CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN đa THỨC HAI BIẾN

ĐA THỨC HAI BIẾN

A - MỞ ĐẦU

Đa thức là một nội dung rất quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng và được bắt
đầu giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp trung học cơ sở.
Các bài toán về đa thức thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,
Olympic quốc tế và luôn được đánh giá là bài tốn khó.
Hiện nay, đa thức đã được trình bày ở mức độ hệ thống, các bài tập về đa thức đã được
phân loại và khái quát một cách tương đối chi tiết theo các tiêu chí cụ thể. Tài liệu về
đa thức tuy có nhiều nhưng thường chỉ dừng lại ở phân loại theo dạng toán như:
Nghiên cứu tính chất về các hệ số của đa thức, tính chất về nghiệm của nó hoặc những
bài tốn về đa thức nguyên, đa thức bất khả quy.
Đa thức hai biến cũng được đề cập, nhưng khơng có nhiều tài liệu và bài toán về đa
thức hai biến.
Với mong muốn cùng chia sẻ, tìm hiểu và khảo sát sâu hơn các đặc trưng đại số và số
học của đa thức hai biến, tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ này để bạn bè, đồng nghiệp
tham gia, trao đổi góp phần hoàn thiện hơn về đa thức hai biến.


B - NỘI DUNG

Ta xét hàm số

của hai biến số thực

1. Định nghĩa1:
thực
với
và

là một đa thức hai biến số
nếu tồn tại họ các số
sao cho chỉ có hữu hạn số

Tập hợp các đa thức
nghĩa về bậc của

.

như trên ký hiệu là

và ta có định

:

2. Định nghĩa 2: Đa thức
nó khơng thay đổi khi đổi chỗ
.
3. Định nghĩa 3: Giả sử
ít nhất một cặp số
đa thức thuần nhất bậc

được gọi là đối xứng, nếu
và

và
nếu

nghĩa là

;

với
gọi là

. Khi đó
.

4. Định lý: Hai khẳng định sau là tương đương
i)

là đa thức thuần nhất bậc

ii) Tồn tại

.

số thực không đồng thời bằng 0
sao cho
;

Chứng minh
dễ thấy
. Ta có

.


Mà theo giả thiết

Với mỗi
cố định, mỗi vế của (1) là các đa thức của biến số
suy ra các hệ số tương ứng bằng nhau.

ta

So sánh hệ số của

(đpcm)
5. Định lý Bơ du cho đa thức thuần nhất.
Giả sử
đồng thời bằng
nhất bậc

là đa thức thuần nhất bậc
thỏa mãn
là
sao cho

(nếu

và
là hai số thực khơng
. Khi đó tồn tại một đa thức thuần

)

Chứng minh
Do vai trò của

là như nhau, giả sử

Chú ý đa thức
là đa thức của biến
với bậc nhỏ hơn hoặc bằng
.
Theo định lý Bơdu cho đa thức một biến số, tồn tại một đa thức bậc không vượt quá
sao
cho:
.
Mà
Thay vào ta có


với
,
Bài 1: ( IMO -1975)
Cho
bậc

tìm tất cả các đa thức
thỏa mãn.

thuần nhất

1)
2)
Giải
Nếu

thì

Nếu
bài. Từ 2) cho

, giả sử

là đa thức thuần nhất bậc

thỏa mãn đề

Theo định lý Bơdu đối với đa thức thuần nhất hai biến thì tồn tại đa thức thuần nhất
bậc
thỏa mãn
+)
+)

là đa thức thuần nhất bậc
2)

thỏa mãn điều kiên 1),


Nếu
Nếu
là đa thức thuần nhất bậc

với
thỏa mãn

và

1), 2).
Lập luận tương tự như

ta được
hoặc

Cứ như vậy ta được

(1)

Thử lại trực tiếp đk 1), 2) thỏa mãn. Vậy
Ta

cũng

xác định bởi (1)

có

và
khơng thỏa mãn điều kiện 1), 2)

. Nhưng
như
Bài 2 : Tìm tất cả các đa thức

thỏa mãn

Giải
Từ

(1)

suy

Giả sử

ra

là đa thức thỏa mãn đầu bài.

Với

cố định, ta xét đa thức một biến

.

nhận một giá trị tại vô số điểm, suy ra
với
Thử lại với
đa thức thỏa mãn đề bài do
Bài 3: (VMO -2011)

tùy ý,

là một

Cho

là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
không thể viết dưới dạng
trong đó
và
hệ số thực, khác đa thức hằng.

là các đa thức với

Giải
Nhận xét
tích được.

thì

khơng thể phân

Giả sử tồn tại các đa thức
,

và
sao cho

thỏa mãn

(*).
, từ giả thiết có
và
Tồn

Với

tại

,

cố định ta có
(1)
(2),

trong đó
Thay (1), (2) vào (*)

Hay
(**)
Cho

:
(3)

Nếu

và

+) Cả hai đa thức
(vô lý)
+) Một trong hai đa thức

đều lớn hơn 1. Xảy ra các trường hợp sau

và

đều đồng nhất bằng 0, suy ra
và

có bậc

.


Giả sử
, khi đó bậc của hạng tử cao nhất của đa
thức ở vế phải của (3) là 1, còn vế trái của (3) là
(vô lý).
Do vậy trong hai số
.
Nếu

và

phải có 1 số nhỏ hơn hoặc bằng

. Giả sử

từ (3) suy ra

nên

vơ lý vì
.

Nếu

từ (3) suy ra

nên
(vì
+)

;
suy ra
lý). Vậy
Sử

dụng

(vơ
là đa thức bất khả quy trên
kết

quả:

Đa

thức

một

.

biến

Bài 4:
Cho

và

thỏa mãn
.

Chứng minh rằng, tồn tại đa thức
Giải

sao cho


Nếu

với

cố

định:

nên

là đa
và

Mà

thức hằng, với

khi đó
thỏa mãn đầu bài.

Nếu
của
Giả

. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp theo số bậc
sử

bài

toán

đúng

với

mọi

đa

thức

(nghĩa là
đa
tồn

thỏa mãn có
thức

tại

đa

sao
thức
.

sao

Thật vậy, do

cho
thì

cho
tồn tại

sao cho
;
Ta chứng minh

thỏa mãn điều kiện như

+)

Với

cố định, ta có
trong đó bậc của
suy

suy ra
cố định,

theo biến

bé hơn bậc

.

ra

chia hết cho

với


mà bậc của
bậc

theo biến

nhỏ hơn

hay
chia hết
bé hơn bậc

, mà bậc của

theo biến

nên
(

.

+)

suy

ra

nên

chia hết

hay

chia hết

Với

cố định, suy ra

chia hết
với

+

thỏa mãn giả thiết quy nạp, suy ra tồn tại

Xét đa thức
Khi đó
Bài 5: (Chọn đội tuyển VN - 2008)

xác định

mà


Hãy xác định tất cả các số nguyên dương
thực
và
thì

sao cho tồn tại các đa thức với hệ số
thỏa mãn: Với mọi số thực
mà

Giải
Với

, xét hai trường hợp

Nếu

chẵn:

;
hoặc

Ta tìm
điều kiện

sao cho các đa thức

thỏa mãn hai

Xét đa thức một biến
(1)
Giả
Từ

sử

và
(1)

suy

ra

Mà
,

suy

ra
;

Nhưng theo điều kiện đầu bài thì
có thể
trong trường hợp này khơng thỏa mãn.
Hoặc từ (2) ta có thể suy ra

(2)
thỏa mãn
.
. Mâu thuẫn này cho thấy giá trị


(vô lý)
nên

chẵn không thỏa mãn đề bài

Nếu

lẻ:

Xác

định

thỏa

mãn

Đặt
+)

2 (*)

+)
mà m lẻ, suy ra
Từ (*), suy ra

lẻ.

và
Đa thức

nhất là

, bậc đạt giá trị nhỏ

,
.

Ta chứng minh

là giá trị thỏa mãn đề bài.

Xét

,

.
Vậy

là giá trị cần tìm.

Bài 6 : Cho đa thức

khơng phải là đa thức hằng, thỏa mãn

Chứng minh rằng đa thức

chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức
;

.

Giải
Nếu
Nếu
khơng chi hết cho

thì bài tốn ln đúng.
,

giả
, với
và

sử
và đa thức

(1).


Ta

có

(2)
Từ

(2)

cho

ta

được

(3)
Giả sử

thì với

thay vào (2) ta được
(4)

Nếu

có

mà

thì

mà

nên

mâu thuẫn với (1)
Nếu

mà

Nên

thì

từ

(4)

suy

ra


mâu thuẫn (1)
Chứng tỏ giả sử sai , do đó

từ (3) ta được

Do đó

.

Vì

khác

đa

thức

hằng

nên

.
Suy ra

chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức

Bài 7. Cho

và

là đa thức hai biến thỏa mãn
. Chứng minh rằng tồn tại đa thức

sao cho

Giải
+) Ta cố định
, hệ số chứa

, xét đa thức

biến

.

Đặt

)=0

có nghiệm
có nghiệm

là đa thức biến

, hệ số phụ thuộc

Tương tự ta cố định
biến
hệ số còn chứa

Xét đa thức
, ở đây

là đa thức biến

, hệ số phụ thuộc

.

, với

là đa thức của


đúng với vơ hạn giá trị
và
đúng
Bài 8. Tìm tất cả các đa thức
nhất đa thức

sao cho tồn tại tương ứng duy
thỏa mãn.

và

là đa thức

đối xứng hai biến.
Giải:
là đa thức đối xứng hai biến nên
;
(1)
Với

thay

(1):

;

Giả sử
So sánh bậc hai vế của (2)

+ Nếu
(1)

,

(2)

mà
.

Vậy với

thì tồn tại duy nhất

+ Nếu
Từ

thỏa mãn bài toán.

(a là hằng số)
(2) :

(1)

;
Vậy
+ Nếu

tồn tại

thỏa mãn bài toán.


Giả sử
So sánh hệ số lũy thừa cao nhất hai vế của (2) ta được.
hoặc
+) Với
Vơ lý

(2)

+)Với
(2)
Đặt
(2)

suy

với

là hàm chẵn.

Do

Mà

vì

Với

đã

cho

tồn
, trong đó

Ta chứng minh
Xét

tại
là đa thức chứa tồn bậc chẵn.

khơng duy nhất trong trường hợp này, chẳng hạn
thỏa

mãn

ra

Xét

thỏa

+)Với

mãn

thì

xác định duy nhất.
Vậy

với

thì tồn tại duy nhất
thỏa mãn đề bài.
--------------------C. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục.
[2]. Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hồnh Phị, 2003, Tuyển tập các
bài dự tuyển Olynpic Tốn học quốc tế 1991 - 2001, NXB Giáo dục.
[3]. Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ, Các bài thi Olympic Tốn trung học phổ thơng
(1990 - 2006), NXB Giáo dục.
[4]. Titu Andresscu, Problem from the book, 2007.
[5]. Các nguồn tài liệu từ Internet: www.mathscope.org, www.mathlinks.org,
www.imo.org.yu.