Ứng dụng phương trình schrodinger trong một số hiệu ứng lượng tử

Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

trờng đại học Vinh
Khoa vật lý

Tên đề tài:

ứng dụng phơng trình Schrệdinger
trong một số hiệu ứng lợng tử.

Ngời hớng dẫn : TS. Vũ Ngọc Sáu
Ngời thực hiện : Trơng Quang Sơn
Khóa
:39A2 vật lý
Vinh, 5/2002

Mục lục
A-Mở đầu
B-Nội dung.
Chơng I: Tổng quan về phơng trình Schrệdinger một
chiều.
I.
Phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều.
1 .Thành lập phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều.
1


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

2 .Các tính chất nghiệm phơng trình Schrửdinger.
II.
Các tính chất chung của chuyển động một chiều.
III. Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lợng tử đối với chuyển động một chiều.
1 . Mật độ xác suất và véctơ mật độ dòng xác suất
2 . Hệ số phản xạ,hệ số truyền qua
3 . Một số mô hình một chiều đơn giản
a. Hố sâu vô hạn
b. Rào thế
IV Kết luận
ChơngII: ứng dụng phong trình Schrệdinger trong các
hiệu ứng lợng tử.
I.
Thế tuần hoàn.Định lý Bloch.
II.
Mô hình kronig-penney.
3. Giải thích cấu trúc vùng năng lợng
IV. Kim loại,bán dẫn và điện môi.
V.
Hiệu ứng đòng ngầm.
1. .Sự phát xạ lạnh của electron kim loại.
2. Sự phân rã alpha ( ) .
VI. Kết luận.
Chơng III. Giải một số bài toán nhờ phơng trình
Schrệdinger trong chuyển động một chiều .
I. Sự lợng tử hoá năng lợng.
II. Hiện tợng truyền qua của hạt vi mô.
III. Kết luận.

C - Kết luận chung.
--------------------------------

2


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

A-Mở đầu.
Khi nghiên cứu thế giới vi mô, một lĩnh vực mới của vật lý hiện đại ra đời đó
là cơ học lợng tử, một lĩnh vực của vật lý lý thuyết nghiên cứu về các hệ nguyên
tử và hạt nhân. Nghiên cứu các vấn đề đặt ra cơ học lợng tử dựa vào hai phơng
pháp chính: Phơng pháp Heisenberg (Haixenbec) và phơng pháp
Schrửdinger(srôdingơ).
Phơng trình cơ bản của cơ học sóng cơ học lợng tử nghiên cứu theo
quan điểm của Schrửdinger là phơng trình Schrửdinger.Từ phơng trình này về cơ
bản ta có thể giải thích đợc hầu hết các hiện tợng lợng tử xẩy ra trong phạm vi phi
tơng đối tính .Những dấu hiệu thành công mang đến sự giải thích hài hoà giữa lý
thuyết và thực nghiệm liên quan đến hàng loạt những bài toán về hạt chuyển động
trong từ trờng và điện trờng ngoài, hiện tợng phát xạ lạnh của kim loại,hiệu ứng
đờng ngầm và một số hiệu ứng quan trọng khác.Với vị trí quan trọng đó của phơng trình Schrửdinger (sơrôdingơ).Luận văn này đặt mục đích xem xét một cách
đầy đủ các ứng dụng của phơng trình này trên cơ sở giải thích một số hiện tợng lợng tử quan trọng và một số bài toán cơ học lợng tử tiêu biểu dựa trên phơng trình
Schrửdinger.Trên cơ sở đó,nội dung luận văn đợc trình bày trong ba chơng chính
ngoài phần mở đầu và kết luận.
Chơng I. Tổng quan về lý thuyết phơng trình Schrửdinger tổng quát và phơng trình
Schrửdinger dừng trong trong chuyển động một chiều.
Chơng II. ứng dụng phơng trình Schrửdinger trong các hiệu ứng lợng tử.

Chơng III : Một số ứng dụng khác của phơng trình Schrửdinger.
Vinh 1-2002

Trơng Quang Sơn

B-Nội dung
Chơng I: Phơng trình Schrử dinger dừng cho hạt vimô.
I. Phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều.
1. Phơng trình:

3


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn


Xét một hạt tự do có khối lợng m ở trạng thái năng lợng E,xung lợng p không
đổi(trạng thái dừng).Trạng thái của hạt tự do mà ta xét dợc mô tả bởi hàm sóng


( r ,t) = 0exp-


i
(E.t- p.r ) = ( x , y, z).f ( t ).


i

Trong đó: ( x , y, z) = 0 exp p r là phần phụ thuộc toạ độ.

i
f(t)=exp Et là phần phụ thuộc thời gian.


Lấy đạo hàm riêng phần ( r ,t) theo thời gian ta đợc:



( r , t )
i
i
i
= E 0 exp ( Et p r ) = E ( r , t )
t




Nhân hai vế (1.1) với i :


( r , t )
=E ( r , t )
i
t

i
i
mà E ( r , t ) =E. ( r ) exp( )Et = ( r ).exp( E.t )



Trong đó là toán tử Hamilton:

(1.1)

(1.2)


2 2
= + U( x , y, z).

2m
Do vậy toán tử này không tác dụng lên phần tử hàm sóng chứa biến số thời gian, từ


i
đó ta có thể viết : ( r ). exp( E.t ) = ( r , t )

Kết hợp (1.1),(1.2) và (1.3) ta có:

( r , t )
i
t

= ( r , t )

(1.3)

(1.4)

Phơng trình (1.4) đợc gọi là phơng trình Schrửdinger phụ thuộc thời gian viết
cho hạt tự do,hạt có năng lợng xác định.Tuy nhiên kết quả này cũng đúng cho một
hệ hạt bất kỳ.
4


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Từ đó ta xét cho hạt chuyển động mà vị trí của hạt đợc xác định bởi một trục
toạ độ x.Hạt chuyển động trong trờng thế U(x) và có năng lợng E.
Ta có:
2
( x, t )


= ( x, t )
với =i
2 + U( x ).
t
2m
( x, t )
Mà ta lại có:

= E ( x, t )
i
t
Suy ra:

2 2 ( x, t )
( x , t ) = E ( x , t )
+ U( x ) ( x , t ) = E ( x , t )
2m x 2
2 2) ( x, t )

+ [ E U( x )]. ( x, t ) = 0
2m x 2
(1.5) Chính là phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều.
i
Đặt ( x , t ) = ( x ).exp Et

Thay (1.6 ) vào (1.5) ta đợc:

(1.5).

(1.6).

2
2
i (x)
i
exp Et .
+ exp Et [ E U( x )] ( x ) = 0.
2

2m
x


Suy ra:
2 2 E ( x )
+ [ E U( x )].E ( x ) = 0.
2m x 2

(1.7).

Phơng trình (1.7) là phơng trình Schrửdinger viết cho hạt lợng tử có năng lợng
xác định .Việc giải phơng trình (1.7) có thể cho nghiệm ứng với những giá trị E bất
kỳ.Tuy nhiên về phơng diện vật lý ta chỉ có thể chọn đợc những giá trị của E sao
cho E ( x ) thoả mãn các điều kiện đơn trị,liên tục và hữu hạn.Ngời ta chứng minh
rằng: Chỉ có một số giá trị của E tơng ứng với các hàm E ( x ) là thoả mãn các điều
kiện vật lý. Tập hợp các giá trị của E có thể gián đoạn,liên tục hoặc vừa gián đoạn
vừa liên tục. Các trạng thái E ( x ) với cá mức năng lợng gián đoạn tơng ứng với vi
hạt chuyển động trong một vùng hữu hạn nào đó của không gian,xác suất tìm thấy
hạt ở vô cùng bằng 0. Vì vậy các trạng thái này gọi là các trạng thái liên kết. Những
giá trị liên tục của năng lợng sẽ ứng với các trạng thái tiến tới hữu hạn ở vô cực, hạt
5


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

sẽ có mặt ở vô cực và tồn tại ở mọi điểm bất kỳ trong không gian.Các trạng thái này
đợc gọi là các trạng thái không liên kết.

Phơng trình (1.7) đợc ứng dụng cho các vi hạt chuyển động một chiều.Đồng
thời những vi hạt ấy không tự sinh ra và không tự mất đi.Nghĩa là trong các quá
trình chúng ta khảo sát hệ lợng tử không có quá trình sinh và huỷ cặp.Trong bất kỳ
quá trình vật lý nào số hạt thuộc một loại xác định là không đổi và những vi hạt ấy
chuyển động với vận tốc v đủ nhỏ(v << c).
Chúng ta đả biết phơng trình Schrửdinger dừng là một phơng trình vi phân
đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính. Do vậy ,việc giải phơng trình Schrửdinger trong
không gian ba chiều nói chung là phức tạp.Hơn nữa trong giới hạn của đề tài này
chúng tôi chỉ xét trong trờng hợp một chiều.Với bài toán này có thể phân tích đợc
một số tính chất tiêu biểu đặc trng cho hệ lợng tử(sẽ đợc đề cập đến ở chơng sau)
mà không làm giảm tính tổng quát của bài toán ba chiều.Mặt khác trong nhiều trờng hợp thế năng của trờng tơng tác có thể phân tích ra dới dạng:U(x,y,z)=U(x)
+U(y) + U(z). Khi đó bài toán trong không gian ba chiều có thể chuyển về các bài
toán một chiều.Thật vậy ta có phơng trình Schrửdinger trong trờng hợp này là:
2

2 ( x , y, z) + U( x , y, z) ( x , y, z) = E ( x , y, z)
2m

(1.8).

Hàm sóng (x,y,z) đợc viết dới dạng:
(x,y,z)=(x).(y).(z).
Ta viết lại phơng trình (1.8):
2 2

2
2
( 2 + 2 + 2 ) + ( U( x ) + U( y) + U( z)). ( x ) ( y) ( z) = E ( x ) ( y) (z)

y

z
2m x

(1.9).
Chia cả hai vế phơng trình (1.9) cho (x).(y).(z).Ta có:

1 2 2 (x)
1 2 2 ( y)

+ U( x ) ( x ) +
+ U ( y ) ( y) +


2
2
( x ) 2m x
( y) 2m y

1 2 2 (z)

+
+ U ( z) (z ) = E = E1 + E 2 + E 3

2
(z) 2m z

Với { E1 , E 2 , E 3 } =const.
Từ đó suy ra:
6

Luận văn Tốt nghiệp

-

Trơng Quang Sơn

2 2 (x )
+ U( x ) ( x ) = E1 ( x )
2m x 2

(1.10)

2 2 ( y)
+ U ( y) ( y) = E 2 ( y)
2m y 2

(1.11)

2 2 (z)
(1.12)
+ U ( z) (z ) = E 3 ( z)
2m z 2
Các phơng trình (1.10),(1.11),và (1.12) là các phơng trình đối với các hàm sóng
-

( x ), ( y), (z) đó là những phơng trình Schrửdinger của chuyển động một
chiều.
2).Các tính chất của nghiệm phơng trình Schrửdinger
a. Tính chẵn, lẻ của nghiệm.

Nếu thế năng là một hàm chẵn của tọa độ thì nghiệm của phơng trình (1.7) có
tính chẵn, lẻ xác định.Tức là: E ( x ) = E ( x ); E ( x ) = E ( x ) .
b. Hàm sóng (x) phải giới nội.Điều này có thể suy ra từ điều kiện chuẩn hoá hàm
2

sóng.Theo điều kiện chuẩn hoá hàm sóng ( x , t ) dx = 1

(1.13)

c. Hàm sóng phải đơn trị vì nếu không đơn trị thì ứng với mỗi vị trí trong không
gian có nhiều giá trị xác suất tìm hạt. Điều này trái với lý thuyết xác suất.
d. Tính chất liên tục của nghiệm và đạo hàm của nghiệm: Hàm sóng cần phải liên
tục theo toạ độ vì mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian là liên tục của toạ
độ, hay nói cách khác là xác suất tìm hạt( ( x ) 2) không thể thay đổi nhảy vọt.
Ngoài ra đối với các trờng có thế năng gián đoạn hữu hạn thì ngay cả tại những
điểm đạo hàm bậc nhất của nghiệm cũng sẽ là liên tục.
Nghĩa là: E ( x 0 + ) = E ( x 0 + ) với x0 là điểm mà tại đó U(x) gián đoạn hữu hạn.
II. Các tính chất của chuyển động một chiều.
1) Các trị riêng năng lợng thuộc phổ gián đoạn của phơng trình Schrửdinger một
chiều không suy biến.Thật vậy,giả sử tồn tại hai hàm sóng 1, 2 cùng ứng với mức
năng lợng E. Khi đó từ (1.7) ta có:
7


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn


1

2
2m
= 2 ( U( x ) E) =
1

2

Từ đây suy ra:




1 2 2 1 = 0 1 2 2 1 = 0






Lấy tích phân hai vế ta đợc: 1' 2 '2 1 = const
ở vô cực đối với phổ gián đoạn: 1, 2 (

+


)

= 0 const = 0

Suy ra : 1 2 = 2 1 1 = 2
1 2
Lại lấy tích phân hai vế đẳng thức này ta đợc:
1 ( x ) = const.2 ( x )

(1.14)

từ (1.14) cho thấy các hàm 1(x),2(x) chỉ khác nhau bởi một hằng số không phụ
thuộc x. Hay nói cách khác, trị riêng E thuộc phổ gián đoạn không bị suy biến.
Điều này chỉ có ở các trị riêng thuộc phổ gián đoạn trong chuyển động một chiều.
2). Đối với các hàm riêng n(x) tơng ứng với trị riêng En thuộc phổ gián đoạn ta có
định lý sau:Hàm riêng n(x) cắt trục hoành n lần tại những giá trị x hữu hạn. ở
đây ta đánh số các hàm riêng và trị riêng thuộc phổ gián đoạn của phơng trình (1.7)
bởi chỉ số n(n=0,1,2,3,...)sao cho trị riêng E nhỏ nhất ứng với n=0,mức năng lợng E0
gọi là mức năng lợng cơ bản,còn hàm sóng n mô tả trạng thái kích thích thứ
n.Theo định lý trên, nếu chuyển động của hạt chỉ xảy ra trên một đoạn thẳng hữu
hạn nào đó thứ n chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm riêng n(x),với trục x bên
trong đoạn thẳng này.Những giao điểm này gọi là nút hàm sóng.
3).
Điểm quay lui của hạt.
Trở
về cơ học cổ điển ta thấy hạt có thể chuyển động theo những cách khác nhau phụ
thuộc vào tơng quan giữa năng lợng toần phần E và thế năng U của nó.Tại các điểm
x1,x2 mà ở đó U(x)=E,Wđ =0 thì x1, x2 gọi là các điểm quay lui.
Ta xét tơng quan giữa năng lợng toàn phần E và thế năng U(x) của nó(đợc biểu hiện
nh hình vẽ)Từ (H.1) ta thấy:
U(x)
trong miền [x1,x2] là U(x)Vậy hạt chỉ xuất hiện

E
trong miền[x1,x2].
8


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Nếu hạt có Etrong miền (-,x1] (H.2)
x1
0
thì từ vô cực hạt giảm
x2
dần vận tốc và quay ngợc trở lại điểm x1 mà không (H.1)
xuất hiện ở miền II. Ta nói hạt bị phản xạ bởi rào
thế và miền II gọi là miền cấm.

x

Nếu E>U(x) với mọi x (H.3)
Thì từ âm vô cực hạt giảm dần
U(x)
hoặc tăng dần vận tốc phụ thuộc
vào thế U(x) rồi tiếp tục chuyển
động tới dơng vô cực.
Nhng trong cơ học lợng tử

E

nghiệm phơng trình Schrửdinger

(I)

(II)

cho những kết quả hết sức bất ngờ
0
x1
x
so với những gì mà ta gặp trong cơ
(H.2)
học cổ điển. Khi E>U(x) hạt vẫn có
thể bị phản xạ bởi rào thế. Đặc biệt khi E < U(x) hạt có thể xuất hiện trong miền
cấm cổ điển(miền II) với xác suất khác 0 trên những khoảng cách nhất định tính từ
điểm quay lui trong trờng hợp hạt bị giảm trong giếng thế năng
U(x)lợng của nó bị lợng tử hoá mặc dù thế năng hạt bên trong giếng thế bằng
không(U(x)=0).
U(x)
E

0
(H.3)

x

4).Ta xét dáng điệu của hàm sóng(x) trong trờng hợp đợc mô tả bởi (H.2)
Chúng ta biết rằng, dấu đạo hàm bậc hai (x) cho ta biết tính lồi lõm của đồ
thị hàm(x) tại điểm x. Nếu (x) > 0 thì đồ thị hàm sóng lõm tại x. Nếu (x) <

0 thì đồ thị hàm sóng lồi tại x.
9


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Từ đó ta có:
2m
[ E U ( x )] > 0

trở thành:

- Trong miền I (H.2) : Đặt : k2 (x) =
Phơng trình (1.7)

(1.15)

(x)=-k2(x)(x)

(1.16)

k2(x) > 0 nên từ (1.16) ta có (x) < 0 ở nửa mặt phẳng phía trên trục toạ độ và
(x) > 0 ở nửa mặt phẳng dới trục toạ độ. Do vậy đồ thị hàm sóng (x) sẽ lồi ở
nửa mặt phẳng phía trên và lõm ở nửa mặt phẳng phía dới trục toạ độ(H.4a).
Suy ra khi năng lợng của hạt E > U(x) phơng trình (1.7) có thể cho nghiệm
dao động(H.4b).
- Ngợc lại E < U(x) (trong miền II):
Nếu đặt:

k2(x) =

Thì (1.7) trở thành :

2m
[ U( x ) E ] > 0


(1.17)

(x)=k2(x)(x)

(x)

(1.18)

(x)

0

x
(H.4a)

0

x
(H.4b)

Ta nhận thấy trong miền II (x) > 0 ở nửa mặt phẳng phía trên trục toạ độ và

(x) < 0 ở nửa mặt phẳng phía dới trục toạ độ. Do vậy đồ thị hàm sóng (x) sẽ
lõm ở nửa mặt phẳng phía trên và lồi ở nửa mặt phẳng phía dới trục toạ độ (H.5a)

(x)

(x)

0

x

0

x
10


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

(H.5a)

(H.5b)

Hiển nhiên trong miền (II) không tồn tại nghiệm dao động. Hàm (x) chỉ có
thể biến thiên một cách đơn điệu (H.5b) .Tại điểm quay lui x 1 có (x)=0 và hàm
(x) có hệ số góc không đổi.
Đối với thế U(x) có dạng nh (H.6) nghiệm phơng trình
rồi tắt dần đi khi vào miền cấm cổ điển.

(1.7) thoạt đầu dao động

U(x)

(x)

E (I)

(II)

0

x1

x

(H.6)
5) Trong thực tế, thế U(x) thờng tiến tới những giá trị hữu hạn khi x .
Để thuận tiện ta chọn gốc tính năng lợng sao cho : Lim U(x)=U0>0,
x
Lim U(x)=0
x +
Ta xét dạng tiệm cận của hàm sóng trong ba miền giá trị năng lợng của hạt:
E < 0 (miền I), 0 < E < U0 (miền II) và E > U0 (miền III).
a)Trong miền I:
*) Khi x + Phơng trình (1.7)có dạng tiệm cận :

(x) - k12(x)(x) = 0 Với k12(x)=-

2mE
>0
2

(1.19)

k x
k x
k x
(1.19)có nghiệm dạng(x)= A1e + B1e
khi x + thì A1e do đó
1

1

dạng tiệm cận của hàm sóng tại : (x)= B1e

1

khi x +

k1 x

(1.20)

*) Cũng trong miền này khi x phơng trình(1.7) có dạng tiệm cận:
(x) - k22(x)(x )= 0 với k22(x)=-

2m ( E U 0 )
>0

2

(1.21)

k x
k x
Nghiệm của (1.21) có dạng: (x)= A 2 e + B 2 e khi x thì
2

2

B 2 e k x .Suy ra dạng tiệm cận của hàm sóng tại -:
2

k
(x) = A 2 e

2x

(1.22)
11


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Từ (1.20)và (1.22)ta nhận thấy khi E<0 hạt không thể ra xa vô cực.Hay nói cách
khác,hạt ở trong rạng thái liên kết.Phổ năng lợng của hạt là gián đoạn, do đó
không suy biến.

b) Trong miền II: (0 < E < U0)
Khi x + phơng trình (1.7) có dạng tiệm cận:
(x) + k2(x)(x) = 0 với k2(x)=

2mE
>0
2

(1.23)

Nghiệm của (1.23) có dạng:
(x)=A3eikx+B3e-ikx

(1.24)

Khi x phơng trình (1.7) có dạng tiệm cận:
(x) - k32(x)(x)=0 với k32(x) =

(x)=A4ek 3 x+B4e-k 3 x

Nghiệm (1.25) có dạng:
Vậy khi

x

2m ( U 0 E )
>0
2

(1.25)

(1.26)

thì (x)=B4e-k 3 x

Suy ra:
(x) = A4ek 3 x

(1.27)

Từ (1.24) và (1.27) chứng tỏ xác suất tìm hạt tại bằng không, trong khi
tại + xác suất này khác không.
Nh vậy nói năng lợng: 0 < E dơng trục toạ độ và hữu hạn về hớng ngợc lại .Ta nói chuyển động của hạt bị chặn
từ một hớng. Do E > 0 nên trong miền này hạt có phổ năng lợng liên tục.
c)Trong miền III: (E > U0)
*)Khi x + :Phơng trình (1.7) có dạng
2

(x) + K 4 (x).(x) =0
Với
Nghiệm của (1.28):

K 24 (x) =

2mE
2

(x) = a1eik 4 x + b1e-ik 4 x

(1.28)

(1.29)

*) Khi x :Phơng trình (1.7) có dạng:
(x)+k 5 (x).(x)=0
2

(1.30)
12


Luận văn Tốt nghiệp

Với

Trơng Quang Sơn
2

k 5 (x) =

2m ( E U 0 )
2

(x) = a2eik 5 x+ b2e-ik 5 x

Nghiệm của (1.30):

(1.31)

Từ (1.29) và (1.31) ta thấy hạt có mặt ở vô cực, trong miền này phổ năng lọng của
hạt là liên tục.

III. Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lơng tử đối với chuyển động một chiều
1. Mật độ xác suất và véctơ mật độ dòng xác suất.
Ta biết rằng nếu biết hàm sóng ta sẻ tính đợc mật độ xác suất tìm hạt
2


= = .

Hàm sóng phụ thuộc thời gian thì nói chung mật độ xác suất cũng phụ thuộc thời
gian.Nh vậy sẽ có những giá trị khác nhau khi thời gian trôi đi, ta nói rằng có một
dòng hạt lu thông trong không gian.Từ (1.4) nhân hai vế về bên trái với * ta đợc:


= H
t
Lấy liên hợp phức (1.32)
i



= H
t
Lấy (1.32) trừ (1.33) vế theo vế ta đợc:
i



H

i (

+
) = H
t
t


(1.32)

(1.33)

(1.34)

2






mà:
với H =
+
= ( ) =
2 + U ( x , y, z )
t
t
t
t
2m
Suy ra:

2



H H =
( 2 2 ) + ( U U ) =
2m
2

2

2
2

=
( ) =
( )
2m
2m



2
Khi đó (1.34) đợc viết lại: i
=
( )
t
2m

13


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn


i
i
Nếu đặt : j =
( ) =
( )
2m
2m


(1.35)
+ div j = 0
t
Phơng trình (1.35) có dạng tơng tự phơng trình liên tục trong cơ học chất lỏng và
điện học.
Phơng trình (1.35) đợc gọi là phơng trình liên tục trong cơ học lợng tử.
Ta có :

Trong đó: gọi là mật độ xác suất

j : gọi là vectơ mật độ dòng xác suất.
Phơng trình (1.35) mô tả định luật bảo toàn xác suất, hay còn gọi là định luật bảo
toàn số hạt trong cơ học lợng tử.

2) Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua.
Để đi đến định nghĩa hệ số phản xạ ,hệ số truyền qua ta xét chuyển động của một
hạt trong trờng ngoài đợc biểu diễn nh hình vẽ:
với:
U(x)
U = 0 khi x-
U0

x+
U = Ukhi
0

0

x

(H.7)
Theo cơ học cổ điển hạt có năng lợng E < U0 chuyển động trong trờng này từ
trái sang phải, khi đi đếnbức tờng thế năng sẽ phản xạ trở lại và chuyển động
quay về hớng ngợc lại, còn nếu E > U0 hạt tiếp tục chuyển động theo hớng cũ với
vận tốc sẽ giảm đi. Trong cơ học lợng tử thì vấn đề khác hẳn. Đó là ngay cả khi E >
U0 hạt vẫn có thể phản xạ bởi bức tờng thế năng. Bây giờ ta tính xác suất phản
xạ này. Giả sử hạt chuyển động từ trái sang phải với những giá trị dơng và lớn. Hàm
sóng mô tả hạt vợt qua phía trên tờng và chuyển động về phía dơng của trục x.
Ta có biểu thức tiệm cận của hàm sóng:
*)Khi x + : (x) = Aeik 1 x
Với k1 =

(A = const)

1
2 m( E U )

14


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

*) Khi x : (x) = eik 2 x+Be-ik 2 x Với k2=

1
2mE


ở đây: eik 2 x đợc đoán nhận là sóng tới
e-ik 2 x đợc đoán nhận là sóng phản xạ.
2

2

Mật độ dòng xác suất tỷ lệ với k 2 B ,đối với sóng đi qua k1 A .*) Để đặc trng cho
sự phản xạ của sóng,ngời ta đa ra khái niệm hệ số phản xạ:
cờng độ sóng phản xạ
R= cờng độ sóng tới

=

k2 B

2

=B

k2

2

(1.36)

*) Để đặc trng cho sự truyền qua của sóng khi đi qua rào thế ngời ta đa ra khái niệm
hệ số truyền qua:
T=cờng độ sóng truyền qua
cờng độ sóng tới

=

k1 A

3. Mô hình một chiều đơn giản.
a) Hố thế có chiều sâu vô hạn.
Xét một hạt chuyển động trong
trờng ngoài mà thế năng U(x)
có dạng:

2

(1.37)

k2

U(x)




U=0

0 khi 0 x a
U(x)= khi x 0, x a

và đợc biểu diễn nh (H.8)

0

Phơng trình Schrửdinger cho hạt

a
(H.8)

2 d 2 (x)

= E ( x ) với 0 x a
2m dx 2


x

2 d 2 (x)

+ ( x ) = E ( x )
2m dx 2

với x < 0 hoặc x > a

(1.38)
(1.39)

Từ (1.39) (x) = 0 {(x)}2 = 0
Nghĩa là không tồn tại hạt ngoài miền 0

x a. Tức là hạt bị giam trong hố

thế. (1.38) đợc viết:
15


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

d 2 (x )
+ k 2 (x) = 0
2
dx
Với k2 =

(1.40)

2mE

2

(1.41)

Nghiệm (1.40) có dạng: (x) = Asin(kx) + Bcos(kx)
áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng: (0) =(a) =0
( 0 ) = B = 0

( a ) = A sin( ka ) = 0
Vì B = 0 nên không thể giả thiết A= 0, do đó sin(ka) = 0.
Suy ra: k =

n
a

(n=1,2,3,...)

(1.42)

n
x
a

(1.43)

Hàm sóng của hạt n(x) = A sin

(n=1,2,3,...)

Trong đó A đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá hàm sóng. Từ (1.41), (1.42) ta đợc :

k 2 2 2 2 2
En =
=
n (n=1,2,...)
2m 2ma 2
2 2
Giá trị nhỏ nhất E1 =
(1.44) là năng lợng ở trạng thái cơ bản. Năng lợng
2ma 2
các trạng thái còn lại và khoảng cách En giữa hai mức liên tiếp có thể biểu diễn
trực tiếp qua E1 bởi công thức: En =n2E1 , En =En+1- En =(2n+1)E1
Từ (1.44) ta nhận thấy năng lợng ở trạng thái cơ bản là lớn hơn không(E 1> 0). Đây
là điều bất ngờ đối với cơ học cổ điển vì theo lý thuyết cổ điển trạng thái này có
năng lợng bằng không. Trong cơ học cổ điển giá trị E 1 gọi là năng lợng không.
Sự tồn tại của năng lợng khôngcủa các hệ lợng tử là hệ quả trực tiếp của hệ thức
bất định giữa toạ độ và xung lợng. Biểu thức (1.44) cho thấy nếu giảm bề rộng hố
thế (tức là giảm bớc sóng Debroglie 1 tơng ứng với E1)thì năng lợng E1 sẽ tăng.
Vậy nếu vị trí hạt càng xác định thì xung lợng của nó càng bất định và ngợc lại.
Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý bất định.Về vấn đề năng lợng không
chúng ta còn gặp ở một số bài toán khác sẽ đợc đề cập ở chơng sau.
b) Rào thế.
16


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Hàng rào thế là một dạng của trờng ngoài mà một trong miền không gian nào
đó thế năng lớn hơn các miền lân cận.Trong mô hình chuyển động một chiều ta xét

hàng rào thế sau đây:
0 nếu x < 0
U(x) =
U0 nếu 0 x a
0 nếu x > a
Dạng của hàng rào thế đợc biểu
diễn bởi hình vẽ (H.9).

U(x)
U0
(I)

(II)

(III)

Ta viết phơng trình Schrửdinger
cho hạt:
Miền I và miền II:


0

x

2 d 2 (x)
= E ( x ) với x > a, x < 0
2m dx 2

( x ) +

Miền II:

a
(H.9)

2mE
(x ) = 0
2

(1.45)

2 d 2 (x)
+ U( x ) ( x ) = E( x ) với 0 x a. Suy ra:
2m dx 2
( x ) +

2m
(E U) ( x ) = 0 (1.46) với 0 x a
2


Xét trờng hợp E < U0. Đặt k12 =

2mE
2

(1.47),

k22 =

2m
( U 0 E)
2

(1.48).Ta dự

đoán trong miền I(x < 0) tồn tại sóng tới và sóng phản xạ ,trong miền II(0 x a)
tồn tại sóng tới và sóng phản xạ.Còn miền III(x>a) chỉ tồn tại sóng truyền qua.
Từ trên ta có nghiệm sau:
I(x) =eik 1 x +Ae-ik 1 x x < 0

(1.49)

II(x) =Bek 2 x +Cek 2 x

0xa

(1.50)

x>a

(1.51)

III(x) =Deik 1 x
Sử dụng điều kiện:

I(0) =II(0), I(0) =II(0), II(a) =III(a), II(a) =III(a)
17

Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Ta đợc hệ phơng trình sau:
1+A =B+C
ik1(1-A)= k2(B-C)
Bek 2 a +Ce-k 2 a = Deik 1 a

(1.52)

k2(Bek 2 a - Ce-k 2 a) =ik1 Deik 1 a
Giải hệ trên đối với D ta đợc:
D=

4ik 1k 2 exp{ ik 1a}
(k 1 + ik 2 ) 2 exp{ k 2 a} ( k 1 ik 2 ) 2 exp{ k 2 a}

(1.53)

Nh vậy dù cho Evới một xác suất nào đó. Hiệu tợng xuyên qua rào thế năng gọi là hiệu ứng đờng
ngầm. Hiệu ứng đờng ngầm sẽ đợc đề cập kỹ ở chơng sau. Ta đi xác định hệ số
truyền qua T của hạt đi qua rào:
2

2

T= D =

16k 1 k 2

2

k1 + k 2

2

2

Hay :

2

exp{ 2k 2 a}

2

16k k
2a

T = 2 1 2 2 exp
2m ( U 0 E )
k1 + k 2



(1.54)

Đới với trờng hợp rào thế có dạng tổng quát nh hình vẽ (H.10)

U(x)

E

18


Luận văn Tốt nghiệp

x1

Trơng Quang Sơn
0

x2

x

(H.10)
Vì vậy có thể chia rào thế này thành vô số rào thế nhỏ hình chữ nhật,mỗi cái
có bề rộng x và chiều cao U(x).Hệ số truyền qua rào thế bằng tích các hệ số
truyền qua các rào thế nhỏ.
2x

2m ( U ( x ) E )
Ta có: T exp


2x

Cho x0 suy ra : T = T0 exp 2m( U( x ) E)dx
x

2

(1.55)

1

Với x1, x2 là hoành độ giao điểm giữa U(x) với đờng thẳng mô tả E.
IV. Kết luận
Trong chơng này chúng tôi đã trình bày về lý thuyết về phơng trình Schrửdinger.
Chủ yếu chúng tôi đi sâu vào khảo sát các tính chất của phơng trình Schrửdinger
dừng một chiều. Đây là mô hình có số chiều không gian ít nhất vì vậy, các tính
toán phức tạp đợc đơn giản hóa. Trong phạm vi của đề tài chúng tôi quan tâm đến
vấn đề giải thích một số hiệu ứng lợng tử mà với phơng trình Schrửdinger dừng
một chiều đã áp dụng một cách có hiệu quả. Nh vậy, thông qua việc ứng dụng phơng trình Schrửdinger dừng một chiều, đề tài tiếp cận các vấn đề của vật lý lợng
tử một cách giản đơn nhất.
Chơng II: ứng dụng bài toán một chiều trong các hiệu
ứng lợng tử
I.Thế tuần hoàn. Định lý Bloch.
1, Thế tuần hoàn.
Xét một hạt chuyển động trọng một trờng tuần hoàn theo không gian. Bài
toàn này có ý nghĩa thực tiễn vô cùng quan trọng đối với lý thuyết chất rắn. Trong
giới hạn của đề tài chúng tôi chỉ khảo sát dành cho hệ môt chiều, nhng kết quả thu
đợc hoàn toàn có thể mở rộng sang các hệ 2 hoặc 3 chiều. Trong tinh thể lý tởng các
ion dơng sắp xếp một cách trật tự tuần hoàn tại các nút mạng còn các điện tử hoá trị
với vai trò tải điện đợc xem là chuyển động độc lập với nhau trong một trờng tuần
hoàn tạo bởi các ion. Một trờng nh thế đợc mô tả bởi hình vẽ (H.11)

19


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

L
(H.11)
Gọi d là khoảng cách giữa các nút mạng lân cận (d còn đợc gọi là hằng số
mạng). Do tính đối xứng tịnh tiến của mạng nên thế năng U(x) của điện tử là hàm
tuần hoàn với chu kỳ d
U(x) = U( x+d)
(2.1)
Tại vùng biên( Tức bề mặt) tinh thể, tính tuần hoàn của mạng sẽ bị vi phạm. Do đó
để đảm bảo tính đối xứng tịnh tiến cho mạngngời ta giả thiết rằng do số nút mạng
(N) vô cùng lớn, nên sự thay đổi của thế U(x) tại vúng biên không ảnh hởng gì đến
trạng thái của các điện tử bên trong mạng. Cũng có thể hình dung rằng: vừa thoát
khỏi mặt này của tinh thể, điện tử lập tức trở lại tinh thể ở mặt đối diện.
2. Định lý Bloch.
Toán tử Hamilton của điện tử dẫn trong mạng tinh thể một chiều có dạng
2

p + U(x)
(2.2)
2m
Trong đó thế U(x) thoả mãn (2.1).
Trớc hết ta xét trờng hợp tinh thể rất yếu có thể xem nh điện tử chuyển động tự do ở

H=

giới hạn này ta có phơng trình Schrửdinger cho điện tử
2 d 2 k ( x )

ì
= E k k (x)
2m
dx 2
'k' ( x ) + k 2 k ( x ) = 0 với k 2 =
k ( x ) = Aeikx E k =


2k 2 p2
=
2m 2m

2mE
có nghiệm
2
(2.3)



Trong đó p = k là xung lợng của điện tử chúng ta đã biết chúng biết chuyển
động tự do năng lơng Ek nhận các giá trị liên tục và hàm sóng là sóng phẳng De
Broglie.
Bây giờ ta xét chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn của tinh thể. Do thế
của điện tử phụ thuộc vào x (U = U(x)) nên toán tử xung lợng.

20


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

d của điện tử không giao hoán với Hamilton nửa và vì vậy
dx
xung lợng của điện tử không đợc bảo toàn. Trạng thái điện tử lúc này không thể mô
tả bởi sóng phẳng De Broglie (2.3) mà chỉ có thể biểu diễn dới dạng chồng chất của
những sóng này với các giá trị k khác nhau. Để tìm hàm riêng Hamilton (2.2) trớc


p = i



hết ta sử dụng toán tử dịch chuyển T(d ) đợc định nghĩa:


(2.4)

T (d )f ( x ) = f ( x + d )
Từ tính tuần hoàn của thế U(x) ta có:

T (d), H
=0

(2.5)


Do đó nếu hàm ( x ) là hàm riêng của H
ứng với trị riêng E thì:



H T(d) ( x ) = E T (d) ( x )







Nghĩa là hàm T(d ) ( x ) = ( x + d) cũng là hàm riêng của H
với cùng trị riêng E.


Trong trờng hợp nếu trị riêng E không suy biến thì hai hàm T(d ) ( x ) và ( x ) chỉ
có thể sai khác nhau một hằng số:


T(d ) ( x ) = (d )( x ) (2.6). Do việc tịnh tiến gốc toạ độ đi một đoạn bất kỳ
không làm thay đổi giá trị của tích phân chuẩn hoá

(x)

2

d( x ) nên điều kiện

chuẩn hoá đối với hàm sóng ( x ) sẽ không làm thay đổi phép tịnh tiến từ x đến
x + d(x).
2

(d ) = 1

(2.7)




Ngoài ra kết quả của hai phép tịnh tiến T(d ) và T(d ) rõ ràng phải nh kết
1
2




quả của phép tịnh tiến T(d + d ) . Muốn vậy các trị riêng (d) của toán tử T(d)
1
2
phải thoả mãn hệ thức.
(d 1 ) (d 2 ) = (d 1 + d 2 )
21

Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

Suy ra (d) phải có dạng hàm mũ:
(d) = e ikd (kR)

(2.8)

Nh vậy, do tính tuần hoàn của thế năng U(x) hàm sóng điện tử phải có dạng:
( x + d) = e ikd ( x )

(2.9).

(2.9) là nội dung của định lý Bloch: với mọi hàm riêng ( x ) của toán tử Hamilton
(2.2) luôn tồn tại giá trị k sao cho khi tịnh tiến mạng một đoạn d thì hàm sóng này
đợc nhân với thừa số pha e ikd . Trong trờng hợp tổng quát, định lý Bloch đợc thoả
mãn nếu hàm sóng điện tử có dạng:
k ( x ) = U k ( x )e ikd

(2.10).

Trong đó Uk(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng hằng số mạng
Uk(x+d) =Uk(x)
Thật vậy, từ (2.10) và (2.11) ta có:

(2.11)

k ( x + d) = U k ( x + d)e ik ( x +d ) = U k ( x )e ikx e ikd = k ( x )e ikd .

Hàm sóng (2.10) cũng gọi là hàm Bloch. Vây có thể phát biểu định lý Bloch nh sau:
Hàm sóng điện tử trong trờng tuần hoàn là hàm Bloch. Nó có dạng tích của sóng
phẳng exp(ikx) với hàm tuần hoàn U k(x). Thừa số thứ hai này có tác dụng biến điệu
sóng phẳng theo chu kỳ mạng tinh thể.
II. Mô hình kronig-Penney.
Mô hình Kronig-Penney đợc mô tả nh hình vẽ (H.12)
U(x)
b









0

a
d
d+a
2d
x
U > (0)
U< (d)
(H.12)
Mô hình Kronig-Penney mô tả tính tuần hoàn cuả thế năng điện tử trong
mạng tinh thể một chiều đợc thoả mãn bời việc lăp lại đều đặn vô số lần những
giếng thế đã xét trong hình (H.11) trên khoảng cách một chu kỳ ta có:

22


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

0 nếu 0 x a
U(x) = nếu a x d=a+b
U 0

(2.12)

Mô hình Kronig-Penney đợc sử dụng trong việc khảo sát cấu trúc phổ năng lợng của điện tử trong mạng tinh thể.
IV. Giải thích cấu trúc vùng năng lợng.
1. Giải phơng trình Schrửdinger.
Bên trong giếng thế( 0 x a) phơng trình Schrửdinger có nghiệm:
2mE
2
Bên ngoài giếng thế (a x a+b = d). nếu E > U0 ta có:
I ( x ) = Ae ik x + Be ik x với k 12 =
1

1

(2.13)

2m ( E U 0 )
(2.14)

2
Từ điều kiện liên tục của hàm số ( x ) suy ra hàm tuần hoàn U(x) và đạo hàm
II ( x ) = Ce ik x + De ik x với k 22 =
2

2

U(x) cũng phải liên tục.
Ta có:
U ( 0) = U ( d )

U ' ( 0) = U ' ( d )

(2.15)

Từ (2.10) ta đợc:
U(x) = ( x ) e-ikx suy ra U(x) = ' ( x ) e-ikx- ikU(x) (2.16).
Ta viết lại điều kiện liên tục (2.15) ' (0) = ' (d )e ikd

(2.17)

Khi áp dụng điều kiện thứ nhất trong (2.15) và (2.17) lên hàm U(x) ta thu đợc 2
phơng trình:
A + B = e ikd (Ce ik d + De ik d )
2

(2.18)

2

k1(A-B) = k2 e ikd (Ce ik d De ik d )
2

(2.19)

2

Tơng tự, đối với hàm ( x ) và ' ( x ) liên tục tại điểm x = a ta thu đơc 2 phơng
trình:
(2.20)

Aeik a + Be ik a = Ce ik a + De ik a
1

1

2

2

k 1 (e ik a Be ik a ) = k 2 (Ce ik a De ik a )
1

1

2

2

(2.21)

Nh vậy, ta thu đợc hệ phơng trình 4 ẩn số. Ta đi tìm nhứng giá trị khả dĩ của
năng lợng điện tử trong mô hình ta xét, bằng việc giải hệ phơng trình trên. Sau
một số biến đổi toán học ta thu đợc phơng trình sau đây cho trờng hợp E > U0.
23


Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

k 12 + k 22
cosk1a cosk2b sink1a sink2b = coskd
2k 1 k 2

(2.22).

2mU 0
(2.23).
2
Việc tính toán hoàn toàn tơng tự đối với trờng hợp E < U0. Bằng cách sử dụng công
k 12 k 22 =

thức trên và thay ik2 = k với k2=

2m ( U 0 E )
2

(2.24)

và có dạng sau:
k 12 k 2
sin k 1ash ( kb) = cos kd
cosk1a ch(kb) 2k 1 k
k 12 + k 2 =

2mU 0
2

(2.25)
(2.26)

2, Cấu trúc vùng năng lợng.
Các công thức (2.22), (2.23),(2.25) và (2.26) cho phép ta tính các giá trị riêng
của năng lợng E nh một hàm số của số sóng k: E = E(k).
Tuy nhiên việc giải những phơng trình trên khá phức tạp, ở đây chúng tôi
dùng phơng pháp đồ thị để giải. Đặt vế trái của (2.22) hoặc (2.25) là F(E) còn vế
phải của chúng là f(kd).
Trớc hết ta dựng đồ thị hàm F(E), sau đó cho trớc giá trị của kd, ta tính đợc
f(kd) rồi vẽ đờng thẳng f(kd) tơng ứng song song với trục hoành. Từ giao điểm của
đờng thẳng này với đờng F(E) ta hạ đờng thẳng vuông góc xuống trục hoành rồi xác
định nghiệm E(k) ứng với giá trị (kd) đã chọn. Những giá trị E này đợc mô tả bởi
những đoạn nhỏ thẳng đứng trên (H.13). Một lần nữa ta đi đến kết luận: Phổ năng lơng của điện tử bị gián đoạn.
Tuy vậy, phổ năng lợng trong mô hình này có tính chất đặc biệt khác với phổ
năng lợng trong mô hình giếng thế đơn đã xét ở mục trớc. Thật vậy, do cos kd 1
nên vế trái F(E) của các phơng trình (2.22), (2.25) bị giới hạn trong khoảng:
1 F(E ) 1 (2.27). Do đó chỉ có những giá trị E thoả mãn (2.27) mới có thể có
mặt trong phổ năng lợng điện tử.

24

Luận văn Tốt nghiệp

Trơng Quang Sơn

(H.13)
ở góc trái của (H.13) là các giá trị của f(kd) trong khoảng từ -1 đến 1. Muốn
có các trị riêng E thoả mãn điều kiện (2.17) ta phải kẻ những đờng thẳng song song
trục E/U0 từ những giá trị f(kd) này. Nh vậy, hoành độ các giao điểm của những đờng thẳng này với đờng F(E) chỉ tập chung vào một số miền nhất định gọi là các
vùng năng lợng hay giải năng lợng. Giữa các vùng cấm hay khe năng lợng nơi mà E
không thể nhận giá trọ nào tại đó. Vậy phổ năng lợng của điện tử trong trờng tuần
hoàn có cấu trúc vùng. Cần nói thêm rằng tính gián đoạn của phổ năng lợng chính
là hệ quả của các điều kiện biên. còn sự hình thành cá vùng cấm năng lợng là do
tính tuần hoàn của thế U(x). Việc các mức năng lợng trong vùng nằm rất xít nhau
và gần nh là liên tục liên quan tới tính không định xứ của những trạng thái liên kết
suy rộng đã phân tích ở trên. Do vế phải của các phơng trình (2.22),(2.25) nhận
cùng một trị số khi thay đổi (kd) bởi (kd+2n ) với nZ nên giá trị E thoả mãn các
phơng trình trên đối với một giá trị (kd) nào đó nó cũng là nghiệm những phơng
trình này đối với giá trị (kd+2n ). Từ đó suy ra E là hàm tuần hoàn theo số sóng k.
E(k) = E (k +

2n
) với nZ
d

(2.28)

Do vậy, thay vì khảo sát hàm E(k) trong miền biến thiên của k ta chỉ xét hàm
này trong miền kd . Cấu trúc vùng năng lợng với những đặc điểm vừa nêu

đợc vẽ trên(H.14). Để tiện so sánh trên (H.14) ta vẽ thêm hàm E(k) của hạt tự do (đờng đứt đoạn).
2
2
E(k) = (k + 2n / d) với nZ
2m
Năng lợng này tơng ứng với xung lựơng.

p = (k + 2n / d)

(2.29).

(2.30)

25