’ ) và ( Cb) .
Do vậy, các đường thẳng ST, CE, DF đồng quy

Bài 8: Cho đường trịn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường
thẳng qua H cắt đường tròn tại C. Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC và (O)

lần lượt tại D, E và F.
a)
b)

Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy.
Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D,
E, Q thẳng hàng.
Lời giải :

C
P
D

E
Q
A

O

H

B

M


2

CA.CD = CH = CB.CE

a) Ta có
, suy ra ADEB nội tiếp. Xét các đường tròn (ADEB),
(O) và đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng
phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy.
b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và (O) nên
OD ⊥ DE

OC ⊥ PQ

. Ta cũng dễ thấy

.

Hơn nữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường trịn
đường kính CH. Suy ra PQ đi qua H.
Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vng góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E,
P, Q thẳng hang.

Đường trịn điểm
Ta có thể xem một điểm là đường trịn với tâm tại điểm đó và bán kính bằng khơng
để xét phương tích, trục đẳng phương.
Bài 9:. Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Qua
A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE
tại P và Q. Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của ABC.

Lời giải :
Gọi (M) là đường trịn đường kính BC.
2

QA = QB.QE

Ta thấy rằng tam giác ABQ vng tại A có AE là đường cao =>
nên Q thuộc trục đẳng phương của đường tròn điểm A và đường tròn (M).


Tương tự với điểm P.
Suy ra PQ chính là trục đẳng phương của đường trịn điểm A và (M).
Do đó PQ vng góc với AM. Ta có đpcm.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O1 , R1 ), (O2 , R2 ) tiếp xúc ngoài tại M với R1 < R .
Điểm A di động trên (O2 ) sao cho A, O1 , O2 không thẳng hàng. Kẻ các tiếp
tuyến AB, AC đến (O1). Các đường thẳng CM, BM cắt lại (O2) ở F, E. Giả sử EF
cắt tiếp tuyến tại A của (O2) tại D. Chứng minh rằng D di chuyển trên đường cố
định. (Đề thi HSGQG 2003 bảng A)
Lời giải :

Ta thấy rằng hai tam giác cân MO1B, MO2E đồng dạng với nhau nên
· B = MO
· E
MO
1
2

=>

·ABM = EAM
·
2

EA = EM .EB

=> hai tam giác ABE và MAE đồng dạng với nhau =>
Suy ra E có cùng phương tích đến (O1 ) và đường trịn điểm A.
ương tự với điểm F.
Do đó, EF là trục đẳng phương của (O1) và đường trịn điểm A.
Ta cũng có tiếp tuyến tại A của (O2 ) là trục đẳng phương (O2 ) và đường tròn điểm
A.
Suy ra giao điểm D của hai đường trên chính là tâm đẳng phương của đường tròn
điểm A và (O1 ), (O2 ) hay D thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2) cố định. Ta
có đpcm.


Bài 11: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn không cân cân (không nằm
trên trung trực của các cạnh). Tiếp tuyến tại M của tam giác MBC cắt BC ở X.
Tương tự xác định các điểm Y và Z. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.
Lời giải :

2

XM = XB. XC

Theo tính chất phương tích thì
nên X thuộc trục đẳng phương của
đường tròn điểm M và đường tròn (ABC).
Tương tự với Y và Z. Suy ra X, Y, Z cùng thuộc trục đẳng phương của đường tròn
điểm M Và đường tròn (ABC) nên chúng thẳng hàng.
Bài 12: Cho điểm A nằm ngoài (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O). Lấy điểm D
thuộc đoạn BC. M là trung điểm của AD. Đường trịn đường kính AD cắt (O) ở P,
Q. Chứng minh rằng MP, MQ là 2 tiếp tuyến của (O).
Lời giải :

Do M thuộc trục đẳng phương của đường tròn điểm A và (O) nên

MA2 = OM 2 − R 2

MP 2 = OM 2 − R 2 = OM 2 − OP 2

Hơn nữa MP = MA nên
.
Theo định lí Pythagores thì tam giác OMP vng tại P nên ta suy ra MP chính là
tiếp tuyến kẻ từ M của đường trịn (O). Tương tự với đường thẳng MQ.
Ta có đpcm.
Một số bài tốn đơn giản khác về phương tích
Bài 13: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay
quanh A, cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BMN thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải :

A
M

C
B

I

O
N

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.

Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có:
P A / ( I ) = AC. AB = AM . AN = P A / ( O )

AC =

(khơng đổi vì A, (O) cố định). Suy ra

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định.

PA /( O)
AB


Bài 14: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ
điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và
D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải :

K

H
A

O

B

I

Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K).
Gọi M là giao điểm của CD và AB.
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có:
MH .MI = MC.MD = MA.MB

⇔

( MB + BH ) ( MB + BI ) = MB ( MB + BA)
( MB + BH ) ( MB − BH ) = MB + MB.BA

⇔

MB − BH = MB + MB.BA

⇔

BH 2
BM =
BA

⇔

2

2

2

2

Vì A, B, H cố định suy ra M cố định.

Bài 15: (Chọn đội tuyển PTNK 2008): Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và
B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A


A′B. A′C

lên d thì
âm và khơng đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. Gọi N là
hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố
định.
Lời giải :
A

N
I

P
M

B

A'

C

D
H

K

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và
MN. Ta thấy O chính là trung điểm của AA’.
Gọi D và P là giao điểm của AA’ với (ABC) và MN.
2

Dễ thấy

AM . AB = AA′ = AN . AC

⇒ ·AMN = ·ACB

Nên

·AMN = ·ADB

Do đó ta có

Mà

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp.

·ADB = ·ACB

Suy ra MPDB nội tiếp.

AP. AD = AM . AB = AA′

2

Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định.
Gọi H là hình chiếu của K trên AA’.


AP. AH = AI . AK = IN 2 =

Ta có

1
AA′2
4

Mà A, P, A’ cố định suy ra H cố định.
Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vng góc với AA’

Bài tập
1. Cho đường trịn (O) có hai đường kính AB, CD. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt
AC tại E, DE cắt (O) lần thứ hai tại F. Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng
quy.
2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB,
đường thẳng d đi qua D và vuông góc với AB. H là một điểm thay đổi trên d.
AH và BH cắt (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một
điểm cố định.
3. Cho tam giác ABC và đường cao AH thỏa AD = BC. Gọi H là trưc tâm tam
giác, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Chứng minh rằng HN =
HM.
4. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi H, K lần
lượt là trực tâm các tam giác OAD và OBC; M, N lần lượt là trung điểm của

MN ⊥ HK

AB và CD. Chứng minh rằng
.
5. (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA,
CA, AB lần lượt tại D, E, F. X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho
đường tròn nội tiếp tam giác XBC cũng tiếp xúc với BD tại D, và tiếp xúc
với XB, XC lần lượt tại Y, Z. Chứng minh rằng EF, YZ và BC đồng quy.
6. (USAMO 1997) Cho tam giác ABC. Về phía ngồi tam giác dựng các tam
giác cân DBC, EAC, FAB có các đỉnh lần lượt là D, E, F. Chứng minh rằng
các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vng góc với EF, FD và DE đồng
quy.


7. F là điểm trên cạnh đáy AB của hình thang ABCD sao cho DF = CF. E là
giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi (O1), (O2) lần lượt là đường
EF ⊥ O1O2

tròn ngoại tiếp các tam giác ADF và BCF. Chứng minh răng
.
8. Cho tam giác ABC. Dựng hình vng DEFG nội có các đỉnh D, E thuộc
cạnh BC, F, G lần lượt thuộc AC và AB. Gọi dA là trục đẳng phương của hai
đường tròn (ABD) và (ACE). Các đường thẳng dA, dB được xác định tương
tự. Chứng minh rằng dA, dB, dC đồng quy.
9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC, M’ là giao
điểm của AM và (O). Tiếp tuyến tại M cắt đường thẳng qua M vng góc
với AO tại X. Y, Z được xác định tương tự. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng
hàng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề

hình học 10
[2] Viktor Prasolov, Problems in plane and solid geometry, vol.1: Plane geometry.
[3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh
Sơn, Lê Bá
Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn Hình học 10, NXB Giáo dục, 2009.