Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LỜI NÓI ĐẦU
Trong Vật lý-Toán sinh viên mới làm quen với một số phương pháp
như: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải các bài toán
truyền sóng và truyền nhiệt thì việc chọn hệ toạ độ và tách các biến phụ thuộc
vào hình dạng của vật, nếu vật là có hình dạng trụ hoặc tròn thì ta giải bài
toán trong hệ toạ độ trụ sẽ dẫn đến phương pháp giải là đơn giản nhất. Khi
giải phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt có dạng hình tròn
hoặc hình trụ bằng phương pháp tách biến sẽ dẫn đến các phương trình vi
phân Bessel.
Quá trình học môn Vật lý-Toán sinh viên đã được làm quen với một số
hàm đặc biệt như: hàm Lagrăng, hàm Bessel… nhưng việc tìm hiểu sâu vào
tính chất, đặc điểm của các hàm này còn rất hạn chế vì thời gian ngắn. Quá
trình giải các bài toán bên cạnh tư duy vật lý còn đòi hỏi ở sinh viên kỹ năng
giải tích toán học đặc biệt là việc giải các phương trình vi phân, do đó việc
cũng cố và nâng cao kỹ năng toán học của sinh viên là rất quan trọng.
Vì những lí do trên tôi đã trọn đề tài: “ỨNG DỤNG HÀM BESSEL
GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG VÀ TRUYỀN NHIỆT”, hi vọng
khoá luận sẽ giúp đỡ sinh viên ngành Vật lý trong việc giải bài tập về phương
trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt.
Chúng ta có thể gặp các bài toán của phương trình truyền sóng và
truyền nhiệt trong không gian nhiều chiều, trong nội dung của một khóa luận
chúng tôi chỉ xin giới thiệu một số bài toán xét trong không gian hai chiều và
ba chiều.
Bằng những kiến thức về Vật lí-toán, Giải tích…bằng cách tìm tòi và
thu thập các tài liệu tôi đã hoàn thành khóa luận này với nội dung chính như
sau:

1


Chương I: Tổng quan hàm Bessel.

Chương II: Ứng dụng hàm Bessel giải phương trình truyền sóng
trong màng tròn (trụ).
Chương III: Ứng dụng hàm Bessel giải phương trình truyền nhiệt
trong màng tròn (trụ).
Kết luận chung.
Đây là giai đoạn đầu của người mới tập sự làm nghiên cứu khoa học
với kiến thức chưa được nhiều, vốn kinh nghiệm còn ít và quỹ thời gian có
hạn nên chắc chắn khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
được sự quan tâm, đóng góp ý kiến chủa các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên để khóa luận này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Tiến
Dũng đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, về phương pháp và tài liệu. Xin
chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý và bạn bè đã
giúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này.

Vinh, tháng 5 năm 2009
Tác giả
HOÀNG VĂN THỤY

2


Chơng I

Tổng quan Hàm Bessel

I- Phơng trình Bessel
Quá trình giải các bài toán tìm phơng trình truyền sóng và phơng trình
truyền nhiệt bằng phơng pháp tách biến đều đa ta đến bài toán giải các phơng
trình vi phân. Trong đó ta thờng gặp phơng trình vi phân dạng:

d
dy
(1.1)
L ( y ) = p ( x ) + q ( x ) y = r ( x ) y
dx
dx
với x [ a, b] .
Điều kiện biên ở mỗi điểm có dạng:

dy (a)


y
(
a
)
+

=0
1
2


dx

3 y (b) + 4 dy (b) = 0

dx

(1.2)

trong đó 1 , 2 , 3 , 4 là các hằng số độc lập của thoả nãm điều kiện:

12 + 22 0 và 32 + 42 0 .
Phơng trình (1.1) có chứa tham số . Quá trình đi tìm tham số để phơng

trình (1.1) có nghiệm không tầm thờng gọi là bài toán trị riêng hay bài toàn
Stum-Liouville.
Quá trình giải bài toán Stum-Liouville đa ta đến các hàm đặc biệt. Trong
đó có hàm Bessel. Trong giới hạn của khoá luận này chúng tôi chỉ xét các tính
chất và ứng dụng của hàm Bessel.
Xét bài toán Stum-Liouville.
(1.3)
+ = 0
với p(x) = 1, q(x)= 0, r(x) =1
điều kiện biên của bài toán :



=0

Trong hệ toạ độ cầu:
1 2
1


1
2
= 2 r

+
sin
+
r r r r 2 sin
r 2 sin 2 2
ký hiệu:
1

1 2
, =
sin

+


Sin
sin 2 2
thay vào biểu thức (1.3) ta đợc:

=

1 2 1
r
+ ,
r 2 r r r 2

Hàm ( r , , ) đợc tìm dới dạng tích của các hàm:

( r , , ) = R ( r ) Y ( , )

thay vào biểu thức (1.4) ta đợc:
1
1
= 2 ( r 2 R ' )' Y + 2 R , Y
r
r

3

(1.4)


Phơng trình (1.3) đợc viết lại:
1
1
= 2 (r 2 R ' ) ' Y + 2 R , Y + RY = 0
r
r

((r 2 R ' )' + r 2 R )Y = R , Y

Y
(r 2 R ' ) ' + r 2 R

= ,
R
Y

(1.5)

Vế trái của (1.5) chỉ phụ thuộc r, vế phải phụ thuộc vào , . Do đó để
(1.5) xảy ra thì cả hai vế của (1.5) đều bằng hằng số à .
, Y + àY = 0

Do đó: 1 2 ' '
(1.6)
à
r
R
+


R
=
0


r 2
r2


R
Đặt x = r và y =
phơng trình (1.7) đa về phơng trình:
x

(

)

1 '
2
y + y + (1 2 ) y = 0
x
x
''

với 2 = à

(1.7)

1
4

Phơng trình (1.7) gọi là phơng trình Bessel cấp .
II. Hàm Bessel.
Giải phơng trình Bessel:

1 '
2
y + y + (1 2 ) y = 0
x
x
''

(1.8)
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 2 ) y = 0 .
Giải phơng trình (1.8) ta dùng phơng pháp chuỗi luỹ thừa, nghiệm đợc tìm
dới dạng chuỗi luỹ thừa vô hạn:

y ( x ) = x (a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k + ...) với a0 0

(1.9)

Thay chuỗi vô hạn (1.9) vào phơng trình (1.8) ta đợc:

(

2

[

]

2 ) a0 x + ( + 1) 2 a1 x +1 +



{[

2

]

}

+ ( + k ) 2 .ak + ak 2 x + k = 0.
k =2

2

Chuỗi (1.10) chỉ bằng 0 x khi:

4

(1.10)


a0 ( 2 2 ) = 0

2
2
( + 1) a1 = 0



2
2
(
)

+
k


ak + a k 2 = 0

[

]

[

]

(1.11)

Với k = 2,3
Vì a 0 0 nên từ phơng trình đầu của hệ phơng trình (1.11) suy ra = .
Nếu = thì từ phơng trình sau của (1.11) ta đợc:
a1 = 0 và ak =

ak 2
k ( 2 + k )

Do đó các hệ số có chỉ số lẻ sẽ có giái trị bằng 0.
Ta đi tìm các hệ số chẵn ak với k =2n
(n=1,2,3..)

k = 2 (n = 1) a2 =
k = 4 (n = 2) a4 =

a0
2 ( + 1)1!
2

a2

a
a0
= 2 2
= 4
4(2 + 4)
2 ( + 2) 2! 2 ( + 1)( + 2) 2!

k = 6 ( n = 3) a 6 =

a4
a4
a0
=
= 6
6(2 + 6 )
2( + 3 ) 3!
2 ( + 1)( + 2 )( + 3 ) 3!


tổng quát với số hạng k =2n :

a0 .( 1)
= 2n
2 ( + 1)( + 2 )( + 3 )...( + n ) n!
n

a2 n
Nếu chọn:

a0 =

1
với ( ) là hàm Gama, thì ta đợc:
2 ( + 1)

n
(
1)
a2 n = 2 n+
( + 1)( + 2)( + 3 )...( + n ) n! ( + 1)
2

Theo tính chất của hàm Gamma:
( + 1)( + 2)( + 3 )...( + n ) n! ( + 1) = ( + n + 1)
do đó:

a2 n =

( 1) n
2 2 n + n! ( + n + 1)

Thay các giá trị a2n và a2n+1 vào chuỗi (1.9) ta nhận đợc nghiệm riêng của
phơng trình (1.8):

5


2 n +

( 1) x

2
J ( x ) =
n = 0 n! ( n + + 1)
n

J ( x ) gọi là hàm Bessel loại 1 cấp .

Nếu =
thay bằng -

nghiệm thứ 2 của phơng trình (1.8) đợc tìm bằng cách
2 n

( 1) . x

2
J ( x ) =
n = 0 n! ( n + 1)
Các giá trị của có thể nguyên hoặc không nguyên. Giá trị của cho ta
mối quan hệ của J ( x ) và J ( x )
Nếu nhận giá trị không nguyên, ta thấy rằng:
Khi x 0 thì: J ( x ) 0 và J ( x ) do đó J ( x ) và J ( x )
độc lập tuyến tính. Vì vậy nghiệm của phơng trình Bessel (1.8) là:
y ( x ) = C1 J ( x ) + C2 J ( x ) với C1, C2 là các hằng số tuỳ ý
Nếu là số nguyên, do tính chất tơng tự nhau của J ( x ) và J ( x ) nên ta
chỉ xét với là số nguyên dơng.
n

Khi này (- +n+1) nhận các giá trị âm với n < 1 , vì vậy:

( + n + 1) = với n = 0,1,2,-1
do đó n số hạng đầu tiên trong khai triển của hàm J ( x ) bằng 0
suy ra:



J ( x ) =
n =

( 1) n x

2 n

(1.12)

2
n! ( n + 1)

Nếu đặt l = n- thì ta có:

2 l +

x
(

1
)


2

J ( x ) =
l = 0 (l + )! ( l + 1)
+l

2 l +

x
(

1
)
.


hay
2
J ( x) =
= (1) J ( x)
( l + + 1) l!
l =0
nh vậy J ( x ) và J ( x ) phụ thuộc tuyến tính.
J ( x ) cos( ) J ( x )
Ta đa vào hàm: ( x ) =
gọi là hàm Bessel loại 2.
sin( )
Khi là số nguyên dơng k nào đó thì:
+l

6

J ( x ) cos( ) J ( x )
sin( )
khi này ( x ) là một nghiệm riêng của phơng trình (1.8) và độc lập tuyến tính
với J ( x ) . Do đó nghiệm của (1.8) trong trờng hợp nguyên dơng là:

( x ) = lim k

y(x)=C1 J (x)+C2 ( x ) với C1, C2 là các hằng số tuỳ ý.

III. Các tính chất của hàm Bessel
1. Tính chất truy hồi
J ' ( x ) = J 1 ( x )


J ( x ) ;
x

J ' ( x ) = J +1 ( x ) +


' ( x ) =
x x
1 ( ) x ( )


J ( x ) ;
x

(1.13.a)

' ( x ) =
x ) + ( x ) (1.13.b)
(
+1
x

2
2
J ( x ) J 1 ( x ) ;
x ) = ( x )
x (1.13.c)
(
+1
1 ( )
x
x
Chúng ta dễ dàng đi chứng minh các tính chất này.
Ví dụ đối với công thức (1.13.a) thì ta có:
n
(
d
d
1)
x 2 + 2 n
x J ( x ) =

=
dx

dx n=0 n! ( n + + 1) 2 + 2 n
n

(
1) (2 + 2n) x 2 + 2 n 1
=
2 + 2 n
n = 0 n! ( n + + 1)
J +1 ( x ) =

(

)

+ 2 n 1

(
1)
x

=x
= x J 1 ( x ) .

n = 0 n!( n + ) 2




[

]

d
x J ( x ) = x 1 J ( x ) + x J ' ( x )
dx

nên ta có: x J 1 ( x ) = x 1 J ( x ) + x J ' ( x )

J 1 ( x ) = J ( x ) + J ' ( x )
x

J' ( x ) = J 1 ( x ) J ( x )
x
Theo chứng minh trên khi thay bằng - thì:

'
Mặt khác:

J ( x ) = J 1 ( x ) +

nhân

x

J ( x )

(*)

(**)

1
cos( )
vào hai vế của phơng trình (*) và nhân
vào hai vế của phsin( )
sin( )

ơng trình (**), rồi tiến hành trừ từng vế của hai phơng trình trên, ta đợc:

7


cos ( ) J ' ( x ) J ' ( x )

=
sin ( )
sin ( )
cos ( ) .J 1 ( x ) J 1 ( x ) cos ( ) .J ( x ) J ( x )
=




sin

sin

x
sin

sin ( )

(
)
(
)
(
)




(***)
' ( x ) = 1 ( x ) ( x )
x
Từ (*) và (***) ta suy ra điều phải chứng minh.
Các tính chất còn lại đợc chứng minh tơng tự.
2. Tính trực giao của các hàm Bessel
Nếu à 1 , à 2 , à n là các nghiệm dơng (thực) của phơng trình J ( x ) = 0 .
x
Thì các hàm J à i lập thành một họ trực giao với trọng số x trên đoạn [0,L],
L
tức là:

0 nếu i j

x x
0 xJ à i L J à j L dx = L2 J' 2 (à I ) = L2 J2+1 (à I ) nếu i = j

2
2
L

Thật vậy:
Do J ( x ) là nghiệm của phơng trình Bessel (1.8) nên J ( kx ) cũng là
nghiệm của phơng trình Bessel (1.8) với k là số thực bất kì.
d dJ ( kx ) 2 2
x
+ k x J ( kx ) = 0.
dx
dx
x

Vì vậy ta có:

Do đó với 2 giá trị k1, k2 bất kì thì:
d dJ ( k1 x ) 2 2
x
+ k2 x J ( k1 x ) = 0
dx
dx
x

(1.14)

d dJ ( k 2 x ) 2 2
x
+ k2 x J ( k2 x ) = 0 .
dx
dx
x

(1.15)

Nhân J ( k 2 x ) vào (1.14), nhân J ( k1 x ) vào (1.15) và trừ hai vế của hai phơng trình, ta đợc:

8


(k

2
1

k 22 ) xJ ( k1 x ) J ( k 2 x ) dx =

dJ ( k x )
dJ ( k x )
d
xJ ( k 2 x ) 1 xJ ( k1 x ) 2

dx
dx
dx

lấy tích phân từ 0 L phơng trình trên:

( k12 k22 ) 0 xJ ( k1x ) J ( k2 x ) dx = L k1J ( k2L ) .J' ( k1L ) k2J ( k1L ) J' ( k2L ) .
L

(1.16)

Gọi à , à j là hai nghiệm dơng của phơng trình J ( x ) = 0 , trong (1.16) lấy k1=
à
ài
và k2= j thì ta đợc:
L
L

ài
J ( k1 L ) = J L = J ( à i ) = 0
L


J ( k L ) = J à j L = J ( à ) = 0


j

2
L


nên vế phải của phơng trình (1.16) sẽ bằng 0.
Nếu i j tức là ài à j thì k 1 k2



L

xJ ( k x ).J ( k x ).dx = 0

Từ phơng trình (1.16) suy ra:

1

2

0

Nếu i=j.Trong phơng trình (1.16) ta xem k1 là hằng số (cho trớc) và k2 là
biến số.
Phơng trình (1.16) đợc viết lại:
Lk1 J ( k1 L ) J' ( k1L )
0 xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) .dx =
k22 k12
L

(1.17)

khi k2 k1 ta đợc:

lim k2 k1

Lk1 J ( k2 L ) J' ( k1 L )
L2 k1 J' ( k 2 L ) J' ( k1 L ) L2 ' 2
= lim k2 k1
=
J ( k1 L )
k 22 k12
2k 2
2

(vì biểu thức tính giới hạn có dạng
LHospital).

0
, nên giới hạn đợc tìm theo quy tắc
0

L

Do đó:

L2 ' 2
0 xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = 2 J ( k1 L )

9


L2 '
xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = J ( ài )
2
0
0 nếu i j
L

x x
0 xJ ài L J à j L dx = L2 J ' 2 (à ) = L2 J 2 (à ) nếu i = j

I
+1

I

2
2
L

nh vậy:

2

(vì theo tính chất truy hồi J ' ( à i ) = J +1 ( à i ) .
3. Một số trờng hợp riêng của hàm Bessel.
Các hàm Bessel thờng gặp trong Vật lí toán đó là các hàm
J 0 ( x ) , J 1 ( x ) , 0 ( x ) và các hàm bán nguyên J n+ 1 ( x ) .
2

Hàm Bessel cấp 0 và cấp 1 đợc khai triển dới dạng chuỗi vô hạn:
2k

x2
x4
x6
1 x
k
J0 ( x) = 1
+ 2 2 2 2 2 + ... + ( 1)
+ ...
2 2 4
2 4 6
( k!) 2 2

2k

x
x2
x4
x6
1
k
x
J1 ( x ) = (1
+

+
...
+

1
(
)
ữ + ...
2
2.4 2.42.6 2.42.6.28
k !( k + 1)! 2
Từ công thức truy hồi J +1 ( x ) =

2
J ( x ) J 1 ( x ) , các hàm J 2 ( x ) , J 3 ( x ) có
x

thể đợc tìm từ J 0 ( x ) , J 1 ( x ) .

Đồ thị biểu diễn các hàm J0(x), J1(x), J2(x). Hình 1
y

J 0 ( x)

J 2 ( x)
x

Hình 1: Đồ10
thị một số hàm Bessel

Bessel

Hình 1: Đồ thị một số hàm


J 1 ( x ), J

Các hàm bán nguyên

2



1
2

( x)

đợc biểu diễn nh sau:

1

+2 k

2
( 1) k . x

2
.
J1 ( x) =
3
k =0
2
k! ( + k )
2

3
2

Theo tính chất của hàm Gamma: ( + k ) =
1
vì: = nên: J 1 ( x ) =
2
2

2 ( 1) ( x )

x k =0 (2k +! )!
k

Tơng tự ta có: J 1 ( x ) =
2

1.3.5...( 2k + 1) 1
( )
2k +!
2

2 k +1

=

2
sin( x ) .
x

2
cos( x )
x

áp dụng công thức truy hồi J +1 ( x ) =

2
J ( x ) J 1 ( x ) ta tìm đợc:
x

2
sin( x )
( cos( x ) +
)

2
x
x
2
3

1

J5 =
sin( x) + sin( x ) + cos( x ) =

2
x
x
2
x
2
J3 =

2
3
3

1

sin(
x


)

+
cos( x )
2

x x
x

Đồ thị của một số hàm Bessel bán nguyên. Hình 2
=

11


y

J 1 ( x)
2

J 3 ( x)
2

J 5 ( x)
2

x

Hình 2: Đồ thị của một số hàm Bessel bán nguyên

4. Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Bessel
x

Các hàm Bessel J ( à i ) i=1,2,3. Trực giao và chuẩn hoá trên [ 0, L ] .
L

x
L

Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel J ( à i ) với hệ số khai

x
f ( x ) = ai J ( ài ) Với > 1 và x [ 0, L ] .
i =1
L

triển ai là:

(1.18)

các à i là các nghiệm của phơng trình J ( x ) = 0 , tính chất trực giao:

0 nếu i j

x x
0 xJ à i L J à j L dx = L2 J' 2 (à I ) = L2 J2+1 (à I ) nếu i = j

2
2
L

nhân hai vế (1.18) với xJ ( à j

x
) , ta đợc:
L


x
x
x
) = ai J ( ài ) xJ ( à j ) .
L
i =1
L
L
Lấy tích phân từ 0 L của (1.19):

xf ( x ) J ( à j

L


0

L


x
x
x
xf ( x ) J ( à j )dx = ai J ( à i ) xJ ( à j )dx
L

L
L
i =1
0

12

(1.19)


L

∫

theo tÝnh chÊt trùc giao ta cã:

0

2

⇔ aj =

'2
ν

LJ
2

x
L2 ' 2

xf ( x ) Jν ( µ j )dx = a j
Jν ( µ j )
L
2



L

xf ( x ) Jν  µ

(µ ) ∫
j

0

j

x
÷dx
L

do i vµ j cã vai trß nh nhau nªn hÖ sè khai triÓn ai trong (1.18) lµ:
ai =

2
'2
ν

LJ

2

L



xf ( x ) Jν  µ
(µ ) ∫

i

0

i

x
÷dx .
L

(1.20)

Nh vËy cã thÓ khai triÓn mét hµm bÊt kÝ thµnh tæng v« h¹n cña c¸c hµm
Bessel víi hÖ sè khai triÓn ®îc tÝnh theo (1.20)

13


Chơng 2 ứng dụng hàm Bessel để giải các bài toán
truyền sóng trong màng tròn
I. Bài toán

Một màng tròn mỏng đợc căng ra trên một mặt phẳng Oxy, dới tác dụng
của các kích thích ban đầu, các điểm trên màng sẽ chuyển động vuông góc với
mặt phẳng của màng.
u(x,y)

M
y

x

O
x
Phơng Hình
trình dao
độngdiễn
của màng
điểm M(x,y)
theo
3:2 Biểu
trong2 hệ
toạthời
độ gian:
Oxy
2
u u 1
1 u
u
+
+ W ( x , y, t ) = 2 ( 2 + k )
(2.1)

x 2 y 2 T0
a t
t
trong đó: u=u(x,y,t) là hàm mô tả trạng thái dao động của điểm M(x,y) tại thời
x
điểm t
W(x,y,t) là ngoại lực tác dụng lên màng tính trên một đơn vị diện tích.
T0 là sức căng của màng trên một đơn vị diện tích
a,k là các hệ số của màng, tuỳ thuộc vào đặc tính cấu tạo của màng.
Từ (2.1) trong một số điều kiện cụ thể ta có các phơng trình đơn giản hơn.
Nếu nếu k = 0 và W = 0 ta có phơng trình dao động của màng tự do:
2u 2u 1 2u
.
(2.2)
+
=
x 2 y 2 a2 t 2
Nếu W = W(x,y) và u = u(x,y) tức là các hàm không phụ thuộc thời gian,
ta có phơng trình dao động ở trạng thái dừng:
2u 2u
1
+
=

W ( x, y ) .
(2.3)
x 2 y 2
T0
Các điều kiện biên của bài toán:
Mép của màng gắn chặt:

(2.4)
u( x, y, t ) x , yC = 0
C: là đờng biên của màng.
Màng có mép tự do:

14


u
r
(2.5)
= gradu.n x , yC = f ( x, y )
n
Các điều kiện ban đầu:
Hình dạng ban đầu của màng:
u(x,y,0)=f(x,y)
(2.6)
Vận tốc ban đầu của màng:
u
(2.7)
= g( x , y )
t =0
t
Nh vậy bài toán xác định dao động của màng (tròn) là việc tìm nghiệm của
hơng trình (2.1) thoả mãn các điều kiện biên (2.4) hoặc (2.5) và các điều kiện ban
đầu (2.6) và (2.7)
II. Phơng pháp giải bài toán
Xét dao động của màng tròn bán kính L, mép gắn chặt. Chúng ta đi giải
phơng trình sau:
2u 2u 1 2u

+
=
x 2 y 2 a2 t 2
thoả mãn các điều kiên biên (2.4) và các điều kiện ban đầu (2.6), (2.7).
Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, (2.2) đợc viết lại:
2 u 1 u 1 2 u 1 2 u
với r [ 0, L ]
(2.8)
+
+
=
r 2 r r r 2 2 a 2 t 2
Điều kiên biên (2.4) trong bài toán có dạng: u( r, ) = r = L = 0
(2.9)
u
= F (r, ) .
điều kiện ban đầu: u(r,,0)=f(r, );
(2.10)
t =0
t
Hàm u(r, ,t) đợc tìm dới dạng tích của các hàm T(t) và V(r, ):
u(r, ,t)=T(t)V(r, )
phơng trình (2.8) đợc viết lại:
1
V (r , ).T '' (t ) = T (t )r , V (r , )
2
a
T '' (t ) r , V(r, )
.
(2.11)

2
=
a T (t )
V(r, )
Vế trái của (2.11) chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế phải phụ thuộc vào r, ,
do đó để (2.11) xảy ra thì cả hai vế cùng bằng một hằng số - nào đó.

T '' + a2 T = 0
Nh vậy từ (2.11) ta có hệ:
V + V = 0

(2.12)

Hàm V(r,) đợc tìm dới dạng tích V(r,) =R(r)Y(), thay vào phơng trình
thứ hai của hệ (2.12) ta đợc:

15


2 R
1 R 1 2Y
Y 2 +Y
+ R
+ YR = 0
r
r r r 2 2
1
1
YR '' + Y R ' + 2 RY '' + YR = 0
r

r
2 ''
'
Y (r R + rR + r 2 R ) + RY '' = 0
Y ''
r 2 R '' + rR + r 2 R
(2.13)

=
Y
R
Vế trái của (2.13) là hàm phụ thuộc vào góc , vế phải là hàm phụ thuộc
vào r, do đó cả hai vế của (2.13) đều bằng một hằng số nào đó.
Phơng trình (2.13) dẫn đến hai phơng trình tơng đơng:

'' 1 '
R + R + ( 2 ) R = 0
(2.14)
r
r

Y '' + Y = 0
hàm Y() là hàm tuần hoàn với chu kì 2, tức là
Y ( + 2n ) = Y ( ) n = 0,1,2,3...
Xét phơng trình thứ hai của hệ phơng trình (2.14), có phơng trình đặc trng:

k2+ =0

(2.15)

Nếu < 0 đặt = -c2 (với c là số thực khác 0).
Từ (2.15) suy ra: k = c
nghiệm của phơng trình Y '' + Y = 0 là:
Y() =C1.ec+C2e-c với C1,C2 là những hằng số tuỳ ý.
Theo tính chất tuần hoàn của hàm Y() thì:
Y ( + 2n ) = C1e c +2 n c + C2e c 2 n c = C1e c c + C2e c = Y ( )
do c, n nhận các giá trị tuỳ ý nên phơng trình trên thoả mãn khi và chỉ khi C1=
C2=0 Y() = 0
Nếu = 0 từ phơng trình thứ hai của hệ (2.14) ta có: Y()=C1+C2
do tính chất tuần hoàn:
Y ( + 2n ) = C1 + C2 + C2 2n = C1 + C2 = Y ( )
do n là số nguyên tuỳ ý, suy ra: C2 = 0
Vậy Y() là một hằng số: Y() = C1
Nếu > 0, đặt = c2 với c là số thực khác 0. Từ (2.15) suy ra k = ic
Phơng trình Y '' + Y = 0 có nghiệm: Y() =C1eic+C2e-ic
theo tính chất tuần hoàn của hàm Y():
Y ( + 2n ) = C1eic +i 2 n c + C2 e ic i 2 n c = C1eicc + C2e ic = Y ( )
Trong đó C1, C2 không đồng thời bằng 0. Đẳng thức trên xảy ra khi:
i 2 n
=1
e
c=n
n = 1, 2 do đó = n2.
i 2 n
e
=1

16

Nh vậy để phơng trình Y '' + Y = 0 không có nghiệm tầm thờng thì các giá
trị của phải thoả mãn điều kiện :
(2.16)
= n 2 ( Với n = 0, 1, 2K )
''
Nghiệm riêng của phơng trình Y + Y = 0 là:
Yn()=Cn1cos(n)+Cn2sin(n)
2
Thay = n và x = r vào phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.14)
ta đợc:
d 2 R 1 dR
n2
(2.17)
+
+ (1 2 ) R = 0 .
2
dx
x dx
x
Phơng trình (2.17) là phơng trinh Bessel cấp n, các nghiệm riêng là:
Rn(x)=D1Jn(x)+D2n(x)
(2.18)
trong đó D1, D2 là các số thực tuỳ ý.
Điều kiện biên (2.9) đợc viết lại
u(L,)= V(L,)=R(L)()=0 R(L)=0 .
(2.19)
Vì R ( 0) < + nê n D2 = 0 Rn(x)=D1Jn(x) hay R ( r ) =D1Jn ( r ) .
Theo điều kiện biên: R(L)=0 Jn ( L) =0

L = à m(n )

trong đó à m(n ) là nghiệm của phuơng trình Jn(x)= 0
2

Nh vậy:
tơng ứng:

à (n)
= m = mn ứng với mỗi trị riêng mn có các nghiệm riêng
L
(n)
à
r)
m
Rmn(r)=Jn(
L

(2.20)

mn cũng là giá trị riêng của phơng trình thứ hai của hệ phơng trình (2.12) , ứng
với giá trị riêng đó có hai hàm riêng độc lập tuyến tính:
à m( n ) r
à m( n ) r
Vmn(r,)= Jn(
)cos(n); Vmn(r,)= Jn(
sin(n)(2.21)
L
L
2

(n)
Với = à m phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.12) sẽ có hai
L

nghiệm riêng riêng độc lập tuyến tính:
( n)
à ( n ) at .
Tmn=cos à m at và Tmn=sin m


Các nghiệm riêng của phơng trình (2.8) thỏa mãn điều liện biên (2.9) sẽ là:
à m( n ) at
à ( n ) at
+ Bmn sin m ) cos(n ) +
L
L
(n)
(n)
( n)
+ (Cmn cos à m at + Dmn sin à m at ) sin( n )] J n ( à m r ) )
L
L
L

umn(r,,t) = [( Amn cos

17


Nghiệm tổng quát của phơng trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) sẽ

là:





à m( n ) at
à m( n ) at
+ B mn sin
) cos( n ) +
n =0 m =1
L
L
n =0 m =1
(n)
(n)
à ( n )r
+ (Cmn cos à m at + Dmn sin à m at ) sin(n )] J n ( m ) (2.22)




u(r,,t)= umn = [( Amn cos

L
L
L
Các hệ số Amn , Bmn , Cmn , Dmn đợc xác định từ các điều kiện ban đầu:
độ lệch ban đầu u(r,,0)=f(r, ), do đó:

à m0 r
à mn r
A0 m J 0
+
A
J
cos(
n

)




+
mn n

ữ
ữ
m =1

L n=1 m =1
L
(2.23)
n



à

r




+ Cmn J n m ữ sin(n ) = f ( r, )
n =1 m =1
L



vận tốc ban đầu: u(r,,0)=F(r, ), do đó:


à m( 0) a à m(0) r
à m( n ) a à m( n ) r


B0 m
J0 (
) + Bmn
Jn
cos(n ) +


ữ
L
L
L
m =1

n =1 m =1
L




à m( n ) a à m( n ) r
+ Dmn
Jn
sin(
n

)
= F ( r, )
ữ
L
L
n =1 m =1





Theo tính chất tuần hoàn và trực giao của các hàm số lợng giác:

(2.24)



2

sin(k )d = 0

2

;

0

2

sin

2

n.d = ;

0

cos(k )d = 0

với k là số nguyên khác 0

0

2

cos

2

n.d = với n là số nguyên khác 0

0

2

sin(n ) sin(l )d = 0;
0

Ta tính các hệ số khai triển:

2

cos(n ) cos(l ).d = 0

với l n

0

Lấy tích phân từ 0 2 của (2.23):
2


0


à ( 0) r
f (r , )d = 2 A0 m J 0 m
m =1

L



1
2

2


0


à ( 0) r
f (r, ).d = A0 m J 0 m ữ
m =1
L

Nhân sin(n) vào (2.23) sau đó lấy tích phân 0 2
2


0

à m( n ) r

f (r , ) sin( n ).d = Cnm J n
L
m =1

18

(2.25)



1 2
à m( n ) r
f (r, )sin( n ).d = Cnm J n
ữ
0
m =1
L
Nhân cos(n) vào (2.23) rồi lấy tích phân từ 0 2

2

(2.26)

à m( n ) r

Anm J n
0 f (r, ) cos(n )d = .
L
m =1

1 2
à m( n ) r
(2.27)
f (r, )cos(n )d = Anm J n
ữ
0
m =1
L
Vế phải của các phơng trình (2.25), (2.26), (2.27) là khai triển hàm f(x) bất kì vào
( n)
các hàm Bessel Jn( à m r ). Do đó ta có các hệ số khai triển:

L

L 2
1
à m( 0) .r
A0 m = 2 2 (0 ) f (r , ) J 0
ữrdrd
L J1 ( àm ) 0 0
L



à m( n ) .r
Anm = 2 2
rf (r, ) J n

ữcos(n )drd (2.28)
L J n +1 ( à m( n ) ) 0 0
L
L 2
2
à m( n ) .r
Cnm = 2 2
rf (r, ) J n
ữsin(n )drd
L J n+1 ( à m( n ) ) 0 0
L


2

L 2

Các hệ số B0m , Dnm , Bnm đợc xác định tơng tự:
L 2
1
à m(0) .r
B0 m =
F
(
r
,

)
J
0

ữrdrd
Laà m( 0) J12 ( à m( 0) ) 0 0
L


L 2
2
à m( n ) .r
Bnm =
rF (r, ) J n
ữcos(n )drd
Laà m( n ) J n2+1 ( à m( n ) ) 0 0
L

(2.29)

L 2
2
à m( n ) .r
Dnm =
rF (r, ) J n
ữsin(n )drd
Laà m( n ) J n2+1 ( à m( n ) ) 0 0
L
Vậy phơng trình (2.2) Với điều kiện biên (2.4) và điều kiện ban đầu (2.6),
(2.7) đợc giải trọn vẹn.
III. Các bài tập áp dụng
Bài tập 1:

19

Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt, gây
bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm. Điều kiện ban đầu có dạng:
u(r,0)=f(r); và

u
= F( r ) .
t t =0

Giải:

Phơng trình dao động của màng:
2u
2
(2.30)
a u = 2
t
Vì các kích thích ban đầu cho ta độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng
xuyên tâm, nên trong quá trình dao động theo thời gian của màng độ lệch chỉ phụ
thuộc vào bán kính của điểm khảo sát.
u=u(r,t)
Việc tìm giao động của màng dẫn đến việc giải phơng trình (2.30) với các
điều kiện ban đầu:
u
= F( r )
u(r,0)=f(r) ;
t t =0
và điều kiện biên: U(L,t)= 0
Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, phơng trình dao

động của màng đợc viết lại:
2 u 1 u 1 2 u
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Hàm u(r,t) đợc phân tích thành tích của hai hàm V(r) và T(t)
u(r,t)=V(r).T(t)
Thay (2.32) vào (2.31) ta đợc:
d2V
1 dV
1 d2T
T+
T= 2 2 V
dr 2
r dr
a dt
Phơng trình (2.33) dẫn đến hệ phơng trình
1
V '' + V '
''
r = 1 T = với là hằng số.
V
a2 T
các phơng trình của hệ:
'' 1 '
V + V + V = 0
r

''
T + a2 T = 0

Xét phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.34):
1
V ' ' + V ' + V = 0
r

20

(2.31)
(2.32)
(2.33)

(2.34)


d2V
dV
( r)
+

r
+ ( r )2 V = 0
2
d( r)
d( r)
2

(2.35)

Đặt x= r khi đó phơng trình (2.35) ta đợc phơng trình:

d 2V
dV
x
+
x
+ x 2V = 0 .
2
dx
dx
Phơng trình trên là phơng trình bessel cấp 0, nghiệm riêng và trị riêng của
2

2

( 0)
à (0)
phơng trình là: Vm(r)= J0( à m r ), mn = m .
L
L
Xét phơng trình thứ hai của hệ phơng trình (2.34):

T '' + a 2 T = 0
Phơng trình này sẽ có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính:
( 0)
à ( 0 ) at .
Tm=cos à m at và Tm=sin m


Nghiệm riêng của phơng trình (2.31) sẽ là:
à m( 0) r )

à m( 0 ) at
à m( 0 ) at
um(r,t)= ( Am cos
(2.36)
)
+ B m sin
) J0 (
L
L
L
và nghiệm tổng quát của (2.31) là:


à ( 0 ) at
à ( 0 ) at
à ( 0) r )
u(r,t)= um (r, t) = Am cos m + B m sin m J 0 ( m ) (2.37)
L
L
m =1
m =1
L
Các hệ số Am và Bm đợc xác định theo điều kiện ban đầu, đó là các hàm
biến thiên của bán kín của các điểm khảo sát, các hệ số này không phụ thuộc vào
thông số góc .
Theo (2.28) và (2.29) các hệ số Am và Bm đợc xác định:
L
2
à m( 0) .r
Am = 2 2 (0) f (r ) J 0

ữrdr
L J1 ( à m ) 0
L

(2.38)

L
2
à m( 0) .r
Bm =
F(r ) J0 L ữrdr
Laà m(0) J12 ( à m( 0) ) 0



(2.39)

Nh vậy phơng trình dao động của màng tròn có mép gắn chặt với các kích
thích ban đầu đối xứng xuyên tâm đợc biểu diễn bởi công thức (2.37) với các hệ
số đợc xác định theo (2.38) và (2.39).
Bài tập 2:

21


Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt. độ

r2
lệch ban đầu có dạng Parapol tròn xoay: u(r,0)=f(r)=A 1 2 và vận tốc ban
L

đầu bằng không.
Giải:
Phơng trình dao động của màng:

U(r,t)

2u
a u = 2
t
Theo lí luận ở bài tập 1, hàm sóng chỉ phị thuộc
vào bán kính của điểm khoả sát và thời gian khoả sát.
u= u(r,t).
Trong hệ toạ độ cực phơng trình dao động
2

2 u 1 u 1 2 u
của màng:
(2.40)
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Độ lệch ban đầu có dạng Parapol (hình 4).
Các điều kiện ban đầu:


r 2 u
u(r,0)=f(r)=A 1 2 ;
L r

Điều kiện biên: u(L,t) = 0

t =0

A

0
Hình 4

= F( r ) = 0

áp dụng kết quả bài tập 1, phơng trình dao động của một điểm bất kỳ trên
màng là:
u(r,t)=

u
m =1

m

(r, t) = Am cos à m

(0)



m =1

at

L

+ B m sin

à m( 0 ) at
à ( 0) r )
J 0 ( m )
L
L

(2.41)

Các hệ số khai triển đợc xác định theo (2.38) và (2.39):
L
8A

2
r 2 à ( 0) r
Am = 2 2 ( 0 ) A 1 2 J 0 m rdr = ( 0 ) 3
( à m ) J 1 ( à m( 0 ) )
L J1 (à m ) 0
L L
L
à m( 0 ) r
2
rdr = 0.
Bm =

0 J 0
Laà m( 0 ) J 12 ( à m( 0 ) ) 0
L


Vậy phơng trình dao động của điểm bất kỳ trên màng là:
à m( 0 )
J 0
r
(0)
u(r,t)=8A
L

cos à m at

(0) 3
(0)
L
m =1 ( à m ) J 1 ( à m )

22


(0)
Vẽ đồ thị u(r,t) ứng với nghịêm đầu tiên. ở đây ta đặt biến mới x = à m r .

L

u(x,t)

Hinh5: Đồ thị của nghiệm đầu tiên theo bán kính r và thời gian t

Bài tập 3:
Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt. Vận
u
r
= F ( r ) = A cos( ) . Ban đầu màng nằm ở vị
tốc ban đầu cho bởi hàm:
t t =0
2L
trí cân bằng.
Giải:

Phơng trình dao động của màng:
2u
2
a u = 2
t
Trong hệ toạ độ cực phơng trình dao động của màng đợc viết lại:

2 u 1 u 1 2 u
(2.42)
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Để tìm quy luật dao động của màng ta tiến hành giải phơng trình (2.42) với
các điều kiện:
Điều kiện ban đầu: u(r,0)=f(r)=0 và

23

u
r
= F ( r ) = A cos( )
t t =0
2L


Điều kiện biên: u(L,t)=0
Giải tơng tự bài tập 1 ta đợc nghiệm của phơng trình (2.42) với điều kiện
biên đã cho là:

à
u(r,t)= um (r, t) = Am cos m

(0)



m =1

m =1




at

L

à m( 0 ) at
à m( 0) r )

+ B m sin
J(
)
L 0
L

(2.43)

Các hệ số khai triển đợc xác định theo (2.28) và (2.29):
L
à m( 0 ) r
2
rdr =0
Am = 2 2 ( 0 ) f (r ) J 0
L J1 (à m ) 0
L

L
8A
à m( 0 ) r
2


=
Bm =
F
(

r
)
J
rdr
4
0

Laà m( 0 ) J 12 ( à m( 0 ) ) 0
a( à m( 0 ) ) J 1 ( à m( 0 ) )
L
Vậy phơng trình dao động của màng tròn là:

à ( 0)
8 AJ 0 m r
(0)
U(r,t)=
L sin à m at

(0) 4
( 0)
L
m =1 a ( à m ) J 1 ( à m )

Bài tập 4:
Tìm dao động của nớc trong một hình trụ thẳng đứng, nếu vận tốc ban đầu
là một hàm đối xứng xuyên tâm, còn áp suất trên mặt nớc đợc giữ không đổi.
Giải: Phơng trình dao động của màng:
2u
2
a u = 2 u(r,t)

t
Trong quá trình dao động, hàm dao động chỉ phụ thuộc vào bán kính r, là
khoảng cách từ trục của ống nớc đến điểm khảo sát, và thời gian; do đó phơng
trình dao động:
2 u 1 u 1 2 u
(2.44)
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Điều liện ban đầu của bài toán:
u
= F( r)
u(r,0)=f(r) ; và
(2.45)
t t = 0
vì áp suất trên mặt nớc đợc giữ không đổi, nên điều kiện biên của bài toán trong
trờng hợp này là:
u
= 0.
r r = L
Phân tích hàm u(r,t) thành tích của hai hàm:

24

(2.46)


u(r,t)=V(r)T(t)
từ điều kiện biên (2.46) suy ra:

(2.47)

V
=0
r r = L
điều kiện bên (2.46) xảy ra tại mọi thời điểm, do đó:
V
= 0.
r r = L
Thay (2.47) vào phơng trình (2.44), ta có hệ phơng trình:
1
V ' ' + .V '
1 T ''
r
= 2
=
V
a T
'' 1 '
V + V + V = 0
các phơng trình của hệ:
r
''
T + a2 T = 0
Xét phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.50), với x= r
T

d2V
dV
x

+x
+ x2V = 0
2
dx
dx
2

(2.48)

(2.49)

(2.50)
ta đợc:
(2.51)

phơng trình (2.51) là phơng trình Bessel cấp 0. Với điều kiện : V (0) < + ; phơng
trình (2.51) có nghiêm : V ( r ) =D1J0 ( r ) .
Theo điều kiện biên (2.49) suy ra:
( J 0 ( r ))
D1
=0
( r) r=L


( J 0 ( r ))
=0
( r ) r = L

(2.52)

Từ công thức truy hồi của hàm Bessel: J 0' ( x) = J1 ( x) nên J1( L )=0. Ta
gọi các à m(1) là các nghiệm của phơng trình J1(x)=0, suy ra:

à m(1) 2
L = à = m = ( ) là các giá trị riêng.
L
1 '
''
ứng với các giá trị riêng m phơng trình V + V + V = 0 với điều kiện
r
biên (2.49) sẽ có các nghiệm riêng là:
à (1) .r
Vm(r)=J0( m )
( 1)
m

L
với các giá trị m phơng trình thứ hai của hệ phơng trình (2.50) có nghiệm riêng:

25